Grupo I. 1. Seja tal que, onde e é a

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1 Matemática II º Semestre 1ª Frequência 31 de Março de 2011 Pedro Raposo; Maria João Araújo; Carla Cardoso; Vasco Simões O teste tem a duração de 2:30 horas. Deve resolver os grupos em folhas separadas. Grupo I 1. Seja tal que, onde e é a designação genérica da direcção (e sentido) do vector. Utilize o conceito de diferencial para calcular aproximadamente a variação de no ponto quando sofre um acréscimo de e sofre um decréscimo de. (Cotação: 2.5 valores) 2. Seja. Calcule sendo a designação genérica da direcção que faz um ângulo de com o semieixo positivo dos, e os ângulos agudos e que faz com os eixos dos e dos são tais que. (Cotação: 2.5 valores) Grupo II 3. Seja homogénea e. Determine o grau de homogeneidade de sabendo que. (Cotação: 1.5 valores) 4. Seja com. Determine. (Cotação: 1.5 valores) 5. Se f (x, y) é homogénea e,. a) Determine o grau de homogeneidade de. (Cotação: 1 valor) b) Sabendo que. Calcule. (Cotação: 1 valor) 1/7

2 Grupo III 6. Considere a função f (x, y) = x 4 + y 4 4 (y x) 2, em que (y x)2 4. a) Calcule os pontos de estacionaridade de. (Cotação: 2 valores) b) Se à função, impuser a condição x y = 6, acha que os pontos calculados na alínea anterior se alteram? Justifique. (Cotação: 1 valor) 7. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para determinar os extremos locais da função (Cotação: 2 valores): f (x, y) = xy sujeito a x + 2y = 6 Grupo IV 8. Considere a função z = x 2 2x + y 2 2y + 10 sujeito a x 2y x, y 0 a) Determine graficamente o máximo e o mínimo de z. (Cotação: 2 valores) b) Resolva o problema, utilizando as condições de Kuhn- Tucker para obter o máximo de z. (Cotação: 2 valores) c) Suponha que o problema formulado na alínea anterior pelo método de Kuhn- Tucker era acrescentado da seguinte informação: ignore as restrições x, y 0 e admita que estava activa a seguinte restrição 5x y 5. Supondo que a solução do problema está no ponto P(5,5). Enuncie as condições de Kuhn- Tucker do novo problema e verifique se esse ponto as satisfaz. (Cotação: 1 valor) BOA SORTE. 2/7

3 PROPOSTA DE RESOLUÇÃO Grupo I 1. Como temos Isto é: Então: 2. Temos, e: Isto é: com (os cosenos são positivos uma vez que os angulos são agudos). Assim e Grupo II 3. R: Se tem-se, então, em : E o teorema de Euler em fica 3/7

4 4. 5. a) e b) Seja o grau de homogeneidade de, então é homogénea de grau, e Isto é: Posto isto conclui-se que é homogénea de grau 2 e o teorema de Euler fica Que no ponto é GrupoIII 6. a) Somando a equações (1) e (2) vem: 4/7

5 R.: Os pontos de estacionaridade são: b)claro que se alteram pois nenhum dos pontos anteriores satisfaz a condição. 7., (máximo) R.: em Grupo IV 8. a) Graficamente e cálculos: Máximo x = 10 z=90 Mínimo x = 1 y = 1 z=8 5/7

6 b) Condições de Kuhn-Tucker para obter o máximo de z. Função Lagrangeana: L = (x 1) 2 + ( y 1) λ 1 (x + 2y 10) x x = 0 y λ x, y,λ 0, λ 0 0, 0 x (2x 2) λ = 0 y (2y 2) 2λ = 0 λ x 2y + 10 = 0 x, y,λ 0, λ 0 0, 0 3 zeros=1; 2 zero=3; 1 zero=3;0 zeros=1; 8 sistemas 6/7

7 x = 0 1 = (x + 2y 10) 0 λ = 2x 2 λ 0, = 2y 2 2λ 0 possível máximo,z = 10 x = 0 x + 2y 10 = 0 impossivel 2 x = 0 2y 2 2 y = 1 3 = (x + 2y 10) 0P.V. λ = 2x 2 λ 0P.V., = 2y 2 2λ 0P.V. possível máximo, z = 9 2x 2 x = 1 4 = (x + 2y 10) 0P.V. λ = 2x 2 λ 0P.V., = 2y 2 2λ 0 possível máximo,z = 9 2x 2 x = 1 2y 2 2 y = 1 7 = (x + 2y 10) 0P.V. λ = 2x 2 λ 0P.V., = 2y 2 2λ 0 possível máximo, z = 8 2x 2,λ = 18 x = 0 2y 2 2,λ = 4 x + 2y 10 = 0 x = 10 x + 2y 10 = 0, y = = (x + 2y 10) 0P.V. P.V. λ P.V. possível máximo, z = 25 possível máximo, z = 90 2x 2, x = λ,x = y 2 2, y = 1 + λ, y = 19 5 = 2x 2 λ 0P.V., = 2y 2 2λ 0P.V. x + 2y 10 = 0 1 λ λ = 10,λ = 14 5 verifica 8 = (x + 2y 10) 0P.V. λ = 2x 2 λ 0P.V., = 2y 2 2λ 0 possível máximo,z = R: Máximo no ponto (10,0) e z=90. c) admitindo as 2 novas informações. As condições passariam a ser: x = 0 λ 1 = 0 λ 1 λ 2 = 0 λ 2 λ 1,λ 2 0, 0 λ 1 λ 2 (2x 2) λ 1 5λ 2 = 0 (2y 2) 2λ 1 + λ 2 = 0 λ 1 x 2y + 10 = 0 λ 2 5x + y + 5 = 0, 0;λ λ 1 λ 1,λ = 0 imp 2.4 = 0 imp λ 1 = 0 5 = 0imp λ 2 = = 0imp do problema. 2Logo o ponto P (5,5) não satisfaz as condições 7/7