Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Introdução à Economia Matemática Professor Rodrigo Nobre Fernandez. Primeira Avaliação

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1 Universidade Federal de Pelotas Disciplina de Introdução à Economia Matemática Professor Rodrigo Nobre Fernandez Primeira Avaliação ) Sejam definidos os seguintes conjuntos ( ponto): I = Conjunto de pessoas que gostam de churrasco. R = Conjunto de pessoas que gostam de tomar chimarrão. RS = Conjunto de pessoas que moram no Rio Grande do Sul. A seguinte operação (I RS) c R c representa qual conjunto? É o conjunto das pessoas que não gostam de churrasco ou não moram no RS e não gostam de tomar chimarrão. 2) Dados os conjuntos K = { x R/ < x < 3} e J = { x R + /4 x 2 9 } ( ponto): a) Encontre o produto cartesiano P = K J. Primeiramente encontraremos o conjunto K, resolvendo a inequação: 3 < x e x < K =] 3,[ Agora vejamos o conjunto J. Note que x deve ser estritamente positivo. Então, desconsideraremos as raízes negativas. Desse modo, teremos que: J = [2,3] Assim: P =] 3,[ [2,3] b) Seja H = {( + n, n) /n N }, verifique se H P. O primeiro passo é verificar que H é um produto cartesiano. Seja N os naturais sem os zeros, tomaremos o limite para o menor e para o maior termo desse conjunto, como segue: lim + n = 2 e lim + n = n n Temos que: lim n n = e lim n n = 0 H = [2,+ [ [0,[

2 Comparando H com P e notamos que H não está contido em P. 3) Seja a função g (x) = x pede-se o seguinte ( ponto): a) O domínio e a imagem desta função. Resolva a equação: x = 0 x = Se x < teremos uma raiz quadrada negativa o que não está definido para os números reais. Desse modo, o domínio deve ser: Dom = {x R x } A imagem são todos os reais positivos incluindo o zero. Img = {x R x 0} b) A função g(x) possui inversa? Sim, como g(x) é injetiva e sobrejetiva ela possui uma função inversa. g (x) = y = x y 2 = x y 2 + = x g (y) = y 2 + 4) Sabendo que a função de demanda é p=0-q e a função de custo é de C=0+3q pede-se (2 pontos): a) O preço que maximiza o lucro. Devemos montar a função de lucros: p = 0 q Sabemos que a função receita é igual ao preço vezes a quantidade produzida: p q = 0q q 2 Como o termo quadrático é negativo essa função é côncava para baixo. Já a função de lucros é a receita total menos o custo total: Π(q) = 0q q 2 (0 + 3q) = q 2 + 7q 0 2

3 Usando a fórmula do x do vértice, no nosso caso, q do vértice teremos: q v = q v = b 2a 7 2( ) = 3.5 Substitua esse valor na função de demanda para obter o preço: p = 0 q p = = 6.5 b) O gráfico da função lucro com a quantidade máxima e o lucro máximo. Para fazermos o gráfico é necessário acharmos os pontos que interseccionam com o eixo q. Isto pode ser feito encontrando as quantidades que fazem o lucro ser zero. Π(q) = 0 q 2 + 7q 0 = 0 Temos então que as raízes são: q = 7 ± ( 7) 2 4( )( 0) 2( ) q = 2 e q = 5 Também é interessante acharmos o lucro máximo. Podemos fazer isso inserindo q = 3.5 na equação do lucro ou usando a fórmula do y v = 4a. Farei pelo primeiro método, mas você deve verificar que a resposta é a mesma usando a segunda forma: forma: Π(3.5) = (3.5) 2 + 7(3.5) 0 = 2.25 Verificamos que a função de lucro é côncava para baixo porque a é negativo então o gráfico ficaria da seguinte 3

4 Figura : Função de Lucros c) O intervalo em que o preço deve variar para que o lucro seja não negativo. Pelo gráfico na letra b, vemos que qualquer quantidade entre 2 e 5 teremos lucros não negativos. Usando a função de demanda calculamos os preços para essas respectivas quantidades que são 5 e 8. Para que o lucro seja não negativo 5 p 8. d) Quais as quantidades que fazem que o lucro seja igual a 2? Π(q) = 2 Temos então que as raízes são: q 2 + 7q 2 = 0 q = 7 ± ( 7) 2 4( )( 2) 2( ) q = 4 e q = 3 5) Seja f (x) = x a (,5 pontos): a) Verifique se f(x) é homogênea. Se positivo, defina k como o grau de homogeneidade. f (tx) = (tx) a f (tx) = x a t a f (tx) = t a f (x) 4

5 A função é homogênea de grau k=a b) Caso f(x) seja homogênea, que condição garante k=? a= c) Se f(x) for homogênea, mostre que f (x) é homogênea de grau k-. f (x) = ax a f (tx) = a(tx) a f (tx) = ax a t a f (tx) = t a f (x) Então a função derivada é homogênea de grau k-. 5

6 6) Dada a função f (x,x 2 ) = x λ xβ 2 que define o benefício de um consumidor. Suponha que independentemente de qualquer fato, este indivíduo sempre está satisfeito com uma unidade de x 2. Deseja-se saber o seguinte: (,5 pontos) a) Se há uma variação marginal em x qual o nível de satisfação desse consumidor? f (x,x 2 ) = λx λ x β 2 Considerando x 2 = f (x,) = λx λ b) Suponha que f(x,) x =, qual é o valor de x? f (x,) = λx λ = x λ = λ x = ( ) λ λ x = λ λ c) Resolva a letra b para λ = 2. x = (0.5) 0.5 x = (0.5) 2 x = ) Mostre que f (x) = x 2 é contínua b R ( ponto). lim x b f (x) = x2 = lim x b +f (x) = x2 = f (b) = b 2 Portanto essa função é contítua para todo b do domínio. 8) Calcule o limite de ( ponto): 6

7 a) lim x 2x2 + 0x + 8 b) lim x 0 x + c) lim x 2 2x 2 + 0x 28 2x 2 x 4x 3 d) lim 0.5 e) lim x ex 0 7