Universidade Federal de Rio de Janeiro. Gabarito da Segunda Prova de Cálculo II

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1 Universidade Federal de Rio de Janeiro Instituto de Matemática Departamento de Métodos Matemáticos Prof. Jaime E. Muñoz Rivera Gabarito da Segunda Prova de Cálculo II Rio de Janeiro 5 de outubro de 007 Pergunta 1 Calcular a solução da equação Calcule o limite lim a 1 u(t). u + u = cos(at), u(0) = 0, u (0) = 5. Solução.- A solução geral do problema homogêneo é dado por u h (t) = A cos(t) + B sen(t). Uma solução particular do problema deve ser da forma u p = c 1 cos(at) + c sen(at). Como Substituindo na equação encontramos u p = a c 1 cos(at) a c sen(at). c 1 (a 1) cos(at) c (a 1) sen(at) = cos(at) c 1 = 1 a 1, c = 0. Portanto a solução geral do problema é dado por u = u p + u h, u(t) = 1 a cos(at) + A cos(t) + B sen(t). 1 Aplicando a condição inicial temos que Portanto a solução neste caso é dada por u(0) = 0 1 a 1 + A = 0 A = 1 a 1. u (0) = 5 B = 5. u(t) = 1 a {cos(at) cos(t)} + 5 sen(t). 1 Usando a fórmula cos(a) cos(b) = sen( 1 (A + B)) sen(1 (A B)), a solução do problema anterior pode ser escrita como u(t) = { a sen( a 1 t) sen( a + 1 } t) + 5 sen(t). 1 Note que lim u(t) = lim a 1 a 1 { (a 1)(a + 1) sen( a 1 t) sen( a + 1 } t) = t sen(t) + 5 sen(t). 1

2 Pergunta Se deseja construir um relógio de parede, baseado nos movimentos do pêndulo. Encontre o comprimento da corda (de peso desprezível) de tal forma que uma oscilação do pêndulo, corresponda a 5 segundos. Considere que a massa está pulando de um lado para otro fazendo um ângulo π/6 radianes. Considere desprezível as forças de resistência (do atrito do ar etc.) e assuma que o ângulo é pequenho de tal forma que pode-se usar a relação sen() = solução.- s=l l mgsen() s=-l s=0 mg mgcos() Fazendo uma análise de forças, vemos que as forças normais são responsáveis pela trajetória circular, mas não alteram o módulo da velocidade enquanto que a força tangêncial produz o movimento e é responsável pela variação da velocidade. Assim pela segunda Lei de Newton temos que m d s = mg sen(), dt O sinal no segundo membro da equação acima é negativo, porque a componente tangencial do peso é contrario ao crescimento do ângulo. Sendo = s/l, podemos reescrever a equação anterior como d s dt = gsen(s l ). Aplicando a aproximação sen( s l ) ( s l ) válida para valores pequenos de s, a equação pode ser reescrita da seguinte forma d s dt = g l s, cuja solução geral é dada por g s(t) = A cos( t) + B sen( l l t). No instante t = 0 o péndulo está parado fazendo um ângulo igual a com a vertical. s (0) = 0 e s(0) = l 0, de onde temos que Portanto Portanto g g g s (t) = A l sen( l t) + B l cos( t) t = 0, B = 0. l Aplicando a condição de que s(0) = l 0, temos s(t) = A cos( l t). s(0) = A = l 0 s(t) = l 0 cos( l t).

3 A posição do pêndulo em cada instante de tempo é dada por s = 0 l cos( l t) Queremos que uma oscilação dure exatamente 5 segundos. O pêndulo fará uma oscilação quando a masa saia de um extremos e chegue ao extremo oposto. Isto é partindo de s = 0 l queremos que a massa em 5 segundos chegue ao extremo s = 0 l. Em outras palabras queremos que para T = 5 se verifique g 0 l = 0 l cos( l T ) cos(5 l ) = 1. Portanto, 5 l = π l = 5 g π Assumingo que g = 9.8, encontramos que l 5 m Pergunta 3 Uma mola massa de m = 0.1Kg e coeficiente de elásticidade k = 0.4 é deformado em 1 cm de sua posição de equilibrio e depois liberada com velocidade inicial nula. Encontrar a função que define a posição da massa em cada instante de tempo se a força f = cos(10t) + sen(t) é aplicada na mola. Verifique se existe ressonância neste sistema. Assuma que a aceleração da gravidade é igual à 10. Solução.- A função que define a posição da massa é dada pela solução da equação m d u + ku = f. dt onde m =.1, u(0) = 0.01, u (0) = 0 e f(t) = cos(10t)+ sen(t) e k =.4. Portanto temos que calcular a solução de.1 d u dt +.4u = cos(10t) + sen(t) d u + 4u = 10 cos(10t) + 0 sen(t). dt sujeito as condições iniciais u(0) = 0.01, u (0) = 0 De onde obtemos que a solução do problema homogêneo é dada por u h (t) = c 1 cos(t) + c sen(t) Note que uma componente da força externa tem a mesma freqüência que o sistema. Portanto existe a resonância. Para encontrar a solução geral do problema, temos apenas que encontrar uma solução particular. Como vimos nas seções anteriores esta solução deve ser da forma Derivando encontramos u p (t) = ta cos(t) + B cos(10t) u p(t) = A cos(t) ta sen(t) 10B sen(10t) u p(t) = 4A sen(t) 4tA cos(t) 100B cos(10t) 3

4 Substituindo na equação obtemos 4[tA cos(t) + B cos(10t)] 4A sen(t) 4tA cos(t) 100B cos(10t) = 10 cos(10t) + 0 sen(t). De onde temos que 4A sen(t) + 96B cos(10t) = 10 cos(10t) + 0 sen(t). Logo A = 5, B = 10/96. Portanto, a solução geral do problema é u(t) = c 1 cos(t) + c sen(t) 5t cos(t) cos(10t). Das condições iniciais u(0) = 0.01, u (0) = 0 temos que c 1 = Derivando obtemos u (t) = c 1 sen(t) + c cos(t) + 10t sen(t) 5 cos(t) sen(10t). De onde temos que c = 5/. Portanto a solução é dada por u(t) = cos(t) + 5 sen(t) 5t cos(t) cos(10t). Note que se t aumenta, as amplitudes também aumentam indefinidamente chegando ao colapso. Pergunta 4 Calcule as seguintes distâncias: 1. Do ponto ( 1, 1, 1) ao plano x + y + z = 8.. Entre as retas x 1 = y = z, x = (, 1, ) + t(1,, 1) 3. Entre a reta x 3 = y = z e o plano 3x + y + z = 0. Solução.- (1) A distância do ponto P 1 a um plano com normal n que passa pelo ponto P 0 é dada por P 0 P 1 n n Então P 1 = ( 1, 1, 1), P 0 = (0, 0, 8), n = (1,, 1) ( 1, 1, 7) (1,, 1) = () Para encontrar a distância entre as retas, primeiro construiremos um plano que contenha uma das retas e que seja paralela a outra reta. Assim a distância entre as retas será igual à distância entre o plano e a reta que não está contida no plano. 4

5 Y Z d n P { 0 P 1 } d X Este plano tem como normal o produto vetorial das direções das retas. Isto é, denotando por v = (1, 1, ), w = (1,, 1) os vetores direção das retas respectivamente, então a normal ao plano n é dada pelo produto vetoria de v com w i j k n = v w = 1 1 = (5, 3, 1) 1 1 Então a equação do plano que contem a reta r(t) = (, 1, ) + t(1,, 1) é dada por (x, y 1, z ) (5, 3, 1) = 0 5x 3y + z = 9 Finalmente, a distância entre as retas será igual à distancia de um ponto qualquer da reta x 1 = y = z, por exemplo P 0 = (1, 0, ) ao plano 5x 3y + z = 9. Denotemos por P 1 = (0, 0, 9) um ponto do plano, então a distância estará dada por Como De onde teremos que P 0 P 1 n n P 0 P 1 = P 1 P 0 = ( 1, 0, 7) ( 1, 0, 7) (5, 3, 1) (5, 3, 1) = 35 (3) Finalmente a distância de um plano a uma reta será não nula somente quando o vetor direção da reta seja ortogonal a normal do plano. Caso contrario existirá um ponto de interseção entre a reta e o plano, que significa que a distância deve ser nula. Sejam (1, 1, ), ( 3,, ) a direção da reta e a normal do plano respectivamente. Então temos que (1, 1, ) ( 3,, ) = 3 0 Isto é a reta não é paralela ao plano, portanto 0. 5