Análise Matemática II TESTE/EXAME

Transcrição

1 Instituto Superior Técnico Departamento de Matemática o Semestre 4-5 a Data Análise Matemática II TESTE/EXAME CURSOS: LEAMB, LEEC, LCI, LQ, LEQ, LEBL Obtenha uma primitiva de cada uma das funções definidas pelas seguintes expressões nos intervalos indicados: a ], + [ x x b e x sen e x ], + [ 5 c x x + x + ], + [ a Com a substituição t = x, P = P x x t b Com a substituição t = e x, = log t = log x. P e x sen e x = P t sen t = t cos t+p cos t = t cos t+sen t = e x cos e x +sen e x. c x P = P x + x + x + + x + = log x+ + x + logx ++ arctan x. 5 Mostre que: Com a substituição t = /x, sen x x dx = x /4 x sen x dx sen x x dx = /4 sen /t x /t t dt = 3 /4 x sen x dx

2 3 Calcule a área da região do plano deitada pelas curvas de equações: y = x y + x = 8 As duas curvas uma recta e uma parábola intersectam-se nos pontos x, y que satisfazem x = y e y +y 8 =, que são 8, 4 e 4,. Integrando em ordem a y, a área pretendida é dada por 4 8 y y dy = 36 4 Considere a função f definida no intervalo ] π, π [ por: fx = e sen x e t t dt Mostre que f x = + fx cos x para todo x pertencente ao domínio de f. Em primeiro lugar fx = e sen x e t dt. t Como a função integranda é contínua, o Teorema Fundamental da Análise, juntamente com as regras de derivação da função composta e de derivação do produto, implica que f x = cos xe sen x e t cos t dt+esen x e sen x x = cos xfx+, sen x uma vez que, no domínio de f, sen x = cos x. 5 Considere a função f : R R dada por: x x y sen y se x, y, fx, y = x + y se x, y =,

3 a Justifique que f é uma função contínua em,. b Verifique se f é diferenciável em,. a A função é contínua no ponto, uma vez que, numa vizinhança desse ponto, ela é definida como o preoduto de funções contínuas polinómios e a função seno. b As derivadas parciais de f em, são ambas iguais a zero, pelo que f é diferenciável em, se e só se x,y, fx, y x + y = Ora, para y o caso y = é óbvio, x x y sen y x + y x + y = x sen y y x + y y x + y x y x y uma vez que cada um dos outros três factores é menor que. 6 São dadas uma função g : R R de classe C e a função f definida em {x, y : y } por: fx, y = xy, x y Sabendo que g, =,, mostre que w x + w y = g u + g para x, y =,, sendo w = gu, v e u, v = fx, y. O facto de f e g serem ambas de classe C permite que calculemos as derivadas parciais de w pela regra de derivação da função composta. Temos então: w x = g u u x + g x = g u y + g y e, do mesmo modo, w y = g u x + g 3 x y.

4 As derivadas de segunda ordem calculam-se da mesma forma: w x = g u y + g g y + u y u y + g v y y e w y = g u x + g u x g x + y u x + g v x y x y + g x y 3. Fazendo x, y =, e notando que g obtém-se a igualdade. = para u, v =, = f,, 7 Considere a função f : R 3 R definida por: fx, y, z = xy cos z + z sen z Mostre que,, é ponto de estacionaridade de f, e determine a sua natureza recorrendo à fórmula de Taylor. As derivadas parciais de f são x = y cos z, y = x cos ze z portanto,, é de facto ponto de estacionaridade. = xy sen z + sen z + z cos z A fórmula de Taylor de a ordemde f, relativa ao ponto,, é fx, y, z = xy + z rx, y, z xy+z +rx, y, z = + x +y +z, x + y + z x + y + z onde Desse modo, por exemplo, x,y,z,, fx, x, = rx, y, z x + y + z =. rx, x, + x > x para x suficientemente pequeno, enquanto que fx, x, = rx, x, + x < x também para x suficientemente pequeno. Trata-se, portanto, de um ponto de sela. 4

5 8 Considere a função f definida por: 5 5 f : { x, y : y x x > y > } R fx, y = x y y x a Sendo g a função que exprime o valor de f em termos de coordenadas polares isto é, gr, θ = fx, y, determine, ou mostre que não existe, o ite: gr, θ r,θ, b Obtenha as equações cartesianas das curvas de nível de f e tire conclusões sobre o contradomínio de f. c Determine, ou mostre que não existe, o ite: fx, y x,y, a pelo que gr, θ = fr cos θ, r sen θ = gr, θ = r,θ, r,θ, r3 cos θ sen θ r sen θ r cos θ, r cos θ sen θ r sen θ cos θ = b Para c = a curva de nível é constituída pela união dos dois eixos x = e y =. Para c x y y x = c cy x y cx = y = x ± x4 + c x c que tem solução para todo o c basta, por exemplo, escolher x >. Portanto o contradomínio de f é R. c Usando a alínea anterior, notamos que a curva de nível c tem, como ponto de acumulação, c: x ± x4 + c x, x + c logo, em qualquer vizinhança de, existem pontos onde fx, y = c, para todo c, e portanto não existe x,y fx, y. 5