Cálculo Diferencial e Integral C. Me. Aline Brum Seibel
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1 Cálculo Diferencial e Integral C Me. Aline Brum Seibel
2 Em ciências, engenharia, economia e até mesmo em psicologia, frequentemente desejamos descrever ou modelar o comportamento de algum sistema ou fenômeno em termos matemáticos. O modelo matemático do sistema, é muitas vezes uma equação diferencial ou um sistema de equações diferenciais. Esperamos que um modelo matemático razoável do sistema tenha uma solução que seja consistente com o comportamento conhecido do sistema.
3 Equações Diferenciais Equações contendo derivadas são equações diferenciais. É necessário conhecer equações diferenciais para: Compreender e investigar problemas envolvendo o fluo de corrente elétrica em circuitos, a dissipação de calor em objetos sólidos, a propagação e detecção de ondas sísmica, o aumento ou diminuição de populações, o movimento de fluidos, entre outros. Note que toda a parte do cálculo chamado de cálculo de primitivas compreende a determinação de soluções de uma equação diferencial.
4 Eemplo 1: Corpo em queda livre
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6 Eemplo : sistema massa mola
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8 Definição de Equação Diferencial Uma equação algébrica é uma equação em que as incógnitas são números, enquanto uma equação diferencial é uma equação em que as incógnitas são funções e a equação envolve derivadas destas funções. Numa equação diferencial em que a incógnita é uma função y(), e a variável independente e y e a variável dependente. Vejamos alguns eemplos.
9 Classificação quanto ao Tipo Equações Diferenciais Ordinárias (EDO): se a função desconhecida depende de uma única variável independente. Neste caso, aparecem apenas derivadas simples. dy d u 5 y e, d y dy 6y 0, d d y u 0, u u u t t, d dt dy dt Equações Diferenciais Parciais (EDP): se a função desconhecida depende de diversas variáveis independentes. Neste caso, aparecem as derivadas parciais. u y v y () (3)
10 Classificação de Equações Diferenciais Notação de Leibniz: dy, d y d y,,... d d d 3 3 Notação linha: y`, y``, y```,... Notação de Leibniz: dy d d y dy 5 y e, 6y 0, d d d dt dy dt y Notação linha: y`5 y e, y`` y`6 y 0, A notação linha é usada somente para denotar as três primeiras derivadas; a quarta derivada é escrita como y (4), em vez de y.
11 Classificação por Ordem Ordem: a ordem de uma ED é a ordem da mais alta derivada que aparece na equação. dy d Eemplos: 5 3, segunda ordem d d y d 4 dt y 4 É uma equação diferencial de segunda ordem. d 3 dt 3 y 3 dy 5 4y d d dt y e dy dt primeira ordem y 1
12 Solução de uma EDO Uma solução para uma equação diferencial é uma função que satisfaz identicamente à equação. A solução mais geral possível que admite uma equação diferencial é denominada solução geral, enquanto que outra solução é chamada uma solução particular.
13 Verificação de uma Solução Eemplo 1: Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (-, ). a) dy/d = y 1/ ; y = 4 /16 b) y y + y = 0; y = e Solução: Uma maneira de verificar se a solução dada é uma solução é observar depois de substituir, se ambos os lados da equação são iguais para cada no intervalo. a) dy/d = y 1/ ; y = 4 /16 dy 1 lado esquerdo: 4. d 16 lado direito: y 1/ /
14 Verificação de uma Solução Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (-, ). a) dy/d = y 1/ ; y = 4 /16 lado esquerdo: lado direito: dy d y / / Vemos que ambos os lados são iguais para cada número real. Note que y 1/ = ¼ é, por definição, a raiz quadrada não negativa de 1/
15 Verificação de uma Solução Verifique se a função indicada é uma solução da equação diferencial dada no intervalo (-, ). b) y y + y = 0; y = e Das derivadas y = e + e e y = e + e, temos, para lado esquerdo: lado direito: 0 y '' y' y ( e e ) ( e e ) e 0 Observe que neste eercício, cada equação diferencial tem a solução constante y = 0, - < <. Uma solução de uma equação diferencial identicamente nula no intervalo I é chamada de solução trivial.
16 Usando símbolos diferentes Eemplo: As funções = c 1 cos4t e = c sen4t, onde c 1 e c são constantes arbitrárias ou parâmetros, são ambas soluções da equação diferencial linear + 16 = 0. Para = c 1 cos4t = - 4c 1 sen4t e = - 16c 1 cos4t. Substituindo e, obtemos + 16 = - 16c 1 cos4t + 16c 1 cos4t = 0 Para = c sen4t = - 16c sen4t e, portanto, + 16 = - 16c sen4t + 16c sen4t = 0 É fácil constatar que a combinação linear de soluções, ou a família a dois parâmetros = c 1 cos4t + = c sen4t é também uma solução da equação diferencial.
17 Verificação de uma Solução Eemplo: Tem-se que y() = C sen() + C cos() é uma solução de y + 4y = 0. Isso pode ser visto através da substituição de y() na equação original. Assim: y () = C 1 cos() - C 1 sen() y () = -4C 1 sen() - 4C cos() y() + 4y = (-4C 1 + 4C 1 )sen() + (4C - 4C )cos() = 0
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