Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC

Transcrição

1 Universidade Federal de Alagoas UFAL Centro de Tecnologia - CTEC Programa de Pós-Graduação em Engenharia Civil - PPGEC Introdução à Mecânica do Contínuo Tensores Professor: Márcio André Araújo Cavalcante Maceió - Alagoas

2 Tensor: Uma Transformação Linear Vamos assumir que T transforma qualquer vetor em um outro vetor. Se e onde a e b são vetores arbitrários e a é um escalar arbitrário. T é uma transformação linear! Também conhecido como tensor de segunda ordem ou simplesmente tensor.

3 Tensor: Uma Transformação Linear Definição alternativa de uma transformação linear: onde a e b são vetores arbitrários e a e b são escalares arbitrários. Se para qualquer vetor a, então: No entanto, dois tensores diferentes podem transformar um vetor específico da mesma forma.

4 Tensor: Uma Transformação Linear Verifique se as seguintes transformações são lineares: T é uma transformação não nula que transforma um vetor arbitrário em um vetor não nulo fixo n. T transforma um vetor arbitrário em um vetor igual ao vetor original multiplicado por um escalar k. T transforma um vetor arbitrário em sua imagem espelhada em relação a um plano fixo. R transforma um vetor desenhado em um corpo rígido (submetido a uma rotação em torno de um eixo definido por n) em um outro vetor que apresenta uma direção geralmente diferente do vetor original depois da rotação (transformação).

5 Componentes de um Tensor As componentes de um vetor dependem da base adotada para definir o sistema de coordenadas. O mesmo acontece para os tensores. Para o sistema de coordenadas retangular Cartesiano definido pelos versores e 1, e 2 e e 3, tem-se: ou T ij são as componentes do tensor T. Matriz do tensor T na base {e i }:

6 Componentes de um Tensor Obtenha a matriz do tensor T que transforma os versores da base como segue: Obtenha a matriz do tensor R que corresponde a uma rotação de corpo rígido em torno do eixo-x 3 definida pelo ângulo q : Obtenha a matriz do tensor T que transforma os versores da base como segue:

7 Componentes de um Tensor Desde que: Pode ser facilmente verificado que: ou: Assim como os vetores, os tensores são independentes do sistema de coordenadas adotado. No entanto, as suas componentes dependem do sistema de coordenadas adotado: T ij são as componentes do tensor T na base {e i }.

8 Componentes de um Vetor Transformado Para: Determine: Assim: O que resulta em:

9 Componentes de um Vetor Transformado Em notação matricial, tem-se: ou Utilizando-se notação indicial, tem-se: Como: Logo: Assim:

10 Componentes de um Vetor Transformado Para: Se: Dado um tensor T que transforma os versores da base como segue: Como ele transformaria o vetor a?

11 Soma de Tensores Definição: para um vetor arbitrário a. T + S é também um tensor? Encontrar as componentes do tensor soma: Desta forma:

12 Produto de Dois Tensores Definição: e para um vetor arbitrário a. TS e ST são também tensores? Encontrando as componentes de TS e ST: Logo: Assim como: Desta forma: Em geral: e (não é comutativo)

13 Produto de Dois Tensores Por outro lado: Logo: e (associativo) Assim, pode-se definir da seguinte forma a potência de tensores:

14 Tensor Transposto Definição: para vetores arbitrários a e b. Logo: ou T T é também um tensor? Tem-se também que: Ainda pode ser provado que: De forma mais geral, tem-se:

15 Traço de um Tensor Definição: (soma dos elementos da diagonal principal) Logo: Mostrar que para tensores de segunda ordem arbitrários A e B, tem-se que:

16 Tensor Identidade Definição do Tensor Identidade (I): (transforma um vetor arbitrário nele mesmo) Logo: Componentes Cartesianas do tensor identidade: Assim: Se: (para um vetor arbitrário a) Então: Escreva o tensor T, definido por Ta = a a, onde a é uma constante e a é um vetor arbitrário, em termos do tensor identidade, e encontre as suas componentes.

17 Tensor Inverso Definição do Tensor Inverso (S): Representação: Do estudo de matrizes, sabe-se que a inversa existe se e somente se a matriz é não singular: Assim: Pode ser mostrado que: Se a inversa existe, tem-se que: e e

18 Definição do Tensor Ortogonal (Q): Tensores Ortogonais ou: para vetores arbitrários a e b. Como: Tem-se: Logo: Assim:

19 Tensores Ortogonais Para o tensor R que corresponde a uma rotação de corpo rígido em torno do eixo-x 3 definida pelo ângulo q : Verifique que: E encontre o seu determinante.

20 Tensores Ortogonais Determinante da matriz de um tensor ortogonal Q arbitrário: Tem-se que: Como: e Logo: Além disso: Desta forma:

21 Matriz de Transformação entre Dois Sistemas de Coordenadas Cartesianas Retangulares Para dois sistemas de coordenadas Cartesianas retangulares distintos, tem-se: Desta forma: No caso de sistemas destrógiros (que satisfazem a regra da mão direita), o tensor Q representa uma rotação de corpo rígido.

22 Matriz de Transformação entre Dois Sistemas de Coordenadas Cartesianas Retangulares Tem-se que: Resultando na seguinte Matriz de Transformação:

23 Matriz de Transformação entre Dois Sistemas de Coordenadas Cartesianas Retangulares Encontre a matriz de transformação para uma rotação de corpo rígido de 30º da base {e 1,e 2,e 3 } em torno do eixo-x 3.

24 Lei de Transformação das Componentes Cartesianas de um Vetor Componentes Cartesianas de um vetor arbitrário a utilizando a base original: Componentes Cartesianas do mesmo vetor a utilizando uma base transformada: Fazendo-se: Tem-se: Logo:

25 Lei de Transformação das Componentes Cartesianas de um Vetor Em notação matricial: O que implica em:

26 Lei de Transformação das Componentes Cartesianas de um Tensor Componentes Cartesianas de um tensor arbitrário T utilizando a base original: Componentes Cartesianas do mesmo tensor T utilizando uma base transformada: Fazendo-se: Tem-se: Logo:

27 Lei de Transformação das Componentes Cartesianas de um Tensor Em notação matricial: ou: O que implica em: Mostre que o traço de um tensor T é invariante com a mudança de base.

28 Definição de Tensor a partir das Leis de Transformação Para uma lei de transformação entre bases ortonormais: onde Tem-se: (tensor de ordem zero ou escalar) (tensor de primeira ordem ou vetor) (tensor de segunda ordem ou tensor) (tensor de terceira ordem) (tensor de quarta ordem)

29 Definição de Tensor a partir das Leis Regras baseadas nas leis de transformação: Regra da Soma: a soma das componentes de um tensor de determinada ordem resultam nas componentes de um tensor de mesma ordem. Provar para: de Transformação Regra da Multiplicação: a ordem de um tensor cujas componentes são obtidas da multiplicação entre componentes de tensores é igual ao número de índices livres. Provar para: e

30 Definição de Tensor a partir das Leis Regras baseadas nas leis de transformação: de Transformação Regra do Quociente: se a e T são um vetor e um tensor arbitrários, respectivamente, e a i = T ij b j para qualquer sistema de coordenadas, então b j são as componentes de um vetor. Outra aplicação da regra do quociente: Se T e E são tensores de segunda ordem arbitrários, e T ij = C ijkl E kl para qualquer sistema de coordenadas, então C ijkl são componentes de um tensor de quarta ordem.

31 Tensores Simétricos e Anti-simétricos Definição de Tensor Simétrico: Assim: Definição de Tensor Anti-simétrico: Assim: Todo tensor pode ser decomposto na soma de um tensor simétrico T S com um tensor anti-simétrico T A : onde: e

32 Autovalores e Autovetores de um Tensor Se a é um vetor transformado por T em um vetor paralelo a ele mesmo: Tem-se que a é um autovetor e l seu correspondente autovalor. Mostrar que qualquer vetor paralelo a a também será um autovetor com o mesmo autovalor l. Como os autovetores possuem tamanho arbitrário, serão de nosso interesse os autovetores com tamanho unitário: Fazendo-se: onde: Tem-se: onde:

33 Autovalores e Autovetores de um Tensor Expandindo-se (sistema de equações lineares homogêneo): Solução trivial: Solução não trivial: Resultando em uma equação polinomial cúbica em l (equação característica do tensor T ). Para autovetores unitários, tem-se:

34 Autovalores e Autovetores de um Tensor Encontrar os autovalores e autovetores para os seguintes tensores: a) b) c)

35 Autovalores e Autovetores de um Tensor Encontrar os autovalores e autovetores do tensor R que corresponde a uma rotação de 90º em torno de e 3 : Observação: Apenas os autovetores correspondentes aos autovalores reais são de nosso interesse.

36 Valores e Direções Principais de Tensores Reais Simétricos Os tensores de tensão e de deformação são tensores reais simétricos. Teorema da Álgebra Linear: Um tensor real simétrico possui todos os autovalores reais (valores principais) e autovetores ortogonais entre si (direções principais). Mostrar que para um tensor real simétrico existe pelo menos um conjunto de três autovetores mutuamente ortogonais. a) Supondo três autovalores reais distintos (l 1 l 2 l 3 ). b) Supondo apenas dois autovalores reais distintos (l 1 = l 2 l 3 ). c) Supondo a existência de um único autovalor real (l 1 = l 2 = l 3 ).

37 Matriz de um Tensor Real Simétrico com relação às Direções Principais Para um tensor real simétrico, cujos os autovetores são ortogonais entre si, tem-se: Assim:

38 Matriz de um Tensor Real Simétrico com relação às Direções Principais Os valores principais de um tensor T incluem os máximo e mínimos valores que os elementos da diagonal principal de qualquer matriz que represente o tensor T podem assumir. Dado um vetor unitário arbitrário: Tem-se: Logo: Assumindo-se: Tem-se: Como: (valor máximo)

39 Matriz de um Tensor Real Simétrico com relação às Direções Principais Também tem-se: Como: (valor mínimo)

40 Principais Invariantes Escalares Da equação característica de um tensor T: de um Tensor onde:

41 Principais Invariantes Escalares Como os autovalores não dependem da base adotada, os coeficientes da equação característica também não dependerão (principais invariantes escalares do tensor). Em termos dos autovalores do tensor, tem-se: de um Tensor

42 Obrigado pela atenção!