ANÁLISE DE MOVIMENTO RELATIVO USANDO UM SISTEMA DE EIXOS EM ROTAÇÃO (Sec. 16.8) Na descrição dos movimentos de pontos de um único corpo rígido, ou de

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1 ANÁLISE DE MOVIMENTO RELATIVO USANDO UM SISTEMA DE EIXOS EM ROTAÇÃO (Sec. 16.8) Na descrição dos movimentos de pontos de um único corpo rígido, ou de pontos em corpos rígidos articulados, as análises de velocidade e aceleração relativas são feitas, como já exposto, por um sistema auxiliar de eixos em translação. Contudo, quando há deslizamento nas articulações entre corpos conectados (como visto ao lado), usa-se um sistema auxiliar de eixos em translação e rotação. Esse sistema também é útil na análise de movimentos de dois pontos de um mecanismo que não pertencem ao mesmo corpo rígido.

2 APLICAÇÃO Uma aplicação particular é a da rotação da caçamba de um caminhão, que ocorre em torno do pino C, por meio do avanço do cilindro hidráulico AB. Para determinar essa rotação, é conveniente empregar equações de movimento relativo em que um sistema auxiliar de eixos (x,y) é fixado no cilindro. Dessa forma, o movimento relativo de avanço ocorrerá sempre ao longo do eixo y. Nas análises que se seguem, de caráter mais geral, serão obtidas duas equações, que associam velocidades e acelerações de dois pontos, sendo um deles a origem de um sistema de referência em translação e rotação no plano.

3 ANÁLISE DE POSIÇÃO Sejam os pontos A e B na figura abaixo. Suas posições são dadas pelos vetores de posição absoluta r A e r B, em um sistema fixo de coordenadas (X,Y,Z). O ponto de base A é a origem de um sistema móvel de coordenadas (x,y,z), que está em translação e rotação em relação ao sistema (X,Y,Z), com velocidade e aceleração angulares dadas por ω e α ( = dω/dt). A posição de B em relação a A é dada pelo vetor de posição relativa r B/A. Assim, r B = r A + r B/A (1) em que r B/A, no sistema (x,y,z), é r B/A = x B i + y B j (2)

4 ANÁLISE DE VELOCIDADE A velocidade do ponto B é determinada derivando a Eq. (1), tal que v B = v A + d(r B/A )/dt (3) Uma vez que, da Eq. (2), r B/A = x B i + y B j, decorre que drb/a d B B dxb d dy B B d = x i + y j = i + x i + j + y j B (4) dt dt dt dt dt dt Levando a Eq. (4) na Eq. (3), tem-se que dxb dyb di dj vb = va + i + j + x B + yb (5) dt dt dt dt Os termos (dx B /dt)i e (dy B /dt)j são os componentes da velocidade de B em relação a A e são denotados, em conjunto, por (v B/A ).

5 ANÁLISE DE VELOCIDADE (cont.) Como os vetores i e j, do sistema (x,y,z), podem girar, suas derivadas temporais são dadas por (vide figura ao lado) di/dt = (dθ/dt)j = ωj = ω(k x i) (6) dj/dt = (dθ/dt)( i) = ωi = ω(k x j) (7) Das Eqs. (6), (7) e (2) em (5), resulta que v B = v A + (v B/A ) + x B (ωk) x (i) + y B (ωk) x (j) v B = v A + (v B/A ) + (ωk) x [(x B i) + (y B j)] v B = v A + (v B/A ) + (ω x r B/A ) (8) Essa é a equação da velocidade relativa via sistema em translação e rotação.

6 ANÁLISE DE VELOCIDADE (cont.) Os termos à direita da equação de velocidade relativa via sistema de eixos em translação e rotação, que é dada por v B = v A + (v B/A ) + (ω x r B/A ) (8) são representados graficamente ao lado, de forma esquemática. Os termos (v A ) e (ω x r B/A ) relacionam o sistema (x,y,z), que translada e gira, com o sistema (X,Y,Z), que é fixo. A seguir, na análise de aceleração, esses termos estarão, por conveniência, em sequência.

7 ANÁLISE DE ACELERAÇÃO Sabe-se que a velocidade do ponto B é dada por v B = v A + (ω x r B/A ) + (v B/A ) (8) Portanto, a aceleração do ponto B é obtida pela derivada da equação acima, ou a B = a A + (dω/dt) x r B/A + ω x (dr B/A /dt) + d(v B/A )/dt (9) Como já exposto, dω/dt é a aceleração angular do sistema (x,y,z), ou seja, α. Das Eqs. (3) e (8), sabe-se que a derivada temporal do vetor r B/A é d(r B/A )/dt = (v B/A ) + (ω x r B/A ) (10) Quanto ao vetor (v B/A ), tem-se, da Eq. (5), que sua derivada temporal é tal que d( 2 2 vb/a ) d dx B dy B d x B d y B dx B di dy B dj = i + j = i + j (11) dt dt dt dt dt dt dt dt dt dt

8 ANÁLISE DE ACELERAÇÃO (cont.) Os dois primeiros termos do lado direito da Eq. (11), qual seja d( 2 2 vb/a ) d x B d y B dx B di dy B dj = i + j (11) dt dt dt dt dt dt dt são os componentes da aceleração de B em relação a A e são denotados, em conjunto, por (a B/A ). Em relação aos outros dois termos, tem-se, das Eqs. (6), (7) e (5), que dxb di dyb dj dxb dyb dxb dyb + = (ω k) i + (ω k) j = (ω k) i + j = ω ( v B/A) (12) dt dt dt dt dt dt dt dt Dessa forma, d( vb/a ) = ( B/A ) + ( B/A ) dt a ω v (13)

9 ANÁLISE DE ACELERAÇÃO (cont.) Substituindo na Eq. (9), qual seja, a B = a A + (dω/dt) x r B/A + ω x (dr B/A /dt) + d(v B/A )/dt (9) as Eqs. (10) e (13) e recordando que α = dω/dt, obtém-se a B = a A + α x r B/A + ω x (v B/A ) + ω x (ω x r B/A ) + (a B/A ) + ω x (v B/A ) (14) Reunindo os termos comuns, tem-se que a B = a A + α x r B/A + 2ω x (v B/A ) + ω x (ω x r B/A ) + (a B/A ) (15) Essa é a equação da aceleração relativa via sistema em translação e rotação. O termo [2ω x (v B/A )] é denominado aceleração de Coriolis e sempre deve ser considerado quando referenciais em rotação são utilizados.

10 ANÁLISE DE ACELERAÇÃO (cont.) Os termos à direita da equação de aceleração relativa via sistema de eixos em rotação, a saber, a B = a A + α x r B/A + 2ω x (v B/A ) + ω x (ω x r B/A ) + (a B/A ) (15) são representados graficamente, em forma esquemática, na figura ao lado. Observa-se que, face à generalidade das análises apresentadas acima, os pontos A e B poderão, ou não, possuir movimentos independentes. Ou seja, as equações (8) e (15) englobam todos os casos já vistos.

11 EXEMPLO No mecanismo da figura ao lado, as barras AB e DE são rotuladas por pino nas extremidades A e D, respectivamente, e unidas por uma junta deslizante nas duas outras extremidades. A junta pode se mover livremente ao longo da barra DE, mas se encontra articulada à barra AB em C, por um pino. Como indicado, quando θ = 45 o, a barra AB gira com velocidade angular ω AB = 4 rad/s e aceleração angular α AB = 5 rad/s 2. Nesse instante, quais são: (a) a velocidade angular da barra DE e (b) a aceleração angular da barra DE?

12 Solução: Como a distância entre os pontos D e C varia, adota-se um sistema fixo (X,Y,Z) e um sistema auxiliar rotativo (x,y,z), que gira junto com a barra DE. Nota-se que, no instante em tela, todos os vetores serão expressos em termos de (x,y,z). Velocidades Primeiro, são determinadas a velocidade relativa do ponto C, (v C/D ), e a velocidade angular da barra DE, ω DE. Pela equação da velocidade relativa via referencial rotativo, tem-se que v C = v D + ω DE x r C/D + (v C/D ) (i)

13 Solução (cont.): Sabe-se que v D = 0 e que, no instante desejado, r C/D = 0,5i m. Como a distância entre A a C não se altera, a velocidade absoluta de C pode ser determinada a partir da barra AB, em que ω AB = 4k rad/s, de modo que v C = ω AB r C/A = 4k x (0,5i + 0,5j) = (2i 2j) m/s (ii) Levando todas as informações na equação (i), decorre que 2i 2j = 0 + (ω DE k) x (0,5i) + (v C/D )i 2i 2j = 0,5ω DE j + (v C/D )i (iii) Igualando os termos em i e j, encontra-se (v C/D ) = 2i m/s e ω DE = 4k rad/s.

14 Solução (cont.): Acelerações Pela equação da aceleração relativa via referencial rotativo, decorre que a C = a D + α DE x r C/D + 2ω DE x (v C/D ) + ω DE x (ω DE x r C/D ) + (a C/D ) (iv) onde, para o instante desejado, tem-se, além de a D = 0, que r C/D = 0,5i m ; α DE x r C/D = (α DE k) x 0,5i = 0,5 α DE j m/s 2 ; 2ω DE x (v C/D ) = 2 ( 4k) x 2i = 16j m/s 2 ; ω DE x ( ω DE x r C/D ) = ( 4k) x [ (4k) x (0,5 i)] = 8i rad/s ; (a C/D ) = (a C/D ) i.

15 Solução (cont.): Quanto à aceleração de C, ela pode ser determinada a partir da barra AB por a C = α AB x r C/A ω 2 r C/A = 5k x (0,5i + 0,5j) (4) 2 (0,5i + 0,5j) = 5,5i 10,5j m/s 2 (v) Levando todas as informações acima na equação (iv), obtém-se 5,5i 10,5j = 0 + 0,5α DE j 16j 8i + (a C/D )i Igualando os termos em i e j, resulta que (a C/D ) = 2,5i m/s 2 e α DE = 11k rad/s 2.

16 EXERCÍCIO O mecanismo de retorno rápido da figura ao lado consiste da manivela AB, do bloco deslizante B e do membro com ranhura CD. Se a manivela tem o movimento angular mostrado, determinar o movimento angular do membro com ranhura nesse instante. Por movimento angular, entende-se a velocidade e a aceleração angulares. (Hibbeler, 12ª. ed., )

17 Referências: Dinâmica Mecânica para Engenharia (12ª. edição), R. C. Hibbeler, Pearson Prentice Hall, 2011; ecourses Dynamics Multimedia Engineering Dynamics, K. Grammoll, Acessado em novembro de 2011.