TÓPICO. Fundamentos da Matemática II DERIVADAS PARCIAIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

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1 7 DERIVADAS PARCIAIS TÓPICO Gil da Costa Marques Fundamentos da Matemática II 7.1 Introdução 7. Taas de Variação: Funções de uma Variável 7.3 Taas de variação: Funções de duas Variáveis 7.4 Taas de Variação: Funções de mais do que duas Variáveis 7.5 Taa de Variação Média 7.6 Taa de Variação Instantânea e Pontual 7.7 Taas de Variação Média de Campos Vetoriais 7.8 Derivadas Parciais de Componentes e de Campos Vetoriais 7.9 Algumas Propriedades das Derivadas Parciais 7.10 Derivadas de Ordem Superior Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Introdução Um dos conceitos mais importantes, quando se lida com a dinâmica de um sistema físico, é o de taa de variação. A rigor, falamos de duas taas de variação: uma se aplica ao caso em que a grandeza física depende apenas do tempo; a outra se aplica ao caso em que a grandeza depende de outras variáveis (usualmente, os pontos do espaço). A primeira é dita taa de variação instantânea. Ela dá a taa de variação das grandezas físicas em função do tempo. Tendo em vista que muitas grandezas físicas dependem do ponto do espaço, denominamos taa de variação pontual a taa com que tais grandezas mudam, ou variam, de um ponto para outro. Quando variamos apenas uma parte das coordenadas (quando variamos uma só, mantendo as demais fias) obtemos, a partir do processo limite de taas de variação médias, as assim denominadas derivadas parciais. Derivadas parciais são derivadas de funções de várias variáveis nas quais variamos uma das variáveis independentes por vez, mantendo as demais fias. 7. Taas de Variação: Funções de uma Variável Na mecânica e em outras áreas do conhecimento, muitas vezes estamos interessados em determinar a taa de variação da grandeza f com respeito a. Tal taa, salvo raras eceções, depende da variável. Essa nova função, obtida da função dita primitiva (a função f ), é denominada função derivada de f e será representada pela função g(). Utilizando a notação de Leibniz, escrevemos essa nova função como: df d = g 7.1 O cálculo diferencial provê um método para a determinação da taa de variação de uma função, quer ela dependa de uma ou de mais variáveis. No caso de apenas uma variável, a determinação da taa de variação pontual ou instantânea, isto é, a derivada de uma função, envolve considerações a respeito de um quociente de diferenças cada vez menores, por meio de um processo denominado limite, que nos permite determinar a taa com que a função varia em cada ponto de um determinado intervalo no qual a variável varia. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

3 108 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 7.3 Taas de variação: Funções de duas Variáveis Antes de eaminar a questão para um número de variáveis maior ou igual a três que é o que nos interessa no conteto deste trabalho, vamos analisar o conceito de derivada parcial em relação a uma das variáveis, num ponto do domínio da função, numa situação mais simples - a de uma função de duas variáveis. Seja z = f (, ) uma função de duas variáveis reais, definida num domínio D e seja ( 0, 0 ) D. Podemos definir a taa de variação média da função f com relação à variável, quando varia no intervalo [ 0, 0 + Δ] se Δ > 0 ou [ 0 + Δ, 0 ], se Δ < 0, e permanece constante, como: ( +, ) (, ) f f Analogamente, podemos definir a taa de variação média da função f com relação à variável, quando varia no intervalo [ 0, 0 + Δ] se Δ > 0 ou [ 0 + Δ, 0 ], se Δ < 0, e permanece constante, como: (, + ) (, ) f f Tendo definido as taas de variação média relativamente a cada uma das duas variáveis nos respectivos intervalos, é possível definir a taa de variação pontual da função f, no ponto ( 0, 0 ), com relação a cada uma das variáveis. Assim, a taa de variação pontual da função f, no ponto ( 0, 0 ), com relação à variável, é por definição: lim 0 ( +, ) (, ) f f 7.4 ou, de modo equivalente, lim 0 se tal limite eistir e ele for finito. ( +, ) (, ) f f TÓPICO 7 Derivadas Parciais

4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 109 É importante observar que, uma vez que a variável seja mantida constante, = 0, podemos considerar uma função g de uma variável, g() = f (, 0 ), definida para no intervalo [ 0, 0 + Δ] (ou [ 0 + Δ, 0 ]) e, dessa maneira, estamos, no limite acima, calculando a derivada da função g no ponto 0, isto é g ( 0 ). f ( 0 +, 0) f ( 0, 0) O limite lim é denominado derivada parcial da função f com 0 relação à variável no ponto ( 0, 0 ), sendo utilizada a seguinte notação: ( ), = lim ( +, ) (, ) f f 7.6 Para as funções de duas variáveis reais, há uma interpretação geométrica importante e interessante para as derivadas parciais de uma função num ponto do seu domínio. Vejamos primeiramente o caso de ( 0, 0) : Figura 7.1: A derivada parcial da função f com relação à variável no ponto ( 0, 0 ), isto é, (, ) 0 0. É importante notar que o gráfico de g() = f (, 0 ) é a intersecção do gráfico da função z = f (, ) com o plano de equação = 0 ; logo, está contido nesse plano. Assim, a derivada parcial da função f, com relação à variável no ponto ( 0, 0 ), que é a derivada de g no ponto 0, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de g no ponto de abscissa 0. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

5 110 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Do mesmo modo, a taa de variação pontual da função f, no ponto ( 0, 0 ), com relação à variável, é por definição: ou, de modo equivalente, (, + ) (, ) 0 f lim 0 0 f lim 0 (, + ) (, ) f f se tal limite eistir e ele for finito. É importante observar que, uma vez que a variável seja mantida constante, = 0, podemos considerar uma função h de uma variável, h = f ( 0, ), definida para no intervalo [ 0, 0 + Δ] (ou [ 0 + Δ, 0 ]) e, dessa maneira, estamos, no limite acima, calculando a derivada da função h no ponto 0, isto é h ( 0 ). O limite lim 0 (, + ) (, ) f f é denominado derivada parcial da função f com relação à variável no ponto ( 0, 0 ). A notação utilizada é a seguinte: ( ) 0 0 (, + ) (, ) f f, = lim TÓPICO 7 Derivadas Parciais

6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 111 Vejamos agora a interpretação geométrica para o caso de (, ) 0 0 : Figura 7.: A derivada parcial da função f com relação à variável no ponto ( 0, 0 ), isto é, (, ) 0 0. É importante notar que o gráfico de h() = f ( 0, ) é a intersecção do gráfico da função z = f (, ) com o plano de equação = 0 ; logo, está contido nesse plano. Assim, a derivada parcial da função f com relação à variável no ponto ( 0, 0 ), que é a derivada de h no ponto 0, é o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de h no ponto de abscissa 0. Eemplo 1: Dada a função f (, ) = + + 1, determine os resultados encontrados. Solução: i. para encontrar f (1, ) e (1, ) precisamos, em primeiro lugar, encontrar f (1, ); interprete geometricamente (, ) num ponto (, ) qualquer. Para tanto, mantemos a variável constante e derivamos com relação a. Obtemos então, = Logo, (1, ) =. Esse resultado fornece o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função g() = f (, 0 ), cujo gráfico é a intersecção do gráfico de f com o plano = 0 (constante) Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

7 11 Licenciatura em Ciências USP/Univesp ii. para encontrar (1, ) o procedimento é análogo. Precisamos, em primeiro lugar, encontrar (, ) num ponto (, ) qualquer. Para tanto, mantemos a variável constante e derivamos com relação a. Obtemos então, = 7.1 Logo, (1, ) = 4 Esse resultado fornece o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico da função h = f ( 0, ), cujo gráfico é a intersecção do gráfico de f com o plano = 0 (constante). Eemplo : Sendo f 1, = sen + 1, determine f resultados encontrados. Solução: Sendo f 1, = sen + 1, temos: (3, ) e f ( 3, ); interprete geometricamente os ( 1) ( 1) ( + 1) ( + 1) (, ) = cos = cos e, portanto, Temos também 4 5 3, = cos ( 1) ( 1) ( + 1) ( + 1) (, ) = cos = cos e, portanto, 6 5 3, = cos As interpretações geométricas são análogas às do Eemplo 1. TÓPICO 7 Derivadas Parciais

8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Taas de Variação: Funções de mais do que duas Variáveis Quando uma grandeza V é função das variáveis,, z e t (t é a grandeza tempo), isto é, V depende de,, z e t, então uma variação da variável independente, designada por Δ, acarreta uma variação correspondente da grandeza V. Essa diferença é dada por: ( +,,, ) (,,, ) V zt V zt 7.17 Analogamente, variando a grandeza tempo (t) por uma quantidade Δt, isso acarretará outra variação da grandeza V: (,,, + ) (,,, ) V zt t V zt 7.18 O mesmo, evidentemente, pode ser dito para a variação de qualquer uma das demais variáveis. Eemplo 3: A variação do volume de um paralelepípedo reto retângulo de lados, e z, quando variamos o tamanho do lado, considerando um novo paralelepípedo com dimensões +, e z 7.19 é dada por: ( + ) z z = ( ) z 7.0 Figura 7.3: O volume do paralelepípedo inicial e o volume do paralelepípedo em que o tamanho do lado sofreu um acréscimo Δ. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

9 114 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 7.5 Taa de Variação Média Ao quociente entre a variação da grandeza e o respectivo intervalo associado a essa variação damos o nome de razão média das variações ou taa de variação média. ( +,,, ) (,,, ) V V zt V zt = 7.1 A taa de variação média da função V, com relação à variável, no intervalo [, + Δ] é o quociente ( +,,, ) (,,, ) V zt V zt 7. Podemos, igualmente, definir a taa de variação média, com relação à variável, isto é quando variamos apenas a grandeza. Ela é definida por: (, +,, ) (,,, ) V zt V zt Podemos ainda definir a taa de variação média, com relação à variável z, que resulta da variação apenas da coordenada z. Ela é definida por: 7.3 (,, +, ) (,,, ) V z zt V zt z 7.4 Evidentemente, uma definição análoga vale para a taa de variação média, com relação à variável t: (,,, + ) (,,, ) V zt t V zt t Em qualquer dos casos, fica entendido que estamos variando uma das coordenadas de cada vez, mantendo sempre constantes as demais. Para cada uma das variáveis, podemos determinar a taa de variação média da função com relação a essa variável, num intervalo em que a variável considerada varia. 7.5 TÓPICO 7 Derivadas Parciais

10 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 115 Eemplo 4: A taa de variação média do volume do paralelepípedo reto retângulo, do eemplo 3, é dada por: ( + ) ( ) V z z z = = = z Taa de Variação Instantânea e Pontual É fácil determinar a taa de variação média de uma função, uma vez que ela envolve apenas o cálculo da função para dois valores genéricos distintos de uma das variáveis, quer seja ela,, z ou t, enquanto as outras permanecem constantes. Consideremos agora o caso em que reduzimos o intervalo, em que qualquer uma das variáveis varia, a um tamanho cada vez menor. Em particular, podemos pensar em um tamanho muito pequeno (embora não tenhamos muita clareza sobre o que isso significa). A tais tamanhos diminutos damos o nome de infinitesimais. Intervalos infinitesimais são denotados por d, d, dz ou, quando a variável for o tempo, dt. A seguir, estaremos interessados em determinar a taa de variação instantânea (quando a variável for o tempo) ou a taa de variação pontual de uma função f em relação a uma das outras variáveis,, ou z. Para calcular, por eemplo, a taa de variação pontual de f com relação à variável, no ponto ( 0, 0, z 0, t 0 ) do domínio da função, consideramos acréscimos tanto positivos (Δ > 0) quanto negativos (Δ < 0). Assim, fica subentendido que, ao calcular o limite quando Δ 0, estamos fazendo Δ aproimar-se de 0 por valores tanto positivos quanto negativos. Dessa maneira, dizemos que, se o limite assim definido eistir e ele for finito, ele será a derivada parcial da função f com relação à variável, no ponto ( 0, 0, z 0, t 0 ). A notação utilizada é a seguinte: ( z t ),,, = lim 0 ( +,,, ) (,,, ) f z t f z t 7.7 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

11 116 Licenciatura em Ciências USP/Univesp De maneira análoga, definimos a taa de variação pontual de f com relação à variável, no ponto ( 0, 0, z 0, t 0 ) do domínio da função, como: ( z t ),,, = lim (, +,, ) (,,, ) f 0 0 z0 t0 f 0 0 z0 t0 0 Definimos, finalmente, a taa de variação pontual de f com relação à variável z, no ponto ( 0, 0, z 0, t 0 ) do domínio da função, como: 7.8 z ( z t ),,, = lim z 0 (,, +, ) (,,, ) f z z t f z t z 7.9 E definimos a taa de variação instantânea de f com relação à variável t, no ponto ( 0, 0, z 0, t 0 ) do domínio da função, como: t ( z t ),,, = lim (,,, + ) (,,, ) f 0 0 z0 t0 t f 0 0 z0 t0 t 0 Observando com cuidado as definições, podemos perceber que a derivada parcial de uma função com relação a uma variável, num ponto do domínio da função, é a derivada da função com relação a uma variável, enquanto as demais variáveis são mantidas fias ou constantes. t 7.30 Eemplo 5: A derivada parcial com relação à variável da função: é por definição: 3 (,, ) = 5 g z z g 5 + z 5z ( z,, ) = lim = = 5zlim = 5z( 3 ) = 15z TÓPICO 7 Derivadas Parciais

12 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Eemplo 6: Determine a taa de variação instantânea de uma onda plana harmônica da forma: (, t) = Asen( k wt) Solução: Temos que a derivada parcial da função com relação à variavel t é dada por: t A k t A k t t t t (, ) = sen ( ω ) = sen ( ω ) 7.34 sendo que, para o cálculo da taa de variação do último termo, escrevemos: sen cos cos t t ( k ω t) = ( k ωt) ( k ω t) = ω ( k ωt) 7.35 Donde concluímos que: t (, t) = Aωcos( k ωt) 7.36 Assim, para uma função escalar de quatro variáveis, V(,, z, t), V : D 4, onde D é o domínio de V, definimos quatro derivadas parciais de primeira ordem: V( zt,,,), V( zt,,,), V( zt,,,), V( zt,,,) t z 7.37 Muitas vezes utilizamos uma notação simplificada, escrevendo: V zt t V zt V zt (,,, ) = V( zt,,, ) (,,, ) = V( zt,,, ) (,,, ) = V( zt,,, ) V zt z (,,, ) = V( zt,,, ) t z 7.38 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

13 118 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 7.7 Taas de Variação Média de Campos Vetoriais Seja D n e uma transformação F : D 3, que é também denominado um campo vetorial, indicado por F ; consideremos a determinação da taa de variação de uma das componentes do campo vetorial com relação a uma variável. Como eemplo, vamos considerar o campo elétrico: E( zt,,,) = E( zti,,,) + E( zt,,,) j+ E( ztk,,,) z 7.39 e seja ( 0, 0, z 0, t 0 ) um ponto do domínio do campo vetorial E. A taa de variação da componente E com relação à variável é definida de maneira análoga ao que já foi feito antes. Lembramos primeiramente que uma variação = acarreta uma variação correspondente da componente do campo: (, +,, ) (,,, ) E z t E z t 7.41 Ao quociente entre a variação da componente e o respectivo intervalo associado a ela (, +,, ) (,,, ) E z t E z t 7.4 damos o nome de taa de variação média da componente do campo. Para um campo vetorial como E, podemos considerar doze taas de variação média. Abaio, apresentamos as outras três taas de variação média da componente E do campo vetorial E. Temos: ( +,,, ) (,,, ) E zt E zt 7.43 TÓPICO 7 Derivadas Parciais

14 e (,, +, ) (,,, ) E z zt E zt z Licenciatura em Ciências USP/Univesp bem como aquela em relação ao tempo, isto é, à variável t: (,,, + ) (,,, ) E zt t E zt t Derivadas Parciais de Componentes e de Campos Vetoriais Estamos interessados em determinar a taa de variação instantânea (quando a variável considerada for o tempo), ou a taa de variação pontual de qualquer uma das componentes de um campo vetorial (quando a variável considerada é, ou z), como, por eemplo, a componente E = E (,, z, t). Tal taa, calculada num ponto ( 0, 0, z 0, t 0 ) do domínio do campo vetorial E, é denominada simplesmente taa de variação de E no ponto de coordenadas ( 0, 0, z 0, t 0 ). Ela é definida como aquela que é obtida a partir de intervalos cada vez menores da variável considerada. Mais precisamente, estaremos interessados em obter o valor da taa quando consideramos o limite em que o intervalo de variação da variável considerada tende a zero. Para calcular a taa de variação pontual, com relação à variável, de E, no ponto ( 0, 0, z 0, t 0 ), consideramos acréscimos tanto positivos (Δ > 0) quanto negativos (Δ < 0). Assim, fica subentendido que, ao calcularmos o limite, Δ 0, estamos fazendo Δ aproimar-se de zero por valores tanto positivos quanto negativos. Se o limite eistir e ele for finito, ele definirá a derivada parcial da componente do campo em um ponto do domínio. E E 0, 0 +, z0, t0 E ( 0, 0, z0, t0) ( 0, 0, z 0, t 0) = lim 0 A derivada parcial, com relação à variável, é a função resultante desse processo limite, ou seja: 7.46 E (, +,, ) (,,, ) E zt E zt ( zt,,, ) = lim Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

15 10 Licenciatura em Ciências USP/Univesp A função derivada parcial da componente E do campo, com relação à variável, é, analogamente, definida pelo processo limite dado por: E ( +,,, ) (,,, ) E zt E zt ( zt,,, ) = lim Num campo vetorial, dependendo de quatro variáveis,,, z e t, podemos definir quatro derivadas parciais para cada componente do campo vetorial. Assim, temos doze derivadas parciais de um campo vetorial. Por eemplo, no caso da componente E do campo vetorial E= E( zt,,,), temos quatro possíveis derivadas parciais de primeira ordem. Duas delas são apresentadas nas epressões 7.47 e 7.48, enquanto, na terceira delas, a função derivada parcial da componente E do campo com relação a z é definida como: E z (,, +, ) (,,, ) E z zt E zt ( zt,,, ) = lim z 0 z 7.49 A taa de variação instantânea da mesma componente do campo, a componente E, isto é, a derivada parcial com relação a t, de E, é definida por: E t (,,, + ) (,,, ) E zt t E zt ( zt,,, ) = lim t 0 t 7.50 Até aqui, definimos derivadas parciais de componentes de campos vetoriais e as de campos escalares. Conquanto possamos sempre definir derivadas parciais de campos vetoriais, com relação às variáveis que são as coordenadas, nem sempre elas têm sentido físico. As derivadas parciais de campos com relação ao tempo, no entanto, sempre fazem sentido. Geramos um novo campo, com sentido físico bem definido, considerando a derivada parcial com relação ao tempo. Um novo campo vetorial C (,, z, t) é obtido a partir da taa de variação instantânea do campo E (,, z, t), de acordo com a epressão: E( zt,,,) E(,,,) (,,,) zt E zt Ez( zt,,,) C( zt,,,) = = i+ j+ k t t t t 7.51 TÓPICO 7 Derivadas Parciais

16 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Algumas Propriedades das Derivadas Parciais Já sabemos que, se F e G são funções deriváveis, então, F + G, F G e F/G são deriváveis e valem as propriedades usuais para a derivada da soma, do produto e do quociente de funções, lembrando que, no caso do quociente, é preciso observar a restrição de o denominador não poder ser zero. Para a derivação parcial valem as mesmas propriedades. Assim é que: F( zt,,,) + Gzt (,,,) F( zt,,,) Gzt (,,,) = Ou, numa notação mais simplificada, omitindo as variáveis: F + G F G = Do mesmo modo, para a derivada parcial do produto de duas funções, F G F G = G+ F e, para a derivada parcial do quociente de duas funções, F G G F F = G G Eemplo 7: Sendo F (, ) = sen (/) e G(, ) = cos (, ), temos: em primeiro lugar, as derivadas parciais de F e G com relação a : F 1 G 1 = cos e = sen 7.56 Logo, ( F + G) 1 = sen cos 7.57 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

17 1 Licenciatura em Ciências USP/Univesp ( F G) 1 1 = cos cos + sen sen = 1 1 = cos sen cos = cos + sen F 1 = = sec G cos Por outro lado, as derivadas parciais de F e G com relação à variável : F G = cos e = sen Logo, ( F + G ) sen cos = 7.61 ( F G) = cos cos + sen sen = = sen cos cos = 7.6 cos sen F = = sec G cos 7.63 Eemplo 8: Sendo F (, ) ln sen = e G (, ) = ln cos, temos: F G = cos = cotg e = sen = tg sen cos 7.64 TÓPICO 7 Derivadas Parciais

18 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 13 Logo, ( F + G) 1 = cotg tg 7.65 ( F G) 1 1 = cotg ln cos + ln sen tg = 1 = cotg ln cos ln sen tg 7.66 Por outro lado, 1 1 cotg ln cos ln sen tg F = = G ln cos 1 cotg ln cos ln sen tg + = ln cos F 1 = cos = cotg sen G 1 = sen = tg cos Logo, ( F + G ) tg cotg = 7.70 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

19 14 Licenciatura em Ciências USP/Univesp ( F G) = cotg ln cos + ln sen tg = = cotg ln cos ln sen tg + = = ln sen tg cotg ln cos 7.71 cotg ln cos ln sen tg F = = G ln cos cotg ln cos ln sen tg + = ln cos Derivadas de Ordem Superior Podemos definir derivadas parciais de ordem mais alta, com relação a uma variável. Assim, podemos definir a derivada parcial de segunda ordem de uma função escalar, com relação à variável : V( + zt,,,) V( zt,,,) V zt V zt = = (,,,) (,,,) lim desde que tal limite eista e seja finito. De forma análoga, podemos definir as derivadas parciais mistas de segunda ordem de uma função escalar: (,,,) V( zt,,,) = V zt 7.74 TÓPICO 7 Derivadas Parciais

20 V zt (,,,) V( zt,,,) = z z Licenciatura em Ciências USP/Univesp Da mesma forma, podemos definir as derivadas parciais de segunda ordem das componentes de uma função vetorial: E( zt,,,) E( zt,,,) = E( zt,,,) E( zt,,,) = z z Derivadas parciais de ordem mais alta são assim obtidas como uma sucessão de derivadas parciais. Por eemplo: n n 1 n V( zt,,,) V( zt,,,) V( zt,,,) = n n 1 = n = n n 1 V( zt,,,) V( zt,,,) =... n = = n Eemplo 9: Sendo f(, ) = +, temos quatro derivadas parciais de segunda ordem. Em primeiro lugar, (, ) (, ) = e = Agora, + f(, ) (, ) + = = = = (, ) (, ) f f = = = = Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

21 16 Licenciatura em Ciências USP/Univesp f(, ) f(, ) = = = = f(, ) (, ) + = = = = Uma observação importante é o fato de que nem sempre as derivadas parciais mistas de uma função coincidem. Entretanto, se a função for de classe C num aberto A isto é, todas as suas derivadas parciais de ordem são contínuas em A, então, as derivadas parciais mistas da função coincidem em A. Não entraremos em detalhes sobre essa questão, pois foge ao objetivo deste teto. Eemplo 10: 1 Seja f(, ) = calculadas]: +. Vamos verificar que [omitindo os pontos (, ) em que as funções são Em primeiro lugar, e daí 4 4 f f 8( ) = 4 + = e = ( + ) ( + ) e Logo, ( ) ( ) f + ( ) = = ( ) ( ) f + ( ) = = ( 4 4) f f = = TÓPICO 7 Derivadas Parciais

22 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 17 Eemplo 11: Sendo f (,, z) = e z, mostre que Temos: f f f z z. + =. z + f = f = f = z z e. z e. z e. z z Agora f z z = e. z. z + e. z f f Como as funções envolvidas são contínuas, = e, portanto, f f + = z + z z e Por outro lado, z. z z z + = e. z + z 7.94 Logo, f f z + =. z + z 7.95 sempre que 0. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA