APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA"

Transcrição

1 4 APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA Gil da Costa Marques 4.1 Geometria Analítica e as Coordenadas Cartesianas 4. Superfícies 4..1 Superfícies planas 4.. Superfícies limitadas e não limitadas 4.3 Curvas no espaço Comprimento de uma curva 4.4 Curvas no plano: Curvas de nível 4.5 Retas no espaço Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Geometria Analítica e as Coordenadas Cartesianas Como no caso das funções de uma variável, as funções de várias variáveis são muito utilizadas na geometria analítica. Neste texto, abordaremos a aplicação de tal conceito no estudo de superfícies, curvas e retas no espaço. É bom lembrar que um ponto no espaço será caracterizado por três coordenadas denominadas cartesianas. Assim, qualquer ponto no espaço é representado por uma terna ordenada (a, b, c) de números reais. Um sistema cartesiano consiste de três eixos ortogonais que se interceptam num ponto denominado a origem do sistema. Os três eixos são orientados e a orientação é indicada por setas como na Figura 4.1 e o sentido do eixo z é determinado pela regra da mão direita, também ilustrada na Figura 4.. Para representar o ponto (a, b, c) no espaço, marcamos as coordenadas a e b nos eixos x e y, respectivamente, obtendo o ponto Pʹ no plano xy, por meio de duas retas tracejadas, paralelas aos eixos x e y, respectivamente, uma traçada à distância b do eixo x e a outra, à distância a do eixo y (Figura 4.3). Figura 4.1: Os três eixos orientados. A partir de Pʹ, traçamos uma reta perpendicular ao plano xy, paralela, portanto, ao eixo z. Tendo marcado a coordenada c no eixo z, temos um ponto pelo qual traçamos uma reta paralela a OPʹ. O ponto P = (a, b, c) é a intersecção entre essa última reta e a perpendicular que foi traçada a partir de P ʹ (Figura 4.4). Figura 4.: O polegar aponta para o sentido positivo do eixo z. Figura 4.3: O ponto Pʹ é obtido a partir de a e b. Figura 4.4: O ponto P = (a, b, c) 3.

3 68 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Reciprocamente, dado um ponto P no espaço, munido de um sistema de coordenadas, encontramos a terna ordenada de números reais correspondente a esse ponto. A coordenada c, no sistema cartesiano, é obtida traçando por P uma reta paralela ao eixo z até encontrar o plano xy em Pʹ. O comprimento PPʹ fornece a coordenada c. Agora traçamos, a partir de Pʹ, duas retas tracejadas, paralelas aos eixos x e y, respectivamente, até elas encontrarem esses eixos. Os pontos de encontro das retas tracejadas com os eixos definem as coordenadas cartesianas da posição do ponto dado (Figura 4.5). Figura 4.5: Dado o ponto P 3, determinamos suas coordenadas cartesianas. 4. Superfícies De modo geral, definimos superfície como o lugar geométrico dos pontos do espaço cujas coordenadas obedecem a uma relação da forma: ϕ( xyz,, )= Figura 4.6: Uma superfície arbitrária. 4 Aplicações Na Geometria Analítica

4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 69 Uma superfície denominada elipsoide, por exemplo, é caracterizada pela relação: x a y z + + = b c 1 4. Figura 4.7: O elipsoide. Convém notar que todos os cortes são elipses. Uma superfície esférica é um caso particular de um elipsoide, no qual a = b= c= R 4.3 Figura 4.8: Superfície esférica e suas duas calotas. sendo R o raio da superfície esférica. Nem toda relação é uma função. Como já vimos, funções implícitas são definidas por relações. No caso do elipsoide, podemos definir duas funções: + x y z ( x, y) = c 1 + a b x y z ( x, y) = c 1 + a b 4.4 as quais descrevem as calotas superior e inferior do elipsoide. A relação abaixo define z como uma função das variáveis x e y: z c x y = + a b 4.5 isto é, z c x y = + a b 4.6

5 70 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo cujo gráfico é uma superfície denominada paraboloide de revolução (Figura 4.9). O eixo desse paraboloide é o eixo z e sua concavidade é para cima, se c > 0, ou para baixo se c < 0. É importante observar que cortes horizontais são elipses e cortes verticais são parábolas. A relação: Figura 4.9: Paraboloide de revolução. ( z+ a) + ρ ( z a) + onde ϛ = constante define superfícies denominadas hiperboloides de revolução, as quais podem ser escritas como: a ρ = ς 4.7 z a λ a ρ 1 ( 1 λ ) = e cujos focos estão separados por uma quantidade a. 4.8 Figura 4.10: O hiperboloide de uma folha (de revolução) Superfícies planas Uma superfície é dita plana (usualmente utilizamos a palavra plano para designar tal superfície) se os pontos que pertencem a ela forem tais que suas coordenadas obedecem a uma relação linear: ax + by + cz = d 4.9 onde a, b, c e d são parâmetros que caracterizam o plano. 4 Aplicações Na Geometria Analítica

6 A partir da equação 4.9, temos: De modo geral, escrevemos d z = a c c x b c y Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo z = A+ x + Cy 4.11 Por exemplo, o plano da Figura 4.11 é caracterizado pela equação: z = 6. Para esse plano, o parâmetro A = 6 e = C = 0. Um plano pode também ser dado por uma equação vetorial: k r = d 4.1 Figura 4.11: O plano de equação z = 6. Figura 4.1: Um plano com o vetor normal. onde k é um vetor de componentes a, b e c, e r = (x, y, z) é o vetor posição. O vetor k é o vetor normal à superfície (Figura 4.1). Dois planos são ditos planos paralelos se, quando escritos sob a forma 4.9, eles têm iguais valores de a, b e c, diferindo, no entanto, no valor de d. Assim, os dois planos descritos pelas equações: 5x+ 3y+ z = 10 5x+ 3y+ z = são planos paralelos. Dizemos que dois planos são ortogonais ou perpendiculares se os vetores normais a eles forem perpendiculares, ou seja, têm produto escalar igual a zero. Assim, dois planos são ortogonais se 4.13 k k = 0 aa + bb + cc = Figura 4.13: Planos perpendiculares. onde k 1 = (a 1, b 1, c 1 ) e k = (a, b, c ).

7 7 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Exemplo 1 Os planos Exemplos x+ 5y+ z = 10 5x+ 3y+ z = 4.15 não são ortogonais. No entanto, os planos definidos por: x 5y+ z = 10 5x+ 3y+ 5z = 4.16 são planos ortogonais, uma vez que 5 + (-5) = 0, ou seja aa 1 + bb 1 + cc 1 = Superfícies limitadas e não limitadas As superfícies tanto podem ser limitadas como não limitadas. Uma superfície esférica de raio R, definida, por: x + y + z R = é uma superfície limitada. Uma superfície cilíndrica de raio ρ, definida pela equação x + y ρ = Figura 4.14: Superfície não limitada. é uma superfície não limitada. Vale observar que qualquer corte horizontal é uma circunferência, ao passo que um corte vertical é um retângulo. 4 Aplicações Na Geometria Analítica

8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo 73 Mencionamos ainda o fato de que uma esfera é uma figura formada pelos pontos que pertencem à superfície esférica bem como todos aqueles contidos no seu interior, ou seja, essa figura é constituída pelos pontos (x, y, z) 3 para os quais x + y + z R. 4.3 Curvas no espaço O uso de funções é muito útil para a descrição de curvas no espaço. O conjunto dos pontos do espaço que satisfazem a duas relações simultaneamente: ϕ( xyz,, )= 0 φ( xyz,, )= pode ser uma curva no espaço. Por exemplo, a intersecção de uma superfície cônica, cuja equação é dada por: z = a x + y 4.1 com a calota esférica superior da esfera dada pela condição: z + = R x y 4. Figura 4.15: Uma curva como intersecção de duas superfícies. é uma circunferência. Uma curva pode ser descrita por meio de equações paramétricas, isto é, utilizando um parâmetro, designado por λ. Assim, define-se uma curva como o lugar geométrico dos pontos do espaço descrito pelas funções a um parâmetro o parâmetro λ dadas por: x = x( λ) y = y( λ) z = z( λ) 4.3

9 74 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Sendo funções, estamos nos assegurando de que a cada ponto do espaço corresponde um e apenas um valor do parâmetro λ e, ao variá-lo, obtemos os diferentes pontos ao longo da curva. Em particular, aos pontos A e correspondem os valores λ A e λ tais que suas coordenadas são dadas por: Figura 4.16: Caminhos ligando dois pontos e um dos possíveis caminhos. xa = x( λ A) ya = y( λ A) z = z( λ ) A A x = x( λ) y = y( λ) z = z( λ ) Comprimento de uma curva A um arco de uma curva, ou caminho, podemos associar o conceito de distância. Mais precisamente, podemos determinar o comprimento de um dos possíveis caminhos interligando dois pontos A e que pertencem a ele. Consideremos uma linha, ou curva, qualquer. Ela pode ser subdivida em n partes infinitesimais, considerando n pontos sobre ela (vide Figura 4.17). Para cada tamanho infinitesimal pelo qual as coordenadas de pontos consecutivos diferem, a distância entre quaisquer dois desses pontos é dada por: Figura 4.17: Dividindo uma curva por meio de n pontos. ds = dx + dy + dz i i i i 4.5 No limite em que o número de divisões tende a infinito, obtemos uma soma de Riemann e podemos escrever o comprimento da curva entre os pontos A e como: s= lim dsi = n n i Aplicações Na Geometria Analítica

10 ou seja, λ λ A λ λ A λ λ A Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo ds s ds d d dx dx dx = = = d + d + λ λ d λ λ λ dλ Adotando uma das coordenadas como variável, pode-se considerar uma parametrização da forma: z = z( x) y = y( x) O comprimento da curva pode então ser escrito como: 4.8 x s= ds = xa x xa x dx dy dz dx dx + dx + dx = 1+ dy + dz dx dx dx xa 4.9 onde x A e x são as primeiras coordenadas dos pontos A e, respectivamente. Em particular, no caso bidimensional o comprimento de uma curva é determinado pela integral: x dy s= ds = + dx 1 dx xa x xa Curvas no plano: Curvas de nível Uma curva num plano nada mais é do que a intersecção de uma superfície com o plano. Assim, no caso mais geral, a curva resulta da intersecção da superfície dada por: ϕ( xyz,, )= com o plano ax + by + cz d =0 4.3

11 76 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Em particular, a intersecção da superfície ϕ( xyz,, )= com o plano z d = Figura 4.18: Intersecção da superfície com o plano z = d. define uma curva, desde que o plano intercepte a superfície. Variando d, obtemos um conjunto de curvas no espaço, todas elas contidas na superfície. As projeções dessas curvas no plano z = 0 são as curvas de nível da superfície dada. Exemplo As seções transversais da superfície denominada paraboloide são dadas pelas soluções das equações: z+ C = z + x + y z = d i 4.35 ou seja, para cada d i, pela curva d + C = d + x + y i i 4.36 As curvas de nível correspondentes são pois circunferências concêntricas. Figura 4.19: Curva de nível de um paraboloide de revolução. 4 Aplicações Na Geometria Analítica

12 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Módulo Retas no espaço Retas no espaço resultam da intersecção de planos, desde que não paralelos, ou seja, uma reta no espaço pode ser descrita como solução de um sistema de duas equações: ax+ by+ cz= d 1 1 ax+ by+ cz= d 4.37 Assim, uma reta no plano z = d, é dada pelas equações: ax+ by+ cz= d 1 1 z = d 4.38 ou seja, ax 1 + by + cd = d que, como sabemos, é uma equação polinomial do primeiro grau.

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques APLICAÇÕES NA GEOMETRIA ANALÍTICA 4 Gil da Costa Marques TÓPICO Fundamentos da Matemática II 4.1 Geometria Analítica e as Coordenadas Cartesianas 4.2 Superfícies 4.2.1 Superfícies planas 4.2.2 Superfícies

Leia mais

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1)

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1) Lista de Exercícios Estudo Analítico das Cônicas e Quádricas 1. Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço. a) P : y 2 = 4x b) P : y 2 +8x = 0 c) P : x 2 +6y =

Leia mais

A primeira coisa a fazer é saber quais são as equações das curvas quando elas já se encontram na melhor

A primeira coisa a fazer é saber quais são as equações das curvas quando elas já se encontram na melhor Identificação de Cônicas Uma equação do segundo grau ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 define de maneira implícita uma curva no plano xy: o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equação. Por exemplo,

Leia mais

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1)

c) F( 4, 2) r : 2x+y = 3 c) a = 3 F 1 = (0,0) F 2 = (1,1) Lista de Exercícios Estudo Analítico das Cônicas e Quádricas 1. Determine o foco, o vértice, o parâmetro e a diretriz da parábola P e faça um esboço. a) P : y 2 = 4x b) P : y 2 +8x = 0 c) P : x 2 +6y =

Leia mais

Geometria Analítica. Estudo do Plano. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Geometria Analítica. Estudo do Plano. Prof Marcelo Maraschin de Souza Geometria Analítica Estudo do Plano Prof Marcelo Maraschin de Souza Plano Equação Geral do Plano Seja A(x 1, y 1, z 1 ) um ponto pertencente a um plano π e n = a, b, c, n 0, um vetor normal (ortogonal)

Leia mais

Universidade Federal do Pará Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica

Universidade Federal do Pará Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica 1 Universidade Federal do Pará Curso de Licenciatura em Matemática PARFOR Lista de Exercícios Referentes a Prova Substitutiva de Geometria Analítica 1. Determine a distância entre os pontos A(-2, 7) e

Leia mais

GGM Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Geometria Analítica Básica 20/12/2012- GGM - UFF Dirce Uesu

GGM Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Geometria Analítica Básica 20/12/2012- GGM - UFF Dirce Uesu GGM0016 Geometria Analítica e Cálculo Vetorial Geometria Analítica Básica 0/1/01- GGM - UFF Dirce Uesu CÔNICAS DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA Exercício: Acesse o sitio abaixo e use o programa: http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/005.1/gma04096/applets/conic/co

Leia mais

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto

Leia mais

Capítulo Coordenadas no Espaço. Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional.

Capítulo Coordenadas no Espaço. Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional. Capítulo 9 1. Coordenadas no Espaço Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional. Um sistema de eixos ortogonais OXY Z em E consiste de três eixos ortogonais entre si OX, OY e OZ com a mesma

Leia mais

Coordenadas Cartesianas

Coordenadas Cartesianas 1 Coordenadas Cartesianas 1.1 O produto cartesiano Para compreender algumas notações utilizadas ao longo deste texto, é necessário entender o conceito de produto cartesiano, um produto entre conjuntos

Leia mais

Geometria Analítica II - Aula

Geometria Analítica II - Aula Geometria Analítica II - Aula 0 94 Aula Coordenadas Cilíndricas e Esféricas Para descrever de modo mais simples algumas curvas e regiões no plano introduzimos anteriormente as coordenadas polares. No espaço

Leia mais

Geometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012

Geometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012 Prof. Luiz Antonio do Nascimento luiz.anascimento@sp.senac.br www.lnascimento.com.br Conjuntos Propriedades das operações de adição e multiplicação: Propriedade comutativa: Adição a + b = b + a Multiplicação

Leia mais

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Aluno(a): Professor(a): Curso:

UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS INSTITUTO DE MATEMÁTICA Aluno(a): Professor(a): Curso: 5 Geometria Analítica - a Avaliação - 6 de setembro de 0 Justique todas as suas respostas.. Dados os vetores u = (, ) e v = (, ), determine os vetores m e n tais que: { m n = u, v u + v m + n = P roj u

Leia mais

GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA. 03/01/ GGM - UFF Dirce Uesu Pesco

GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA. 03/01/ GGM - UFF Dirce Uesu Pesco GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL GEOMETRIA ANALÍTICA BÁSICA 03/01/2013 - GGM - UFF Dirce Uesu Pesco CÔNICAS Equação geral do segundo grau a duas variáveis x e y onde A, B e C não são simultaneamente

Leia mais

Universidade Estadual de Montes Claros Departamento de Ciências Exatas Curso de Licenciatura em Matemática. Notas de Aulas de

Universidade Estadual de Montes Claros Departamento de Ciências Exatas Curso de Licenciatura em Matemática. Notas de Aulas de Universidade Estadual de Montes Claros Departamento de Ciências Exatas Curso de Licenciatura em Matemática Notas de Aulas de Cálculo Rosivaldo Antonio Gonçalves Notas de aulas que foram elaboradas para

Leia mais

Geometria Analítica. Superfícies. Prof Marcelo Maraschin de Souza

Geometria Analítica. Superfícies. Prof Marcelo Maraschin de Souza Geometria Analítica Superfícies Prof Marcelo Maraschin de Souza Superfícies Quadráticas A equação geral do 2º grau nas três variáveis x,y e z ax 2 + by 2 + cz 2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + mx + ny + pz + q

Leia mais

6.1 equações canônicas de círculos e esferas

6.1 equações canônicas de círculos e esferas 6 C Í R C U LO S E E S F E R A S 6.1 equações canônicas de círculos e esferas Um círculo é o conjunto de pontos no plano que estão a uma certa distância r de um ponto dado (a, b). Desta forma temos que

Leia mais

Superfícies e Curvas no Espaço

Superfícies e Curvas no Espaço Superfícies e Curvas no Espaço Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 11 de deembro de 2001 1 Quádricas Nesta

Leia mais

Curso de Geometria Analítica. Hipérbole

Curso de Geometria Analítica. Hipérbole Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 03 - Cônicas- Circunferência, Elipse, Hipérbole e Parábola

Leia mais

Apresentaremos as equações do plano: Equação vetorial e Equação geral do. = AB e v. C A u B. ) não-colineares do plano.

Apresentaremos as equações do plano: Equação vetorial e Equação geral do. = AB e v. C A u B. ) não-colineares do plano. CAPÍTULO VIII PLANO Consideremos em V 3 o sistema de referência (O, i, j, k ), onde E = ( i, j, k ) é base ortonormal positiva e O(0, 0, 0). 8.1. EQUAÇÕES DO PLANO plano. Apresentaremos as equações do

Leia mais

1 Segmentos orientados e vetores, adição e multiplicação

1 Segmentos orientados e vetores, adição e multiplicação MAP2110 Modelagem e Matemática 1 o Semestre de 2007 Resumo 1 - Roteiro de estudos - 07/05/2007 Espaços vetoriais bi e tri-dimensionais (plano ou espaço bidimensional E 2, e espaço tridimensional E 3 )

Leia mais

CANDIDATO: DATA: 20 / 01 / 2010

CANDIDATO: DATA: 20 / 01 / 2010 UNIVERSIDADE ESTADUAL DO CEARÁ - UECE SECRETARIA DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA - SEaD Universidade Aberta do Brasil UAB LICENCIATURA PLENA EM MATEMÁTICA SELEÇÃO DE TUTORES PRESENCIAIS CANDIDATO: DATA: 0 / 0

Leia mais

Vetores e Geometria Analítica

Vetores e Geometria Analítica Vetores e Geometria Analítica ECT2102 Prof. Ronaldo Carlotto Batista 4 de maio de 2016 Círculo Denição Círculo é o conjunto de pontos P (x, y) a uma distância a, chamada de raio, de um ponto C (x o, y

Leia mais

Aula Distância entre duas retas paralelas no espaço. Definição 1. Exemplo 1

Aula Distância entre duas retas paralelas no espaço. Definição 1. Exemplo 1 Aula 1 Sejam r 1 = P 1 + t v 1 t R} e r 2 = P 2 + t v 2 t R} duas retas no espaço. Se r 1 r 2, sabemos que r 1 e r 2 são concorrentes (isto é r 1 r 2 ) ou não se intersectam. Quando a segunda possibilidade

Leia mais

APLICAÇÕES DE CÔNICAS NA ENGENHARIA

APLICAÇÕES DE CÔNICAS NA ENGENHARIA O que você deve saber sobre APLICAÇÕES DE CÔNICAS NA ENGENHARIA As equações das curvas chamadas cônicas recebem esse nome devido à sua origem (a intersecção de um cone por um plano) e podem ser determinadas

Leia mais

Matemática. Resolução das atividades complementares. M21 Geometria Analítica: Cônicas

Matemática. Resolução das atividades complementares. M21 Geometria Analítica: Cônicas Resolução das atividades complementares Matemática M Geometria Analítica: Cônicas p. FGV-SP) Determine a equação da elipse de centro na origem que passa pelos pontos A, 0), B, 0) e C0, ). O centro da elipse

Leia mais

Geometria Analítica. Cônicas. Prof. Vilma Karsburg

Geometria Analítica. Cônicas. Prof. Vilma Karsburg Geometria Analítica Cônicas Prof. Vilma Karsburg Cônicas Sejam duas retas e e g concorrentes em O e não perpendiculares. Considere e fixa e g girar 360 em torno de e, mantendo constante o ângulo entre

Leia mais

Dinâmica do Movimento dos Corpos CINEMÁTICA VETORIAL5. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

Dinâmica do Movimento dos Corpos CINEMÁTICA VETORIAL5. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques CINEMÁTICA VETORIAL5 Gil da Costa Marques 5.1 Referenciais 5. Vetores e Referenciais Cartesianos 5.3 Referenciais Gerais 5.4 Vetores em Coordenadas Polares 5.5 Vetores Velocidade e Aceleração em coordenadas

Leia mais

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS 1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS Gil da Costa Marques 1.1 Introdução 1.2 Conceitos básicos 1.3 Subconjuntos e intervalos 1.4 O conjunto dos números reais 1.4.1 A relação de ordem em 1.5 Intervalos 1.5.1

Leia mais

3. Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro C( 4, 2, 3) e tangente ao plano π : x y 2z + 7 = 0.

3. Achar a equação da esfera definida pelas seguintes condições: centro C( 4, 2, 3) e tangente ao plano π : x y 2z + 7 = 0. Universidade Federal de Uerlândia Faculdade de Matemática Disciplina : Geometria Analítica (GMA00) Assunto: Superfícies, Quádricas, Curvas e Coordenadas Professor Sato 4 a Lista de exercícios. Determinar

Leia mais

CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1. CAPÍTULO 2 Sistemas de Coordenadas Retangulares 9. CAPÍTULO 3 Retas 18

CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1. CAPÍTULO 2 Sistemas de Coordenadas Retangulares 9. CAPÍTULO 3 Retas 18 Sumário CAPÍTULO 1 Sistemas de Coordenadas Lineares. Valor Absoluto. Desigualdades 1 Sistema de Coordenadas Lineares 1 Intervalos Finitos 3 Intervalos Infinitos 3 Desigualdades 3 CAPÍTULO 2 Sistemas de

Leia mais

MAT 105- Lista de Exercícios

MAT 105- Lista de Exercícios 1 MAT 105- Lista de Exercícios 1. Determine as áreas dos seguintes polígonos: a) triângulo de vértices (2,3), (5,7), (-3,4). Resp. 11,5 b) triângulo de vértices (0,4), (-8,0), (-1,-4). Resp. 30 c) quadrilátero

Leia mais

VETORES. DEFINIÇÃO DE GRANDEZA É tudo aquilo que pode ser medido Exemplos: Comprimento Aceleração Força Velocidade

VETORES. DEFINIÇÃO DE GRANDEZA É tudo aquilo que pode ser medido Exemplos: Comprimento Aceleração Força Velocidade 1 DEFINIÇÃO DE GRANDEZA É tudo aquilo que pode ser medido Exemplos: Comprimento Aceleração Força Velocidade GRANDEZAS ESCALARES São grandezas que se caracterizam apenas por um valor acompanhado uma unidade

Leia mais

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADAS PARCIAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADAS PARCIAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques 7 DERIVADAS PARCIAIS TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos da Matemática II 7.1 Introdução 7. Taas de Variação: Funções de uma Variável 7.3 Taas de variação: Funções de duas Variáveis 7.4 Taas de Variação:

Leia mais

Capítulo 2. Retas no plano. 1. Retas verticais e não-verticais. Definição 1

Capítulo 2. Retas no plano. 1. Retas verticais e não-verticais. Definição 1 Capítulo 2 Retas no plano O objetivo desta aula é determinar a equação algébrica que representa uma reta no plano. Para isso, vamos analisar separadamente dois tipos de reta: reta vertical e reta não-vertical.

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 6. Roteiro

Álgebra Linear I - Aula 6. Roteiro Álgebra Linear I - Aula 6 1. Equação cartesiana do plano. 2. Equação cartesiana da reta. 3. Posições relativas: de duas retas, de uma reta e um plano, de dois planos. Roteiro 1 Equação cartesiana do plano

Leia mais

Estudaremos três tipos de equações de retas: vetorial, paramétricas e simétricas.

Estudaremos três tipos de equações de retas: vetorial, paramétricas e simétricas. CAPÍTULO VII RETA Consideremos em V 3 o sistema de referência (O, i, j, k ), onde E = ( i, j, k ) é base ortonormal positiva e O(0, 0, 0). 7.1. EQUAÇÕES DA RETA Estudaremos três tipos de equações de retas:

Leia mais

Aula 18 Cilindros quádricos e identificação de quádricas

Aula 18 Cilindros quádricos e identificação de quádricas MÓDULO 2 - AULA 18 Aula 18 Cilindros quádricos e identificação de quádricas Objetivos Estudar os cilindros quádricos, analisando suas seções planas paralelas aos planos coordenados e estabelecendo suas

Leia mais

Cilindros projetantes de uma curva

Cilindros projetantes de uma curva Cilindros projetantes de uma curva Dada uma curva C no espaço é possível obter tres cilindros retos cujas interseções fornecem a curva C. Estes cilindros são obtidos projetando-se a curva em cada um dos

Leia mais

JOSÉ ROBERTO RIBEIRO JÚNIOR. 9 de Outubro de 2017

JOSÉ ROBERTO RIBEIRO JÚNIOR. 9 de Outubro de 2017 9 de Outubro de 2017 Vetores Ferramenta matemática que é utilizada nas seguintes disciplinas dos cursos de Engenharia: Física; Mecânica Resistência dos materiais Fenômenos do transporte Consideremos um

Leia mais

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Cónicas e Quádricas

Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica. Cónicas e Quádricas universidade de aveiro departamento de matemática Álgebra Linear e Geometria Anaĺıtica Agrupamento IV (ECT, EET, EI) Capítulo 6 Cónicas e Quádricas Equação geral de uma cónica [6 01] As cónicas são curvas

Leia mais

Lista 3: Geometria Analítica

Lista 3: Geometria Analítica Lista 3: Geometria Analítica A. Ramos 25 de abril de 2017 Lista em constante atualização. 1. Equação da reta e do plano; 2. Ângulo entre retas e entre planos. Resumo Equação da reta Equação vetorial. Uma

Leia mais

ALUNO(A): Prof.: André Luiz Acesse: 02/05/2012

ALUNO(A): Prof.: André Luiz Acesse:  02/05/2012 1. FUNÇÃO 1.1. DEFINIÇÃO Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y) no qual duas duplas ordenadas distintas não podem ter o mesmo primeiro número, ou seja, garante que y seja único para

Leia mais

Aplicação de Integral Definida: Volumes de Sólidos de Revolução

Aplicação de Integral Definida: Volumes de Sólidos de Revolução Aplicação de Integral Definida: Prof a. Sólidos Exemplos de Sólidos: esfera, cone circular reto, cubo, cilindro. Sólidos de Revolução são sólidos gerados a partir da rotação de uma área plana em torno

Leia mais

Noção intuitiva. Definições. Definições. Capítulo 1: Vetores Aula 1. Noção intuitiva e definições; Notações. Segmento orientado

Noção intuitiva. Definições. Definições. Capítulo 1: Vetores Aula 1. Noção intuitiva e definições; Notações. Segmento orientado Capítulo 1: Vetores Discussões iniciais; Aula 1 Noção intuitiva e definições; Notações. Noção intuitiva Existem grandezas, chamadas escalares, que são caracterizadas por um número (e a correspondente unidade):

Leia mais

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 05 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 05 Licenciatura em Matemática Osasco -2010 1. Função Afim Uma função f: R R definida por uma expressão do tipo f x = a. x + b com a e b números reais constantes é denominada função afim ou função polinomial do primeiro grau. A função afim está

Leia mais

Curso de Geometria Analítica

Curso de Geometria Analítica Curso de Geometria Analítica Abrangência: Graduação em Engenharia e Matemática - Professor Responsável: Anastassios H. Kambourakis Resumo Teórico 10 - Posições relativas entre Pontos Retas e Planos. I.

Leia mais

Questão 2: Considere a hipérbole descrita pela equação 9x 2 16y 2 = 144. vértices, focos e esboce seu gráco.

Questão 2: Considere a hipérbole descrita pela equação 9x 2 16y 2 = 144. vértices, focos e esboce seu gráco. Ministério da Educação Universidade Tecnológica Federal do Paraná Campus Curitiba - DAMAT MA71B - Geometria Analítica e Álgebra Linear Prof a Dr a Diane Rizzotto Rossetto LISTA 8 - Cônicas e Quádricas

Leia mais

4.1 Superfície Cilíndrica

4.1 Superfície Cilíndrica 4.1 Superfície Cilíndrica Uma superfície cilíndrica (ou simplesmente cilindro) é a superfície gerada por uma reta que se move ao longo de uma curva plana, denominada diretriz, paralelamente a uma reta

Leia mais

Licenciatura em Ciências USP/ Univesp aplicações à geometria plana 3

Licenciatura em Ciências USP/ Univesp aplicações à geometria plana 3 APLICAÇÕES À GEOMETRIA PLANA 3 33 TÓPICO Gil da Costa Marques 3.1 Introdução 3. Relações e Funções 3.3.1 Retas e Segmentos de retas no Plano 3.3. Posição relativa de duas retas 3.4.1 Ângulos e Medidas

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 10. Roteiro

Álgebra Linear I - Aula 10. Roteiro Álgebra Linear I - Aula 10 1. Combinação linear de vetores. 2. Subespaços e geradores. Roteiro 1 Combinação linear de vetores Definição 1 (Combinação linear de vetores). Dada um conjunto de vetores U =

Leia mais

Aula 15 Superfícies quádricas - cones quádricos

Aula 15 Superfícies quádricas - cones quádricos Aula 15 Superfícies quádricas - cones quádricos MÓDULO - AULA 15 Objetivos Definir e estudar os cones quádricos identificando suas seções planas. Analisar os cones quádricos regrados e de revolução. Cones

Leia mais

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência Plano cartesiano, Retas e Alex Oliveira Circunferência Sistema cartesiano ortogonal O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A intersecção dos eixos x e y é

Leia mais

Título do Livro. Capítulo 5

Título do Livro. Capítulo 5 Capítulo 5 5. Geometria Analítica A Geometria Analítica tornou possível o estudo da Geometria através da Álgebra. Além de proporcionar a interpretação geométrica de diversas equações algébricas. 5.1. Sistema

Leia mais

Coordenadas e distância na reta e no plano

Coordenadas e distância na reta e no plano Capítulo 1 Coordenadas e distância na reta e no plano 1. Introdução A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por pares ordenados de números reais

Leia mais

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA

Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA Instituto Federal de Educação, Ciência e Tecnologia Rio Grande do Sul Campus Rio Grande CAPÍTULO 4 GEOMETRIA ANALÍTICA 4. Geometria Analítica 4.1. Introdução Geometria Analítica é a parte da Matemática,

Leia mais

Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares

Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares Notas de Aulas 3 - Cônicas Prof Carlos A S Soares 1 Parábolas 11 Conceito e Elementos Definição 1 Sejam l uma reta e F um ponto não pertencente a l Chamamos parábola de diretriz l e foco F o conjunto dos

Leia mais

Cálculo a Várias Variáveis I - MAT Cronograma para P1: aulas teóricas (segundas e quartas)

Cálculo a Várias Variáveis I - MAT Cronograma para P1: aulas teóricas (segundas e quartas) Cálculo a Várias Variáveis I - MAT 116 014.1 Cronograma para P1: aulas teóricas (segundas e quartas) Aula 01 1 de fevereiro (quarta) Aula 0 17 de fevereiro (segunda) Aula 0 19 de fevereiro (quarta) Referências:

Leia mais

Ponto 1) Representação do Ponto

Ponto 1) Representação do Ponto Ponto 1) Representação do Ponto Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Plano Cartesiano, sistemas de coordenadas: pontos e retas Na geometria

Leia mais

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1 TÓPICO Gil da Costa Marques 1.1 Elementos da Teoria dos Conjuntos 1.2 Introdução 1.3 Conceitos Básicos 1.4 Subconjuntos e Intervalos 1.5 Conjuntos Numéricos 1.5.1 O Conjunto

Leia mais

Este trabalho foi licenciado com a Licença Creative Commons Atribuição - NãoComercial - SemDerivados 3.0 Não Adaptada

Este trabalho foi licenciado com a Licença Creative Commons Atribuição - NãoComercial - SemDerivados 3.0 Não Adaptada 1. Introdução Definição: Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano cujas distâncias entre uma reta fixa, chamada de reta diretriz, e a um ponto fixo situado fora desta reta, chamado de foco da

Leia mais

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias 4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no

Leia mais

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) =

54 CAPÍTULO 2. GEOMETRIA ANALÍTICA ( ) = 54 CAPÍTULO. GEOMETRIA ANALÍTICA.5 Cônicas O grá co da equação + + + + + = 0 (.4) onde,,,, e são constantes com, e, não todos nulos, é uma cônica. A equação (.4) é chamada de equação geral do grau em e

Leia mais

Na figura acima, o vetor tem origem no ponto A e extremidade no ponto B. Notação usual: 1 O ESPAÇO R3

Na figura acima, o vetor tem origem no ponto A e extremidade no ponto B. Notação usual: 1 O ESPAÇO R3 VETORES E R3 Ultra-Fast Prof.: Fábio Rodrigues fabio.miranda@engenharia.ufjf.br Obs.: A maioria das figuras deste texto foram copiadas do livro virtual álgebra vetorial e geometria analítica, 9ª edição,

Leia mais

Curvas Planas em Coordenadas Polares

Curvas Planas em Coordenadas Polares Curvas Planas em Coordenadas Polares Sumário. Coordenadas Polares.................... Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas...................... 6. Exercícios........................

Leia mais

Equações paramétricas das cônicas

Equações paramétricas das cônicas Aula 1 Equações paramétricas das cônicas Ao estudarmos as retas no plano, vimos que a reta r que passa por dois pontos distintos P 1 = x 1, y 1 ) e P = x, y ) é dada pelas seguintes equações paramétricas:

Leia mais

SISTEMAS DE PROJEÇÃO

SISTEMAS DE PROJEÇÃO MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO - UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARANÁ SETOR DE CIÊNCIAS EXATAS - DEPARTAMENTO DE EXPRESSÃO GRÁFICA Professora Deise Maria Bertholdi Costa - Disciplina CD020 Geometria Descritiva Curso

Leia mais

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado

Leia mais

GGM Geometria Analítica I 19/04/2012- Turma M1 Dirce Uesu

GGM Geometria Analítica I 19/04/2012- Turma M1 Dirce Uesu GGM0016 Geometria Analítica I 19/04/01- Turma M1 Dirce Uesu CÔNICAS DEFINIÇÃO GEOMÉTRICA Exercício: Acesse o sitio abaixo e use o programa: http://www.professores.uff.br/hjbortol/disciplinas/005.1/gma04096/applets/conic/co

Leia mais

1 Cônicas Não Degeneradas

1 Cônicas Não Degeneradas Seções Cônicas Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais http://www.mat.ufmg.br/~regi regi@mat.ufmg.br 11 de dezembro de 2001 Estudaremos as (seções) cônicas,

Leia mais

Sistemas de equações lineares com três variáveis

Sistemas de equações lineares com três variáveis 18 Sistemas de equações lineares com três variáveis Sumário 18.1 Introdução....................... 18. Sistemas de duas equações lineares........... 18. Sistemas de três equações lineares........... 8

Leia mais

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira: Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto

Leia mais

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1

. (1) Se S é o espaço vetorial gerado pelos vetores 1 e,0,1 QUESTÕES ANPEC ÁLGEBRA LINEAR QUESTÃO 0 Assinale V (verdadeiro) ou F (falso): (0) Os vetores (,, ) (,,) e (, 0,) formam uma base de,, o espaço vetorial gerado por,, e,, passa pela origem na direção de,,

Leia mais

1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0.

1 FUNÇÃO - DEFINIÇÃO. Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. MATEMÁTICA ENSINO MÉDIO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO FUNÇÃO - DEFINIÇÃO Chama-se função do 1. grau toda função definida de por f(x) = ax + b com a, b e a 0. EXEMPLOS: f(x) = 5x 3, onde a = 5 e b = 3 (função afim)

Leia mais

PLANO DE ENSINO IDENTIFICAÇÃO DA DISCIPLINA

PLANO DE ENSINO IDENTIFICAÇÃO DA DISCIPLINA 1 PLANO DE ENSINO IDENTIFICAÇÃO DA DISCIPLINA Curso: CST em Sistemas de Telecomunicações, Tecnologia Nome da disciplina: Álgebra Vetorial Código: CEE.002 Carga horária: 67 horas Semestre previsto: 1 Pré-requisito(s):

Leia mais

Cálculo a Várias Variáveis I - MAT Cronograma para P2: aulas teóricas (segundas e quartas)

Cálculo a Várias Variáveis I - MAT Cronograma para P2: aulas teóricas (segundas e quartas) Cálculo a Várias Variáveis I - MAT 116 0141 Cronograma para P: aulas teóricas (segundas e quartas) Aula 10 4 de março (segunda) Aula 11 6 de março (quarta) Referências: Cálculo Vol James Stewart Seções

Leia mais

Distância entre duas retas. Regiões no plano

Distância entre duas retas. Regiões no plano Capítulo 4 Distância entre duas retas. Regiões no plano Nesta aula, veremos primeiro como podemos determinar a distância entre duas retas paralelas no plano. Para isso, lembramos que, na aula anterior,

Leia mais

APLICAÇÕES À GEOMETRIA ANALÍTICA3

APLICAÇÕES À GEOMETRIA ANALÍTICA3 APLICAÇÕES À GEOMETRIA ANALÍTICA3 Gil da Costa Marques 3.1 Introdução 3. Relações e funções 3.3 Retas e segmentos de retas no plano 3.3.1 Posição relativa de duas retas 3.4 Ângulos e medidas de ângulos

Leia mais

2. Pré-requisitos do 3. Ciclo. 7. ano PR 7.1. Resolução

2. Pré-requisitos do 3. Ciclo. 7. ano PR 7.1. Resolução 7. ano PR 7.1. Dados dois conjuntos A e B fica definida uma função 1ou aplicação2 f de A em B, quando a cada elemento de A se associa um elemento único de B representado por f 1x2. Dada uma função numérica

Leia mais

Álgebra Linear I - Aula 9. Roteiro

Álgebra Linear I - Aula 9. Roteiro Álgebra Linear I - Aula 9 1. Distância entre duas retas. 2. A perpendicular comum a duas retas. 3. Posições relativas. Roteiro 1 Distância entre duas retas r e s Calcularemos a distância entre duas retas

Leia mais

Ga no plano 1. GA no plano. Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de u v = aa + bb.

Ga no plano 1. GA no plano. Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de u v = aa + bb. Ga no plano 1 GA no plano Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de 015 1 Introdução Estudaremos as retas no plano euclidiano bidimensional e uma interessante aplicação, que recebe o nome de programação

Leia mais

SUPERFÍCIES QUÁDRICAS

SUPERFÍCIES QUÁDRICAS 1 SUPERFÍCIES QUÁDRICAS Dá-se o nome de superfície quádrica ou simplesmente quádrica ao gráfico de uma equação do segundo grau, nas variáveis, e, da forma: A + B + C + D + E + F + G + H + I + K = 0, que

Leia mais

Geometria Analítica - AFA

Geometria Analítica - AFA Geometria Analítica - AFA x = v + (AFA) Considerando no plano cartesiano ortogonal as retas r, s e t, tais que (r) :, (s) : mx + y + m = 0 e (t) : x = 0, y = v analise as proposições abaixo, classificando-

Leia mais

TÓPICO. Fundamentos de Matemática II FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS3. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

TÓPICO. Fundamentos de Matemática II FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS3. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS3 TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos de Matemática II 3.1 Definição 3. Funções de três ou mais variáveis 3.3 Domínios 3.4 Gráficos, curvas de nível e superfícies de nível

Leia mais

10. Determine as equações cartesianas das famílias de retas que fazem um ângulo de π/4 radianos com a reta y = 2x + 1.

10. Determine as equações cartesianas das famílias de retas que fazem um ângulo de π/4 radianos com a reta y = 2x + 1. Geometria Analítica. 1. Determine as posições relativas e as interseções entre os conjuntos em R abaixo. Em cada item também faça um esboço dos dois conjuntos dados no mesmo sistema de eixos. (a) C : (x

Leia mais

Retas e círculos, posições relativas e distância de um ponto a uma reta

Retas e círculos, posições relativas e distância de um ponto a uma reta Capítulo 3 Retas e círculos, posições relativas e distância de um ponto a uma reta Nesta aula vamos caracterizar de forma algébrica a posição relativa de duas retas no plano e de uma reta e de um círculo

Leia mais

Geometria Analítica? Onde usar os conhecimentos. os sobre Geometria Analítica?

Geometria Analítica? Onde usar os conhecimentos. os sobre Geometria Analítica? X GEOMETRIA ANALÍTICA Por que aprender Geometria Analítica?... A Geometria Analítica estabelece relações entre a álgebra e a geometria por meio de equações e inequações. Isso permite transformar questões

Leia mais

Aula 19 Elipse - continuação

Aula 19 Elipse - continuação MÓDULO 1 - AULA 19 Aula 19 Elipse - continuação Objetivos Desenhar a elipse com compasso e régua com escala. Determinar a equação reduzida da elipse no sistema de coordenadas com origem no ponto médio

Leia mais

Profª.. Deli Garcia Ollé Barreto

Profª.. Deli Garcia Ollé Barreto CURVAS CÔNICAS Curvas cônicas são curvas resultantes de secções no cone reto circular. Cone reto circular é aquele cuja base é uma circunferência e a projeção do vértice sobre o plano da base é o centro

Leia mais

1 Geometria Analítica Plana

1 Geometria Analítica Plana UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria

Leia mais

FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães

FACULDADE PITÁGORAS DE LINHARES Prof. Esp. Thiago Magalhães VETORES NO PLANO E NO ESPAÇO INTRODUÇÃO Cumpre de início, distinguir grandezas escalares das grandezas vetoriais. Grandezas escalares são aquelas que para sua perfeita caracterização basta informarmos

Leia mais

6. FUNÇÃO QUADRÁTICA 6.1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES

6. FUNÇÃO QUADRÁTICA 6.1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES 47 6. FUNÇÃO QUADRÁTICA 6.1. CONSIDERAÇÕES PRELIMINARES Na figura abaixo, seja a reta r e o ponto F de um determinado plano, tal que F não pertence a r. Consideremos as seguintes questões: Podemos obter,

Leia mais

Aula 8 Cônicas - Translação de sistemas de coordenadas

Aula 8 Cônicas - Translação de sistemas de coordenadas Aula 8 Cônicas - Translação de sistemas de coordenadas MÓDULO 1 - AULA 8 Objetivos Entender a mudança de coordenadas pela translação do sistema cartesiano. Identificar uma cônica transladada a partir da

Leia mais

4. Superfícies e sólidos geométricos

4. Superfícies e sólidos geométricos 4. Superfícies e sólidos geométricos Geometria Descritiva 2006/2007 4.1 Classificação das superfícies e sólidos geométricos Geometria Descritiva 2006/2007 1 Classificação das superfícies Linha Lugar das

Leia mais

Aula 31 Funções vetoriais de uma variável real

Aula 31 Funções vetoriais de uma variável real MÓDULO 3 - AULA 31 Aula 31 Funções vetoriais de uma variável real Objetivos Conhecer as definições básicas de funções vetoriais de uma variável real. Aprender a parametrizar curvas simples. Introdução

Leia mais

Exercícios de Geometria Analítica - CM045

Exercícios de Geometria Analítica - CM045 Exercícios de Geometria Analítica - CM045 Prof. José Carlos Corrêa Eidam DMAT/UFPR Disponível no sítio people.ufpr.br/ eidam/index.htm 1o. semestre de 2011 Parte 1 Soma e produto escalar 1. Seja OABC um

Leia mais

4.1 posição relativas entre retas

4.1 posição relativas entre retas 4 P O S I Ç Õ E S R E L AT I VA S Nosso objetivo nesta seção é entender a posição relativa entre duas retas, dois planos e ou uma reta e um plano, isto é, se estes se interseccionam, se são paralelos,

Leia mais

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia Civil + Física 03 de Julho de Prof o. E.T.

Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia Civil + Física 03 de Julho de Prof o. E.T. Universidade Federal de Mato Grosso do Sul - UFMS VGA - 2 a Prova - Engenharia Civil + Física 0 de Julho de 2014 - Prof o ETGalante 1 (2,0 pontos) Na gura acima ABCDEF GH é um paralelepípedo O ponto M

Leia mais

Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de 2015

Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de 2015 Ga - retas e planos na solução de problemas 1 GA - Retas e planos na solução de problemas Prof. Fernando Carneiro Rio de Janeiro, Outubro de 2015 1 Reta concorrente a duas retas dadas Este tipo de problema

Leia mais

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica. ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos.

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica. ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos (Período: 2016.1) Notas de Aula Capítulo 1: VETORES Ivan Menezes ivan@puc-rio.br

Leia mais