Física 1 Mecânica. Instituto de Física - UFRJ

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1 Física 1 Mecânica Sandra Amato Instituto de Física - UFRJ Rotação de uma partícula 1/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 1/28

2 Outline 1 Produto Vetorial 2 Rotação em Torno de um Eixo Fixo 2/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 2/28

3 Produto Vetorial Dados dois vetores A e B, oproduto vetorial entre eles é definido como o vetor C A B seu módulo é C A B sen sua direção é perpendicular ao plano formado por A e B seu sentido é dado pela regra da mão direita. 3/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 3/28

4 Propriedades do Produto Vetorial seu módulo A B sen representa a área do paralelogramo definido por A e B A B B A não é comutativo. Se A e B são paralelos ( 0 ou 180 ) A B 0 consequentemente A A 0 Obedece a propriedade distributiva: A B C A B A C tomando o cuidado de preservar a ordem entre A e B: d dt A B A db dt da dt B 4/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 4/28

5 Propriedades do Produto Vetorial k k 0 k k k k Se temos as componentes dos vetores A A x A y A z k e B B x B y B z k k A B A y B z A z B y A x B z A z B x A x B y A y B x k 5/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 5/28

6 Exercícios Calcule o produto vetorial a b entre os vetores a e b onde 1 a 3 k e b k; 2 a é o vetor que liga os pontos O e B, e b é o vetor que liga os pontos A e B do cubo de aresta 1 m da figura. C an, O Bp A B (Rotação de uma partícula) Física 1 6/28 6/ 30

7 4 a- ' = 3 i - 5 ' 6 - = it If j th - 2h i j k ya }zl - / = ( a + ) j ( 6-6) ti=o (Rotação de uma partícula) Física 1 7/28 7/ 30

8 Exercícios 1 Mostre que o módulo do produto triplo a b c é o volume do paralelepípedo cujos lados são definidos pelos vetores a, b e c. 2 Calcule a área da superfície deste paralelepípedo. 3 Considere a, b e c 2 k. Calcule a área da superfície e o volume do paralelepípedo definido por estes vetores. Considere as unidades dadas no S.I. 8/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 8/28

9 9/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 9/28

10 Cinemática de Corpo Rígido Vamos começar o estudo do movimento mais geral (translação e rotação) de objetos extensos, nos restringindo a corpos rígidos: objeto cujas distâncias entre dois pontos quaisquer não mudam (boa aproximação). Translação Pura Rotação Pura Translação Rotação 10/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 10 / 28

11 Translação Pura A direção de qualquer segmento que une dois de seus pontos não se altera. todos os pontos descrevem curvas paralelas. Todos os pontos sofrem o mesmo deslocamento no mesmo t todos tem, em qquer instante, a mesma velocidade e aceleração de translação. Podemos escolher um ponto, p.ex., o CM, para descrever o movimento de translação de um corpo rígido. 11/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 11 / 28

12 Rotação Pura em torno de Eixo Fixo Vamos fixar dois pontos A e B, equivale a fixar todos os pontos da reta AB, pois todos os pontos devem manter a mesma distância. Qualquer partícula situada fora dessa reta mantém a mesma distância à reta Todos os pontos descrevem um círculo em torno do eixo AB e giram de um mesmo ângulo no mesmo t. Oestudodomovimentosereduzaoestudodomovimento circular de um ponto Rotação em torno de um eixo fixo, que pode ser descrita em termos de uma única coordenada: O ângulo de rotação. 12/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 12 / 28

13 Rotação Pura em torno de Ponto Fixo Se fixarmos um ponto O do corpo, qualquer outro ponto descreverá uma esfera centrada em O Rotação em torno de um Ponto Fixo. O deslocamento do ponto P é descrito por duas coordenadas, p. ex., os ângulos de latitude e longitude 13/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 13 / 28

14 Movimento Geral Chasles 1930: O movimento mais geral de um corpo rígido se compõe de uma translação e uma rotação O é o ponto para onde se desloca O. Primeiro realizamos uma translação pura de O para O, registrando dois pontos quaisquer A e B. Os pontos A B correspondentes na posição final são tais que os dois triângulos são iguais pois o corpo é rígido. Os dois triângulos podem ser superpostos por uma rotação em torno de O. 14/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 14 / 28

15 Cinemática de Rotação em Torno de um Eixo Fixo Sendo a rotação em torno de um eixo fixo (z ), basta descrevermos o movimento circular de um ponto qualquer através das coordenadas polares r (constante) e. Definimos o sentido anti-horário como sendo o positivo de e temos s onde tem que ser dado em radianos para que essa definição seja válida. 360 corresponde a 2 rad: rad r 180 graus 15/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 15 / 28

16 Cinemática de Rotação em Torno de um Eixo Fixo i e f são as posições angulares nos instantes t i e t f Chamamos de deslocamento angular e definimos velocidade angular média f i t e velocidade angular instantânea d lim t 0 t dt Como todas as linhas radiais giram do mesmo ângulo durante o mesmo t, todos os pontos têm a mesma velocidade angular unidade no SI: rad/s, rotações/s ou simplesmente s 1 16/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 16 / 28

17 Cinemática de Rotação em Torno de um Eixo Fixo Se varia de i para f no intervalo t, teremos a aceleração angular média t eaaceleração angular instantânea lim t 0 t Como é o mesmo para todos os pontos do corpo, também será a mesma. d dt 17/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 17 / 28

18 Relação entre cinemática angular e linear Omovimentodeumapartículaemmovimentocircularpodeser descrito tanto pelas grandezas angulares,, e,quantopelas lineares s v a t. (Vantagem??) se édadoemrad, s r. Derivando: ds d dt dt r v r. Derivando: dv d dt dt r a T r Atenção: estas relações são entre os módulos 18/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 18 / 28

19 19/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 19 / 28

20 Relação entre cinemática angular e linear s r v r a T r Linear a constante: v v 0 at x x 0 v 0 t 1 2 at 2 v 2 v0 2 2a x Angular constante: 0 t 0 0 t 1 2 t / 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 20 / 28

21 Grandezas vetoriais na rotação Na descrição do movimento de translação, ao passarmos de uma para 3 dimensões, temos que trabalhar com as grandezas vetoriais r v a. Para passar a rotação em torno de um ponto fixo, podemos definir vetores? 21/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 21 / 28

22 Grandezas vetoriais na rotação Na descrição do movimento de translação, ao passarmos de uma para 3 dimensões, temos que trabalhar com as grandezas vetoriais r v a. Para passar a rotação em torno de um ponto fixo, podemos definir vetores? 22/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 21 / 28

23 Para que uma grandeza seja um vetor ela deve obedecer a algumas propriedades, p. ex., comutatividade da adição: O deslocamento angular não é um vetor 23/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 22 / 28

24 Porém as rotações infinitesimais d são comutativas: ds rd Como o deslocamento é infinitesimal ds pode ser considerado como sendo tangente ao arco e podemos escrever ds d r Considerando dois deslocamentos infinitesimais, o vetor r é o mesmo para os dois: ds 1 d 1 r ds 2 d 2 r ds ds 1 ds 2 d 1 r d 2 r d 1 d 2 r A rotação infinitesimal resultante é a soma d 1 d 2 d 2 d 1 d é vetor!! 24/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 23 / 28

25 Relação entre cinemática angular e linear - Vetorial Relação entre cinemática angular e linear - Forma Vetorial Podemos escrever: s r v r? ds d r BEE - ds dt d dt r v r Note que não há movimento na direção do vetor énadireçãoperpendicularaele.,omovimento 25/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 24 / 28

26 - Relação entre cinemática angular e linear - Vetorial Relação entre cinemática angular e linear - Forma Vetorial Podemos escrever: s r v r? NÃO!! ERRADO!! ds d r ds dt d dt r - - v r Note que não há movimento na direção do vetor énadireçãoperpendicularaele.,omovimento 26/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 24 / 28

27 Exercícios Um motor que move um moinho é desligado quando este último gira a 240 rpm. Após 10 s, a velocidade angular é 180 rpm. Se a desaceleração angular permanecer constante, quantas rotações adicionais ele faz até parar? R: 45 voltas O volante de uma máquina a vapor desenvolve uma velocidade angular constante de 150 rpm. Quando o motor é desligado, o atrito dos mancais e do ar fazem com que a roda pare em 2,2 horas. (a) Qual é a aceleração angular média da roda? (b) Quantas rotações fará a roda antes de parar? (c) Qual é a aceleração tangencial de uma partícula distante 50 cm do eixo de rotação, quando o volante estiver girando a 75 rpm? (d) Qual é o módulo da aceleração total da partícula no instante do item (c)? R: a) rad/s b) 10 4 voltas c) a t m/s 2 d) a 30 8m/s 2 27/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 25 / 28

28 - 10 Wo = 240 rpm = 4 MM f = 150 rpm W = 180 rpm =3 rpt Wo = zrf = 2511 = 15.7 radls cte : W = Wo t X W = O 60 1 =? - x X = 0,1 Ups FET.?E t = 2, 2h = 79 Is.TK#?t:ittEtIi:I::::I" 4 w = Wd - 0 = 32-2 x DO me voltas = D- = DO e) at = xr = =-1 ooxio 2T ] d) let =oi+# DO = 9 5 = 45 rotaries at = - - ] Is 2 AR = I ^ f= 75 rpm W = 7.85 rad A v= W R = 3.9 mm an = 3.9*2 2 = in /s2 1 oh I = ze. 8 m1s2 28/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 26 / 28

29 Exercícios As duas polias de uma máquina estão ligadas por uma correia que não desliza, conforme mostra a figura. Se os raios das duas polias são R 1 e R 2,determinearazãoentreasvelocidades angulares das duas polias. Qual das duas gira mais rapidamente? 29/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 27 / 28

30 a V se a correia moio desk.k e VZ soi igneous : = =E We > WZ 30/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 28 / 28

31 # a) 5 b) 25 c) 10 d) 2,5 e) 15 30/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 28 / 28

32 No =. = wo t x t I x = Wo 2 t O = 0 = wot + text lz 2 wot - 0 = 3- W. t 4 2 West 1 bolton = 2T mad n 2T = m = 3-8 IT 3- Not wot - s " WE oo 2 out w? = X = 2 senao 2 O O= I volta & = - wo42 disco 2 : W? = 4.2 +? 0 = ( 5Ẉ)2-2 0, = 25 at ufo 0, 2 WI O, = 25 voltas

34 a) b ) c ) d) e) 30/ 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 28 / 28

35 for wiga : awl : Of wf 6T Oa = = ZI GIE was = I = I At At R At = GI W at : 2 I R W = - c zinc = 6 = > v= 31

37 ',, - & aaeaaqos, relative paedo ) X = f- a, volta O =, 2T wo=o dci una 2 xt O =, I : 25 = { f- x t2 t = / 30 (Rotação de uma partícula) Física 1 28 / 28