Lista 7.4 Optimização com Restrições de Desigualdade

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1 Faculdade de Economia da Universidade Nova de Lisboa Apontamentos Cálculo II Lista 7.4 Optimização com Restrições de Desigualdade 1. Problema de optimização de uma função escalar f, de n variáveis reais, com m restrições de desigualdade: Problema de escolha, entre todos os pontos do domínio de f cujas variáveis respeitam um sistema de m inequações, aqueles que têm maiores ou menores imagens, local ou globalmente. f: D f n g: D g n m g 1 x 1,,x n b 1 opt x1,,x n fx 1,,x n s.a. g m x 1,,x n b m 2. Tipos de soluções de problemas de optimização com restrições de desigualdade: x é minimizante local de f restrita a gx b : x V x D f: gx b, fx fx x é minimizante global de f restrita a gx b : x D f : gx b, fx fx* x é maximizante local de f restrita a gx b : x V x D f : gx b, fx fx x é maximizante global de f restrita a gx b: x V x* D f : gx b, fx fx 3. Problema de optimização de uma função escalar f, de n variáveis reais, com p restrições de limitação de sinal: Problema de escolha, entre todos os pontos do domínio de f cujas variáveis de índice 1, 2,... e p são não negativas (se as restrições forem de não negatividade) ou não positivas (se as restrições forem de não positividade), aqueles que têm maiores ou menores imagens, local ou gl obalmente. f: D f n x 1 0 opt x1,,x n fx 1,,x n s.a. x p 0 4. Problema de optimização de uma função f, de 2 em, com 2 restrições de não-negatividade: Problema de escolha, entre todos os pontos do domínio de f cujas variáveis x e y são não nega tivas, aqueles que têm maiores ou menores imagens, local ou globalmente. f: D f 2 1

2 opt x,y fx,y s.a. x 0 y 0 5. Condições necessárias para a resolução de problemas de optimização com restrições de limitação de sinal (xi Variável associada à restrição de limitação de sinal): Maximização e não negatividade: f x 0 x i 0 x. x i x i f i x 0 Maximização e não positividade: fx i x 0 x i 0 x i. fx i x 0 Minimização e não negatividade: f x 0 x i 0 x. x i x i f i x 0 Minimização e não positividade: f xi x 0 x i 0 x i. f xi x 0 6. Problema de optimização de uma função escalar f, de n variáveis reais, com i restrições de igualdade, d de desigualdade e p de limitação de sinal: Problema de escolha, entre todos os pontos do domínio de f cujas variáveis respeitam um sistema de i equações e d inequações e cujas variáveis de índice 1, 2,... e p são não negativas (se as restrições forem de não negatividade) ou não positivas (se as restrições forem de não positividade), aqueles que têm maiores ou menores imagens, local ou globalmente. f: D f n g: D g n id g 1 x 1,,x n b 1 g i x 1,,x n b i g i1 x 1,,x n b i1 max(min) x1,,x n fx 1,,x n s.a. g id x 1,,x n b id x 1 0 x p 0 7. Método da resolução gráfica de um problema de optimização com restrições de igualdade, desigualdade e limitação de sinal: Processo que consiste na representação gráfica das curvas de nível da função objectivo e do conjunto de oportunidades do problema, para que seja possível escolher, entre todos os pontos do conjunto de oportunidades, aquele que pertence a uma curva de nível associada à maior imagem da função. 2

3 8. Método de Kuhn Tucker para a resolução de um problema de optimização de uma função escalar f, de n variáveis reais, com i restrições de igualdade, d de desigualdade e p de limitação de sinal: Processo que consiste na determinação de pontos que resolvem um conjunto de condições, relativas às suas variáveis e a uma função, denominada Lagrangeana. Os valores das variáveis de decisão dos pontos encontrados podem constituir as coordenadas de possíveis soluções do problema. f: D f n g: D g n id g 1 x 1,,x n b 1 g i x 1,,x n b i g i1 x 1,,x n b i1 max(min) x1,,x n fx 1,,x n s.a. g id x 1,,x n b id x 1 0 x p 0 qr : D n x 1,,xn, λ 1,,λi, λ i1,,λ id fx 1,,xn λ 1.b 1 g 1 x 1,,x n λ i.b i g i x 1,,x n λ i1.b i1 g i1 x 1,,x n λ id.b id g id x 1,,x n 9. Condições de Kuhn Tucker associadas a um problema de maximização de uma função escalar f, de n variáveis reais, com i restrições de igualdade, d de menor ou igual e p de não-negatividade: Condições associadas ao método de Kuhn Tucker, relativas a este problema. f: D f n g: D g n id g 1 x 1,,x n b 1 g i x 1,,x n b i g i1 x 1,,x n b i1 max x1,,x n fx 1,,x n s.a. g id x 1,,x n b id x 1 0 x p 0 qr : D n x 1,,x n, λ 1,, λ i d f x 1,,x n λ 1.b 1 g 1 x 1,,x n λ id.b id g id x 1,,x n Condições de Kuhn Tucker: 3

4 Lista 7. 4 Optimização com Restr ições de Desigualdade x 1 x 1,,x n, λ 1,,λ id 0 x 1 0 x 1. x1 x 1,,x n, λ 1,,λ id 0 x 1,,x n, λ 1,,λ id 0 x p 0 x 1. x1 x 1,,x n, λ 1,,λ id 0 xp x 1,,x n, λ 1,,λ id 0 xp1 xn x 1,,x n, λ 1,,λ id 0 λ1 x 1,,x n, λ 1,,λ id 0 λi x 1,,x n, λ 1,,λ id 0 λi1 x 1,,x n, λ 1,,λ id 0 λ i1 0 λ i1. λi1 x 1,,x n, λ 1,,λ id 0 λid x 1,,x n, λ 1,,λ id 0 λ id 0 λ id. λid x 1,,x n, λ 1,,λ id Condições de Kuhn Tucker associadas a um problema de maximização de uma função f, de 2 em, com 1 restrição de igualdade, 1 de menor ou igual e 1 de não-negatividade: Condições associadas ao método de Kuhn Tucker, relativas a este problema. f: D f 2 g: D g 2 2 g 1 x,y b 1 max x,y fx,y s.a. g 2 x,y b 2 x 0 : D 3 x,y,λ fx,y λ 1.b 1 g 1 x,y λ 2.b 2 g 2 x,y Condições d e Kuhn Tucker: x x,y,λ 0 x 0 x. x x,y,λ 0 y x,y,λ 0 λ1 x,y,λ 0 λ 2 x,y,λ 0 λ2 0 λ2.λ 2 x,y,λ 0 f x x,y λ 1. g 1 x,y λ x 2. g 2 x,y 0 x 0 x.f x x x,y λ 1. g 1 x,y λ x 2. g 2 x,y 0 x f y x,y λ 1. g 1 x,y λ y 2. g 2 x,y 0 y g 1 x,y b 1 g 2 x,y b 2 λ 2 0 λ 2.b 2 g 2 x,y Adaptação de problemas de optimiza ção com restrições de igualdade, desigualdade e limitação de sinal: Maximização e minimização: min x fx max x fx Menor ou igual e maior ou igual: gx b gx b 4

5 Não negatividade e não positividade: x 0 x' 0 (x' x) 12. Limitações de sinal dos multiplicadores de Lagrange (λ) nas condições de Kuhn Tucker: Maximização e restrição j de menor ou igual: λ j 0 Maximização e restrição j de maior ou igual: λ j 0 Minimização e restrição j de menor ou igual: λ j 0 Minimização e restrição j de maior ou igual: λ j Restrição de desigualdade activa num ponto do conjunto de oportunidades, x o, num problema de optimização com restrições de desigualdade: Restrição, cuj a função associada, g, a su o valor limite permitido pela restrição, b j, em x o j s me. Restrição g j x b j é activa g j x o b j 14. Teorema da Suficiência de Kuhn Tucker: g 1 x 1,,x n b 1 g i x 1,,x n b i g i1 x 1,,x n b i1 Problema: max x1,,x n fx 1,,x n s.a. g id x 1,,x n b id x 1 0 xn 0 f (estritamente) côncava e diferenciável em x 1,,x n n : x 1 0 x n 0 g convexa e diferenciável em x 1,,x n n : x 1 0 x n 0 x 1,,x n, λ 1,,λ id verifica as condições de Kuhn Tucker associadas ao problema x 1,,x n é maximizante global (único) do problema 5

6 15. Teorema da Necessidade de Kuhn Tucker: g 1 x 1,,x n b 1 g i x 1,,x n b i g i1 x 1,,x n b i1 Problema: max x1,,x n fx 1,,x n s.a. g id x 1,,x n b id x 1 0 x n 0 X Conjunto de oportunidades Problema g x g a1,,g as Função vectorial constituída pelas s componentes de g associadas a restrições de desigualdade activas do problema em x Pelo meno s uma das seguintes condições é verificada: j g linear 1,,i d, j intx j 1,,i d, gj conve xa X convexo x frx, j 1,,d: g j activa em x, g j 0 x frx, rank J gx x s x 1,,x n é maximizante do problema λ 1,,λ id id : x 1,,x n, λ 1,,λ id verifica as condições de Kuhn Tucker 16. Teorema do Envelope em optimização com restrições de igualdade, desigualdade e limitação de sinal: f: D f n f diferenciável Problema: optxfx s.a. restrições de igualdade, desigualdade e limitação de sinal, associadas a funções diferenciáveis X x1,,x n Conjunto de variáveis de decisão do problema Α α 1,, α k Con junto de parâmetros do problema x α x 1 α 1,,αk,,x n α 1,,αk é extremante do problema, para o vector de parâmetros α 1,, α k f α 1,,α k fx 1 α 1,,α k,,x n α 1,,α k, α 1,,α k 6

7 i 1,,k, f α i α 1,,α k αi x 1 α 1,,α k,,x n α 1,,α k, α 1,,α k 17. Teorema do Envelope em optimização com restrições de igualdade aplicado a uma função com 2 variáveis de decisão, 1 restrição de desigualdade, 2 restrições de não-negatividade e 1 parâmetro: f: D f 2 g: D g 2 f,g diferenciáveis gx,y b Problema: opt x,y fx,y s.a. x 0 y 0 X x,y Conjunto de variáveis de decisão do problema b Parâme tro do problema x b, y b é extremante do problema, para o parâmetro b f b fx b, y b f b b x b, y b,b 18. Teorema do Envelope em optimização com restrições de igualdade, desigualdade e limitação de sinal, variação de parâmetros do problema e variação dos extremos condicionados da função objectivo: O Teorema do Envelope em optimização com restrições de igualdade, desigualdade e limitação de sinal é útil na medida em que permite que, se um parâmetro de um problema variar, não seja preciso voltar a resolver um problema de optimização para conhecer os novos extremos condicionados da função objectivo. Quando um parâmetro varia infinitesimalmente, a variação destes extremos é igual à variação da função Lagrangeana, avaliada nos pontos extremantes originais. 7