32 a Aula AMIV LEAN, LEC Apontamentos

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1 32 a Aula 2429 AMIV LEAN, LEC Apontamentos (RicardoCoutinho@mathistutlpt) 32 Fórmula da variação das constantes Temos então pela fórmula dos da variação das constantes (para sistemas de equações - Teorema 29) que a solução de é dada por y (n) + a n y (n ) + a n 2 y (n 2) + + a 2 y + a y + a y h (t) y y y y (n ) W (t) W (t ) y + W (t) W (s) t h (s) ds W (t) W (t ) y + W (s) t h (s) ds W (t) c (t) c n (t) Podemos também fazer uma verificação directa, que y (t) W (t) W (t ) y + W (t) W (s) h (s) ds t é solução de y A (t) y + h (t) com y (t )y De facto usando apenas que W (t) A (t) W (t) obtemos etambém y (t) W (t) W (t ) y + W (t) t W (s) h (t) ds + W (t) W (t) h (t) A (t) W (t) W (t ) y + A (t) W (t) W (s) h (t) ds + W (t) W (t) h (t) t µ A (t) W (t) W (t ) y + W (t) W (s) h (t) ds + h (t) t A (t) y (t)+h(t), y (t )W (t ) W (t ) y + W (t ) t W (s) h (s) ds W (t ) W (t ) y y

2 32 a AULA 2429 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 2 Note-se ainda que c (t) c n (t) W (t ) y + W (s) t h (s) ds é um vector constante W (t ) y mais um integral indefinido de uma certa função vectorial (W (t) h (t)), ou seja é uma primitiva dessa função vectorial (W (t) h (t)) Pelo que onde y (t) c (t) u (t)+ u 2 (t)+ + u n (t) c (t) c n (t) W (t) h (t) com u (t), u 2 (t),,u n (t) soluções linearmente independentes da equação homogénea associada e W (t) a sua matriz Wronskiana Observação 32 Definindo f (t) W (t), temos W (t) f (t) Pelo que f (t) pode ser calculado resolvendo este sistema (sem necessidade de inverter a matriz W (t)) Pelo que a fórmula da variação das constantes fica y (t) c (t) u (t)+ u 2 (t)+ + u n (t) com c (t) c n (t) f (t) h (t), onde f (t) é obtido resolvendo W (t) f (t) Exemplo 32 Considere-se a equação y 2y + y et +t Polinómio característico da equação homogénea é λ 2 2λ+ (λ ) 2 A solução geral da equação homogénea é então C e t + C 2 te t Podemos agora construir a matriz Wronskiana: et te W t t e e t (t +)e t t (t +)

3 32 a AULA 2429 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 3 t Temos det W e 2t e W e t Então a solução geral é, pela fórmula da variação das constantes, y (t) c (t) e t + te t onde Portanto c (t) W (t) e t +t t +t +t R t R +t +t t e t e t +t log ( + t) t + k log ( + t)+k 2 y (t) (log ( + t) t + t log ( + t)) e t + k e t + k 2 te t 322 Equação Linear de coeficientes não constantes De acordo com a Observação 3, facilmente constatamos que a fórmula da variação das constantes ainda é válida no caso de os coeficientes a n,,a serem funções de t: Considere-se a equação linear de coeficientes não constantes: y (n) + a n (t) y (n ) + a n 2 (t) y (n 2) + + a 2 (t) y + a (t) y + a (t) y h (t), onde a n (t), a n 2 (t) a 2 (t), a (t), a (t) e h (t) são funções (dadas) definidas num intervalo real I e y y (t) é a função procurada (incógnita) Dadasassoluções 2 u (t), u 2 (t),,u n (t) linearmente independentes da equação homogénea associada : y (n) + a n (t) y (n ) + a n 2 (t) y (n 2) + + a 2 (t) y + a (t) y + a (t) y, podemos construir a sua matriz Wronskiana W (t) Peloque, deigualmodoaoexpostoparaocasodecoeficientes constantes, podemos concluir que a solução geral é dada por onde y (t) c (t) u (t)+ u 2 (t)+ + u n (t) c (t) c n (t) W (t) h (t) com u (t), u 2 (t),,u n (t) soluções linearmente independentes da equação homogénea associada e W (t) a sua matriz Wronskiana 2 Nãoexistenenhummétodogeraldeobter estas funções no presente caso de coeficientes não constantes

4 32 a AULA 2429 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 4 Exemplo 322 Considere-se a seguinte EDO linear de 2 a ordem y + A equação homogénea associada é y + 2t +t 2 y +t (32) 2 2t y Podemos verificar que +t 2 u (t) e u 2 (t) arctgt são soluções desta equação homogénea 3 O matriz Wronskiana destas funções é arctgt W +t 2 Temos det W +t (6, o que implica que u 2 e u 2 são linearmente independentes) E, pelo método dos cofactores, W +t 2 arctg t ( + t 2 ) arctg t +t 2 Pela fórmula da variação das constantes a solução de (32) é dada por y (t) c (t)+ arctg t onde c (t) W (t) +t 2 ( + t 2 )arctgt +t 2 +t 2 arctg t R arctg R t t arctg t +log +t2 + k t + k 2 Portanto a solução geral de (32) é y (t) t arctg t +log +t 2 + k +(t + k 2 ) arctg t k + k 2 arctg t +log +t 2 Observação 322 Neste último exemplo poderíamos ter feito a redução u y,obtendo-se a equação de primeira ordem u + 2t +t u 2 +t 2 3 A solução geral desta equação homogénea é, portanto, y (t) k +k 2 arctg t, ondek e k 2 são constantes arbitrárias

5 32 a AULA 2429 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) Redução de ordem 323 Redução de ordem trivial Considere-se uma equação de ordem n com a forma y (n) f t, y,y,, y (n ), aonde não aparece explicitamente a função incógnita y, mas apenas as suas derivadas Se considerarmos como incógnita a derivada y em vez da função y reduzimos a ordem da equação Isto é, fazendo a substituição u y, obtemos a equação de ordem n u (n ) f t, u, u,,u (n 2) Uma vez determinada uma solução u desta última equação, pode-se calcular uma solução y da equação original por simples primitivação da relação y u Exemplo 323 Considere-se o problema de valor inicial: y 2t 3(y ) 2 ; y () 2; y () Fazendo u y,vem u 2t ; u (), 3u2 uma equação separável; donde se obtém sucessivamente Portanto 3u 2 u 2t, u 3 t 2 + c, u 3 t 2, u 3 t 2 y 3 t 2 Primitivando e usando a condição inicial, vem y (t) 3 3 t

6 32 a AULA 2429 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) Equações sem dependência explícita no tempo O método de redução de ordem que vamos agora descrever poderá aplicar-se (após alguma generalização) a equações do tipo y (n) f y, y,y,, y (n ) aonde a variável t não aparece explicitamente Contudo para evitar uma notação pesada efórmulasdificilmente generalizáveis a ordens n arbitrárias, apenas consideraremos o caso n 2 Considere-se então a equação µ d 2 y f y, dy 2 Seja y uma solução e suponha-se que existe uma função v tal que dy v (y) (ou seja estamos a supor que y é solução de uma EDO de primeira ordem) Derivando esta relação obtemos d 2 y dv dy (y) 2 dy dv (y) v (y) dy então dv (y) v (y) f (y, v (y)) (322) dy que é uma equação de ordem ( 2 ) em que a incógnita é a função v Seja então v (y) uma solução da equação (322) que satisfaz a condição inicial v (y )v e para esta função v considere-se a solução y (t) do problema dy v (y) com y (t )y Então, pelo exposto acima, esta função y (t) é também solução de d 2 y 2 f µ y, dy 3233 Exemplo- o pêndulo com y (t )y e Consideremos o pêndulo representado na seguinte figura: dy (t )v onde m é a massa do corpo pontual suspenso por um filamento rígido de comprimento L e y é o ângulo (em radianos) que este filamento faz com a vertical Sobre a massa m actua uma força (gravítica) constante (na aproximação usual) direccionada de cima para baixo e com intensidade mg (onde g é a aceleração da gravidade)

7 32 a AULA 2429 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 7 Pela lei de Newton e pela análise das forças envolvidas, temos: ou seja m d2 (Ly) mg sen y 2 y g L sen y Por conveniência de simplicidade de exposição vamos tomar as seguintes condições iniciais: y () r g ; y () 2 2 L De acordo com o exposto anteriormente vamos considerar: y v (y) i e v (y) é a velocidade (angular) como função da posição (angular) y Temos ẏ v, y v v e v v g L sen y donde 2 v2 g L cos y + c Determinando a constante 4 c através das condições iniciais temos y () v (y ()) ou seja donde r g ³ 2 L v 2 c ³ 2 v2 g 2 L cos 2 2 g L Obtemos então 5 (atendendo a que v 2 > ) r 2g v (2 + cos y) L 4 A constante c não é mais do que a energia em unidades apropriadas De facto, multiplicando a igualdade 2 v2 g L cos y c pelo factor ml2 e somando a parcela mgl obtemos 2 m (Lv)2 + mgl ( cos y) ml 2 c + mgl onde podemos reconhecer (no lado esquerdo) a soma da energia cinética com a energia potencial do sistema Portanto se E for a energia (total) do pêndulo, determinada pelas condições iniciais, então c E ml g 2 L 5 Desta expressão vemos que a velocidade v é sempre positiva Esta propriedade veio da escolha particular das condições iniciais, correspondendo a uma energia suficientemente grande para que o pêndulo tenha um movimento de rotação em torno do seu eixo

8 32 a AULA 2429 AMIV LEAN, LEC APONTAMENTOS (RICARDOCOUTINHO@MATHISTUTLPT) 8 Temos agora o seguinte problema Donde 6 e y F (y) r 2g L (2 + cos y) ; y () 2 r ẏ 2g 2+cosy L y 2 r 2g dz 2+cosz L t Como F (y) 2+cos y > 3 >, esta função F (y) é bijectiva 7 e portanto invertível por uma função (diferenciável) F (i e (F F )(y) y ) Então a solução do nosso problema pode-se escrever y (t) F Ãr 2g L t! 3234 Relação com o pêndulo linearizado Geralmente aprende-se em cadeiras de Física elementar, outra solução do problema do pêndulo De facto não se trata de outra solução do mesmo problema, mas da solução de outro problema: a aproximação linear do pêndulo Trata-se portanto de aproximar o problema y g sen y, L pelo problema y g L y, sendo esta aproximação tanto mais razoável quanto menor for a amplitude das oscilações (i e y ) Desta equação linear homogénea facilmente se reconhece a solução geral: µr s µr g y (t) y cos L t L g g ẏ sen L t Temosentãodeformaparadigmática,umexemplodaimportânciadoestudodasequações lineares, não porque representem em geral um bom modelo nas aplicações vistas de forma global, mas porque constituem um importante utensílio matemático na análise aproximada de modelos em regiões perto do equilíbrio 6 No caso da escolha de outros valores iniciais o que se segue deve-se aplicar apenas em intervalos de tempo t em que a velocidade ẏ (t) tenhasinalconstante Istoé,nocasodafunçãov se anular para certos valores de y, podemos ainda aplicar o mesmo raciocínio mas de forma mais intrincada subdividindo o tempo em intervalos aonde o pêndulo se movimenta num mesmo sentido 7 É estritamente crescente ( F > ) e lim F (y) ± y ± (porque F (y) > 3 y 2 se y> 2 e F (y) < 3 y 2 se y< 2 )