Mecânica e Ondas fascículo 14

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1 Mecânica e Ondas fascículo 14 April 17, 2008 Contents 14.1 Energia cinética rotacional Momento de inércia dos corpos rígidos Teorema dos eixos paralelos Teorema do eixo perpendicular Momento angular de uma partícula Mario J. Pinheiro Departamento de Física e Instituto de Plasmas e Fusão Nuclear Instituto Superior Técnico mpinheiro@ist.utl.pt 261

2 People say to me, Are you looking for the ultimate laws of physics? No, I m not... If it turns out there is a simple ultimate law which explains everything, so be it that would be very nice to discover. If it turns out it s like an onion with millions of layers... then that s the way it is. - Richard Feynman Energia cinética rotacional Consideremos um corpo rígido composto por uma coleção de N partículas. A energia cinética do conjunto é a soma das energias cinéticas individuais de cada uma das partículas: N 1 K = 2 m ivi 2. (14.1) i=1 Cada uma das partículas descreve um movimento circular em torno do eixo de rotação Oz tendo como velocidade linear v i = r i ω: K = N i=1 1 2 m ir 2 i ω2 K = 1 2 Iω2 (14.2) onde I = i m i r 2 i, (14.3) define o momento de inércia do conjunto completo de partículas em relação a um dado eixo de rotação (ou simetria). No sistema SI a unidade física é kg.m 2. Chamamos agora a atenção para os seguintes dois conceitos diferentes, porém análogos: ω, I resistência ao movimento rotacional v, m resistência ao movimento linear (14.4) Exemplo 1: Um toca-discos roda à velocidade de 33 rev/mn e leva 20 s para parar. a) Assumindo que a velocidade angular é uniforme, determine o seu valor? ω o = (33rev/min)(2πrad/rev)(1min/60s) = 3.46rad/s ω = ω o αt ω(t = 20s) = 0 α = ω ω o t = = 0.173rad/s 2. Sendo o sinal negativo, quer dizer que o disco está em desaceleração. b) Quantas rotações são feitas até ficar em repouso? (14.5) 262

3 φ = φ φ o = ω o t αt2 = 3.46(20) 1 2 (0.173)202 = 34.6rad = π = 5.51rev. (14.6) c) Determine a aceleração de um ponto à distância r = 14 cm do centro no instante t = 0. a t = rα = 14cm(0.173rad/s 2 ) = 2.42cm/s 2 a c = rω 2 o = 14cm(3.46rad/s) 2 = 168cm/s 2 a = = 168.0cm/s 2. Velocidade do ponto no instante t = 0: v = rω o = 14cm 3.46rad/s = 48.4cm/s. (14.7) (14.8) Exemplo: Calcule a energia cinética duma roda cilindrica de massa M que rola sem deslizar. Sabe-se que o momento de inércia do cilindro em relação ao eixo que passa pelo CM é I z = MR 2 /2. QuadroNegro 1 Exemplo 3: Quatro partículas em rotação. Considere 4 partículas ligadas a uma estrutura muito leve assente no plano OXY (Vd. Fig. 1). a) Determine o momento de inércia em torno do eixo Oy e a sua energia cinética supondo que a velocidade angular do conjunto é ω. 263

4 Figure 1: Quatro partículas em rotação. b) Determine o momento de inércia e a energia cinética de rotação em torno do eixo Oz, perpendicular ao plano XY. QuadroNegro 1 264

5 Figure 2: Corpo sólido em rotaçao em torno do eixo OZ. r representa a distância em relação ao eixo OZ (na perpendicular) da massa m Momento de inércia dos corpos rígidos Calcula-se o momento de inércia I de um corpo rígido em rotação em torno de um eixo dividindo-o em pequenos elementos de volume de massa elementar m. Usamos a expressão I = r 2 m e toma-se o limite da soma quando m 0. O r representa a distância perpendicular ao eixo de rotação (Fig. 2): I = lim m 0 r2 m = r 2 dm. (14.9) É claro que teremos que exprimir m em termos das suas componentes e tal é possível de o fazer introduzindo a densidade volúmica local de massa ρ: m ρ = lim V 0 V dm = ρdv, V = dm dt (14.10) donde podemos obter finalmente o momento de inércia: I = ρr 2 dv. (14.11) Para corpos homogéneos o integral anterior transforma-se em I = M r 2 dv. (14.12) V 265

6 Figure 3: Momentos de inércia. Na Fig. 3 apresentam-se os momentos de inércia dos corpos rígidos mais frequentes. Exemplo: Cilindro oco de densidade uniforme. Em coordenadas cilindricas o elemento diferencial de volume (Vd. dado por: dv = 2πlrdr dm = ρdv = 2πρlrdr Fig. 4) é (14.13) QuadroNegro 2 266

7 Figure 4: Momento de inércia de um cilindro oco. A massa elementar consiste num cilindro de raio r e espessura dr. 267

8 Portanto, concluímos que o momento de inércia do cilindro oco é: I = M 2 (R2 2 + R 2 1). (14.14) A Eq permite obter de imediato os momentos de inércia dos seguintes corpos sólidos: Disco uniforme, R 1 = 0 I = 1 2 MR2 ; Anel uniforme, R 1 R 2 = R I = MR 2. Verifica-se então que em todos os casos o momento de inércia do cilindro não depende do comprimento l. Isto é, a distribuição de matéria ao longo do eixo não é relevante. Porém, o momento de inércia depende fortemente da distribuição da matéria radialmente, como é ilustrado pela Fig. 5. Exemplo: Barra uniforme. Toma-se o eixo de rotação que passa pelo seu centro e é perpendicular ao seu comprimento. O comprimento da barra é L e, portanto, neste caso a distância radial r vai de 0 a L/2 de cada lado. Se a barra é uniforme, temos dm = M dr (14.15) L Temos que integrar r 2 dm desde o centro até a uma das extremidades, multiplicando depois por 2 pois há duas extremidades: I = r 2 dm = 2 M L L/2 0 r 2 dr = ML2 12. (14.16) Citamos, sem o calcular, o momento de inércia de uma esfera, I = 2 5 MR2. Como vemos por estes exemplos, é possível e tembém usual representar o momento de inércia como o produto da massa do corpo M pelo quadrado de um comprimento a que se chama raio de giração em torno do eixo de rotação, k: I = Mk 2. (14.17) Se qualquer outro corpo tiver a massa total M localizada à distância k do eixo, o momento de inércia será igual à de qualquer um dos corpos sólidos acima referidos. Denotámos por I z o momento de inércia em relaçao ao eixo de rotação Oz, por exemplo no caso c) do disco da Fig. 5, mas é claro que qualquer outro eixo perpendicular a Oz e que passe pelo centro de massa é também um eixo de simetria. Reconhecemos então claramente que podemos definir dois outros 268

9 Figure 5: Nesta figura mostra-se três diferentes distribuições em torno do eixo Oz da mesma massa M de material. a) barra; b) cilindro; c) disco. Os momentos de inércia verificam a desigualdade: I z (R 1 ) < I z (R 2 ) < I z (R 3 ). momentos de inércia, I x e I y, referentes a dois novos eixos perpendiculares a Oz e um ao outro. Chama-se de principais momentos de inércia do corpo às três quantidades (I x, I y, I z ). No caso particular do disco, teremos como é evidente I x = I y I z. Os cálculos dos momentos de inércia podem ser muito facilitados com o uso de dois importantes teoremas que apresentamos em seguida. O teorema dos eixos paralelos aplica-se a qualquer corpo sólido. O teorema dos eixos perpendiculares aplica-se somente a corpos planos de espessura muito pequena Teorema dos eixos paralelos 1 O momento de inércia depende da posição do eixo de rotação. Supondo que já conhecemos o momento de inércia em relação a um eixo qualquer, vamos ver como de determina o momento de inércia em relação a outro eixo paralelo ao primeiro. Seja I c o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo CM. O momento de inércia em relação a um dado eixo z é igual a I c mais o produto da massa do corpo M pelo quadrado da distância d entre os dois eixos: Exemplo: Barra I z = I c + Md 2. (14.18) 1 Que também se encontra referido em outras obras como o teorema de Huygens, ou teorema de Steiner. 269

10 Figure 6: Aplicação do teorema dos eixos paralelos à barra uniforme. Sabemos que o momento de inércia em relação a um eixo que passa pelo meio é, I c = ML 2 /12. Qual é o momento de inércia em relação a um eixo que passa pela extremidade? d = L 2 I = ML M ( L 2 I = ML2 3. ) 2 (14.19) 14.4 Teorema do eixo perpendicular Este teorema estabelece uma relação entre os momentos de inércia em relação a três eixos (mutuamente perpendiculares entre si) de um corpo plano de espessura muito pequena e de forma arbitrária. Consideremos uma placa muito fina que pode rodar em torno de qualquer dos três eixos (Ox,Oy,Oz). Suponhamos que a placa assenta sobre o plano xy. Seja um ponto O arbitrariamente colocado sobre a placa e um eixo z perpendicular a ele. O momento de inércia do corpo em relação a z é I z. Um elemento de massa dm situado à distância r do eixo contribui com r 2 dm, sendo no total I z = r 2 dm. (14.20) A distância do eixo z ao ponto de referência P é dada por: r = x 2 + y 2 (14.21) 270

11 Figure 7: Placa muito fina que pode rodar em torno de qualquer eixo Ox, Oy, Oz. que assenta no plano xy. Podemos então escrever I z = x 2 dm + y 2 dm. (14.22) Como o corpo é plano, o primeiro termo do segundo membro representa o momento de inércia em relação ao eixo Ox I x e, na mesma lógica, o segundo termo I y. Temos assim I z = I x + I y (14.23) Este resultado é conhecido como o teorema dos eixos perpendiculares. Exemplo: Disco plano uniforme. Seja um disco plano uniforme de massa M e raio R. Calcule os momentos I x, e I y. O cálculo de qualquer um deles seria complicado, mas a aplicação deste teorema torna-o extremamente simples. Sabemos de um cálculo anterior que I z = MR 2 /2. Por razões de simetria, temos I x + I y = 2I x = MR2 2 I x = MR2 4. (14.24) Exemplo: Placa quadrada uniforme. Considere uma place quadrada de lado a. Determine I x e I y. Sabemos que I z = 1 6 Ma2. Como por razões de simetria temos I x = I y, obtemos logo I x + I y = 2I x = I z = 1 6 Ma2. (14.25) 271

12 Figure 8: Placa rectangular. Exemplo: Placa rectangular. Um corpo tem a forma de um rectângulo de lado menor a e lado maior b. Quais são os valores dos momentos de inércia em relação aos dois eixos que passam pelo seu centro e são perpendiculares ao seu plano? (vd. Fig. 8). Comecemos por determinar I z. Repare na Fig. 8. Um elemento de massa dm = σds onde σ é a densidade superficial de massa, σ = M/(ab) e ds = dxdy é o elemento diferencial de superfície. I z = r 2 dm = r 2 σdxdy (14.26) Mas a integração na varável x deve ir de 0 a a/2 e o mesmo para y que deve ir de 0 a b/2. No final devemos aina multiplicar por 4 para obter a superfície total: I z = 4 M ab ( a/2 b/2 0 = 4 M ab ( a3 S x 2 dy + b/2 0 0 b b3 a ) = M 12 (a2 + b 2 ). a/2 0 y 2 dx (14.27) O cálculo de I x é mais fácil. É semelhante ao cálculo de uma barra fina. I x = b/2 b/2 y2 dm = b/2 b/2 y2 λdy = λ2 b3 3 8 = Mb2 12, (14.28) onde λ = M/b. Um cálculo análogo permite-nos concluir que I y = Ma 2 /12. Exemplo: Uma corda de massa desprezável encontra-se enrolada em torno de um sólido cilindrico de massa M e raio R. Uma massa m é presa à corda e largada da altura h acima do solo, tal como se encontra ilustrado na Fig. 9. Assumindo que o movimento não é submetido a alguma força de frição, determine a rapidez da mssa m e a velocidade angular do cilindro quando m atinge o solo. 272

13 Figure 9: Com a rotação do cilindro, a corda desenrola e a massa m cai no solo da altura h. Repare que o conjunto mecânico não possui inicialmente energia cinética, mas tem energia potencial U. No final, imediatamente antes de a massa m colidir com o solo, m e M possem ambas energia cinética. QuadroNegro 3 273

14 Figure 10: Mecanismo comportando uma peça que efectua um movimento de translação de velocidade u e uma haste AB de comprimento L e massa M, ligada à peça exterior por meio de um eixo A. Exemplo de revisão: Uma das partes constituintes dum mecanismo comporta uma peça (Fig. 10) que efectua um movimento de translação de velocidade u e uma haste AB de comprimento L e massa M, ligada à peça exterior por meio de um eixo A. Calcule a energia cinética da haste quando ela forma um certo ângulo α com a vertical. QuadroNegro 4 274

15 Figure 11: O momento angular L de uma partícula de massa m e momento p localizado a uma distância r é um vector dado por L = [ r p ]. Figure 12: L z = r p ou L z = rp Momento angular de uma partícula Considere uma partícula de massa m localizada à distância r de uma origem O e movendo-se com velocidade v. O momento angular instantâneo L da partícula relativa à origem O é definido pelo produto externo do seu vector posição instantâneo pelo seu momento linear instantâneo p (Vd. Fig. O módulo e direção de L depende do sistema de coordenadas. A direção de L é perpendicular ao plano que contém r e p, como ilustra a Fig. 12. Em particular, L = 0 se r for paralelo a p. Geometricamente: r - distância na perpendicular entre a origem e o vector p ; p - componente de p perpendicular a r. L = [ r p ]. 275

16 Figure 13: A distância entre a origem e a linha do movimento é r sin θ. Em particular, para o caso da Fig. 12 verifica-se podendo-se usar a notação matricial: L z = r p = rp. (14.29) L = [ r p ] = i j k r x r y r z p x p y p z Exemplo: Partícula em movimento numa linha recta. Assuma que : F ext = 0, v = const. A direção de L = const. O módulo de L = const. Já sabemos que L = rp sin φ k. (14.30) Se r e p se encontram no plano xy, L aponta ao longo do versor k (Vd. Fig. 13). Se o vector posição da partícula parecer mover-se em torno de um dado ponto O que podemos ter como origem, então a parti cula terá certamente um momento angular não nulo. Se o vector posição somente decresce ou aumenta em módulo, tal significa que a partícula está a mover-se ao longo de uma linha que passa pela origem (do vector posição) e o momento angular é nulo. 276

17 Figure 14: Partícula em movimento uniforme circular. O vector L é perpendicular ao plano do círculo. Este exemplo mostra quanto importante é a escolha da origem das coordenadas. Deve-se sempre escolher uma origem antes de proceder ao cálculo do momento angular. Exemplo: Partícula em movimento circular uniforme. Considere uma partícula no extremo de uma corda. É na verdade uma situação semelhante ao da Terra e outros planetas em torno do sol. Escolha-se uma origem no centro do círculo, tal como se vê na Fig. 14. L = [ r p ] L = rp k = mrv k = (mr 2 )ω k. (14.31) Como o movimento é uniforme, L permanece constante em módulo e direção. Neste exemplo há forças actuando sobre a partícula: a c = mv2 r F c = mv2 r (14.32) A força centrípeta actua na direção do centro do círculo que foi tomada como origem. É importante notar que se tivessemos escolhido qualquer outra origem, L não teria sido constante. Exemplo: Momento angular do pêndulo cónico. 277

18 Figure 15: Pêndulo cónico. Assuma que o pêndulo descreve um movimento circular com velocidade angular ω. Escolha a origem em A, como o mostra a Fig. 15-(a). L = [ r p ] = rp k (14.33) onde r é o raio do círculo descrito pela massa M. Temos sucessivamente p = mv = mrω L A = mr 2 ω k (14.34) Repare que L A é constante em módulo e direção. Escolha agora uma origem em B (no pivot). Obtemos agora L B = r p = r p = MvL = MrLω (14.35) onde r é o comprimento da corda (vd. Fig. 15-(b)). Repare que o módulo de L B não é constante porque depende da localização do pivot B e a direção também não é constante, como é claro na Fig. 15-(c). 278

19 Sendo B um ponto fixo, o módulo de L B é constante, mas a direção traça um cone em cada rotação. A componente em z de L B é constante, enquanto que a componente horizontal (Fig. 15-(c)) traça um círculo com velocidade angular ω. 279