Cálculo II - B profs.: Heloisa Bauzer Medeiros e Denise de Oliveira Pinto 1 2 o semestre de 2017 Aulas 6 e 7 Limites e Continuidade

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1 Cálculo II - B profs.: Heloisa Bauzer Medeiros e Denise de Oliveira Pinto 2 o semestre de 207 Aulas 6 e 7 Limites e Continuidade Estas duas aulas envolvem detalhes muito técnicos. Por essa razão, serão trabalhadas de modo diferente. Na primeira (aula 6), o conteúdo será discutido como aula expositiva. Na segunda, os exemplos e exercícios serão tratados sob forma de estudo orientado. Limites Lembre que uma função f : R R tem ite L quando x tende para a, se para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que f(x) L < ɛ se 0 < x a < δ. A definição para funções f : R n R m é a mesma! Apenas interprete x e a como pontos em R n, f(x) e L como pontos de R m e escreva x a e f(x) L ao invés de x a e f(x) L. Assim: Definição.. f : R n R m tem ite L quando x tende para a e escrevemos f(x) = L ou f(x) L se para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que f(x) L < ɛ se 0 < x a < δ. Equivalentemente, f(x) = L ou f(x) L, se para todo ɛ > 0 existe δ > 0 tal que d(f(x), L) < ɛ se 0 < d(x, a) < δ. Propriedades... O ite se existe é único. (unicidade) 2. Se f e g, funções de R n em R m são tais que f(x) = A e g(x) = B, então : (a) (f + g)(x) = A + B (regra da adição ). (b) f(x), g(x) = A, B ; em particular, caso m =, f(x) g(x) = A B (regra do produto). o conteúdo dessas aulas foi retirado, quase que integralmente, da apostila escrita em conjunto com Maria Lucia Menezes.

2 (c) caso m = e B 0 então ( ) f (x) = A g B (regra do quociente). (d) caso m =, f(x) n = A n, n N. p (e) caso m =, p f(x) = A se p é ímpar ou se p é par e A > 0. x a (f) f(x) = A. x a Valem também o teorema do sanduíche e suas conseqã ( ) 4ências: Exemplo. Calcule (x2 + y 2 )sen. ( ) Solução : sen é itada e além disso, (x2 + y 2 ) = 0. Portanto, (x2 + y 2 )sen ( ) = 0. Note que a definição acima pode ser reescrita como: Definição.2. (reescrita) A função f tem ite L quando x tende para a, e escrevemos f(x) = L ou, equivalentemente, f(x) L quando x a, se para toda bola aberta de raio ɛ > 0 em torno de L, existe uma bola aberta de raio δ > 0 tal que se x B δ (a) {a}, então f(x) B ɛ (L). Assim, fazer x se aproximar de a, significa que x se aproxima de a segundo qualquer direção. Exemplo 2. Calcule + y 2. Solução : Note que x2 = na direção y = 0, temos que, y=0 x2 + y 2 = 0. Tomando o ite + y = 2 x 0 x = = 2 x 0 Agora tomando o ite na direção x = 0, temos que, x=0 + y 2 = y 0 0 = 0 Como o ite deve ser único se existir, esse ite não existe!! 2

3 Exemplo 3. Calcule + y. 2 Solução : Tomando o ite na direção y = 0, temos que, y=0 + y 2 = x 0 0 = 0 Agora tomando o ite na direção x = 0, temos que, x=0 + y 2 = y 0 0 = 0 Finalmente, tomando o ite na direção x = y, temos que, x=0 + y 2 = x 0 2 = 2 Como o ite deve ser único se existir, esse ite não existe. y 2 Exemplo 4. Calcule ( + y 2 ). 2 Solução : Tomando o ite na direção x = 0, temos que, x=0 ( y 2 ) 0 = ( + y 2 ) 2 y 0 y = 0 4 Tomando o ite na direção y = 0, temos que, y=0 ( y 2 ) 0 = ( + y 2 ) 2 x 0 x = 0 4 Tomando o ite na direção x = y, temos que, x=0 ( y 2 ) 0 = ( + y 2 ) 4 x 0 2x = 0 4 Tomando o ite na direção y = 2x, temos que, x=0 Logo esse ite não existe. ( y 2 ) 3x 4 = ( + y 2 ) 2 x 0 25x 4 =

4 2 Exemplo 5. Calcule + y. 4 Solução : Tomando o ite na direção x = 0, temos que, x=0 2 + y 4 = y 0 Tomando o ite na direção x = y 2, temos que Assim, esse ite não existe. 0 y 4 = 0 2, x = y 2 + y = y 4 4 x 0 2y = 4 2 Os exemplos anteriores ilustram que geralmente é fácil mostrar que um ite não existe. Para mostrar que existe pode ser mais difícil. Veja: Exemplo 6. Mostre que Solução : 0 + y 2, logo, 0 Portanto, Exemplo 7. Mostre que 0 x 4 + y 2 = 0. x 4 + y 2 = 0. x 4 + y 2 x4 + y 2 x2. Assim, x 3 y x 4 + y 2 = 0. x2 = 0. Solução : 0 x 4 x 4 + y 2 logo 0 x 4 + y 2 ; 0 y 2 x 4 + y 2 logo 0 y x 4 + y 2. Assim, 0 Exemplo 8. Mostre que x 3 y + y 2 (x,y,z) (0,0,0) x4 + y 2 y x4 + y 2 x = 0. z + y 2 + z 2 = 0. 4

5 Solução : 0 + y 2 + z 2, logo, 0 x y 2 + z 2. Da mesma forma, 0 y y 2 + z 2 e 0 z y 2 + z 2. Assim, ( ) 3 z x2 + y 2 + z 2 0 (x,y,z) (0,0,0) + y 2 + z = x2 + y 2 (x,y,z) (0,0,0) + y 2 + z 2 + z 2 = 0. 2 (x,y,z) (0,0,0) Como a a a, (x,y,z) (0,0,0) z + y 2 + z 2 = 0. Definição.3. f : R n R m tem ite infinito quando x tende para a e escrevemos f(x) = ou, f(x) se para todo N > 0 existe δ > 0 tal que f(x) > N se 0 < x a < δ. Exemplo 9. Mostre que + y 2 =. Solução : Para todo N > 0, existe δ = N tal que se (x, y) < δ, i.e., x2 + y 2 < δ, então Portanto, f(x, y) = + y 2 =. + y 2 > δ 2 = N. Definição.4. f : R n R m tem ite L quando x tende para infinito e escrevemos f(x) = L ou, f(x) L quando x x se para todo ɛ > 0 existe N > 0 tal que f(x) L < ɛ se x > N. Exemplo 0. Mostre que (x,y) x 4 + y 2 = 0. Solução : x 4 + y 2 > + y 2 para x >. Assim, x >. Logo, (x,y) x 4 + y 2 (x,y) (note que esse é um ite de uma variável!) x 4 + y < 2 + y 2 + y 2 = 0. para 5

6 Exercício a) x + y b) d) g) (x,y) (0,2).. Calcule, quando existirem, os ites abaixo: sen () x y 2 e) + y 2 (x,y,z) (0,0,0) cos( 2x) (y 2) 2 2 Continuidade c) x 3 + y + z 2 x 4 + y 2 + z 3 f) (x,y) (,) Lembre da definião de continuidade em um ponto para funções de uma variável: Definição 2.. Continuidade em um ponto A função f : D R R é contínua em a D, se f(x) = f(a). A função f é descontínua em a D se f(x) f(a) ou se não existe o ite f(x). A mesma definição vale para funções f : D R n R m!!! Observe que neste caso, está implícito na definição que a é um ponto interior do domínio de f. Uma outra maneira de escrever essa definição é: Definição 2.2. Continuidade em um ponto (reescrita) A função f é contínua em a, se para toda bola aberta de raio ɛ > 0 em torno de f(a), existe uma bola aberta de raio δ > 0 tal que se x B δ (a), então f(x) B ɛ (f(a)). Propriedades 2... Se f : D R n R m e g : D 2 R n R m são contínuas em a então as funções f + g, f g e f, g : D D 2 R também são contínuas em a. Em particular, para m =, a função fg : D D 2 R também é contínua em a. Além disso, caso m = e g(a) 0, f também é contínua em a. g 2. Se f : D R n R m e g : D 2 R m R k são contínuas em a D e b D 2 com f(a) = b, então g f : {x D R n ; f(x) D 2 } R k é contínua em a. x x + y 2x + y 2 2x + 2y 6

7 Para funções reais de uma variável, era comum estudarmos ites e continuidade a direita e a esquerda. Isso não faz sentido para funções f : D R n R m para n >. Entretanto, neste caso, podemos estudar continuidade em pontos do bordo. Definição 2.3. Continuidade em pontos de bordo A função f : D R n R m é contínua em a D, se f(a). f(x) =,x int(d) Definição 2.4. Continuidade A função f : D R n R m é contínua se é contínua em todos os pontos de D. Propriedades Se f : D R n R m e g : D 2 R n R m são contínuas então as funções f + g, f g e f, g : D D 2 R também são contínuas. Em particular, para m =, a função fg : D D 2 R também é contínua. Além disso, caso m = e g(x) 0, para todo x, f/g também é contínua. 2. Se f : D R n R m e g : D 2 R m R k são contínuas e f(d ) D 2, então g f : D R k é contínua. D R n D 2 R m R k x f(x) y g(y) Aplicaà ão 2... Polinà mios são contínuos. 2. Funções racionais f : R n {zeros do denominador de f} R são contínuas. ; (x, y) (0, 0) Exemplo. Estude a continuidade de f(x, y) = + y2. 0; (x, y) = 0 Solução : Para (x, y) (0, 0), f é contínua pois é racional. Para (x, y) = (0, 0), vamos estudar o ite Tomando o ite na direção + y2 x = y, temos que + y 2 = x = 2.

8 Fazendo agora o ite na direção x = 0, temos que + y 2 = y 0 0 y 2 = 0. Assim, o ite não existe e portanto f é descontínua em (x, y) = (0, 0). Exemplo 2. (exemplo ( revisitado) ) Estude a continuidade de ( + y 2 )sen 0 f(x, y) =. 0; (x, y) = (0, 0) ( ) Solução : Note que a função sen é contínua pois é a composta de duas funções contínuas. Veja o diagrama: R 2 {(x, y); 0} R (x, y) t R sen (t) Assim, para (x, y) (0, 0), f é contínua pois é o produto de um( polinã mio ) por uma função contínua. Além disso, (x2 + y 2 )sen = 0, e logo, f é contínua em (x, y) = (0, 0). Portanto, f é contínua. Exemplo 3. (exemplo 7 revisitado) Estude a continuidade de x 3 y (x, y) (0, 0) f(x, y) = x 4 + y 2. 0; (x, y) = (0, 0) Solução : a função contínua. Além disso, x 3 y, (x, y) (0, 0) é racional sem pólos portanto x 4 + y2 (0, 0). Portanto, f é contínua. x 3 y = 0 e logo f é contínua em (x, y) = x 4 + y2 Exemplo 4. Seja f : [0, ) [0, 2π) R 2 dada por f(r, θ) = (r cos (θ), rsen (θ)) e g : R {0} R R, g(x, y) = y. O que você pode dizer sobre g f? x 8

9 Solução : g : (0, ) [0, 2π) R Como f e g são contínuas, g f é contínua. (r, θ) g(r cos (θ), rsen (θ)) = tan (θ) Exemplo 5. (exemplo 6 revisitado) Obtenha, se possível, a extensão contínua da função f(x, y) = x4 + y. 2 x 4 Solução : f é contínua, pois é racional. Além disso, como + y = 2 f(x, y) = x4 ; (x, y) (0, 0) 0 (veja o exemplo 3.2.3), f possui extensão contínua, F (x, y) = x 2 + y2 0; (x, y) = 0 Exercício 2. Em cada caso, descreva o subconjunto do R 2 no qual a função é contínua: a) f(x, y) = x + y y b) f(x, y) = x 3 + y 2 ; (x, y) (0, 0) + c) f(x, y) = x x y 2 + y2 0; (x, y) = 0 Exercício 3. Em cada caso, descreva o subconjunto do R 3 no qual a função é contínua: sen () + cos() a) f(x, y, z) = b) f(x, y, z) = 2 x + y 2 + z y 2 z 2 4. A função f; f(x, y) = x + y é contínua em R 2? Justi- Exercício fique. Exercício 5. Idem para f(x, y) = 3 Respostas aos Exercícios Seção 2.2 { + y 2 ; + y 2 4 4; + y 2 > 4 9

10 a) 0 b) 0 c) d) e) f) g) /2 Seção 2.3 a) x y b) R 2 c) R 2 {(0, 0)} 2a) + y 2 + z 2 4 2b) + y 2 + z 2 < 2 { 3) Sim: é composta de contínuas 4) f = g h, onde h(x, y) = + y 2 e g(t) = t; t 4. Como g e h são 4; t > 4 contínuas, f também é. 0