MATEMÁTICA II. Pedro Encarnação (Teóricas) Susana Torrado (Práticas) Carla Cardoso (Práticas) Descrição:

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1 MATEMÁTICA II Ano Académico: 2017/2018 2º Semestre Docente(s): Pedro Encarnação (Teóricas) Susana Torrado (Práticas) Carla Cardoso (Práticas) Descrição: A disciplina de Matemática II fornece aos alunos ferramentas de integração, de cálculo diferencial em R n incluindo otimização não linear, de cálculo integral em R 2, e de resolução de equações diferenciais de 1ª ordem. Conteúdo: 1ª Parte Métodos de integração 1. Integração por partes 2. Integração por substituição 3. Integração de funções racionais 2ª Parte Cálculo diferencial em R n 1. Domínios de funções de R n em R. Representação gráfica. Curvas de nível 2. Limites e continuidade de funções de R n em R 3. Derivadas parciais 4. Derivada da função composta 5. Derivadas direcionais. Gradiente. Plano tangente e reta normal. 6. Diferenciais 7. Funções homogéneas. Teorema de Euler 8. Extremos livres de funções de várias variáveis 9. Multiplicadores de Lagrange. Condições de Karush Kuhn Tucker 10. Análise gráfica de extremos de funções. Aplicações à Economia e Gestão. 3ª Parte Cálculo integral em R 2 1. Integrais duplos. Teorema de Fubini 2. Inversão da ordem de integração 3. Mudança de variáveis

2 4ª Parte Equações diferenciais de primeira ordem 1. Equações separáveis 2. Equações lineares 3. Equações exatas e redutíveis a exatas 4. Método da substituição. Equações homogéneas e equações de Bernoulli Objetivos: O objetivo da unidade curricular de Matemática II é fornecer aos alunos as ferramentas matemáticas que lhes permitam estudar problemas de Economia e Gestão, em particular ferramentas de cálculo diferencial e integral para funções de várias variáveis e métodos de resolução de equações diferenciais. Avaliação: A avaliação da unidade curricular de Matemática II inclui três componentes: a) assiduidade (5%); b) mini-testes (5%); e c) frequências / exame (90%). a) Assiduidade Em todas as aulas da unidade curricular haverá um controlo de presenças. A avaliação da assiduidade às aulas será efetuada de acordo com a seguinte tabela Classificação da assiduidade N.º de presenças menor que 1/3 do n.º total de aulas 0 N.º de presenças entre 1/3 e 2/3 do n.º total de aulas, inclusive 0.5 N.º de presenças superior a 2/3 do n.º total de aulas 1 b) Mini-testes Durante o semestre, em duas aulas práticas, serão realizados dois mini-testes com uma questão de escolha múltipla. Estes testes serão realizados com recurso ao Moodle ( e os alunos deverão levar consigo um dispositivo para aceder à Internet (e.g., smart phone). A avaliação dos mini-testes será efetuada de acordo com a seguinte tabela Classificação dos mini-testes Respostas erradas a ambos os mini-testes 0 Resposta certa a um mini-teste e errada ao outro 0.5 Respostas certas a ambos os mini-testes 1

3 c) Frequências / Exame Nos períodos indicados no Calendário Escolar, haverá duas frequências, cada uma com um peso de 45% para a classificação na avaliação contínua. A classificação na avaliação contínua (AC) será assim calculada de acordo com: AC = Assiduidade + Mini-testes x (Classificação 1ª Frequência) x (Classificação 2ª Frequência) Se a classificação na avaliação contínua AC for superior ou igual 9.50 o aluno fica aprovado à unidade curricular; se ficar entre 7.50 e 9.49, inclusive, o aluno é admitido a exame; se for inferior a 7.50 o aluno fica excluído. No caso de realização de exame, a classificação no exame substitui as classificações nas frequências sendo a classificação final CF calculada de acordo com CF = Assiduidade + Mini-testes x (Classificação Exame) Se CF 9.50 o aluno ficará aprovado à unidade curricular, caso contrário reprovará. Caso o aluno queira melhorar a nota da avaliação contínua, poderá fazê-lo no exame final. A nota final da unidade curricular resultará de Max (CF, AC - 1) (note-se que, numa melhoria de nota, caso a classificação no exame seja inferior à média das classificações nas frequências, a classificação final será um valor inferior à classificação na avaliação contínua). A desistência de uma prova de avaliação após o seu início é equivalente a obter zero valores nessa prova. Será possível usar durante as provas escritas uma máquina de calcular elementar, não científica. Não será permitido o uso de quaisquer formulários. Será facultada aos alunos a consulta das suas provas escritas corrigidas.

4 Bibliografia: Recomendada - Pedro Encarnação, Apontamentos de Matemática II, UCP, Caderno de Exercícios de Matemática II, UCP, 2018 Complementar - H. Anton, I. C. Bivens e S. Davis, Cálculo, 10ª Edição, Bookman, W. E. Boyce e R. C. DiPrima, Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno, 10ª Edição, LTC, Vasco Simões, Análise Matemática 1, Edições Orion, Vasco Simões, Análise Matemática 2, Edições Orion, António Monteiro e Isabel Matos, Cadernos de Matemática 1: Primitivas, Edições Orion, Manuel Alberto M. Ferreira e Isabel Amaral, Matemática Primitivas e integrais, Edições Sílabo, Manuel Alberto M. Ferreira e Isabel Amaral, Matemática Exercícios de Primitivas e Integrais, Edições Sílabo, Manuel Alberto M. Ferreira e Isabel Amaral, Matemática - Cálculo Diferencial em R n, Edições Sílabo, Manuel Alberto M. Ferreira, Matemática Exercícios de Cálculo Diferencial em R n, Edições Sílabo, Manuel Alberto M. Ferreira e Isabel Amaral, Matemática - Integrais Múltiplos e Equações Diferenciais, Edições Sílabo, Manuel Alberto M. Ferreira, Matemática Exercícios de Integrais Múltiplos e Equações Diferenciais, Edições Sílabo, B. Demidovitch, Problemas e Exercícios de Análise Matemática, Escolar Editora, D.G. Zill, A First Course in Differential Equations with Modeling Applications, 11 th International Metric Edition, CENGAGE Learning, Biografia: Pedro Encarnação licenciou-se em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores pelo Instituto Superior Técnico (UTL) em Completou o Mestrado em 1998 e o Doutoramento em 2002, ambos em Engenharia Eletrotécnica e de Computadores pelo Instituto Superior Técnico. Colaborou com a Faculdade de Engenharia da Universidade Católica Portuguesa entre Outubro de 2000 e Janeiro de Foi Vogal da Direção da Faculdade de Engenharia entre 2002 e 2008 e coordenador da área científica de Matemática entre 2001 e Desde Fevereiro de 2014 é Professor Auxiliar Convidado da Católica Lisbon School of Business and Economics. Os seus interesses de investigação incluem a Engenharia de Reabilitação, nomeadamente aplicações robóticas à reabilitação de pessoas com deficiência, e o controlo não linear de veículos autónomos.

5 Contacto(s) e Atendimento: Susana Torrado Gabinete: 5201 Horário de dúvidas: terça-feira 11:00 12:00; quarta-feira 12:30 13:30 susana.torrado@sapo.pt Pedro Encarnação Gabinete: 5329 Horário de dúvidas: quinta-feira 15:30 16:30 pme@ucp.pt Carla Cardoso Gabinete: 5201 Horário de dúvidas: sexta-feira 13:00 14:00 carlacardoso@clsbe.lisboa.ucp.pt