Capítulo 4 Condução Bidimensional em Regime Estacionário. Prof. Dr. Santiago del Rio Oliveira

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1 Capítulo 4 Condução Bidimensional em Regime Estacionário Prof. Dr. Santiago del Rio Oliveira

2 4. Considerações Gerais A distribuição de temperaturas é caracterizada por duas coordenadas espaciais, ou seja: ( x, y). O vetor fluxo de calor é caracterizado por duas componentes direcionais, ou seja: q e q. " x " y Exemplo: condução bidimensional em um sólido prismático longo com duas superfícies adiabáticas e duas superfícies isotérmicas.

3 Devem ser notadas as formas das linhas de temperatura constante e das linhas de fluxo de calor (adiabáticas). Numa análise de condução existem dois objetivos principais: determinar a distribuição de temperaturas no meio (solução da equação de condução) e com isso determinar o fluxo térmico (aplicação da ei de Fourier). Em coordenadas cartesianas, a equação de condução e o vetor fluxo térmico, conforme Capítulo, são: q z k z y k y x k x t c p & ρ + + x x x k k k j i q"

4 4. Métodos de Solução da Equação de Condução Métodos analíticos: permitem a obtenção da solução exata da equação de condução para determinadas condições de contorno. De maneira geral essas soluções são complexas e tipicamente envolvem séries e funções matemáticas complicadas. Essas soluções estão restritas a geometrias e condições de contorno simples. Métodos gráficos: também chamado de plotagem de fluxo, pode ser usado para obter uma rápida estimativa da distribuição de temperaturas. O seu uso está restrito a problemas bidimensionais envolvendo contornos adiabáticos e isotérmicos. Métodos numéricos: são amplamente utilizados para obter resultados precisos em geometrias bi ou tridimensionais complexas envolvendo uma ampla variadade de condições de contorno. As técnicas numéricas mais comuns são os métodos dos elementos finitos, das diferenças finitas e dos volumes finitos.

5 4.3 O Método da Separação de Variáveis W y, θ 3 lados são mantidos a lado é mantido a, θ x, y ( ), θ 0, θ x 0 Considerações: - gradiente de temperaturas normal a xy é desprezado; - é considerado regime estacionário; - não existe geração interna de energia.

6 Com as considerações acima a equação de condução fica escrita como: x + y 0 Como a equação acima é de segunda ordem em x e y são necessárias duas condições de contorno para cada uma das coordenadas espaciais: ( 0, y), (, y), ( x, 0) e ( x, W ) O objetivo desse problema é determinar analiticamente ( x, y). Para simplificar a solução pode-se utilizar a seguinte variável adimensional: θ

7 Com isso a equação diferencial e suas condições de contorno são reescritas como: θ + x θ y 0 θ ( 0, y) 0, θ (, y) 0, θ ( x, 0) 0 e θ ( x, W ) Com a transformação de variáveis 3 das 4 condições de contorno ficaram homogêneas e o valor de θ ficou restrito no intervalo de 0 a. O método da separação de variáveis considera que a solução pretendida pode ser escrita como o produto de duas funções, uma delas dependente somente de x e a outra somente de y. θ ( x, y) X ( x). Y( y)

8 Substituindo a solução pretendida na equação diferencial modificada e dividindo por XY obtém-se: X d dx X Y d dy Y Fica evidente que o lado esquerdo depende de x e o lado direito depende de y. A igualdade é satisfeita se ambos os lados forem iguais a uma constante, denominada constante de separação, identificada como λ. Dessa forma a equação diferencial parcial fica reduzida a duas equações diferenciais ordinárias, ou seja: d dx X d Y + λ X 0 e λ Y 0 dy

9 As soluções gerais dessas equações diferenciais ordinárias são: X C cosλx + Csenλx e Y λ y +λy C3 e + C4e e, neste caso, a forma geral da solução bidimensional é: θ λy + λy ( C λx + C senλx) ( C e + C e ) cos 3 4 Aplicando a condição ( 0, y) 0 θ obtém-se que C 0. Da condição θ ( x, 0) 0 obtém-se que ( x) ( C + C ) 0 Da condição (, y) 0 C senλ 3 4, o que implica que C3 C4. λ y λ y ( ) θ obtém-se que C C e e 0 4senλ. A única forma pela qual essa condição possa ser satisfeita é que:

10 nπ λ n,,3,... A solução desejada pode ser expressa como: θ C C sen 4 nπx ( nπy nπy ) e e nπy nπy Utilizando a definição ( e e ) senh( nπy ), combinando as constantes e admitindo que a mesma possa depender de n obtém-se: θ C n sen nπx senh nπy Como o problema é linear, uma solução mais geral é escrita como:

11 θ ( x, y) n C n sen nπx senh nπy Para determinar C n utiliza-se a condição de contorno restante, ou seja: θ ( x, W ) n C n sen nπx senh nπw O método padrão para a determinação de C n consiste em escrever uma expansão em série infinita em termos de funções ortogonais. Esse procedimento é complexo e pode ser visto em livros avançados de transferência de calor por condução. A forma de C n é dada por: C n [( n+ ) ] + ( nπw ) nπsenh n,,3,...

12 Dessa forma, a solução final é representada como: θ ( x, y) π n ( n+ ) + nπx senh( nπy ) sen n senh( nπw )

13 4.4 O Fator de Forma da Condução e a axa de Condução de Calor Em alguns casos, problemas de condução bi e tridimensionais podem ser resolvidos rapidamente em termos de um fator de forma S ou de uma taxa de condução de calor em regime estacionário q. A taxa de transferência de calor pode ser representada como: q Sk A resistência condutiva bidimensional é escrita como: Rt cond( D), Sk Numerosos estudos sobre fator de forma na condução podem ser encontrados na literatura. Fatores de forma comuns podem ser vistos na abela 4., por exemplo:

14 Sistema Esquema Restrições Fator de Forma Cilindro circular de comprimento centrado em um sólido quadrado de igual comprimento w > D w π ln(,08 w D) Para geometrias unidimensionais: Parade plana: S S pk ka ln( r ) Cilindro: r Sc Sck πk r r Esfera: Se Sek 4πk r r p 4 A π ln r r πr r r r ( )