Exame de Época Especial de Mecânica Aplicada II

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1 Exame de Época Especial de Mecânica Aplicada II Este exame é constituído por 4 problemas e tem a duração de duas horas e meia. Justifique convenientemente todas as respostas apresentando cálculos intermédios. Responda a cada grupo em folhas separadas Problema 1 (5 val.) A barra esbelta ilustrada na figura, com uma massa de 125 kg e um comprimento de 3,6 m, está ligada a dois cabos em A e B. Considere que a barra está a ser içada na posição horizontal, inicialmente a velocidade constante (i.e. 1 = 0 = 2). a) Esboce o diagrama de corpo livre da barra e, através das equações do movimento, determine a tensão em cada um dos cabos. [1,5 val.] Admita agora que cada uma das roldanas passa a apresentar aceleração angular não nula, respectivamente 1 = 4 rad/s 2 e 2 = 6 rad/s 2. Para o instante imediatamente após a aplicação das acelerações angulares, determine: b) A aceleração angular da barra e a aceleração do centro de massa. [1,5 val.] c) As tensões nos cabos aplicadas em A e B. [2 val.] Problema 2 (4 val.) A barra esbelta representada na figura, com um peso de 50 N e um comprimento L = 0,9 m, roda em torno do ponto A a partir da posição vertical em repouso, tombando sobre o ponto B localizado a uma distância b = 0,8 m. O impacto tem a duração de 0,1 s, com um coeficiente de restituição e = 0,6. a) Calcule a velocidade angular da barra imediatamente antes de ocorrer o impacto em B. [1,5 val.] b) Calcule a velocidade angular da barra imediatamente após o impacto em B. [1 val.] c) Determine a força (média) exercida na barra à distância b do ponto A, em consequência do impacto. [1,5 val.] Problema 3 (6 val.) Um disco homogéneo com massa m = 4 kg e raio de giração k = 75 mm em relação ao seu eixo longitudinal, gira a uma velocidade angular constante em relação ao braço OG de massa desprezável, o qual é livre de rodar em torno do eixo X e do eixo Y. O eixo Z roda a uma velocidade angular constante de 30 rpm, no sentido positivo. a) Determine o vector aceleração do centro de gravidade do disco. [1 val.] b) Construa o diagrama de corpo livre do disco e escreva as equações da dinâmica de translação. [1,5 val.] c) Determine o momento angular do disco, em função da velocidade angular de rotação própria,. [1,5 val.] d) Use a expressão que exprime o equilíbrio dinâmico de momentos em torno do ponto O para determinar a velocidade angular de rotação própria,. [2 val.]

2 Problema 4 (5 val.) Considere o sistema de coordenadas definido por,. Determine: a) As bases natural e dual das coordenadas cartesianas escritas nas novas coordenadas [1,5 val.] b) As métricas covariante e contravariante. Indique, justificando, se as novas coordenadas são ortogonais e/ou normadas. [1 val.] c) As componentes covariantes do vector em, sabendo que as componentes contravariantes são dadas, no referencial transformado, por e. [1 val.] d) O símbolo de Christoffel. [1,5 val.] Formulário Barra esbelta: Disco homogéneo: Relações fundamentais da dinâmica: Movimento giroscópico: Lei de transformação tensorial: Símbolos de Christoffel em coordenadas ortogonais:

3 RESOLUÇÃO: Problema 1

4 Problema 2 a) Velocidade angular da barra imediatamente antes do impacto em B: Princípio do Trabalho e Energia (conservação da energia mecânica): Definindo, obtém-se: Sendo, tem-se: rad/s rad/s b) Velocidade angular da barra imediatamente após o impacto em B: Definição de coeficiente de restituição:, sendo a velocidade da barra à distância b do ponto A. Tem-se: Da cinemática ba barra tem-se e, donde: rad/s rad/s c) Força (média) exercida na barra, à distância b do ponto A, em consequência do impacto: Trata-se o impacto usando o Princípio do Impulso e da Quantidade de Movimento. Momentos em torno do ponto A (convenção de sinal habitual): N N

5 Problema 3

6 Problema 4

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