Homogeneidadedasderivadasparciais Funções homotéticas Exercícios x 1

Transcrição

1 Prefácio xv 1 Limites e continuidade Noçãodefunção Espaço < n Noçõesdenormaedistância Funções de < n em < m Exemplos do caso n>1 emeconomia Exemplos do caso m>1 emeconomia Domínio Caso especial de f : D < 2 <, representação geométrica Limitedeumafunção Limitedeumasucessão Algumasnoçõesdetopologia Limitedeumafunção Exemplos Limite da função segundo um «caminho» específico Resultadosimportantessobrelimites Continuidade Resultadosdefunçõescontínuas Exercícios Diferenciabilidade Derivadadeumafunçãorealdevariávelreal Exemplos económicos custo marginal e receita marginal Elasticidade Diferenciabilidade Derivadasparciais Vector gradiente e matriz jacobiana Derivadasdeordemsuperiorematrizhessiana Derivada da função num ponto segundo um vector

2 viii Cálculo para economistas 2.5 Diferenciabilidade Funçãorealdeduasvariáveis Função real de n variáveis Função vectorial Condição suficienteparadiferenciabilidade Diferenciabilidade e derivada segundo um vector Exercícios Teorema da função composta Derivadadafunçãocomposta Funções homogéneas e funções homotéticas Doisexemploseconómicos TeoremadeEuler f(x)/x α 1 como função das razões x i x Homogeneidadedasderivadasparciais Funções homotéticas Exercícios Fórmula de Taylor Teorema dos acréscimos finitos Máximosemínimos TeoremadeRolle Teorema dos acréscimos finitos para f : < < Teorema dos acréscimos finitos TeoremadeSchwarz-Young FórmulasdeTayloredeMcLaurin Funçãorealdevariávelreal Funçãorealdeváriasvariáveisreais Exercícios Função inversa e função implícita Teoremadafunçãoinversa Funçõesreaisdeumavariável Funções de < n em < n Teoremadafunçãoimplícita Matriz jacobiana da função definidaimplicitamente...115

3 ix Modelokeynesianodedeterminaçãodorendimento Equilíbrionomercadodeumbem Exercícios Optimização: introdução Introdução Algumasnoçõesimportantes MáximosemínimoseoteoremadeWeierstrass Comoencontrarmáximosemínimos? Formasquadráticas Condição suficiente para um máximo local ser máximo global Conjuntosefunçõesconvexasequase-convexas Conjuntosconvexos Funçõesconvexas/côncavas Funçõesquase-convexas Exercícios Optimização livre Funçãorealdevariávelreal Condição necessária para o extremo local de uma função Condições suficientes para o extremo local de uma função Demonstração das condições necessárias e suficientes para uma função de classe C Funçãorealdeváriasvariáveis Funçãorealdeduasvariáveis Função real de n variáveis Condições suficientes para extremos globais Exemplo maximizaçãodolucro Oteoremadoenvelope Exemplo lemadehotelling Exercícios Optimização com restrições de igualdade Duasvariáveisdedecisão,umarestrição Resolução gráfica Métododasubstituição...179

4 x Cálculo para economistas MétododosmultiplicadoresdeLagrange Condições suficientes n variáveis de decisão, m restrições MétododosmultiplicadoresdeLagrange Condições suficientes Interpretação dos multiplicadores de Lagrange Exemploseconómicos Teoremadoenvelope Exemplo lemadeshepard Exercícios Optimização com restrições de desigualdade Introdução Condições de Kuhn-Tucker Restriçõesdenão-negatividade Restriçõesdedesigualdade Os sinais dos multiplicadores de Lagrange Ascondiçõesdecomplementaridade Discussão das condições de Kuhn-Tucker Exemplo económico o problema do consumidor Teorema de Kuhn-Tucker Teorema da suficiência Restrição de qualificação Programaçãoquase-côncava Exercícios Integração Primitivação e integração em < Primitivação Integral definido Relação entre integração e primitivação Integraisimpróprios Integraismúltiplos Cálculo de integrais duplos e mudança da ordem de integração Outrasregiõesdeintegração...242

5 xi Métododasubstituição Integraisparamétricos Exemploseconómicos Relação entre investimento e stock decapital Excedentedoconsumidor Exercícios Equações diferenciais Introdução Equaçõesdiferenciais Equaçõesdiferenciaisordinárias Alguns tipos de equações diferenciais ordinárias Umexemplosimples Equaçõesnão-linearesdeprimeiraordem Equaçõesdiferenciaisexactas Equaçõesseparáveis Equaçãodiferencialhomogénea Diagramasdefaseseestabilidade Exemplo económico modelo neoclássico de crescimento Equações lineares com coeficientesconstantes Equaçõeslinearesdeprimeiraordem Equações lineares de segunda ordem Equações lineares com coeficientes constantes de ordem superior Exercícios Sistemas de equações diferenciais Transformação de uma equação de ordem superiornum sistema Algumas propriedades da solução geral do sistema Soluçãodosistemahomogéneo Casodasraízesreaisedistintas Casodasraízescomplexas Casodasraízesreaisrepetidas Uma forma alternativa de explicar a solução complementar Soluçãoparticular,equilíbrioeestabilidade Diagramadefasescomduasvariáveis...304

6 xii Cálculo para economistas Tiposdeequilíbrio Exemplo económico inflaçãoedesemprego Exercícios Equações e sistemas de equações às diferenças Diferenças e lags Operadordiferença Operadoresavançoeatraso Equaçõesàsdiferenças Exemplosimples Equações lineares com coeficientesconstantes Resultados básicos sobre equações lineares Equações de segunda ordem Equaçõesdeordemsuperior Exemplo económico modelo da «teia de aranha» Sistemasdeequaçõesàsdiferenças Solução de sistemas de equações às diferenças Resoluçãoemnotaçãomatricial Exemplo sondagensusandopainéis Exercícios Optimização dinâmica Introdução Oproblemadecontrole Exemplo económico extracção de um recurso não - renovável Cálculodevariações AequaçãodeEuler Condiçãodetransversalidade Programaçãodinâmica Problemadecontroleemtempodiscreto Exemplo económico consumo intertemporal Oprincípiodoóptimo Interpretaçãodoprincípiodoóptimo Exemplo económico crescimento económico óptimo Exercícios...365

7 xiii Solução dos exercícios 367 Bibliografia 406 Índice remissivo 407