Mestrado e Doutorado em Física

Transcrição

1 UNIVERSIDADE FEDERAL DO MARANHÃO FUNDAÇÃO Instituída nos termos da Lei nº 5.152, de 21/10/1996 São Luís Maranhão CENTRO DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLOGIA PROGRAMA DE PÓS-GRADUAÇÃO EM FÍSICA Exame de Seleção Mestrado e Doutorado em Física 2º Semestre de ª Prova 28/07/2015 Mecânica Clássica e Mecânica Quântica Instruções Cada prova tem duração de 4 horas. Não se identifique no caderno de respostas. Não é permitido consulta a materiais bibliográficos que não o formulário entregue junto com a prova, o qual deve ser devolvido no final da prova. Não é permitida a utilização de equipamentos eletrônicos tais como celulares, calculadoras e outros. Responda a questão na folha indicada para cada questão. Caso seja necessário utilizar mais de uma página, solicite uma folha extra, registrando seu código e questão nos campos indicados. Para borrão, utilize as folhas indicadas como borrão no final de cada caderno de prova. É importante salientar que as respostas contidas nessas folhas não serão consideradas. Candidato D2 Av. dos Portugueses, 1966 Campus Universitário do Bacanga São Luís MA Fone: (098)

2 Candidato D2 Q1 - Considere uma bola de massa m deslizando sem atrito em um fio em forma de parábola e que gira com velocidade angular constante em torno do eixo vertical, como mostra a figura 1. a) Escreva a Lagrangiana. (1,1 pt) b) Encontre a equação do movimento da bola. (1,1 pt) c) Determine se há posições de equilíbrio e discuta a estabilidade de qualquer posição de equilíbrio que você encontrar (1,5 pt). Q2 - A figura 2 mostra um modelo de yoyo. Uma das pontas da corda, de massa desprezível, do yoyo está presa em um ponto fixo e a outra ponta está enrolada em um cilindro de massa m e raio R. Quando o cilindro é solto, ele se move verticalmente para baixo, rotacionando na medida em que a corda é desenrolada. a) Escreva a Lagrangiana. (1,1 pt) b) Calcular a equação de movimento. (1,1 pt) c) Qual a aceleração com a qual o cilindro desce? (1,1 pt) Q3- Uma partícula de massa m se move sob a influência de uma força central atrativa, k F r r 2 3, a) Determinar para que valores das constantes k,, existirá movimento circular estável de raio R. (1.5 pts) b) Calcular a frequência das pequenas oscilações radiais entorno do movimento circular. (1.5 pts) Figura 1 Figura 2

3 Q4- Considere uma partícula de massa m, carga q, confinada no plano x-y, permeado por um campo magnético B ortogonal ao plano. O Hamiltoniano deste sistema é dado por 1 2 H p qa 2m, onde A é o vetor potencial, sendo B A. a) Partindo da equação de Heisenberg, A H, A dada por 1 v p qa m. (1,0 pts) d dt i, mostre que a velocidade da partícula é b) Determine o comutador v x,v y. É possível medir v x e v y simultaneamente? Explique. (1,0 pts) m 2 2 c) Sabendo que H [vx v y], é possível afirmar que v x é uma constante de movimento? 2 Explique. (0,6 pts) d d d) Usando a equação a equação de Heisenberg, determine v x e v y. Encontre uma solução dt dt possível para v x( t ) e v y ( t ). A que tipo de movimento no plano esta solução corresponde? (1,0 pts) m 2 e) Definindo os operadores a vx ivy, a vx ivy c m, onde c eb / m. 2 Calcule o comutador aa,. (1,2 pts) f) Mostre que H c [ a a 1], e determine o espectro de energia deste sistema. Este Hamiltoniano é compatível com o movimento encontrado no item (d)? Comente. (1,2 pts) Dado: i j r, p i ij, x, F( x) 0. Q5- Seja A um observável, com auto-estados 1, 2, 3, 4 (ortonormalizados) associados aos autovalores a1, a2, a3, a 4. Um dado sistema quântico encontra-se inicialmente no estado , onde os coeficientes i são números complexos. a) Uma medida de A é realizada sobre o estado. Quais resultados possíveis e qual probabilidade de obter cada um deles? Justifique sua resposta. (1,0 pts) b) Determine o valor esperado do observável A no estado. (1,0 pts) c) Neste sistema, o operador Hamiltoniano é dado por em um instante t futuro. (1,0 pts) H A c 2. Determine o estado no sistema d) Suponha que em t t1 0, uma medida do operador é realizada, sendo obtido temos a 3. Se uma medida da energia é realizada em t t2 t1, o que é obtido e com qual probabilidade? (1,0 pts)

4 Candidato D2 Questão Q1

5 Candidato D2 Questão Q2

6 Candidato D2 Questão Q3

7 Candidato D2 Questão Q4

8 Exame de Seleção Programa de Pós-graduação em Física Candidato D2 Questão Q5