Sumário e Objectivos. Mecânica dos Sólidos não Linear Capítulo 2. Lúcia Dinis 2005/2006

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1 Sumário e Objectivos Sumário: Deformações. Sólido Uniaxial. Descrição Lagrangeana e Euleriana. Gradiente de Deformação. Decomposição Polar. Tensores das Deformações de Green e Lagrange. Deformação de Corte. Significado Físico do Tensor de Green. Tensores de Cauchy e Euler. Deformações em Termos dos Deslocamentos. Valores Notáveis. Volume e Área. Objectivos da Aula: Apreensão dos Conceitos Fundamentais associados ao termo Deformação em Mecânica dos Sólidos. 5/6

2 Ponte 5/6

3 Configuração Inicial e Deformada do sólido. P P* x x3 x* x x 5/6 3

4 SÓLIDO UNIAXIAL 5/6 4

5 SÓLIDO UNIAXIAL Alongamento Relativo λ o i oi 5/6 5

6 Deformação usual em Engenharia ε o o λ Também designada por Extensão λ Alongamento Relativo O Comprimento de referência é o comprimento na configuração inicial. 5/6 6

7 Deformação Natural e o λ λ alongamento Relativo O Comprimento de referência é o comprimento na Configuração final. 5/6 7

8 Deformação de Lagrange E o o ( ) λ Metade da variação dos quadrados do comprimento por unidade de quadrado do comprimento inicial 5/6 8

9 5/6 9 Deformação de Euler λ o E Metade da variação dos quadrados do comprimento por unidade de quadrado do comprimento na configuração deformada

10 Deformação logarítmica d η o n o n + n ( + ε) o 3 ε ε + ε ε /6

11 Alongamento dependente da posição do ponto no sólido Posição inicial do ponto no sólido coordenada x Posição do ponto na configuração deformada - coordenada x* φ( x) Alongamento λ ( x) lim x φ ( x + x) φ ( x) d φ ( x) x d x 5/6

12 COORDENADAS DE EULER E DE LAGRANGE S φ ( x) P L e3, e* 3 P* φ ( P) φ ( L ) V x x* φ ( x) φ ( V ) O e, e* e, e* 5/6

13 P x ( s) Q Vector na Configuração Inicial Curva L entre P e Q, s coordenada paramétrica ( s s) x + Coordenadas de P e Q na configuração inicial O vector que une os dois pontos P e Q na configuração PQ x x s + s x s inicial do sólido é ( ) ( ) sendo o comprimento do vector x, a distância entre os pontos P e Q. Vectores Base na Configuração inicial e, e, e3 5/6 3

14 Vector na Configuração Deformada Na configuração deformada os dois pontos P* e Q* ocupam as posições e Na configuração deformada é x * ( s) x * ( s + s) P*Q* x * x * ( s + s) x* ( s) Vectores Base na Configuração Deformada e*, e*, e* 3 5/6 4

15 Vector Tangente à Curva na configuração Inicial Quando o comprimento do arco entre os dois pontos, tender para zero, as distâncias entre os pontos P e Q tende para o comprimento do arco entre P e Q. O vector tangente à curva é: d x lim x s + s x s ds s s ( ) ( ) No limite este vector tende para o vector unitário na direcção da tangente à curva no ponto P, tendo em conta que nestas condições dxds. 5/6 5

16 Vector Tangente à Curva na configuração Deformada Na configuração deformada o vector tangente à curva que une os pontos P* e Q* é: d x* lim x* ( s + s) x* ( s) ds s s No limite este vector tende para λ s, ou seja: () ( s + s) ( s) lim x* x* λ ( s) s s Sendo λ s a Extensão ou Alongamento da curva. () O quadrado de λ ( s) é: dx* dx* λ ( s) ds ds 5/6 6

17 Descrição de Euler s φ ( L ) No caso de se considerar sobre a curva na configuração deformada, o vector dx* ds tende para o vector unitário e o comprimento do vector dx ds λ ( s). Nestas condições é: d d λ () s x ds x ds Este tipo de descrição do comportamento do sólido é designado por descrição de Euler. 5/6 7

18 Descrição de Lagrange e de Euler Na formulação baseada na descrição de Lagrange da deformação, é considerado sobre a curva na configuração inicial e o alongamento relativo é definido de acordo com lim x* ( s + s) x* ( s) λ ( s) s s ou seja com base nos vectores de posição na configuração deformada estabelecidos em termos do parâmetro, s, na configuração inicial. Na descrição Euleriana a extensão é definida considerando s sobre a configuração deformada ou seja de acordo com d x d x () λ s ds ds s 5/6 8

19 Gradiente de Deformação O vector x* ( s) está relacionado com o vector de posição x ( s) através da função de deformação ou de mapeamento, φ, ou seja: x* s φ x ( s ) ( ) ( ) Derivando em ordem ao parâmetro s da curva L não deformada, obtém-se: dx* dx φ( x) ds ds onde as componentes φ são as derivadas de φ em ordem a x, ou seja Gradiente da Deformação [ ( )] φ φ x ij i x j 5/6 9

20 Gradiente de Deformação O gradiente da função φ ( x ) é o chamado gradiente da deformação e é usualmente designado por F φ ( x). dx* dx ds ds A equação φ( x) pode ser escrita com a seguinte forma: dx* dx F ds ds ou dx* F dx 5/6

21 Gradiente de Deformação Designando os vectores base na configuração inicial por e i e os vectores base na configuração deformada por e* i, o tensor F é um tensor com a base tensorial e* i ej e pode exprimir-se em termos das suas componentes F ij, com seguinte forma: O produto F dx/ds d x F Fij i j ( k k ) ds e* e n e ( x) φ F e* e e* e i i j Fij i j x j F n ij k e* i e j e k F ne* ij j i tendo em conta que nk dx ds e que e* i ej ek δjke* i de acordo com a definição do produto tensorial de vectores. 5/6

22 Descrição Lagrangeana O vector, F dx/ds, é um vector na configuração deformada e é: dx* ij j i ds F ne* Note-se que o tensor F é um tensor que está ligado às coordenadas do ponto na configuração inicial, sendo portanto esta descrição uma descrição Lagrangeana. 5/6

23 Componentes do Tensor Gradiente de Deformação As componentes do tensor gradiente de deformação, F, podem ser escritas com a seguinte forma x* x* x* φ φ φ x x x3 x x x3 x* x* x* φ φ φ F x x x3 x x x3 x* 3 x* 3 x* 3 φ 3 φ3 φ3 x x x3 x x x3 O tensor gradiente pode representar, movimentos de corpo rígido locais e globais, como sejam rotações em torno de um eixo e pode representar alongamentos ou extensões numa ou mais direcções, nomeadamente estados de extensão pura. 5/6 3

24 Exemplo. Num dado instante do tempo a relação entre as coordenadas de um ponto na configuração inicial e final é: x* x + x ;x* x ;x* x 3 3 Calcule o gradiente da deformação F 5/6 4

25 Exemplo.-Solução F x * x * x * x x x 3 + x x * x * x * x x x 3 x * 3 x * 3 x * 3 x x x 3 No caso de ser x, o tensor F é: F., que corresponde a um tensor de rotação R, sendo Consequentemente o ponto { x, } T F F I e detf, sofreu um movimento de corpo rígido x 3 entre a posição inicial e a posição deformada, embora o sólido como um todo possa ter sofrido deformações. 5/6 5

26 Rotação em Torno do Eixo x x 3 R φ ( x) x* 3 x x* x* x ;x* x 3;x* 3 x 5/6 6

27 Rotação As deformações de um ponto cujo vector de posição na configuração inicial é x são caracterizadas pela mudança de distâncias entre dois pares de pontos na vizinhança de x. Um elemento dx transforma-se no elemento material dx* F dx qualquer que seja o estado de deformação em x. No caso do exemplo anterior verificouse que no caso do gradiente de deformação ser um tensor ortogonal e anti-simétrico não existe variação de comprimento dos elementos na vizinhança de x existindo só rotação. 5/6 7

28 Deformação Pura No caso F ser um tensor simétrico, U, tal que dx* F dx U dx, o material na vizinhança do ponto x está num estado de deformação pura em relação à configuração de referência. No caso particular de ser x* Ux (U tensor constante), o sólido inteiro está num estado de extensão pura. No caso do tensor U ser um tensor real e simétrico, existem três direcções mutuamente ortogonais, em relação às quais o tensor U é um tensor diagonal. Designando por e e,,, e3 as três direcções mutuamente ortogonais que podem ser designadas por direcções principais e por λ λ,,, λ3 correspondentes, então o tensor U no sistema de eixos principais é: os valores próprios 5/6 8

29 Exemplo. No caso da relação entre as coordenadas de um ponto na configuração inicial e as coordenadas de um ponto na configuração deformada ser: x* 3x ;x* x ;x* 3 4x3 Determine os alongamentos sofridos pelos elementos lineares OP, OQ e OR representados na figura e no sistema de eixos principais 5/6 9

30 Elementos na configuração Inicial e Deformada x* 3 x x R P O Q.. x O x* x* 5/6 3

31 Exemplo. - Solução F O tensor gradiente é: 3 4 sendo portanto um tensor real e simétrico e independente das coordenadas do ponto x, o estado de deformação correspondente é um estado de deformação puro e homogéneo correspondendo a estado de pura extensão do sólido. O alongamento sofrido pelo elemento OP é λ 3 / 3 ; O alongamento sofrido pelo elemento OQ é λ 4 / 4. O elemento OR tem um comprimento inicial.44 3 e um comprimento final 5, sendo o alongamento λ OR 5 /.44. 5/6 3

32 TEOREMA DA DECOMPOSIÇÃO POLAR Verificou-se que se podem considerar dois tipos de gradiente F; um tensor ortogonal, designado por R que descreve movimentos de corpo rígido e um tensor real e simétrico designado por U que descreve estados de deformação pura com extensões segundo as direcções principais. É possível demonstrar que um tensor real F com determinante não nulo, condição necessária à existência de F, pode ser sempre decomposto no produto de dois tensores um tensor ortogonal R e um tensor simétrico U, isto é: F R U ou F V R 5/6 3

33 Decomposição Polar Nestas igualdades U e V representam tensores simétricos reais e positivos definidos e R é um tensor ortogonal. Estas equações são conhecidas por Teorema da Decomposição Polar. A decomposição representada nas duas equações anteriores é única, existe um só R, um só U e um só V que satisfaz as condições anteriores. O tensor U é designado por tensor dos alongamentos relativos à direita e V é designado por tensor dos alongamentos relativos à esquerda. dx* F dx R U dx O efeito do gradiente de deformação, F, foi contabilizado considerando um processo de deformação pura seguido de um movimento de corpo rígido, o mesmo efeito poderia ser obtido invertendo a ordem dos processos, ou seja considerando FVR 5/6 33

34 Decomposição Polar Tendo em conta que FRUVR e que RR T I conclui-se que: U T R VR ou T V R U R. O cálculo de U, V e R a partir de F é uma operação possível e como já foi referido a solução é única 5/6 34

35 Rotação e Alongamento A U B dx* {} 4 R dx* { } 4 dx {} R dx * {} V 5/6 35

36 Exemplo.3 Considere-se o elemento rectangular AB representado na figura e considere o tensor gradiente de deformação F RU VR, para o qual é: U e R e determine o tensor F e o tensor V do processo de deformação 5/6 36

37 5/6 37 Exemplo.3 - Solução O efeito da aplicação do tensor U ao elemento AB corresponde à manutenção das dimensões segundo x e à duplicação da dimensão segundo x como se representa na figura. O efeito da aplicação do tensor R corresponde a uma rotação de 9 o como se representa também na figura. Correspondendo a um gradiente de deformação F que é: F R U O gradiente F é: R U F O tensor V é: T T R U R R F V

38 Exemplo.4 Considere as relações seguintes entre as coordenadas de um ponto na configuração deformada e as coordenadas de um ponto na configuração inicial: x* x, x* 3x 3, x* 3 x Determine: a) O tensor gradiente de deformação F. b) O tensor das extensões à direita U. c) O tensor de rotação R. d) O tensor das extensões à esquerda V. 5/6 38

39 Exemplo.4-Solução a) F x* x* x* x x x 3 x* x* x* 3 x x x 3 x* 3 x* 3 x* 3 x x x3 b) U U T U F T F donde se obtém U 3 5/6 39

40 5/6 4 Exemplo.4-Solução c) O tensor U é: 3 / / U O tensor R é: U F R d) O tensor V é: 3 3 T R F V

41 Exemplo.5 Mostre que se for F R U R U, então R R e U U. Solução: Tendo em conta que F R U R U então F T F U R U R e T consequentemente é: F T F F U R R U U R R U U U. Os tensores U e U, são positivos definidos consequentemente é U U. T 5/6 4

42 Exemplo.6 Mostre que se for F RU VR, então ' ' R R. Solução: Note-se que ' VR pode ser escrito com a seguinte forma '- ( R' ) ( R ) VR R VR R VR ' ' ' ' ' Por outro lado é: '- ( R ) F RU R ' VR ' RU ' R Consequentemente é: ' R 5/6 4

43 TENSOR DAS DEFORMAÇÕES DE GREEN E DE LAGRANGE O quadrado da extensão λ ( s) É igual ao quadrado do comprimento do vector dx* ds λ T ( n) Fn. Fn sendo.. e é tal que Fn Fn n F Fn Tensor das Deformações de Green -C C F T F Consequentemente ( n) λ ncn. Tensor das deformações de Lagrange ( n) λ ( n) [ ] n E n [ ] E C I E. 5/6 43

44 TENSOR DAS DEFORMAÇÕES DE GREEN E DE LAGRANGE Os tensores C e E são tensores simétricos como resulta da definição do tensor C, uma vez que o produto de um tensor pelo transposto do tensor é um tensor simétrico. Pelo Teorema da Decomposição Polar é: T F R U [ ] [ ] [ ] C F F R U R U U R R U U U T Nestas condições pode concluir-se que o tensor, C, é constituído por quantidades que permitem o cálculo das variações de comprimento de elementos lineares do sólido e que não são afectadas por movimentos de corpo rígido, sendo consequentemente o tensor C independente dos movimentos de corpo rígido. T T T 5/6 44

45 Exemplo.7 Considere o processo de deformação regido pelas relações seguintes entre as coordenadas na configura inicial e deformada: x* x+ kx;x* x;x* 3 x3 e determine a) O tensor de Green C. b) O tensor das extensões ou dos alongamentos relativos U e o inverso - U. c) O tensor rotação R. Os valores e vectores próprios do tensor C 5/6 45

46 5/6 46 Exemplo.7-Solução a) O tensor gradiente de deformação é: F o tensor de Green C obtém-se a partir do tensor F, considerando a definição, ou seja: 5 F T F C

47 Exemplo.7-Solução b) O tensor dos alongamentos relativos U, é: U O tensor U é: U U U I 5/6 47

48 Exemplo.7-Solução c) O tensor das rotações é: R FU, ou seja: F U d) Os valores próprios de C são obtidos por resolução da equação característica e são:.76, e.. Os vectores próprios são: ,.939, 5/6 48

49 Exemplo.8 Considere a transformação de corte simples representada pelas equações: x* x+ x ;x* x ;x* 3 x3 a) Qual é o alongamento de um elemento linear que na configuração inicial está na direcção e. b) Qual é o alongamento de um elemento linear que na configuração inicial está na direcção e. c) Qual é o alongamento de um elemento linear que na configuração inicial está na direcçãoe + e. 5/6 49

50 Exemplo.8-Solução a) O tensor gradiente de deformação F é: dl* dl ou seja dl*dl F Ao mesmo resultado se chegaria no caso de se considerar o tensor E definido do seguinte modo: dl dl* dl * dl ( ) ( ) { } 5/6 5

51 Exemplo.8-Solução b) Um vector que tenha a direcção de e passa a dl dl dl sofrendo uma variação de comprimento ( 5 ) dl ao que corresponde um alongamento 5. Esta conclusão também poderia ser obtida considerando ( dl* ) ( dl) * { dl } dl 4( dl) Consequentemente dl* tem um comprimento igual a 5dL. 5/6 5

52 Exemplo.8-Solução c) Um vector que tenha a direcção de e+e passa a 3dL dl dl dl O vector passa a ter o comprimento dl sofrendo uma variação de comprimento de. Por outro lado também se sabe que: dl ( dl* ) ( dl) * { dl dl } dl 8( dl) ou seja: ( dl* ) ( dl) 5/6 5

53 Exemplo.9 Considere a transformação de corte simples representada pelas equações: x* x+ kx ;x* x ;x* 3 x3 a) Calcule o tensor de Lagrange E. b) Calcule o comprimento na configuração deformada do segmento OB da figura. Compare o valor obtido em b) com E 5/6 53

54 Exemplo.9-Solução a) O gradiente de deformação F é: k F O tensor C é: k T C k + k F F O tensor E é: k k E k 5/6 54

55 Exemplo.9-Solução b) O vector OB é: { } T, o vector OB é: k k OB a que corresponde o comprimento + k. c) O valor de E sofrida pelo vector. corresponde a / do quadrado da variação de comprimento 5/6 55

56 DEFORMAÇÃO DE CORTE θ 5/6 56

57 DEFORMAÇÃO DE CORTE Considere-se a correlação entre a configuração inicial e deformada do sólido representada na figura.. Na configuração inicial consideram-se linhas L e L ortogonais, cujas tangentes no ponto P, de intercepção das duas linhas, são n e n. Na configuração deformada as linhas φ( L ) e φ( L ) encontram-se no ponto φ( P) tangentes são F n e F n formando entre si um ângulo θ. O coseno do ângulo θ formado pelas tangentes deformadas F n e F n são: F n ( ). F n cos θ F n, F n (.4) F n F n onde F é tensor gradiente da deformação, sendo dx/ds n e dx/ds F n como se mostrou anteriormente. e as 5/6 57

58 DEFORMAÇÃO DE CORTE A equação pode ser modificada, tendo em conta a definição do tensor de Green e que F n. F n n. F F n, obtendo-se: cos T n. C n θ ( F n, F n ) (.4) λ ( n ) λ ( n ) λ n F n e λ n F n. sendo ( ) ( ) No caso dos vectores iniciais serem ortogonais, a mudança de ângulo entre os dois vectores pode ser designada por γ e é tal que: π γ θ (.43) No processo de deformação de um sólido constata-se que existe uma relação entre corte e extensão 5/6 58

59 SIGNIFICADO FÍSICO DO TENSOR DE GREEN - Extensão O significado físico das componentes do tensor de Green e de Lagrange pode ser mais facilmente obtido se considerar que a direcção das tangentes à curva ou curvas L são consideradas coincidentes com as direcções dos eixos de referência às quais correspondam os vectores base {, e e } C ij ei. C e j e. A componente ij do tensor C é: e 3 O quadrado da extensão na direcção de e i é: ( ei ) ei C i C ii λ. e 5/6 59

60 SIGNIFICADO FÍSICO DO TENSOR DE GREEN Consequentemente os elementos da diagonal do tensor C representam extensões na direcção de elementos lineares inicialmente com a direcção dos eixos coordenados. O coseno do ângulo θ, formado pelos vectores F e i e F e j que correspondiam aos vectores e i e e j na configuração inicial, é cos θ ei. C e j F i j λ ( e, F e ) C ( ei ) λ ( e j) Cii C jj ij corte. Os elementos não diagonais do tensor C representam uma medida do ângulo de 5/6 6

61 Exemplo.9 Considere a transformação de corte simples representada pelas equações: x* x + kx ;x* x + k x ;x* x.na configuração deformada qual é o ângulo 3 3 formado por dois segmentos lineares que na configuração inicial tinham as direcções de e e e. Solução: De acordo com a equação.46 é: cos θ ei. C e j F i j λ ( e, F e ) C ( ei ) λ ( e j ) Cii C jj ij 5/6 6

62 Exemplo.9-Solução É portanto necessário calcular o tensor C. Este tensor obtém-se a partir do tensor F que é: k F k Consequentemente C é: + k k C k + k sendo o ângulo pedido igual a: k cos θ ( Fe, Fe ) + C i j C C k 5/6 6

63 TENSORES DE CAUCHY E EULER O quadrado da extensão referida à configuração deformada, / λ ( s ), sendo s definido sobre a configuração deformada e representa o quadrado do comprimento do vector dx ds, o qual pode ser calculado a partir do inverso do tensor gradiente da deformação F. O vector F n* tem um comprimento que é igual à extensão λ ( ) λ ( ) tangente n*, o quadrado da extensão é: - - ( n* ) F n*. F n* Considere-se o produto n* n*n* ( ) T λ ( F ) T - - n* n, sendo a extensão uma função do vector F -. F - F - F - n*, sendo o produto tensorial F que aparece na expressão designado por Tensor das Deformações de Cauchy, C*, ou seja: - * ( ) T - C F F 5/6 63

64 TENSORES DE CAUCHY E EULER A extensão de um segmento com a orientação n* na configuração deformada é A deformação de Euler E* ( n* ). n* E*n* λ ( n) onde E* é o Tensor das Deformações de Euler definido a partir do tensor das deformações de Cauchy, com a seguinte forma: E* I C* [ ] 5/6 64

65 DEFORMAÇÕES EM TERMOS DOS DESLOCAMENTOS φ ( x) x 3 V P u φ ( V) P* x x φ (x) x x 5/6 65

66 DEFORMAÇÕES EM TERMOS DOS DESLOCAMENTOS A função de deformação φ(x) pode ser estabelecida em termos dos deslocamentos φ ( x) x+ u( x) O tensor gradiente da deformação F é: F I + u sendo as componentes do gradiente do vector deslocamentos u definidos do seguinte modo [ u] ui u j. ij O tensor gradiente da deformação têm as seguintes componentes em termos dos deslocamentos F δ + ij ij u i, j 5/6 66

67 DEFORMAÇÕES EM TERMOS DOS DESLOCAMENTOS O tensor da deformação de Green é calculado a partir da definição como sendo C T F F, ou seja: C I + u + T [ u] + T [ u] u tensor As componentes do tensor C podem ser calculadas a partir das componentes do u do seguinte modo: C δ + u + u + ij ij ij j, i u k, i u k, j sendo u i, j u i u j 5/6 67

68 DEFORMAÇÕES EM TERMOS DOS DESLOCAMENTOS O tensor de Lagrange é de acordo com a definição: E cujas componentes são [ ] T u T ( C I) u + [ u] + [ u] [ u + u u u ] E ij i, j j, i + k, i k, j note-se que as duas primeiras parcelas representam a parte linear do tensor ou seja ε [ u + [ u] ] T cujas componentes são: ε ij [ u + u ] i, j j, i e a última parcela representa a parte não linear do tensor 5/6 68

69 DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS No sólido, V e num ponto existem direcções segundo as quais as extensões têm valores extremos, máximos ou mínimos. Tendo em conta que os quadrados das extensões são: λ ( n ) n. C n nas direcções do vector unitário n, o cálculo dos valores extremos de passa pelo cálculo dos máximos ou mínimos de sujeito à restrição. Nestas condições o Lagrangeano (L) de problema de optimização com restrições é: sendo µ o multiplicador de Lagrange. L ( n, u) n. C n µ ( n. n ) 5/6 69

70 DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS A equação a satisfazer para que haja um máximo ou mínimo da função obtém-se considerando a derivada L ou seja: C n n ou [ C µ I] µ n n O problema que se representa pela equação é um problema de valores próprios, onde n é um vector com uma direcção tal que por aplicação do tensor C apenas sofre uma alteração de comprimento quantificada por µ. Solução não trivial det C C [ C µ I] det C C µ C 3 µ C C 3 C C µ 5/6 7

71 DEFORMAÇÕES PRINCIPAIS donde resulta a equação cúbica designada por equação característica e que é: 3 µ + I µ I µ + I3 onde ( C) C + C 33 I + I tr C C C C C + C C33 C3 C3 + C C33 C3 C3 I det C C C C33 C C3 C3 + C C3 C3 C C 33 + C3 C C3 C3 C3 C 3 C são os invariantes do tensor C + 5/6 7

72 VOLUME E ÁREA x 3 n3 ds 3 P x n ds n ds V φ ( x) F X 3 n3 ds 3 φ ( x) X F n ds F φ n ds ( V) x X Mudança de Volume 5/6 7

73 Mudança de Volume O volume na configuração inicial é: d V O volume na configuração deformada: ( n n ). n3 ds ds ds3 d V d φ ( V) ( F n F n ). F n3 d s d s d s3 ou seja d V tendo em conta que det F d V [( T u) x ( T v) ]. T w det T [( u x v). w] 5/6 73

74 Mudança de Área n N F n d s n d s φ ( x) P da n d s φ ( P) P da* F n d s x 3 X 3 x X x X 5/6 74

75 Transformação de Piola As áreas elementares na configuração inicial e deformada são: d A n n ds ds d A F n F n ds ds As normais n e N podem se calculadas a partir dos vectores n e n n F n e F n do seguinte modo: n F n e N F n n n n F n F n consequentemente: T F N d A N d A n d A ( n x n ) ds ds N d A ( F n x F n ) ds ds T T F ( F n x F n ) ds ds F N d A ( det F ) n d A T ( det F) F nd A d A ( ) d A det F F n T e 5/6 75