Mecânica Geral 2016/17

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1 Mecânica Geral 2016/17 MEFT Responsável: Eduardo V. Castro Departamento de Física, Instituto Superior Técnico Corpo Rígido B (Vectores velocidade angular e momento angular e movimento giroscópico.) 1. Considere o movimento circular onde r = xî + yĵ com r = const. Determine v = r e escreva o resultado em função de ω = θ. Mostre que o mesmo resultado se obtém a partir de v = ω r fazendo ω = θˆk. 2. Um ponto material descreve um movimento circular no plano vertical como representado na Fig. 1(esquerda). O vector velocidade angular está no plano xy e faz um ângulo de 45º com o eixo dos xx. Determine v directamente da relação v = d r/dt, e mostre que o mesmo resultado é obtido usando a relação v = ω r. 3. Na Fig. 1(direita) está representado um sistema constituído por duas massas pontuais idênticas unidas por um eixo xo de massa desprezável. O sistema está em rotação oblíqua com velocidade angular constante ω = ωˆk. (a) Determine o vector momento angular em função do tempo t. R: L = 2ml 2 ω cos α[sin α(î cos ωt + ĵ sin ωt) + cos αˆk] (b) Mostre que ω e L não são colineares. (c) Determine d L/dt a partir do resultado da alínea (a) e compare com ω L. (d) Em que circunstâncias se pode usar d L/dt = ω L? (e) Qual o torque necessário para que o sistema se mantenha em rotação oblíqua? R: τ = 2ml 2 ω 2 cos α sin α( î sin ωt + ĵ cos ωt) 4. (Kleppner, cap. 7, problema 7.1) Um aro de massa M e raio R rola sem deslizar em torno do eixo dos zz sendo suportado por um Figura 1: Kleppner, cap. 7. 1

2 Figura 2: Kleppner, cap. 7, problemas 7.1 e 7.2. eixo de comprimento R e massa desprezável que passa pelo seu centro, como esquematizado na Fig 2(esquerda). A velocidade angular em torno do eixo dos zz é Ω. (a) Determine o vector velocidade angular instantânea ω. (b) Determine o vector momento angular L relativamente à origem do referencial. São L e ω paralelos? (Nota: O momento de inércia do aro relativamente ao eixo que coincide com o diâmetro é I = 1 2 MR2. 5. (Kleppner, cap. 7, problema 7.2) Um disco com momento de inércia I 0 roda com velocidade angular ω 0 no centro de um eixo de comprimento 2l, como ilustrado na Fig. 2(direita). O eixo está ligado a duas molas de comprimento l que dão origem uma tenção T. Para deslocamentos pequenos do eixo pode assumir-se que T permanece constante. Os suportes estão presos a uma mesa que roda com velocidade angular constante Ω, sendo Ω ω 0. O centro de massa do disco está colocado directamente acima do centro da mesa rotativa. Ignorando a gravidade e assumindo que o movimento é uniforme (sem nutação) determine a direcção do eixo relativamente à linha que une os suportes. ), sendo φ o ângulo entre a nova direcção do eixo e a direcção da linha que R: φ = arcsin ( I 0ω 0Ω 4lT une os dois suportes. 6. (Kleppner, cap. 7, problema 7.3) Numa das extremidades de um eixo de comprimento l a roda de um giroscópio roda com velocidade angular ω s. A outra extremidade encontra-se suspensa por uma corda de comprimento L, como representado na Fig. 3(esquerda). O giroscópio encontra-se em precessão uniforme em torno do eixo vertical com velocidade angular Ω. A roda tem massa M e momento de inércia em torno do centro de massa I 0. Despreze a massa da corda e do eixo. Determine o ângulo β que a corda faz com a vertical. Assuma que β é sucientemente pequeno pare poder usar as seguintes aproximações: sin β β 1, cos β 1. Admita que ω s Ω (aproximação do giroscópio). R: β = gm 2 l 3 /(I 0 ω s ) 2 (1 A) 1, onde A = l L e β gm 2 l 3 /(I 0 ω s ) 2 I eff I 0 Ω ω s, sendo I eff = ml 2 ; ω s Ω implica A 1 7. (Kleppner, cap. 7, problema 7.4) Num moinho antigo de vento ou água um eixo vertical roda com velocidade angular Ω. A 2

3 Figura 3: Kleppner, cap. 7, problemas 7.3 e 7.4. este está ligado um eixo horizontal que faz rodar uma pedra de moinho em forma de disco, como ilustrado na Fig. 3(direita). O grão é moído pela acção da força de contacto da pedra de moinho com a superfície. Devido ao momento angular da pedra essa força de contacto pode ser consideravelmente maior do que o peso da pedra. Assumindo que que a pedra é um disco uniforme de massa M, raio b e largura w, e que rola sem deslizar a uma distância R do eixo vertical, determine a força de contacto. Considere w R. R: N = Mg + MbΩ 2 /2, sendo N o valor da reacção normal que a superfície exerce sobre a pedra de moinho no ponto de contacto. 8. (Kleppner, cap. 7, problema 7.5) Quando um carro curva a distribuição do peso pelas rodas pode ser muito diferente. Para velocidades sucientemente elevadas o peso distribui-se apenas pelas rodas exteriores, começando as rodas interiores a levantar do chão. É possível evitar esta tendência montando uma roda giratória de dimensão suciente no carro, como a ilustrada na Fig. 2(direita) mas sem molas. (a) Qual o alinhamento que a roda giratória deve ter relativamente ao carro e em que sentido deve rodar. (Certique-se de que o sistema funciona igualmente para curvas à direita e curvas à esquerda.) (b) Considere que a roda giratória é um disco com massa m e raio R. Mostre que a condição de distribuição uniforme do peso pelas quatro rodas do carro é satisfeita se a velocidade angular ω da roda giratória em torno do seu eixo se relacionar com a velocidade linear v do carro da seguinte forma, ω = 2v ML mr 2, sendo M a massa total do sistema carro+roda e L a altura a que o centro de massa do sistema se encontra da estrada. 9. (Adaptado de Kleppner, cap. 7, problema 7.8.) Um aro de massa M e raio b rola sem deslizar com velocidade v seguindo uma linha recta como representado na Fig. 4. Pretende-se mudar a direcção que segue o aro para uma nova que faz um ângulo φ com a original. Para isso aplica-se uma força F durante um curto intervalo de tempo t, originando um impulso I. (a) Analise o efeito de cada uma das forças representadas na Fig. 4. Qual das forças dá origem à mudança de direcção pretendida? Justique. (b) Mostre que o impulso dessa força dá origem a uma deexão da trajectória de φ = I/Mv usando a aproximação do giroscópio; no giroscópio a velocidade angular orbital Ω e a velocidade angular intrínseca ω satisfazem Ω ω. (Só nesta aproximação é que podemos 3

4 F 1 φ v F 2 F 3 Figura 4: Aro em rotação sem deslizar ao longo de uma linha recta. desprezar o facto de F não mudar de direcção, como deveria uma verdadeira força centrípta.) (c) Mostre que a aproximação do giroscópio é válida desde que F Mv 2 /b. 10. Pretende-se construir um bumerangue de lâminas cruzadas como representado na Fig. 5(topo). O objectivo é que possa ser usado no exterior descrevendo, quando lançado, uma trajectória circular de raio R = 12 m como ilustrado no Fig. 5(baixo). Cada lâmina tem comprimento l e massa 1 4 M, sendo µ = M/4l a densidade linear de massa da lâmina. O centro de massa (CM) do bumerangue desloca-se com velocidade V e a velocidade angular de spin é ω. Inicialmente a velocidade do CM é V = V ŷ no referencial do CM representado na Fig. 5, estando os vectores momento angular de spin L velocidade angular de spin ω alinhados com a horizontal, L = L ˆx e ω = ω ˆx. Admite-se que o efeito da gravidade e a resistência do ar podem ser desprezados. 1 O que não é desprezável é a força aerodinâmica devida à diferente velocidade do ar nos dois lados de cada lâmina, como ilustrado na Fig. 5 em baixo. À distância r do CM um elemento de comprimento dr da lâmina sente uma força df perpendicular ao plano do bumerangue e proporcional ao quadrado da componente tangencial da velocidade v t. Inicialmente no referencial do CM podemos escrever df = cv 2 t dr ˆx, sendo c a constante de proporcionalidade, determinada pela forma da lâmina e características do ar. (a) Mostre que a força que actua no bumerangue se pode escrever no instante inicial como ( ω 2 l 2 F = 4cl + V 2 ) ˆx. 3 2 Sugestão: comece por determinar o valor da componente tangencial da velocidade linear v t para um ponto à distância r do CM e com vector posição r = r(cos ωt ŷ + sin ωt ẑ) no referencial do CM, e depois integre na coordenada radial; não esqueça que há 4 lâminas, tendo as 3 restantes vector posição dado pela expressão anterior com ωt substituído por ωt + π/2, ωt + π e ωt + 3π/2, respectivamente (some a contribuição das lâminas antes de integrar e veja a dependência em t desaparecer). 1 O efeito destas forças não é totalmente desprezável, mas pode ser compensado inclinando ligeiramente o plano do bumerangue relativamente à vertical. 4

5 Figura 5: (topo) Bumerangue de lâminas paralelas. O corte numa das lâminas pretende ilustrar a forma aerodinâmica que estas devem ter. (baixo) Trajectória circular de raio R descrita pelo bumerangue. 5

6 (b) Mostre que o torque que actua no bumerague relativamente ao CM se pode escrever no instante inicial como N = 4 3 cωv l3 ŷ. Sugestão: comece por calcular o torque relativamente ao CM que actua num elemento da lâmina à distância r do CM, dn = r df, some a contribuição das 4 lâminas e integre na coordenada radial. (c) Sabendo que no instante inicial o momento de inércia relativamente ao eixo dos xx toma o valor I xx = 1 3 Ml2 no referencial do CM, mostre que a velocidade angular de precessão do bumerangue é ω P = V c µ. (d) Mostre que para o voo circular o raio da órbita do bumerangue é independente das velocidades linear V e angular de spin ω, sendo dado por R = µ c. (e) Mostre que para o voo circular a velocidade do CM V e de spin ω estão relacionadas por 2 V = 3 ωl. (f) Para valores os realistas V = 25 m/s e ω = 100 rps calcule l e o tempo de voo. 6