Conceitos: Função. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções potência, exponencial e

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1 Matemática II 05/6 Curso: Gestão Departamento de Matemática ESTG-IPBragança Ficha Prática : Revisões: Funções, Derivadas. Primitivas Conceitos: Alguns Tipos de Equações e Inequações Equações e inequações. Equação da recta e da parábola. Funções reais de variável real Função. Domínio, contradomínio e imagem de uma função. Funções potência, eponencial e logarítmica. Função composta. Função inversa. Polinómios. Funções racionais. Decomposição de funções racionais em fracções parciais. Função composta. Função inversa. Funções trigonométricas directas e inversas. Sequências Numéricas. Continuidade de Funções. Vizinhança de um número. Sequências numéricas. Sequências limitadas. Sequências monótonas. Subsequência. Limite de uma sequência; propriedades dos limites. Limites de funções, propriedades dos limites de funções. Função contínua num ponto e num intervalo. Descontinuidades de ª e de ª espécie. Teoremas sobre funções contínuas. Teorema do valor intermédio. Derivada de uma função real de variável real Derivada de uma função num ponto e num intervalo. Derivadas de algumas funções elementares. Derivada da função composta (regra da cadei. Derivada da função inversa. Teoremas de Rolle (dos zeros das derivadas) e de Lagrange (da média do cálculo diferencial). Regras de L'Hospital. Etremos de uma função num intervalo, pontos críticos de uma função, esboço de gráficos de funções. Problemas de optimização. Derivada da função implícita. Integral Indefinida Primitiva de uma função, integral indefinida, propriedades da integral indefinida. Integração de algumas funções elementares. Primitivação por substituição e por partes. Primitivação de fracções racionais Equações e Inequações Resolver em ordem a as equações e inequações. 0 b) 5 c) 4 d) e) 9 f) g) 8 4 h) j) 0 k) 0 l) 4 5 m) 5 n) o) 0 p) 5 q) r) 7 8 s) t) 4 4 u) 4 ESTG/IPB Departamento de Matemática 05/6 Mário Abrantes

2 Matemática II - Gestão ESTG-IPB Ficha Prática pg. Resolver em ordem a cada uma das variáveis indicadas. 9 A b b h h, b b) F C C c) 5 a bc F d c d) b b 4ac c e) log 5 log5 a log 4 f) 5 h) g) log log 5 5 b a b i) j) ln ln 8 ln8 k) m t 0. c A t m l) a t b t Funções Quais dos seguintes conjuntos de pares ordenados e equações representam funções? Para os casos correspondentes a funções, indicar o domínio, a imagem e determinar os zeros.,, 4,0,,,,0 b),,,0,,0, 4,0 c),, 4,0,,,, d) y 8 e) y f) y 9 4. Para cada uma das funções, indicar o tipo de função (na classe das funções elementares), o domínio e a imagem. f ( ) b) g( ) 4 7 t c) s( t) t d) h( r) 6 r e) k( t) log 0 t f) m( r) r r 5. Para cada alínea abaio, escrever as funções f f g, g f,, f g, f g. g f ( ) f ( ) b) g( ) g( ) 4 f ( ) f ( ) 4 e) d) g( ) g( ) f ( ) 4 c) g( ) 70 f ( ) 5 f) g( ) 6. Considerar a função f (). Escrever a epressão g() de uma função, tal que o ponto não pertença ao domínio da composta g f. b) Escrever a epressão g() de uma função, tal que o ponto y não pertença à imagem da composta f g. ESTG/IPB Departamento de Matemática 05/6 Mário Abrantes

3 Matemática II - Gestão ESTG-IPB Ficha Prática pg 7. Para cada função, determinar a função inversa e usar a operação de composição de funções para verificar a correcção dos cálculos. f ( ) 5 8 f ( ) c) f ( ) b) 5 f ( ) f ( ) f) f ( ) d) e) 8. Esboçar os gráficos. f ( ) sen b) f ( ) sen c) f ( ) tg 9. Determinar os domínios e as imagens das funções. d) f ( ) sen sen f ( ) e) b) f ( ) sen c) f ( ) sen f ( ) cos sen f) f ( ) tg 0. Determinar as medidas indicadas. sen ( ), sabendo que tg( ) b e que é um ângulo do º quadrante. b) tg( ), sabendo que sen( ) b e que é um ângulo do º quadrante. c) sen ( ), sabendo que cos( ) b e que é um ângulo do 4º quadrante.. Demonstrar as igualdades trigonométricas. sen cos ec b) cos tg sen c) tg sen ( ) ( ) Sequências Numéricas, Limites, Continuidade de Funções Mostrar que b) Mostrar que n n * * para qualquer n (nota: \ 0 ). n n * c) Justificar que a função f :, f () é estritamente decrescente no seu domínio de definição. d) Para a função da alínea anterior, mostrar que lim f (). h(). Considerar a função g(), com f () Mostrar que lim g(). b) Mostrar que lim h() f (). f () e h(). ESTG/IPB Departamento de Matemática 05/6 Mário Abrantes

4 Matemática II - Gestão ESTG-IPB Ficha Prática pg 4 h() c) Comentar o seguinte: apesar de ser lim não se pode dizer que f () quando. 4. Para cada função: - marcar dois pontos do gráfico no referencial y; - esboçar o gráfico; - calcular lim f (), lim f (). f ( ) d) f ( ) ln b) e) f ( ) c) f ( ) ln f ( ) cos f ( ) f) f ( ) e g) f ( ) sen h) i) f ( ) tg 5. Determinar os limites. n ( lim n n n (d) lim 0.99 (g) n lim 0 (b) (e) (h) n lim n n lim.0 n n lim 0 (c) (f) (i) n lim n n k lim n n lim n 6. Considerar as funções f (0) 0 g() e, se 0, g(0) 0 e sen f () e se 0, Mostrar que a função g() é descontínua apenas no ponto 0 do seu domínio, tendo aí uma descontinuidade de ª espécie. b) Mostrar que a função f () é descontínua apenas no ponto 0 do seu domínio, tendo aí uma descontinuidade de ª espécie. Derivadas. Aplicações Demonstrar as igualdades. fgh fgh fgh fgh f f f f f f f f f f f f b) n n n n 8. Sejam u(), v() duas funções deriváveis. (sugestão: integrar ambos os membros da epressão Mostrar que uvd uv uvd uv uv uv ). ESTG/IPB Departamento de Matemática 05/6 Mário Abrantes

5 Matemática II - Gestão ESTG-IPB Ficha Prática pg 5 b) Usar o resultado da alínea para calcular o integral ln()d (sugestão: fazer u() ln() e v () () ). 9. Dez objectos de um certo tipo custam 5 euros. Escrever a função linear C() que eprime o custo em função da quantidade de objectos. b) Calcular C (). Qual o custo de objecto? 0. O gráfico e a tabela seguintes representam o custo total de produção C(q) - coluna Cost na tabela e eio dos yy no gráfico - em função da quantidade q de unidades produzidas de um certo produto. A tabela contém também a receita total R(q) coluna Sales na tabela. Considerar q 500. Calcular o custo total, o custo marginal (custo por unidade de produto), a receita total, a receita marginal, o lucro total e o lucro marginal correspondentes. b) Escrever uma epressão para a receita total R(q). Verificar que receita marginal é constante. c) Calcular uma estimativa do custo marginal, para os produtos produzidos acima de q 500 e abaio de q 600. ( O preço p de venda (u.m.) de um certo tipo de pneus, em função da quantidade q de pneus vendida, é dado por p 0.4q 400, ceteris paribus. Obter a função receita, R(q). b) Obter a função receita marginal, R Mg (q). c) Calcular R Mg (400). Relacionar este valor com a receita de venda do 40º pneu. d) Maimizar a receita. ESTG/IPB Departamento de Matemática 05/6 Mário Abrantes

6 Matemática II - Gestão ESTG-IPB Ficha Prática pg 6. Um fabricante pode produzir livros de economia a $5 cada. Actualmente o livro é vendido a $0 e são vendidos 0 eemplares por dia. O fabricante estima que cada unidade monetária a menos no preço faz com que seja vendido um eemplar a mais. Escreva as funções de demanda e de lucro. Qual o preço p que maimiza o lucro?. Uma firma calcula que em um dado momento a sua produção está a crescer a uma taa de unidades por hora e que seu custo marginal é u.m. por unidade produzida. Qual é a taa de variação do custo de produção em função do tempo, nesse momento? 4. Utilizar diferenciais para aproimar os valores das epressões 6 b) sen (9º) c). d) log 0(0) 5. A área de um quadrado, A(), é função da medida de cada um dos seus lados. Determinar a taa de variação média da área com a medida do lado, quando a medida do lado varia de m para.5m. b) Determinar a taa de variação da área com a medida do lado, para 4m. 6. Determinar as dimensões de uma lata cilíndrica, com tampa, com volume V, de forma que a área da sua superfície eterior seja mínima. 7. Determinar o ponto da curva y que se encontra mais próimo do ponto 7, Quais as dimensões do rectângulo de perímetro P, de modo que a sua área seja máima? 9. Determinar uma recta tangente á elipse y de modo que a área do triângulo que ela forma com os semieios coordenados positivos seja mínima. 0. Determinar dois números inteiros positivos cuja soma seja 70 e cujo produto seja o maior possível.. Considerar as funções f ( ) e ( ) g. Calcular g 4 e f determinar a função f g f g(), calcular f g 4. f e g( ). Calcular g e f 4 b) Considerar as funções ( ) 4 a função f g f g(), calcular f g... Utilizar a regra da cadeia para calcular f g. Sem. Sem determinar f ( ) g( ) b) f ( ) g( ) 4 c) f ( ) sen 4 g( ) 70 ESTG/IPB Departamento de Matemática 05/6 Mário Abrantes

7 Matemática II - Gestão ESTG-IPB Ficha Prática pg 7. Para cada função f (), sem calcular a função inversa f () no ponto indicado. f (), determinar a derivada f ( ) 5, b) f ( ), 5 c) f ( ), 7 4. Calcular as derivadas das funções. ( y 5 (b) (d) y (e) (g) (j) y 7 7 (h) (c) f () y y 4 y 6 y 6 4 (k) y (l) y a cos (n) y sen (o) y ln 4 5 y e 4 5 (t) y 7 (u) (m) (p) y lna b (q) (s) (v) y (y) y (bb) y (w) (z) y ln e sen (cc) y sen y (f) (i) y 5 y a b a b t y t tg y sec (r) y ln 5 y e e () 5 e (a y y e (dd) y sen 5. Mostrar que a função f () ln() tem um zero no intervalo 0, (sugestão: usar o teorema de Bolzano (teorema do valor intermédio) ou então usar um argumento baseado em gráficos). 6. Mostrar que a função f () ln() não tem zeros (sugestão: usar o teorema dos crescimentos finitos de Lagrange). 7. Mostrar que eistem base b tais que b log () para algum. b %0na%0Administracao.pdf ESTG/IPB Departamento de Matemática 05/6 Mário Abrantes

8 Matemática II - Gestão ESTG-IPB Ficha Prática pg ica%0aplicada%0%c%a0%0economia%0i%0-%0lista%0%0- C%C%Alculo%0a%0Uma%0Vari%C%Avel.pdf ESTG/IPB Departamento de Matemática 05/6 Mário Abrantes