d 2 h dt 2 = 9, 8 dh b) Para a altura inicial da massa h(0) = 200 metros e velocidade inicial v(0) = 9, 8m/s, onde v(t) = dh

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1 TURMA 202: Modelagem Matemática PRA3 Prof. José A. Dávalos Chuquipoma Questão LER 04 LISTA DE EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 04 Data para submissão na Plataforma Moodle: 22/09/204 Um objeto de massa m = se encontra em queda livre a uma altura h(t) da superfície. Considerando a presença de uma força de resistência do ar f r = dh e gravidade g = 9, 8 m/s2, a) Encontre a equação diferencial que modela o problema de queda com amortecimento. b) Se a massa inicia o movimento a uma altura de h(0) = 200 metros, com uma velocidade inicial v(0) = 9, 8m/s, determine a função altura em cada instante de tempo t. A segunda Lei de Newton para um corpo em movimento afirma o seguinte: a força resultante de um sistema em movimento é igual ao produto da massa do corpo pela aceleração. a) Para um objeto de massa m = em queda livre de uma altura h(t) e uma força de resistência do ar f r = dh e gravidade g = 9, 8 m/s 2 temos a EDO de segunda ordem d 2 h 2 dh = 9, 8, () b) Para a altura inicial da massa h(0) = 200 metros e velocidade inicial v(0) = 9, 8m/s, onde v(t) = dh é a função velocidade, o problema é modelado matematicamente pelo seguinte PVI: d 2 h = 9, 8 dh 2 h(0) = 200, h (0) = 9, 8 Cálculo da função altura h(t): Fazendo v(t) = dh conseguimos transformar a equação de segunda ordem () à equação de primeira ordem na função incógnita v = 9, 8 v, (2) que é separável. Separando as variáveis obtemos Integrando, obtemos Omitindo o módulo, Substituindo ± e C = C 2 diferente de zero obtemos 9, 8 + v =. ln 9, 8 + v = C t 9, 8 + v = e C e t. 9, 8 + v = ±e C e t v(t) = 9, 8 ± e C e t. v(t) = 9, 8 + C 2 e t. Se permitimos que C 2 = 0, obtemos a solução estacionária v = 9, 8. Como v(t) = dh dh = 9, 8 + C 2e t obtemos Para obter h(t), integramos mais uma vez, obtendo a solução geral da equação do corpo em queda livre com resistência linear: h(t) = C C 2 e t 9, 8t, (3)

2 onde C e C 2 são constantes reais arbitrárias. Isso nos dá a família de todas as soluções possíveis. Cálculo das constantes de integração C e C 2 : Das condições iniciais temos: h(0) = 200 = C C 2 Como h (t) = 9, 8 + C 2 e t temos h (0) = 9, 8 + C 2 e 0 = 9, 8 + C 2 = 9, 8, então C 2 = 9, 6. Assim encontramos C = C 2 = 29, 6. Portanto h(t) = 29, 6 9, 6e t 9, 8t. Questão 2 Um projétil é lançado desde um lugar da Terra com velocidade inicial de v(0) = 300 km/hora a partir do solo, desprezando a atração que o projétil exerce sobre a Terra e considerando h = h(t) a altitude do projétil em relação à superfície da Terra. Se a gravidade é g = 9, 8 m/s 2 e R = km o raio da Terra, encontrar a velocidade v(h) como função da altura h. A magnitude da força de atração gravitacional entre dois corpos é dada por F = G mm r 2, onde G é a constante gravitacional, m e M são as massas dos dois corpos e r é a distância entre os seus centros de massa. Novamente utilizando a segunda lei de Newton obtemos m d2 h mm = G 2 (R + h) 2, onde R é o raio da Terra. Usando que para r = R temos F = mg, onde g é a aceleração da gravidade na superfície da Terra, temos g = GM/R 2 ; logo, podemos escrever d 2 h 2 = gr2 (R + h) 2. (4) Assumindo a altura inicial h(0) = h 0 e a velocidade inicial dh = h, temos que o problema é modelado matematicamente pelo PVI d 2 h = gr2 2 (R+h) 2 h(0) = h 0, h (0) = h Cálculo da função v(h): Reduzindo a ordem, tomando v = dh/, obtemos Considerando v em função de h, temos = gr2 (R + h) 2. dh = dh = v = gr2 v(r + h) 2, que é uma equação separável. Logo, v = gr2 dh (R + h) 2 2

3 define v = v(h) implicitamente em função de h. Integrando, obtemos v(h) 2 = 2gR2 R + h + C, C constante. Assumindo que o projétil é lançado com velocidade inicial h (0) = v 0 = v(0) = 300 km/hora = 300 ( ) 000m 3600s = m/s quando h(0) = 0, logo, para a solução correspondente, C = v 2 0 2gR = ( ) , 6( ) = , 6( ). Temos, assim, a solução particular da equação para v em função de h: (9, 6)(6.378)2 0 v(h) = h , 6( ). Questão 3 Uma mola de comprimento l = 30 cm é esticada 2 cm quando se coloca uma massa de kg no seu extremo inferior. Suponhamos que a mola é deformada em 3 cm de sua posição de equilíbrio e depois liberada com velocidade inicial de 0 cm/ min. Suponha que não existem forças externas que perturbem o movimento. Assuma que a aceleração da gravidade é 0. a) Encontre o problema de valor inicial que modela o problema. b) Calcular a solução do problema de valor inicial. a) Trata-se de um problema de movimento livre não amortecido. Seja x(t) o deslocamento da massa no instante t, a massa m = kg = 000 g, a constante de elásticidade k é dada pela lei de Hooke: do problema temos que peso = 000(0) = 2k, logo k = A EDO que modela o problema é: 000 d2 x 2 = 5000x isto é d2 x 2 = 5x O deslocamento inicial da massa é x(0) = 3 cm e a velocidade inicial é x (0) = 0 cm/min. O problema é modelado matematicamente como solução do seguinte problema de valor inicial: { d 2 x = 5x 2 x(0) = 3, x (0) = 0 b) A equação característica é m = 0 cujas raízes são os números complexos m = ± 5i, logo a solução geral é x(t) = C cos( 5t) + C 2 sen( 5t) C, C 2 constantes. Cálculo das constantes C e C 2 : Das condições iniciais temos: x(0) = 3 = C cos(0 5)+C 2 sen(0 5) = C de onde C = 3. Como x (t) = C 5 sen( 5t)+ C 2 5 cos( 5t), x (0) = 0 implica C 2 5 = 0, logo C2 = 2 5. Portanto a solução do é x(t) = 3 cos( 5t) sen( 5t). 3

4 Questão 4 Uma mola de comprimento l =, 5 m é esticada por uma massa de 0, 5 Kg no seu extremo inferior. Suponhamos que a mola é deformada pelo peso em 2, 48 m até a posição de equilíbrio e depois liberada a partir do repouso de um ponto situado 2 m acima da posição de equilíbrio. Suponha que existe uma força de resistência numericamente igual à velocidade instantânea. Assuma que a aceleração da gravidade é de 9, 8. a) Encontre o problema de valor inicial que modela o problema. b) Calcular a solução do problema de valor inicial. a) Trata-se de um problema de movimento amortecido. Seja x(t) o deslocamento da massa no instante t, a massa m = 0, 5 kg, a constante de elásticidade k é dada pela lei de Hooke: do problema temos que peso = 0, 5(9, 8) = k(0, 98), logo k = 5. A força de amortecimento é dada por f r = x (t), a EDO que modela o problema é: 0, 5 d2 x x = 0, ou d 2 x x = 0 Como a massa é liberada de um ponto acima da posição de equilíbrio, O deslocamento inicial da massa é x(0) = 2 < 0 e a velocidade inicial é x (0) = 0. O problema é modelado matematicamente como solução do seguinte problema de valor inicial: d 2 x x = 0 x(0) = 2, x (0) = 0 b) A equação característica é m 2 + 2m + 0 = 0 cujas raízes são os números complexos m = ± 3i, logo a solução geral é x(t) = e t (C cos 3t + C 2 sen3t) C, C 2 constantes. Cálculo das constantes C e C 2 : Das condições iniciais temos: x(0) = 2 = e 0 (C cos 3(0) + C 2 sen3(0)) = C de onde C = 2. Como x (t) = e t ((3C 2 C ) cos 3t + ( C 2 3C )sen3t), x (0) = 0 implica 3C 2 C = 0, logo C 2 = 2/3. Portanto a solução do é ( x(t) = e t 2 cos 3t 2 ) 3 sen3t. Questão 5 O modelo matemático da dinâmica de uma população de pumas é modelado pela equação de Verhulst, isto é, a taxa de variação x (t) de uma população de pumas x(t) em certa área é proporcional a x, se x é pequeno (isto é, a população aumenta), com constante de proporcionalidade r, mas proporcional a x/k se x é grande (isto é, a população diminui), onde k é a capacidade máxima que uma população pode sustentar por um longo tempo num dado ambiente. Dados estatísticos mostram que r = 2 e k =. a) Sabendo-se que no instante inicial a população de pumas era de 83, determinar a população de pumas em qualquer instante de tempo. b) Se fosem introduzidos no ambiente 50 pumas, qual é a previsão da população de pumas? Do enunciado do problema podemos ver que o modelo matematico é definido pela EDO ( = rx x ) k (5) 4

5 Como r = 2 e k =, em (5) obtemos ( = 2x x ) (6) a) Dos dados do problema temos que a condição iniciail é x(0) = 83, logo o modelo matemático do problema é definido pelo o problema de valor inicial: { = 2x ( ) x x(0) = 83 A solução particular do problema de valor inicial (7) é encontrada aplicando-se o método de separação de variáveis. Com efeito, separando as variáveis e integrando obtemos x( x/) = 2. (8) Como Logo em (8) obtemos ( x( x/) = x + / ) = ln x ln x. x/ Da condição inicial x(0) = 83, determinamos o valor da constante de integração C: C = ln 83 83/ = ln (83) 83 Portanto, em (9) temos simplificando o logarítmo natural Tomando exponencial na igualdade anterior, obtemos Finalmente, obtemos ln x(t) x(t)/ = 2t + C. (9) ln x(t) x(t) = 2t + ln (83) 83, ln 44x 83( x) = 2t 44x 83( x) = e2t x(t) = x x = e2t 054 (44)e 2t (0) b) Neste caso temos a condição inicial x(0) = = 33, logo o (PVI) a solucionar é { = 2x ( ) x x(0) = 33 Logo em (9) calculamos a constante C para esta condição inicial, C = ln 33 33/ = ln (33) 33 (7) () de onde obtemos analogamente a (0) x(t) = 689 6e 2t (2) 5