Resistência dos Materiais 2003/2004 Curso de Gestão e Engenharia Industrial
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- Jónatas Escobar Cesário
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1 /8 Resistência dos Materiais 3/4 Curso de Gestão e Engenharia Industrial 8ª Aula Duração - Horas Data - 3 de Outubro de 3 Sumário: Energia de Deformação. Critérios de Cedência. Equações de Equilíbrio em termos dos Deslocamentos. Objectivos da Aula: Apreensão dos Conceitos envolvidos e reconhecimento do facto que um problema de Elasticidade pode nalguns casos ter solução. Resumo do Conteúdo da Aula -Energia de Deformação Para um material isotrópico com comportamento Linear Elástico, a curva tensão - deformação modelo, resultante da tracção sobre uma barra, é a que se representa na figura 8.a. No caso de o material ter um comportamento elasto - perfeitamente plástico a curva é a que se representa na figura 8.b. As energias de deformação Elástica, U e, num caso e noutro e a energia dissipada no processo de deformação plástica, U d, estão representadas nas referidas figuras. = Eε U d du e due ε ε a) b) Figura 8.: Energia de Deformação Elástica e Energia Dissipada A densidade de energia de deformação elástica d U e, ou energia armazenada por unidade de volume pode ser calculada a partir da tensão e deformação e no caso da barra traccionada é
2 /8 du E E e= xxεxx = ε= = ε (8.) A energia de deformação elástica total na barra traccionada obtém-se integrando a densidade de energia de deformação elástica e é E Ue= VxxεxxdV = VxxdV = VεxxdV (8.) E No caso tridimensional a densidade de Energia de Deformação é due= ( xxεxx+ yyεyy+ zzεzz+ τxzεxz+ τxyεxy+ τyzε yz ) (8.3) A energia de deformação elástica total no sólido de volume V é Ue= V ( xxεxx+ yyεyy+ zzεzz+ τxyεxy+ τxzεxz+ τyzεyz) dv (8.4) sendo o integral estendido ao volume do sólido. Considerando a Lei de Hooke, a expressão 8.4 pode ser escrita em termos das tensões e toma a forma U = + + ν ( + + ) + ( + + ) dv E (8.5) G e V xx yy zz xxyy xxzz yyzz τxy τxz τyz No caso do tensor das tensões estar referido ao sistema de eixos principais a energia de deformação elástica em termos das tensões principais é U = + + ν ( + + ) dv E (8.6) e V ou em termos dos invariantes I e I do tensor das tensões U e I I = dv V E G (8.7) De modo análogo se podia obter a energia de deformação elástica em termos das deformações e em termos dos invariantes das deformações. - Critérios de Cedência Alguns materiais, nomeadamente os materiais dúcteis, especialmente os materiais plásticos, têm um comportamento quando traccionados que pode ser designado por
3 3/8 elástico perfeitamente plástico, este modelo de comportamento caracteriza-se pela existência de uma Tensão de Cedência, cp, a qual estabelece o início da deformação plástica. No caso tridimensional a caracterização do estado de Tensão passa pela existência de seis componentes, do tensor das tensões, independentes obrigando à consideração de funções que possam ser consideradas para definir a cedência nessas condições de solicitação. Desenvolveram-se várias teorias para quantificar a cedência de Estados tridimensionais de tensão, algumas dessas teoria são de uso mais frequente e por isso só essas vão ser referidas. Teoria da Tensão de Corte Máxima A teoria da Tensão de Corte Máxima, resulta da constatação experimental de que os materiais dúcteis tendem a sofrer deslizamentos ao longo de planos criticamente orientados durante a cedência plástica. No caso teoria da Tensão de Corte máxima esses planos são considerados como correspondendo a tensões de corte máxima, tendo estas tensões atingido um valor crítico nos referidos planos. No caso de se considerar o caso unidimensional de carregamento, por exemplo, uma barra sujeita a esforços de tracção, as tensões de corte máxima são ± = τ max (8.8) Designando por τ cr a tensão de corte crítica que corresponde ao início da cedência plástica e tomando o valor da tensão de corte crítica igual a metade da tensão de cedência, que se admite ter o mesmo valor quer à tracção quer à compressão, cp, no ensaio unidimensional de tracção. A teoria da tensão de corte máxima no caso uniaxial implica que seja ± τmax = τ cr ou cp (8.9) No caso de um estado plano de tensão as tensões principais são, e 3 =, os potenciais valores das tensões de corte máxima são ou ou A aplicação da Teoria da tensão de corte máximo implica que se verifique uma das desigualdades seguintes cp ou cp ou cp (8.)
4 4/8 A representação gráfica destas condições está feita na figura 8., no espaço de tensões de Westergard, o critério que resulta da aplicação desta teoria é muitas vezes designado por Critério de Cedência de Tresca, embora tenha sido primeiro apresentado por Coulomb. cp cp cp cp Figura 8.: Critério de Cedência de Tresca no caso Bidimensional No caso tridimensional, o Critério de Cedência de Tresca, considerando as tensões principais,, e 3, toma a forma 3 cp ou cp ou 3 cp (8.) sendo no espaço de Westergard representado por um prisma hexagonal. Teoria da Energia de Distorção Máxima A densidade de energia de deformação, como foi referido anteriormente pode calcular-se a partir das tensões principais fazendo uso da expressão due= ν ( ) E (8.) A parcela da energia de deformação por unidade de volume responsável pela dilatação do sólido pode ser expressa em termos da pressão média e é du ( ν) 3 ν m ( ) (8.3) E 6E dil = = Subtraindo a densidade de energia de dilatação à densidade de energia de deformação obtém-se a densidade de energia distorcional ou de desvio que é du G ( ) ( ) ( ) dis = (8.4)
5 5/8 De acordo com a teoria básica da energia distorcional, o valor da densidade de energia de desvio ou distorcional não deve exceder o valor correspondente ao máximo admissível à tracção simples o qual é cp /G, ou seja ( ) ( ) ( ) cp (8.5) Esta expressão pode ser escrita em termos das componentes do tensor das tensões no sistema de eixos Oxyz, com a forma ( ) ( ) ( ) xx yy + yy zz + zz xx + 6 xy + 6 yz + 6 xz cp τ τ τ (8.6) Este critério costuma ser designado por Critério de Cedência de von Mises e no espaço de Westergard é representado por um cilindro. No caso particular de se tratar de um estado plano de tensão este critério toma a forma ( ) ( ) ( ) + cp (8.7) em termos das componentes do tensor das tensões no sistema de eixos Oxy, toma a forma xx + yy yyxx + 3τxy cp (8.8) que corresponde no espaço de tensões a uma elipse como se representa na figura 8.3. cp - cp - Figura 8.3: Critério de Cedência de von Mises O hexágono de Tresca fica inscrito na elipse de von Mises se forem representados na mesma figura.
6 6/8 3- Equações de Equilíbrio em termos dos Deslocamentos As equações de equilíbrio de Forças estabelecidas em termos das tensões, como foi visto anteriormente, são xx τyx τzx X= x y z τxy yy τzy Y= x y z τxz τyz zz Z= x y z (8.9) Tendo em conta a Lei de Hooke Generalizada e as relações deformações - deslocamentos que são E = ( )( ) ( ν ) ε +ν ε +νε +ν ν E = ( )( ) ( ν ) ε +ν ε +νε +ν ν E = ( )( ) ( ν ) ε +ν ε +νε +ν ν xx xx yy zz yy yy xx zz zz zz xx yy τxy = Gγ τxz = Gγ τ yz = Gγ xy xz yz (8.) u u v u w + + x y x z x εxx εxy εxz u v v v w yx yy yz ε ε ε = + + y x y z y εzx εzy εzz u w v w w + + z x z y z (8.) obtém - se as equações de equilíbrio em termos dos deslocamentos com a forma u v w u u u λ+µ + + X +µ = x xy xz x y z λ+µ u v w v v v + + Y +µ = xy y yz x y z λ+µ u v w w w w + + Z +µ = zx zy z x y z ( ) ( ) ( ) (8.)
7 7/8 onde Lamé. λ= Eν ( +ν)( ν) e E µ= ( + ν) sendo λ e µ designadas por Constantes de As equações 8. são conhecidas por equações de Navier. 4-Problemas Propostos de Elasticidade. Considere um estado de tensão num ponto cujas tensões principais são: = 4MPa, = 3MPa e 3 = MPa. Adicionou-se a este estado de tensão um outro estado de tensão cujas tensões principais são = = 3 = MPa. Diga de quanto aumenta a tensão tangencial máxima, justifique a resposta com base nos três circulos de Mohr.. Considere o estado de tensão caracterizado pelo tensor das tensões seguinte: 8 x 4 x 5 y MPa 4 y 8 e determine x e y de tal modo que a tensão tangencial se anule na faceta com versor n = da normal { } 3. Admita que o processo de deformação a que está sujeito o sólido é um processo de deformação homogénea e considere que: - o volume do sólido não se altera, - o novo comprimento OA é de 3.3cm, - o ângulo AÔB não se altera - as novas coordenadas do ponto D são {.5,.55,.56}cm a) Determine as componentes do tensor das deformações b) Determine a nova área da face ABC.
8 8/8 C d 3cm D 3cm O d A B 3cm 3 4. Um prisma rectangular de dimensões 3 4 5cm está sujeito ao estado de tensão representado pelo seguinte tensor das tensões: 3 9 MPa 9 Mediante um ensaio de tracção simples sobre um provete cilíndrico de cm de comprimento e cm de diâmetro, verificou-se que por acção de uma força de tracção de 944.8N nos topos do varão o seu comprimento passou a. cm e o diâmetro a.99985cm. Supondo que o provete é representativo do material linear elástico, homogéneo e isotrópico que constitui o prisma, determine o seu novo volume e a distorção máxima que nele se encontra por acção daquele estado de tensão. 5- Leituras a Efectuar nas Horas de Estudo - V. Dias da Silva, Mecânica e Resistência dos Materiais, Ediliber Editora, 995, Páginas Carlos Moura Branco, Mecânica dos Materiais, Teoria e Aplicação, McGraw-Hill, 989. Páginas J. F. Silva Gomes, Apontamentos de Mecânica dos Sólidos, Editorial de Engenharia.
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