TÓPICO. Fundamentos de Matemática II FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS3. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

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1 FUNÇÕES DE VÁRIAS VARIÁVEIS3 TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos de Matemática II 3.1 Definição 3. Funções de três ou mais variáveis 3.3 Domínios 3.4 Gráficos, curvas de nível e superfícies de nível 3.5 Funções implícitas 3.6 Funções inversas 3.7 Limite e continuidade Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Definição Neste tópico, estenderemos o conceito de função de uma variável para o caso de funções de várias variáveis. No próximo tópico, aplicaremos tal conceito à geometria espacial, notadamente na descrição de entes geométricos como curvas e superfícies no espaço tridimensional. Para tal, empregaremos a geometria analítica. Considerando primeiramente o caso de funções de duas variáveis, se a cada ponto (x, y) de uma região do plano, definida como o domínio da função, associarmos um e apenas um número real z, de acordo com alguma regra, dizemos que z é uma função das variáveis x e y a valores reais e escrevemos z= f( xy, ) 3.1 As variáveis x e y são denominadas variáveis independentes e z é a variável dependente. Muitas vezes, as variáveis independentes não são coordenadas associadas a pontos no plano, mas grandezas físicas. Exemplos Exemplo 1: A área de um retângulo é função do comprimento de seus lados: Figura 3.1: Área de um retângulo como função do comprimento dos seus lados. z = xy 3. Exemplo : Desprezando a interação e o tamanho das moléculas de um gás situação que denominamos ideal podemos mostrar que a pressão é função da temperatura T e do volume V ocupado pelo gás, segundo a relação: T T P = P( T, V ) = Nk = nr V V onde N, na equação 3.10 é o número de moléculas, k é a constante de Boltzmann, n é o número de moles do gás e R é outra constante, denominada constante universal dos gases. Se levarmos em conta o tamanho das moléculas, a relação se altera. Nesse caso, é mais fácil escrever 3.3 Fundamentos de Matemática II AMBIENTE NA TERRA

3 36 Licenciatura em Ciências USP/Univesp a temperatura T como função da pressão P e do volume V. De acordo com Van der Waals, n V T= T( PV, ) = P+ a b V n 3.4 onde a e b são parâmetros que dependem do gás. Johannes Diderik van der Waals (Leiden, 3 de novembro de Amsterdã, 8 de março de 193) Figura 3.: Johannes Diderik van der Waals Físico neerlandês que formulou equações descrevendo os estados líquido e gasoso, trabalho fundamental para a medição do zero absoluto. Ele tentou descobrir por que as equações de Robert Boyle e Jacques Charles não correspondiam exatamente à forma de comportamento dos gases e líquidos. Concluiu que o tamanho da molécula e a força que atua entre elas afetam seu comportamento. Embora as moléculas de gás sejam extremamente pequenas, cada uma delas tem um tamanho diferente - circunstância que afeta o comportamento das moléculas de diferentes gases. As forças que atuam entre as moléculas de um gás são denominadas forças de van der Waals. Em virtude desse trabalho, Johannes van der Waals foi agraciado com o Nobel de Física de Fonte: Wikipedia. A enciclopédia livre. Disponível em: < Diderik_van_der_Waals>. Acesso em 10/7/01 Como no caso de funções de uma variável, as funções de várias variáveis podem ser representadas de três formas: numericamente (utilizando uma tabela, por exemplo), algebricamente, por meio de fórmulas (o que é mais usual) ou, ainda, graficamente (quando utilizamos o gráfico da função). TÓPICO 3 Funções de várias variáveis

4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Funções de três ou mais variáveis Consideremos agora o caso de funções de três variáveis. De uma forma análoga ao caso anterior, se a cada ponto (x, y, z) de uma região do espaço, o domínio da função, associarmos um e apenas um número real u, de acordo com alguma regra, dizemos que u é uma função das variáveis x, y e z a valores reais e escrevemos u= ϕ ( xyz,, ) 3.5 As variáveis x, y e z são denominadas variáveis independentes e u é a variável dependente. Exemplos Exemplo 3: Lembremos que o volume de um paralelepípedo de dimensões x, y e z é dado pela função: u = xyz 3.6 Figura 3.3: Volume de um paralelepípedo. Como já mencionamos, uma grandeza física pode ser função das coordenadas do ponto no espaço, bem como do tempo. Exemplos Exemplo 4: A energia potencial, quando depender também do tempo, se escreve: E= V( xyzt,,,) 3.7 As grandezas físicas podem depender de muitas variáveis, às vezes em número tão grande que se torna necessário um tratamento estatístico. Fundamentos de Matemática II AMBIENTE NA TERRA

5 38 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Exemplo 5: A energia cinética de um sistema composto por N partículas é função da velocidade delas. Se todas as partículas do sistema têm a mesma massa m, e se a velocidade da i-ésima partícula for designada i por v, a energia cinética é uma função quadrática das velocidades e se escreve da seguinte maneira: ( ) m m E = v = v + v + v N N i i i i ( ) ( x ) ( y ) ( z ) i= 1 i= Figura 3.4: Nem todas as moléculas num gás têm a mesma velocidade. Assim, a função energia cinética depende de 3N variáveis as componentes das velocidades. Num gás real, esse número de variáveis das quais a energia cinética depende é extremamente alto. Figura 3.5: O domínio de uma função e o conjunto imagem dela. 3.3 Domínios Como vimos, as funções de uma variável real são definidas em um intervalo o seu domínio que pode até mesmo ser o conjunto = ], + [. Um intervalo delimitado pelos valores a e b, que são denominados extremos ou extremidades dele, é dito fechado se ele inclui a e b e é representado por [a, b]. Nesse caso, a função é definida para os valores da variável independente que pertencem ao conjunto: {x : a x b}. TÓPICO 3 Funções de várias variáveis

6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 39 Podemos também definir um intervalo aberto ]a, b[ no qual as extremidades não estão incluídas. Nesse caso, a função é definida para os valores da variável independente que pertencem ao conjunto: {x : a < x < b}. De maneira análoga, podemos definir um intervalo aberto à direita [a, b[ ou aberto à esquerda ]a, b]. Necessitamos agora introduzir o conceito de domínio para funções de várias variáveis. Isso pode ser feito de maneira análoga ao caso de funções de uma variável e, uma extensão natural, para o caso de funções de duas variáveis, por exemplo, seria considerar como domínio o retângulo obtido pelo produto cartesiano de dois intervalos abertos, fechados ou semiabertos. Por exemplo, no caso de funções de duas variáveis, quando especificamos que o domínio de uma função é definido pelos intervalos: a x b c y d 3.9 Figura 3.6: Possível domínio no plano. estamos especificando que o domínio da função é um retângulo obtido pelo produto cartesiano de dois intervalos fechados. No entanto, o domínio, para uma função de duas variáveis, pode ser um círculo, o interior de uma elipse etc. Assim, o domínio de uma função de mais de uma variável é: uma região do plano quando se trata de uma função de duas variáveis; uma região do espaço 3 quando se trata de uma função de três variáveis; uma hiper-região do espaço n quando se trata de uma função de n variáveis. Como já mencionado, em se tratando de funções de duas variáveis, dependendo da natureza do problema, o domínio não é necessariamente um retângulo. No caso tridimensional o domínio poderá ser um cubo, uma esfera etc. Para o caso bidimensional, no plano xy, conjuntos de pontos são coleções quaisquer de pontos que são caracterizados por suas coordenadas x e y. No espaço tridimensional, os conjuntos de pontos são caracterizados pelas coordenadas x, y e z de cada ponto. No plano, definimos a bola aberta de centro (x 0 ) e raio r como sendo o conjunto de todos os pontos interiores ao círculo de centro (x 0 ) e raio r. Se A é um subconjunto não Fundamentos de Matemática II AMBIENTE NA TERRA

7 40 Licenciatura em Ciências USP/Univesp vazio de, dizemos que ( x, y ) é um ponto interior a A se existir uma bola aberta de centro ( x, y ) contida em A. Se A é um subconjunto não vazio de, dizemos que A é aberto se todo ponto de A for ponto interior. Finalmente, uma vizinhança V de um ponto (x 0 ) de é um subconjunto do plano que contém uma bola aberta centrada em (x 0 ). Em, dizemos que um ponto P = (x, y) pertence a uma vizinhança de raio R do ponto P 0 = (x 0 ) se a distância de P a P 0 satisfaz a desigualdade: d( PP, ) < Rou 0 d ( PP, ) < R Dizemos que um subconjunto F de, não vazio, é fechado se os pontos não pertencentes a ele constituem um conjunto aberto. Em outras palavras, F é fechado se o seu complementar é aberto. Por exemplo, os pontos pertencentes a uma circunferência constituem um conjunto fechado. Um conjunto L é dito limitado se existir um número suficientemente grande m tal que L esteja contido numa bola de raio m. Por exemplo, o conjunto constituído por todos os pontos no interior de uma elipse é um conjunto limitado. Um ponto de contorno ou ponto de fronteira de um conjunto é qualquer ponto tal que toda vizinhança contém pontos do conjunto, bem como pontos de seu complementar. De maneira análoga, define-se no espaço bola aberta, centrada em (x 0, z 0 ) de raio r, bem como subconjunto aberto de 3, subconjunto fechado de 3. Em 3, dizemos que um ponto P = (x, y, z) pertence a uma vizinhança de raio R do ponto P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) se a distância de P a P 1 satisfaz a desigualdade: d( PP, ) < R ou 1 d ( PP, ) < R Como já é sabido, dados dois pontos P 1 = (x 1, y 1 ) e P = (x, y ) do plano, definimos a distância d(p 1, P ) entre eles como d( P, P ) = ( x x ) + ( y y ) Em 3, dados P 1 = (x 1, y 1, z 1 ) e P = (x, y, z ), definimos a distância d(p 1, P ) entre eles como d( P, P ) = ( x x ) + ( y y ) + ( z z ) TÓPICO 3 Funções de várias variáveis

8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 41 Os conjuntos abertos são usualmente definidos a partir de desigualdades. Por exemplo, no plano, o interior da elipse de semieixo maior 3 e semieixo menor pode ser definido como o conjunto de pontos (x, y) tais que x y + < Outro exemplo é o semiplano constituído pelos pontos que satisfazem a condição x > Observamos que é possível ter um domínio constituído pelos pontos (x, y) do plano tais que x + y < 1; os pontos (x, y) do plano tais que x + y = 1 são o contorno da região anterior; os pontos (x, y) do plano tais que x + y 1 são uma região fechada, que é reunião do aberto com o contorno. Analogamente, o conjunto dos pontos (x, y) do plano tais que 1 < x + y < é um aberto, cujo contorno é formado pelo conjunto dos pontos (x, y) do plano tais que x + y = 1 ou x + y =. A região constituída pelos pontos (x, y) do plano tais que 1 x + y é uma região fechada. Vamos examinar com mais detalhes as funções de duas ou três variáveis definidas num domínio D. Quando dizemos que u = u(x, y, z) no domínio D, queremos dizer que u é dada como uma função das variáveis x, y e z que são as coordenadas dos pontos de D do espaço tridimensional. Por exemplo, a função u u= uxyz (,, ) = R x y z 3.16 é definida no domínio {( x, y, z) 3 : x + y + z < R } 3.17 De maneira semelhante, podemos definir funções de duas variáveis, z = z(x, y), bem como funções de quatro variáveis, w = w(x, y, z, t), e assim por diante. Fundamentos de Matemática II AMBIENTE NA TERRA

9 4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 3.4 Gráficos, curvas de nível e superfícies de nível Seja z = f (x, y), onde (x, y) D, uma função de duas variáveis reais. O conjunto 3 { } Graf( f) = ( xyz,, ) : z= f( xy, ), ( xy, ) D 3.18 é denominado o gráfico de f. Notamos, portanto, que Graf ( f ) é um subconjunto de 3. Muitas vezes, a fim de visualizar o gráfico de uma função f desse tipo, podemos examinar suas curvas de nível. Vejamos o que significa. Dada z = f (x, y), onde (x, y) D e seja c um número real pertencente à Im f. O conjunto de todos os pontos do domínio D tais que f (x, y) = c é denominado curva de nível de f correspondente ao nível c. Isso significa que nos pontos de uma curva de nível a função f tem o mesmo valor. É preciso notar que, enquanto o gráfico da função é um subconjunto de 3, uma curva de nível é um subconjunto do domínio D, portanto de. Figura 3.7: Gráficos de funções de duas variáveis. Figura 3.8: Curvas de nível de uma função de duas variáveis. TÓPICO 3 Funções de várias variáveis

10 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 43 Exemplos Exemplo 6: A função que estabelece uma relação entre a temperatura (T), a pressão (P) e o volume (V ) de um gás ideal é dada por VP TV (, P) = nr onde n e R são constantes. As curvas de nível da função T são denominadas isotérmicas ou isotermas. Uma vez que devemos ter T(V, P) = c, c constante, temos o produto VP constante. No plano VP as curvas isotérmicas são hipérboles. As isotérmicas (temperatura constante) ou as isobáricas (pressão constante) da equação de Van der Waals 3.19 n V T= T( PV, ) = P+ a b V n 3.0 são apresentadas na Figura Figura 3.9: Isotérmicas de um gás perfeito. Figura 3.10: Isotérmicas e isobáricas da equação de Van der Waals. Fundamentos de Matemática II AMBIENTE NA TERRA

11 44 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Para funções de três variáveis, como, por exemplo, u= uxyz (,, ) = R x y z 3.1 cujo gráfico é um subconjunto de 4, o lugar geométrico dos pontos do espaço tridimensional, para os quais uxyz (,, ) = c 3. para um mesmo valor de c, constante, é denominado uma superfície de nível da função u. Nesse caso, as superfícies de nível da função u são superfícies esféricas concêntricas definidas por R c = x + y + z i 3.3 para os diferentes níveis c i. Figura 3.11: Superfícies de nível associadas à função 3.3. Figura 3.1: Superfícies de nível. TÓPICO 3 Funções de várias variáveis

12 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Funções implícitas Sendo u = F (x, y, z) uma relação entre as variáveis x, y e z, então a equação Fxyz (,, ) = define z implicitamente como uma ou mais funções de x e y. Por exemplo, considerando a função Fxyz (,, ) = x + y + z R 3.5 a equação x + y + z R = 0 define implicitamente as funções: z =+ R x y e z = R x y 3.6 Vale a pena relembrar o conceito de função implícita para o caso de funções de uma variável real. 3.6 Funções inversas A partir do que foi dito acima, podemos considerar o caso em que temos duas funções envolvendo quatro variáveis, e as equações associadas F( xyuv,,, ) = 0 e Gxyuv (,,, ) = que, quando consideradas simultaneamente, definem uma transformação de coordenadas. De fato, utilizando o conceito de funções implícitas, podemos encontrar, a partir das equações de 3.7, x= xuv (, ) e y= yuv (, ) 3.8 que, a partir de u e v, fornecem x e y. Fundamentos de Matemática II AMBIENTE NA TERRA

13 46 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Convém observar que as equações F( xyuv,,, ) = 0 e Gxyuv (,,, ) = poderiam ser utilizadas para definir funções implícitas u e v nas variáveis x e y. u= uxy (, ) e v= vxy (, ) 3.30 Essas funções u e v introduzem outra transformação, a qual é definida como a transformação inversa da anterior. Assim, as equações 1.7 definem dois conjuntos de funções implícitas, sendo o segundo conjunto formado pelas funções inversas do primeiro e reciprocamente. Exemplo 7: Coordenadas polares Consideremos as equações Exemplos y F( ρ, ϕ, xy, ) =ρ x + y = 0e G( ρ, ϕ, xy, ) =ϕ arctg = 0 x A partir delas, podemos escrever ρ e φ como funções de x e y: 3.31 ϕ= ρ= x + y e arctg y x que fornecem as coordenadas polares (ρ, φ) em função das coordenadas cartesianas (x, y). Analisemos agora a questão das transformações inversas. Para tal, notamos que podemos escrever 3.3 sob a forma: 3.3 ρ = x + y e tg Ademais, constatamos que a partir da segunda equação em 3.33 podemos escrever ϕ= y x 3.33 y = xtgϕ 3.34 TÓPICO 3 Funções de várias variáveis

14 E, portanto, a primeira equação pode ser escrita como Licenciatura em Ciências USP/Univesp 47 ρ = x + x tg ϕ= x (1 + tg ϕ ) = x sec ϕ 3.35 ou seja, ρ cos ϕ= x 3.36 Considerando-se valores do ângulo φ positivos, a única solução aceitável (já que a variável ρ é sempre positiva) é: x=ρcos ϕ( B) 3.37 O que nos leva, considerando a equação 3.34, à expressão: y =ρsen ϕ ( C) 3.38 Figura 3.13: O mesmo ponto pode ser caracterizado pelas coordenadas cartesianas ou coordenadas polares. Uma vez que agora expressamos as coordenadas cartesianas (x, y) como funções das coordenadas polares (ρ, φ), as transformações 3.37 e 3.38 definem as funções inversas de Exemplificando, dado P em coordenadas polares, P = (3, π/6), podemos encontrar suas coordenadas cartesianas: Logo 3 3 P = 3, π 3 π 1 3 x = 3cos = 3 e y = 3sen = 3 = 6 6 em coordenadas cartesianas Dado agora P = (, ), determinemos sua representação em coordenadas polares. Sendo, por definição ρ positivo, obtemos, a partir de 3.33, ρ= 4+ 4 = 8 = 3.40 tgϕ= = Fundamentos de Matemática II AMBIENTE NA TERRA

15 48 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Como P = (, ) está no quarto quadrante, podemos tomar, considerando 0 φ π, a solução φ = (7π)/4. Assim, em coordenadas polares, podemos escrever 7π P =, 4. Vale observar que φ não é determinado de modo único a partir de tgφ = y/x, pois quando 0 φ π, cada valor de tgφ ocorre duas vezes, sendo necessário então observar o quadrante em que se encontra o ponto dado em coordenadas cartesianas. Podemos considerar curvas de nível em coordenadas polares: ρ = C 1 : é uma circunferência centrada na origem e raio C 1. De fato, ρ = C 1 significa que C 1 = x + y ; φ = C : é uma semirreta a partir da origem com coeficiente angular dado por tgc. Figura 3.14: Coordenadas polares. Exemplo 8: Coordenadas esféricas Consideremos as equações associadas a três funções de seis variáveis Fr xyz r x y z (, θϕ,,,, ) = + + = 0 z Gr (, θ, ϕ, xyz,, ) =θ arccotg = 0 x y + y Hr (, θϕ,, xyz,, ) =ϕ arctg = 0 x As equações acima introduzem três funções implícitas: (,, ) = + + r xyz x y z 3.45 z θ ( xyz,, ) = arccotg x + y ( xyz,, ) arctg y ϕ = x Procedendo de uma forma análoga ao que foi feito no caso das coordenadas polares, concluiremos que as funções inversas são: ( ) ( ) ( ) x r, θϕ, = rsen θcosϕ y r, θϕ, = rsen θsen ϕ z r, θϕ, = rcosθ TÓPICO 3 Funções de várias variáveis

16 Licenciatura em Ciências USP/Univesp As superfícies de nível, determinadas pelas funções 3.3, são a superfície esférica, a superfície cônica e o semiplano. 49 Figura 3.15: N Superfícies de nível. 3.7 Limite e continuidade Os conceitos de limite e continuidade para funções de muitas variáveis não são uma generalização pura e simples daqueles das funções de uma variável. É importante observar que, naquele caso, ao considerar x tendendo a x 0, isso só podia ser feito de duas maneiras: pela esquerda ou pela direita de x 0, e que, se então não existe lim f( x). x x0 lim f( x) lim f( x), + x x0 x x0 No caso de uma função de duas variáveis, por exemplo, ao considerar (x, y) tendendo a (x 0 ), isso pode ser feito por infinitas direções e uma infinidade de maneiras, ou seja, é possível fazer (x, y) tender a (x 0 ) por uma infinidade de caminhos diferentes. A fim de que exista lim f( xy, ) será então necessário que, por qualquer caminho ( xy, ) ( x0, y0) segundo o qual (x, y) tenda a (x 0 ), o resultado seja o mesmo. Se existirem pelo menos dois caminhos diferentes ao longo dos quais a função tenha limites diferentes quando (x, y) tende a (x 0 ), não existe lim f( xy, ). ( xy, ) ( x0, y0) Figura 3.16: x tendendo a x 0 pela esquerda e pela direita. Figura 3.17: (x, y) tendendo a (x 0 ) por infinitas direções. Fundamentos de Matemática II AMBIENTE NA TERRA

17 50 Licenciatura em Ciências USP/Univesp De maneira mais precisa temos a seguinte definição: Seja f uma função de duas variáveis definida num domínio D e seja (x 0 ) um ponto pertencente ou não a D, mas tal que seja possível a aproximação a (x 0 ) por pontos de D. Dizemos que o limite de f (x, y), quando (x, y) tende a (x 0 ), é igual a L e escrevemos lim f( xy, ) = L ( xy, ) ( x0, y0) 3.49 se, para todo número ε > 0 existe em correspondência um número δ > 0 tal que, para todo (x, y) no domínio D e pertencente a uma vizinhança de (x 0 ) de raio δ, se tenha f (x, y) L < ε. Em outras palavras, se (x, y) D e sua distância a (x 0 ) é menor do que δ, isto é, 0 < (x x 0 ) + (y y 0 ) < δ, então a distância de f (x, y) a L é menor do que ε, ou seja, f (x, y) L < ε. Dizemos que uma função f é contínua no ponto (x 0 ) do seu domínio se existe o limite da função no ponto e lim f( x, y) = f( x, y ) ( xy, ) ( x0, y0) Se a função f é contínua em todos os pontos de seu domínio D, dizemos que f é contínua em D. Como no caso das funções de uma variável, a soma, o produto e o quociente de funções contínuas em D são funções contínuas em D. No caso do quociente, evidentemente, é necessário que a função do denominador não se anule no ponto. Do mesmo modo que para as funções de uma variável, a operação de composição é outra maneira de obter uma função contínua a partir de outras funções contínuas. Exemplo 9: Determinar o subconjunto de no qual é contínua a função f( xy, ) = ln x y 3.51 Uma vez que a função g(x, y) = x/y é contínua, exceto nos pontos da reta y = 0 e a função h(t) = lnt é contínua sempre que t > 0, a função composta f( xy, ) = hgxy ( (, )) 3.5 TÓPICO 3 Funções de várias variáveis

18 Licenciatura em Ciências USP/Univesp é contínua sempre que o quociente x/y > 0, ou seja no conjunto x > y ( xy, ) : 0 que é formado pelos pontos do plano cujas coordenadas têm o mesmo sinal Figura 3.18: Representação gráfica da função f(x, y) = ln(x/y). Exemplo 10: Calcular x lim cos y+ yx+ 5 ( xy, ) (1,0) Convém observar que a função considerada é a soma de funções contínuas e, portanto, é contínua. Logo 3.54 Exemplo 11: Calcular x = + = lim cos y yx ( xy, ) (1,0) 5 5 lim 10 xy.e x y ( xy, ) (1,1) Novamente o limite é imediato, pois a função dada é um produto de funções contínuas e, portanto, é contínua. Logo lim 10.e = 10e ( xy, ) (1,1) x y xy 3.57 Fundamentos de Matemática II AMBIENTE NA TERRA

19 5 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Exemplo 1: Calcular Esse limite também é imediato e temos lim ( xy, ) (0,10) xy + y + x ln( x + y ) 3.58 Exemplo 13: Encontrar o lim ( xy, ) (0,10) xy + y + x = + 10 ln( x y ) ln Temos imediatamente que lim Ae x y z ( xyz,, ) (0,0,0) 3.60 x y z 0 lim Ae = Ae = A ( xyz,, ) (0,0,0) 3.61 TÓPICO 3 Funções de várias variáveis