Multiplicadores de Lagrange

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1 Multiplicadores de Lagrange Para motivar o método, suponha que queremos maximizar uma função f (x, y) sujeito a uma restrição g(x, y) = 0. Geometricamente: queremos um ponto sobre o gráfico da curva de restrição tal que f (x, y) seja tão grande quanto possível. Figura: Curva de restrição g = 0 e algumas curvas de nível de f.

2 Cada ponto de g = 0 é candidato a solução, mas queremos um ponto nessa curva onde f é o maior possível. Notamos que a curva de nível 400 é especial para este exemplo. Pergunta fundamental: o que acontece com os vetores gradiente de f e de g em (x 0, y 0 )? Note que nesse ponto a curva g = 0 e a curva f = 400 tem uma reta tangente comum.

3 Como f (x 0, y 0 ) é normal a curva de nível f (x, y) = 400 em (x 0, y 0 ), e como g(x 0, y 0 ) é normal à curva restrição g(x, y) = 0, concluímos que estes vetores tem que ser paralelos: existe λ escalar tal que f (x 0, y 0 ) = λ g(x 0, y 0 )

4 O número λ é dito multiplicador de Lagrange. Esta expressão é o nosso método. Teorema (Multiplicadores de Lagrange: duas variáveis e uma restrição). Sejam f e g funções de duas variáveis com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em algum conjunto aberto contendo a curva de restrição g(x, y) = 0 e suponha que g 0 em qualquer ponto da curva. Se f tiver um extremo relativo restrito à curva, então este extremo ocorre em um ponto (x 0, y 0 ) da curva de restrição no qual f (x 0, y 0 ) = λ g(x 0, y 0 ) para um certo λ escalar.

5 A mesma condição é válida em pontos da curva de restrição nos quais f (x, y) tem um mínimo. f (x 0, y 0 ) = λ g(x 0, y 0 ) Exemplo. Em que ponto ou pontos do círculo x 2 + y 2 = 1 tem f (x, y) = xy um máximo absoluto? Qual é esse máximo?

6 Note que x 2 + y 2 = 1 é um conjunto fechado e limitado, e f (x, y) = xy é uma função contínua. Pelo teorema do valor extremo, f tem um máximo e mínimo absoluto no círculo. Usaremos o método do multiplicador de Lagrange. Queremos: maximizar f (x, y) = xy sujeito à restrição g(x, y) = 0, onde g(x, y) = x 2 + y 2 1. Temos f (x, y) = (y, x), g(x, y) = (2x, 2y) = f (x, y) = λ g(x, y) (y, x) = λ(2x, 2y) Logo, y = 2λx e x = 2λy.

7 y = 2λx, x = 2λy Vamos isolar λ em ambas equações. Mas primeiro, note que se x = 0 então y = 0 ou, se y = 0 então x = 0. Em qualquer caso, temos x 2 + y 2 = 0 e portanto a restrição x 2 + y 2 = 1 não é satisfeita. Logo, podemos supor x 0 e y 0. Podemos então isolar λ em ambas equações: λ = y 2x, λ = x 2y = y 2x = x 2y = y 2 = x 2 Mas x 2 + y 2 = 1 implica que 2x 2 = 1 e logo x = ±1/ 2. Se x = 1/ 2 obtemos duas possibilidades y = ±1/ 2 e analogamente para y.

8 Note que esta tabela também fornece os mínimos absolutos.

9 Exemplo. Use um multiplicador de Lagrange para encontrar as dimensões do retângulo com perímetro p e área máxima. Seja x o comprimento do retângulo, y a largura do retângulo e A a área. Queremos maximizar A = xy no segmento de reta 2x + 2y = p, 0 x, y. Tal segmento é um conjunto fechado e limitado e f é contínua. Pelo teorema do valor extremo, f tem máximo absoluto nesse segmento. Se f (x, y) = xy e g(x, y) = 2x + 2y p então f (x, y) = (y, x), g(x, y) = (2, 2). Temos g 0 e portanto f = λ g = (y, x) = λ(2, 2) = y = 2λ, x = 2λ Logo, x = y e então o retângulo é um quadrado e x = y = p/4.

10 O método também pode ser usado para problemas de 3 ou mais variáveis. Exemplo. Determine os pontos x 2 + y 2 + z 2 = 36 que estão o mais próximo e o mais afastado do ponto (1, 2, 2). Para evitar radicais, calculamos os pontos da esfera que minimizam e maximizam o quadrado da distância ao ponto (1, 2, 2). Queremos então os extremos relativos de f (x, y, z) = (x 1) 2 + (y 2) 2 + (z 2) 2 sujeito à restrição x 2 + y 2 + z 2 = 36. Tome g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z Logo, g = (2x, 2y, 2z) e então g = 0 se, e somente se x = y = z = 0. Logo, g 0 em qualquer ponto da esfera.

11 f (x, y, z) = (x 1) 2 + (y 2) 2 + (z 2) 2 g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 36 = g = (2x, 2y, 2z) Logo, f = λ g = (2(x 1), 2(y 1), 2(z 1)) = λ(2x, 2y, 2z) 2(x 1) = 2xλ, 2(y 2) = 2yλ, 2(z 2) = 2zλ Note que nenhum dos x, y, z pode ser igual a zero (por que?) Portanto podemos isolar λ nas 3 equaçẽs para obter x 1 x = λ, y 2 y = λ, z 2 z = λ

12 x 1 x g(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 36 = λ, y 2 y Igualando as duas primeiras obtemos = λ, z 2 z = λ x 1 x = y 2 y = yx y = yx 2x = y = 2x Igualando a primeira e a terceira fornece, analogamente, z = 2x. Substituindo na equação de restrição g = 0 obtemos x 2 + 4x 2 + 4x 2 = 36 = 9x 2 = 36 = x = ±2 Como y e z são determinados por um dado x obtemos dois pontos, (2, 4, 4) e ( 2, 4, 4).

13 Mas f (2, 4, 4) = 9 e f ( 2, 4, 4) = 81, portanto (2, 4, 4) é o ponto da esfera mais próximo a (1, 2, 2) e ( 2, 4, 4) é o mais distante (quanto vale essa distância?)

14 Exercício. Determine as dimensões de uma caixa retangular aberta no topo com um volume de 32 pés 3 e cuja construção requeira uma quantidade mínima de material, usando o método do multiplicador de Lagrange. Obs. note que este exemplo é o mesmo que vimos na aula passada. Exercício. Determine o ponto da reta 2x 4y = 3 que está mais próximo da origem. Exercício. Encontre o ponto do plano 4x + 3y + z = 2 que está mais próximo de (1, 1, 1). Exercício. Obtenha o valor máximo de f sujeita à restrição dada: f (x, y, z) = xyz, x 2 + y 2 + z 2 = 1