ÁLGEBRA LINEAR. Valores Próprios (Autovalores) e Vetores Próprios (Autovetores) Prof. Susie C. Keller

Transcrição

1 ÁLGEBRA LINEAR Valores Próprios (Autovalores) e Vetores Próprios (Autovetores) Prof. Susie C. Keller

2 Autovalores e Autovetores de um Operador Linear Seja T:V V um operador linear. Um vetor v V, v 0, é vetor próprio (autovetor) do operador T se existe IR tal que: T(v) = v O número real é denominado valor próprio (autovalor) de T associado ao vetor próprio v.

3 Observações: v e T(v) tem a mesma direção; dependendo do valor de, o operador T dilata v, contrai v, inverte o sentido ou o anula ( = 0); na Fig. (1) T dilata v, na Fig. (), v não é autovetor de T. Figura 1 Figura

4 Exemplo:

5 Determinação dos autovalores e dos autovetores: 1) Autovalores:

6

7

8

9 A equação det(a - I) = 0 é denominada equação característica do operador T ou da matriz A, e suas raízes são os valores próprios do operador T ou da matriz A. ) Autovetores: A substituição de pelos seus autovalores no sistema homogêneo das equações lineares permite determinar os autovetores.

10 Exemplo:

11

12

13

14 O sistema homogêneo de eq. lineares que permite a determinação dos autovetores é:

15

16

17

18

19

20 Propriedades dos Autovalores e Autovetores: I. Se v é um autovetor associado ao autovalor de um operador linear T, o vetor v, para qualquer real 0, é também autovetor de T associado ao mesmo. De fato: e ou T(v) = v T(v) = T(v) = (v) T(v) = (v) o que prova que v é o autovetor associado ao autovalor.

21 Observação: Como v é o autovetor associado ao autovalor, fazendo 1 v obtém-se um vetor próprio unitário. II. Se é um autovalor de um operador linear T:VV, o conjunto S de todos os vetores v V, inclusive o vetor nulo, associados ao autovalor, é um subespaço vetorial de V. De fato, se v 1, v S : T(v 1 + v ) = T(v 1 ) + T(v ) = v 1 + v = (v 1 + v ) e portanto v 1 + v S.

22 Analogamente, se verifica que v S para todo IR. O subespaço S = {v V/ T(v) = v} é denominado subespaço associado ao autovalor ou espaço característico de T correspondente a ou auto-espaço associado a. Por exemplo, como foi visto ao autovalor = 6 correspondem os autovetores do tipo v = x(5,). Assim, o auto-espaço associado a 6 é: S 6 = {x(5,)/xr} = [(5,)] que representa uma reta que passa pela origem.

23 III. Matrizes semelhantes tem o mesmo polinômio característico e, por isso, os mesmos autovalores. De fato: Sejam T:V V um operador linear e A e B bases de V. Sabe-se que a relação entre matrizes semelhantes é: Então:

24

25 Diagonalização de Operadores Diagonalização de Operadores Dado um operador linear T:V V, a cada base B de V corresponde uma matriz [T] B que representa T na base B. Nosso objetivo é obter uma base do espaço de modo que a matriz de T nessa base seja a mais simples representante de T. Essa matriz é uma matriz diagonal. Propriedade: Autovetores associados a autovalores distintos de um operador linear T:V V são linearmente independentes

26 Diagonalização de Operadores Corolário: Sempre que tivermos um operador T:IR IR com 1, o conjunto {v 1, v }, formado pelos autovetores associados, será uma base do IR. Esse conceito pode ser estendido para qualquer espaço vetorial, isto é: Se T:V V é linear, dim V = n e T possui n autovalores distintos, o conjunto {v 1, v,..., v n } formado pelos correspondentes autovetores, é uma base de V.

27 Diagonalização de Operadores Exemplo:

28 Diagonalização de Operadores

29 Diagonalização de Operadores Assim o conjunto {(1, -1), (-1,0)} é uma base do IR.

30 Diagonalização de Operadores Propriedade:

31 Diagonalização de Operadores

32 Diagonalização de Operadores Exemplo:

33 Diagonalização de Operadores

34 Diagonalização de Operadores

35 Diagonalização de Matrizes Simétricas Propriedades: I. A equação característica de uma matriz simétrica tem apenas raízes reais. II. Se T:V V é um operador linear simétrico com autovalores distintos, então os autovetores são ortogonais. III. De forma geral uma matriz A é diagonalizada pela matriz P dos autovetores a partir da relação: D = P -1 AP Se A for simétrica, P será uma base ortogonal. Caso P seja composta de vetores ortonormais, pode-se usar a relação P -1 = P t e dessa forma: D = P t AP

36 Diagonalização de Matrizes Simétricas Exemplo: 1) Determinar uma matriz ortogonal P que diagonaliza a matriz simétrica A: A Inicialmente efetua-se o cálculo dos autovalores e autovetores associados a matriz, os quais são: 1 = com v 1 = (x, x, x) = 6 com v = (x, x/, -x) = 9 com v = (x, -x, x/)

37 Diagonalização de Matrizes Simétricas Fazendo x = 1 nos autovetores e normalizando-os temos: v 1 = (1,, ) => u 1 = (1/, /, /) v = (1, 1/, -1) => u = (/, 1/, -/) v = (1, -1, 1/) => u = (/, -/, 1/) Logo P

38 Diagonalização de Matrizes Simétricas D D E, como D = P t AP