DERIVADAS PARCIAIS. y = lim

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1 DERIVADAS PARCIAIS Definição: Seja f uma função de duas variáveis, x e y (f: D R onde D R 2 ) e (x 0, y 0 ) é um ponto no domínio de f ((x 0, y 0 ) D). A derivada parcial de f em relação a x no ponto (x 0, y 0 ) é denotada por f(x 0, y 0 ) f(x 0 + h, y 0 ) f(x 0, y 0 ) = f x (x 0, y 0 ) = lim h 0 h se o limite existir. Da mesma forma a derivada parcial de f em relação a y é aquela função, denotada por f y, tal que seus valores funcionais em qualquer ponto (x, y) do domínio de f sejam dados por f(x 0, y 0 ) se o limite existir. = f y (x 0, y 0 ) = lim h 0 f(x 0, y 0 + h) f(x 0, y 0 ) h 1) Dado o paraboloide f(x, y) = 16 x 2 y 2 encontre f x (1, 2) e f y (1, 2). Definição: Seja f uma função de duas variáveis, x e y (f: D R onde D R 2 ). A derivada parcial de f em relação a x é denotada por f x, tal que seus valores funcionais em qualquer ponto (x, y) no domínio de f sejam dados por f f(x + h, y) f(x, y) h 0 = f x = lim h se o limite existir. Da mesma forma a derivada parcial de f em relação a y é denotada por f y, tal que seus valores funcionais em qualquer ponto (x, y) do domínio de f sejam dados por se o limite existir. f = f f(x, y + h) f(x, y) y = lim h 0 h 2) Encontre as derivadas parciais f x e f y do parabolóide f(x, y) = 16 x 2 y 2 e use essas derivadas parciais para calcular f x (1, 2) e f y (1, 2). Para achar f x trate y como uma constante e derive f(x, y) em relação a x. Para achar f y trate x como uma constante e derive f(x, y) em relação a y. 3) Determine as derivadas parciais f e f das funções: a) f(x, y) = x 2 + y 2 2 2yx b) f(x, y) = { 3x 2 +5y2 se (x, y) (0, 0) 0 se (x, y) = (0, 0)

2 INTERPRETAÇÃO GEOMÉTRICA DAS DERIVADAS PARCIAIS O gráfico de uma função f de duas variáveis é uma superfície cuja equação é z = f(x, y). Se y for mantida constante (digamos y = y 0 ) então z = f(x, y 0 ) será a equação da curva C 1, resultante da interseção desta superfície com plano y = y 0. Portanto, a derivada parcial de f em relação a x no ponto (x 0, y 0 ) representa o coeficiente angular da reta tangente à curva C 1 no ponto (x 0, y 0 ) na direção paralela ao eixo x, isto é tg α = f(x 0,y 0 ) Analogamente, z = f(x 0, y) será a equação da curva C 2, resultante da interseção desta superfície com plano x = x 0. Logo a derivada parcial de f em relação a y no ponto (x 0, y 0 ) representa o coeficiente angular da reta tangente à curva C 2 no ponto (x 0, y 0 ) na direção paralela ao eixo y, isto é tg β = f(x 0,y 0 ) 4) Seja f(x, y) = 6 x 2 y 2. Encontre a inclinação da reta tangente à curva C 2, resultante da interseção de z = f(x, y) com plano x = 2, no ponto (2, 1, 1). Exercícios 1) Calcule as derivadas parciais, f e f das funções abaixo: a) f(x, y) = 3x + y b) f(x, y) = x 2 + y 2 xy c) f(x, y) = y x d) f(x, y) = x 2 + y 2 e) f(x, y) = 6x + 3y 7 f) f(x, y) = 3xy y 2 + 6x g) f(x, y) = x2 + 2y h) f(x, y) = 2xy 3x y 3x 2y yx i) f(x, y) = e 2x sen y j) f(x, y) = { x 2 se (x, y) (0,0) + y2 0 se (x, y) = (0,0) 2) Encontre a inclinação da reta tangente à curva resultante da interseção de z = f(x, y) com plano x = x 0, no ponto P(x 0, y 0, z 0 ). a) f(x, y) = 5x 2y; P(3, 1, 17). b) f(x, y) = x 2 + y 2 1; P(1, 1, 1).

3 DERIVADAS PARCIAIS DE FUNÇÕES COM MAIS DE DUAS VARIÁVEIS Definição: Seja f uma função de duas variáveis, x e y (f: D R onde D R n ). A derivada parcial de f em relação à x k denotada por f xk, tal que seu valor funcional em qualquer ponto P(x 1, x 2,, x k,, x n ) do domínio de f seja dados por f f(x 1, x 2,, x k + h,, x n ) f(x 1, x 2,, x k,, x n ) = f xk = lim k h 0 h se este limite existir. 5) Determine f x, f y e f z se f(x, y, z) = e xy ln z. DERIVADAS PARCIAIS DE ORDEM SUPERIORES Se f é uma função de duas variáveis (f: D R onde D R 2 ), então suas derivadas parciais f x e f y são funções de duas variáveis. E se as derivadas dessas existem e são chamadas derivadas parciais de segunda ordem. Se z = f(x, y), usamos a seguinte notação: (f x ) x = f xx = f ( f) = 2 f derivando duas vezes em relação x 2 (f y ) y = f yy = f ( f) = 2 f 2 derivando duas vezes em relação y (f x ) y = f xy = f ( f) = 2 f derivando primeiro em relação x, então em relação y (derivadas parciais de segunda ordem mistas). (f y ) x = f yx = f ( f) = 2 f derivando primeiro em relação y, então em relação x (derivadas parciais de segunda ordem mistas). Observação: As duas notações para derivadas parciais de segunda ordem mistas, têm convenção oposta quanto a ordem de diferenciação. 6) Determinar as derivadas parciais de segunda ordem de f(x, y) = x 2 y 3 + x 2 y Teorema 4 (Teorema de Clairaut): Seja f uma função de duas variáveis, com derivadas parciais de segunda ordem continuas num conjunto aberto B R 2. Então f yx (x 0, y 0 ) = f xy (x 0, y 0 ) para todo (x 0, y 0 ) B y 3 x 7) Dada a função f(x, y) = { x 2 +y2 se (x, y) (0,0) calcule f yx (0,0) e f xy (0,0). 0 se (x, y) = (0, 0) Assim derivadas parciais de ordem superior podem ser obtidas derivando sucessivamente. Por exemplo ((f x ) x ) x = (f xx ) x = f xxx = ( ( f )) = f ( 2 2) = 3 f 3 ((f y ) y ) = (f yy ) x x = f yyx = ( ( f )) = f ( 2 2) = 3 f 2 ((f y ) x ) = (f yx ) y y = f yxy = f ( f ( f f )) = ( 2 f ) = 3 f

4 8) Dada a função f(x, y) = e 2x+3y verifique se 3 f 2 = 3 f 2. EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS As equações diferenciais parciais exprimem certas leis da física como, por exemplo, a equação de Laplace 2 u 2 = 0. As soluções desta equação são chamadas funções harmônicas. + 2 u 2 A equação da onda 2 u 2 onde c > 0 é uma constante chamada a velocidade de propagação da onda. 9) Mostre que u(x, y) = e x sen y é uma função harmônica ou seja é uma solução da equação de Laplace. 10) Mostre que u(x, t) = sen(x ct) é uma solução da equação da onda. = t 2 c2 2 u Exercícios 1) Calcule todas as derivadas parciais de f(x, y, z) = x 3 y 2 z 4 + 2xy + z 2) Calcule todas as derivadas parciais de segunda ordem das funções abaixo: a) f(x, y) = 3x 2 y 3 + x 4 y b) f(x, y) = y 2 e x + y c) f(x, y) = e 2x sen y d) f(x, y) = x cos y e) f(x, y) = cos(x 5 y 4 ) 3) Dada a função f(x, y) = sen(x + y) verifique se f xyy = f yxy = f yyx. 4) Verifique que as funções abaixo satisfazem a Equação de Laplace. a) u(x, y) = x 2 y 2 + 2xy b) u(x, y) = e x sen y + e y cos x 5) Verifique as funções abaixo satisfazem a Equação da onda. a) u(x, t) = cos(x ct) b)u(x, t) = e x ct

5 DERIVADA DIRECIONAL Consideremos a função de duas variáveis, x e y (f: D R onde D R 2 ) e P(x 0, y 0 ) é um ponto no domínio de f. As derivadas parciais f x (x 0, y 0 ) e f y (x 0, y 0 ) correspondem às taxas de variação de f em relação na direção paralela ao eixo x e y respectivamente no ponto P. Agora vamos generalizar esse conceito determinando as taxas de variação de f relação na direção do vetor unitário u = ( u 1, u 2 ) no ponto P. Se Q(x, y) é um ponto sobre a reta paralela ao vetor u portanto o vetor PQ é paralelo ao vetor u e portanto PQ = (x x 0, y y 0 ) = h( u 1, u 2 ) = hu Para algum escalar h. Dessa forma x = x 0 + hu 1 e y = y 0 + hu 2 e z h = f(x 0 + hu 1, y 0 + hu 2 ) f(x 0, y 0 ) h Logo se h 0, obteremos a chama derivada na direção do vetor u Definição: Seja f uma função de duas variáveis, x e y (f: D R onde D R 2 ) e (x 0, y 0 ) é um ponto no domínio de f. A derivada direcional de f na direção do vetor unitário u no ponto (x 0, y 0 ) é denotada por f(x 0, y 0 ) se o limite existir. u = D u (x 0, y 0 ) = lim h 0 f(x 0 + hu 1, y 0 + hu 2 ) f(x 0, y 0 ) h 11) Seja f(x, y) = x 2 + y 2 e u = (1, 2) calcule D u (1, 1). Solução: f(1+h, 1+2h) f(1, 1) D u (1, 1) = lim = lim (1+h)2 +(1+2h)2 ( ) h 0 h h 0 h = lim 2+6h+5h2 2 h 0 h = lim h h = 6 Teorema 6: Se f uma função diferençável de x e y, então f tem derivada direcional, na direção de qualquer vetor u = (u 1, u 2 ) e é denotada por D u (x, y) = f x (x, y)u 1 + f y (x, y)u 2 Se o vetor unitário u faz um ângulo θ com o eixo positivo, então podemos escrever u = (cos θ, sen θ) logo D u (x, y) = f x (x, y) cos θ + f y (x, y) sen θ 12) Seja f(x, y) = x 2 + y 2. Calcule D u (1, 1), onde a) v = ( 1, 1) b) v = (1, 2) c) v = (1, 1) Solução: f x = 2x f x (1, 1) = 2 f y = 2y f y (1, 1) = 2

6 No caso (a) v = ( 1, 1) logo o vetor unitário é u = ( 1, 1 ) de modo que 2 2 D u (1, 1) = f x (1, 1) ( 1 2 ) + f y(1, 1) ( 1 2 ) = = 0 No caso (b) v = (1, 2) logo o vetor unitário é u = ( 1, 2 ) de modo que 5 5 D u (1, 1) = f x (1, 1) ( 1 5 ) + f y(1, 1) ( 2 5 ) = = 6 5 No caso (a) v = (1, 1) logo o vetor unitário é u = ( 1, 1 ) de modo que 2 2 D u (1, 1) = f x (1, 1) ( 1 2 ) + f y(1, 1) ( 1 2 ) = = 4 2 = ) Dada a função f(x, y) = 3x 2 y 2 + 4x e u o vetor unitário na direção de π/6, encontre a derivada direcional, na direção de u no ponto (1, 1). Solução: u = (cos(π/6), sen(π/6)) = ( 3 2, 1 2 ) f x = 6x + 4 f x (1, 1) = 10 f y = 2y f y (1, 1) = 2 D u (1, 1) = f x (1, 1) ( 3 2 ) + f y(1, 1) ( 1 3 ) = = Exercício 1) Determine a taxa de variação de f em P na direção de v. a) f(x, y) = 1 + 2x y, P(3, 4) e v = (4, 3) b) f(x, y) = x 2 5xy + 3y 2, P(3, 1) e v = (1, 1) c) f(x, y) = ln(x 2 + y 2 ), P(2, 1) e v = ( 1, 1) d) f(x, y) = x y, P(2, 1) e v = (4, 3) x+y

7 REGRA DA CADEIA Lembre-se de que com a notação de Leibniz, a regra da cadeia para uma função composta de uma única variável é a seguinte: se y for uma função diferenciável de x e x, for uma função diferenciável de t, ou seja y = f(x), x = g(t) e y = f(g(t)), então dy dt = dy dx Agora veremos a forma análoga da regra da cadeia para funções de duas variáveis x e y, (z = f(x, y)) onde x e y são, cada uma delas, funções de t, ou seja, x = g(t) e y = h(t). Então, z é uma função de t, ou seja, z = f(g(t), h(t)). Teorema 5 (Regra da Cadeia, caso I) Se x = g(t) e y = h(t) forem diferenciáveis em t e se z = f(x, y) for diferenciável no ponto (g(t), h(t)), então f(g(t), h(t)) é diferenciável em t e dz dt = f dx dt + f 14) Seja z = x 2 y, com x = t 2 e y = t 3. Use a regra da cadeia para encontrar dz dy dt Solução: f = 2xy f = x2 dx = 2t, dy = dt dt 3t2 dz = f dx + f dy = dt dt dt = (2xy)(2t) + (x 2 )(3t 2 ) = (2t 2 t 3 )(2t) + (t 2 ) 2 (3t 2 ) = 4t 6 + 3t 6 = 7t 6 15) Sendo z = 3x² + 2xy y² com x = cos t e y = sen t, calcule dz Solução: f f = 6x + 2y dz dt = f = 2x 2y dx dx dt dt. = sen t, dy dt dt = cos t dx dt + f dy = (6x + 2y)( sen t) + (2x 2y)(cos t) = dt = (6 cos t + 2 sen t)( sen t) + (2 cos t 2 sen t)(cos t) = = 6 cos t sen t 2 sen 2 t + 2 cos 2 t 2 sen t cos t = 8 cos t sen t 4 sen 2 t + 2 Teorema 5 (Regra da Cadeia, caso II) Seja z = f(x, y), onde f é uma função diferenciável de x e y. Se x = g(s, t) e y = h(s, t) são funções diferenciáveis de s e de t, então s = s + s e t = t + 16) Se z = e x sen y, onde x = st 2 e y = s 2 t, determine e. s t Solução: = ex sen y = ex cos y = + s s = + t t t = s t2, = 2st s t dt. = 2st, t = s2 s = (ex sen y)(t 2 ) + (e x cos y)(2st) = e st2 (t 2 sen(s 2 t) + 2st cos(s 2 t)) t = (ex sen y)(2st) + (e x cos y)(s 2 ) = e st2 (2st sen(s 2 t) + s 2 cos(s 2 t)) Teorema 5 (Regra da Cadeia, caso geral) Suponha que z = f(x 1, x 2,, x n ) é uma função diferenciável de n variáveis x 1, x 2,, x n, e cada uma dessas variáveis x j é, por sua vez, um função diferenciável de m variáveis, t 1, t 2,, t m. Então w terá derivadas parciais em relação a t 1, t 2,, t m e = n t 1 1 t 1 2 t 1 n t 1

8 = n t 2 1 t 2 2 t 2 n t 2 = n t m 1 t m 2 t m n t m 17) Dada a função w = e xyz e sabendo que x = 3u + v, y = 3u v e z = u 2 v, calcule as derivadas da função w em relação a u e v. Solução: w = yzexyz, w = xzexyz, w = xyexyz, = 3, = 1, = 3, = 1, u v u v u = 2uv, w = w u w = w v = v u2 + w u + w u = u (yzexyz )(3) + (xze xyz )(3) + (xye xyz )(2uv) = e (9u4 v u 2 v 3) (3(3u + v)(u 2 v) + 3(3u v)(u 2 v) + (3u + v)(3u v)(2uv)) = e (9u4 v u 2 v 3) (36u 3 v 2uv 3 ) + w v + w v = v (yzexyz )(1) + (xze xyz )(1) + (xye xyz )(u 2 ) = e (9u4 v u 2 v 3) ((3u + v)(u 2 v) + (3u v)(u 2 v) + (3u + v)(3u v)(u 2 )) = e (9u4 v u 2 v 3) (6u 3 v + 9u 4 2u 2 v 2 ) Exercícios 1) Calcule dz, onde z = f(x, y), com x = g(t) e y = h(t). dt a) z = ye x+y, x = t e y = cos t b) z = x 2 y + xy 2, x = 1 t 2 e y = 2 + t 2 c) z = xy + x 2, x = e t cos t e y = e t 2) Calcule e, onde z = f(u, v), com u = g(x, y) e v = h(x, y). a) z = u 2 + uv + v 2, u = x + y e v = x y b) z = u cos v, u = x + y e v = xy 3) Dada a função w = x 2 + y 2 + z 2 e sabendo que x = r cos θ sen φ, y = r sen θ sen φ e z = r cos φ, calcule as derivadas da função w em relação a r, θ e φ. Resposta: w = 2r, w = 0 e w = 0 r θ φ

9 PLANO TANGENTE Suponha que a superfície S tenha equação z = f(x, y) e suponha que f x e f y sejam contínuas e seja P(x 0, y 0, z 0 ), um ponto em S. Como vimos as curvas C 1 e C 2 são obtidas através das interseções de S com os planos y = y 0 e x = x 0, respectivamente. Sejam T 1 e T 2 as retas tangentes às curvas C 1 e C 2 no ponto P(x 0, y 0, z 0 ). Assim o plano que contém as retas tangentes T 1 e T 2, é denominado Plano Tangente de S. Definição: Seja f uma função de duas variáveis, x e y (f: D R onde D R 2 ). Suponha que f tenha derivadas parciais continuas no ponto (x 0, y 0 ). Chamamos plano tangente a superfície z = f(x, y) no ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )) ao plano dado pela equação z f(x 0, y 0 ) = f(x 0, y 0 ) (x x 0 ) + f(x 0, y 0 ) (y y 0 ) 18) Determine o plano tangente ao parabolóide elíptico f(x, y) = 2x 2 + y 2 no ponto (1, 1, 3). Note que se f tenha derivadas parciais continuas no ponto (x 0, y 0 ), então temos f(x 0 + x, y 0 + y) = L(x 0 + x, y 0 + y) + ε 1 x + ε 1 y portanto, os pontos do gráfico de f(x, y) podem ser localmente aproximados pelos correspondentes pontos do plano tangente ao mesmo, no ponto (x 0, y 0, f(x 0, y 0 )). O erro que cometemos ao fazermos tal aproximação é dado por ε 1 x + ε 1 y. A função z = L(x, y) = f(x 0, y 0 ) + f x (x 0, y 0 )(x x 0 ) + f y (x 0, y 0 )(y y 0 ) é chamada de aproximação linear de f em (x 0, y 0 ). 19) Encontre a aproximação linear de f(x, y) = 2x 2 + y 2 no ponto (1, 1, 3) para aproximar f(1,1, 0,95). Exercícios 1) Determine a equação do plano tangente à f(x, y) = y ln x no ponto (1, 4, 0). 2) Determine a aproximação linear de f(x, y) = 20 x 2 7y 2 em (2, 1) e use-a para aproximar f(1,95, 1,08).

10 Máximos e Mínimos em Regiões Fechadas e Limitadas Definição: Conjunto limitado em R 2 é aquele que está contido em alguma bola aberta B((x 0, y 0 ); r). Teorema 10: (Teorema do Valor Extremo) Se f for contínua em um conjunto fechado e limitado D de R 2, então f tem um valor de máximo absoluto f(x 1, y 1 ) e um valor mínimo absoluto f(x 2, y 2 ) em alguma pontos (x 1, y 1 ) e (x 2, y 2 ) de D. Ou seja, f(x 1, y 1 ) f(x, y) f(x 2, y 2 ) para todo (x, y) em D. Para determinar máximo e mínimo absoluto em regiões fechadas e limitadas será útil seguir o roteiro abaixo: 1) Encontre os pontos críticos de f que estão situados no interior da região D. 2) Encontre os valores extremos de f que podem ocorrer nos pontos da fronteira D. 3) Calcule f(x, y) nos pontos obtidos nos passos 1 e 2. O maior desses valores é o máximo absoluto e o menor desses valores é mínimo absoluto da região D. s 20) Determine os valores de máximo e mínimo absolutos da função f(x, y) = x 2 2xy + 2y no retângulo D = {(x, y) 0 x 3; 0 y 2}. Solução: Como D é limitado e fechado e f é contínua em D, então, f assume os valores máximo e mínimo globais em D. A única solução de f x = 0 e f y = 0 é o ponto (1, 1), o qual está no interior de D. Pelo Teste da Derivada Segunda, (1, 1) é um ponto de sela de f. Portanto, não há máximos nem mínimos locais de f no interior de D. Portanto, os valores máximos e mínimos globais de f ocorrem na fronteira de D. Estudo de f na fronteira de D: No segmento de reta y = 0, 0 x 3, temos f(x, 0) = x 2, logo, 0 f(x, 0) 9. No segmento de reta x = 0, 0 y 2, temos f(0, y) = 2y, logo, 0 f(0, y) 4. No segmento de reta y = 2, 0 x 3, temos f(x, 2) = (x 2)2, logo, 0 f(x, 2) 4. No segmento de reta x = 3, 0 y 2, temos f(3, y) = 9 4y, logo, 1 f(3, y) 9. Portanto, o menor e o maior valores de f na fronteira de D são 0 e 9, respectivamente. Os quais são os valores mínimo e máximo globais de f. 21) Encontre máximo e mínimo absolutos de f(x, y) = 2 + 2x + 2y x 2 y 2 na região triangular no primeiro quadrante limitada pelas retas x = 0, y = 0, y = 9 x. Solução: O pontos crítico o é o ponto que f = 2 2x = 0 e fy = 2 2y = 0 resultando no único ponto (x, y) = (1, 1). Assim temos f(1, 1) = 4. Consideramos um lado do triângulo dc cada vez. No segmento y = 0, 0 x 9, temos f(x, 0) = 2 + 2x x 2, pode ser agora considerada uma função de x definida no intervalo 0 x 9. Seus valores extremos podem ser (0, 0), (1, 0) e (9, 0) onde f(0, 0) = 2, f(9, 0) = 61 e f(1, 0) = 3. No segmento x = 0, 0 y 9, temos f(0, y) = 2 + 2y y 2. Esta é função de x definida no intervalo 0 y 9. Então seus valores extremos são (0, 0), (0, 1) e (0, 9) onde f(0, 0) = 2, f(0, 9) = 61 e f(0, 1) = 3. No segmento y = 9 x, 0 x 9 já levamos em consideração os valores nos pontos (0, 9) e (9, 0), assim precisamos somente examinar os pontos interiores. Assim

11 f(x, 9 x) = x 2x 2. Fazendo f (x, 9 x) = 18 4x = 0 o que resulta em x = 9 2 logo y = 9 e f 2 (9, 9 ) = Finalmente relacionamos todos os candidatos, vimos o máximo é f(1, 1) = 4 e o mínimo é f(0, 9) = f(9, 0) = ) Determine as dimensões de uma caixa retangular, sem tampa e com volume de 4 m 3 e cuja construção requeira a uma quantidade mínima de material. Exercícios 1) Determine os valores de máximo e mínimo globais de f no conjunto D. a) f(x, y) = 4 3x + 4y e D é a região triangular fechada com vértices (0, 0), (4, 0) e (4, 5). b) f(x, y) = y x y 2 x + 6y e D = {(x, y): 0 x 9; 0 y 5}. c) f(x, y) = 2x 3 + y 4 e D = {(x, y): x 2 + y 2 1}. d) f(x y) = x 3 3x y y e D é o quadrilátero cujos vértices são ( 2, 3), (2, 3), (2, 2) e ( 2, 2). e) f(x, y) = x 2 2xy + 3y 2 x e D = {(x, y): 0 x 1; 0 y 1}. 2) Determine o ponto do plano 6x + 4y 3z = 2 que está mais próximo do ponto (2, 2, 3). Qual é a distância entre eles?

12 Máximos e Mínimos em Funções de Duas Variáveis Máximo local (não existe um valor de f maior próximo) Superfície z = f(x, y) Mínimo local (não existe um valor de f menor próximo) Definição: A função f de duas variáveis tem um Máximo Local (ou Máximo relativo) no ponto (a, b) se, e somente se, f(x, y) f (a, b) quando (x, y) está próximo de (a, b), (isso significa que existe uma bola aberta B((a, b); r) tal que f(x, y) f(a, b) para todo (x, y) em B). A função f de duas variáveis tem um Mínimo Local (ou Mínimo relativo) no ponto (a, b) se, e somente se, f(x, y) f (a, b) quando (x, y) está próximo de (a, b), (isso significa que existe uma bola aberta B((a, b); r) tal que f(x, y) f(a, b) para todo (x, y) em B). Definição: A função f de duas variáveis tem um Máximo Absoluto (ou Máximo Global) no ponto (a, b) se, e somente se, f(x, y) f (a, b) para todo (x, y) do domínio de f. A função f de duas variáveis tem um Mínimo Absoluto (ou Mínimo relativo) no ponto (a, b) se, e somente se, f(x, y) f (a, b) para todo (x, y) do domínio de f. Teorema 8: Se uma função f tem máximo ou mínimo local em (a, b) e suas derivadas parciais de primeira ordem existam então f x (a, b) = 0 e f y (a, b) = 0 Definição: Um ponto (a, b) no domínio de uma função f de duas variáveis é denominado ponto crítico de f se f x (a, b) = 0 e f y (a, b) = 0 ou se f x ou f y não existir em (a, b). Observação. Dada a função f(x, y) = y 2 x 2, temos que f x (0,0) = f y (0,0) = 0, contudo f(0,0) = 0, não é nem máximo nem mínimo local de f. De fato, em qualquer vizinhança de (0, 0), f assume valores que são maiores e valores que são menores do que f(0, 0). Um ponto crítico no qual não há nem máximo nem mínimo local é chamado ponto de sela.

13 s 22) Seja f: R 2 R, definida por f(x, y) = y 2 + x 2. Então f(0,0) = 0 é o mínimo de f no seu domínio, pois dados dois números reais x e y quaisquer, temos f(x, y) = y 2 + x 2 f(0,0) = 0 23) Seja f: R 2 R, definida por f(x, y) = 1 y 2 x 2. Então f(0,0) = 1 é o máximo de f no seu domínio, pois dados dois números reais x e y quaisquer, temos f(x, y) = 1 y 2 x 2 1 = f(0,0) Teorema 9: (Classificação dos pontos críticos) Suponha que f tenha todas as derivadas parciais até segunda ordem contínuas em uma bola aberta bola aberta B((a, b); r). Seja D(a, b) = det ( f xx(a, b) f xy (a, b) f xy (a, b) f yy (a, b) ) = f xx(a, b)f yy (a, b) (f xy (a, b)) 2 (i) Se D(a, b) < 0, então o ponto (a, b) é um ponto de sela de f. (ii) Se D(a, b) > 0 e f xx (a, b) > 0, então (a, b) é ponto de mínimo local de f. (iii) Se D(a, b) > 0 e f xx (a, b) < 0, então (a, b) é ponto de máximo local de f. (iv) Se D(a, b) = 0, então nenhuma conclusão pode ser tirada. s: 24) Encontre os extremos locais de f(x, y) = x 2 + xy + y 2 2x 2y. Solução: Os pontos críticos de f(x, y) são os pontos nos quais f x = 0 e f y = 0. Como f x = 2x + y 2 e f y = x + 2y 2, devemos ter 2x + y = 2 { x + 2y = 2 cuja solução é x = 2 e y = 2. As derivadas parciais de segunda ordem são f 3 3 xx = 2, f xy = 1 e f yy = 2. Logo, D(x, y) = (2)(2) (1)2 = 3 > 0, logo, temos um máximo ou mínimo local em ( 2 3, 2 3 ). Como f xx ( 2 3, 2 3 ) = 2 > 0, segue-se que o temos um mínimo local em (2 3, 2 3 ). 25) Encontre e classifique os pontos críticos de f(x, y) = 4xy 2x 2 y 4. Solução: Os pontos críticos de f(x, y) são os pontos nos quais f x = 0 e f y = 0. Portanto, os pontos críticos de f são soluções do seguinte sistema de equações: { 0 = f x = 4y 4x 0 = f y = 4x 4y 3 Portanto, os pontos críticos são (0, 0), (1, 1), e ( 1, 1). Como f xx = 4, f xy = 4 e f yy = 12y 2, temos D(x, y) = 48y Portanto, D(0, 0) = 16 < 0, logo, (0, 0) é um ponto de sela. Por outro lado, nos pontos D(1, 1) = D( 1, 1) = 32 > 0, portanto, cada um destes pontos é um extremo local. Como f xx (x, y) = 4 < 0, ambos são máximos locais. Exercícios 1) Determine e caracterize os pontos extremantes das funções: a) f(x, y) = x 3 + y 3 3x 3y b) f(x, y) = 3x 4 + 8x 3 18x 2 + 6y y 4 c) f(x, y) = x 2 + y 2 2x + 1 d) f(x, y) = 8x 3 3x 2 + y 2 + 2xy + 2 e) f(x, y) = x 3 + 3xy + y 2 2 f) f(x, y) = 3x 2 + y 2 xy + 5 g) f(x, y) = x 3 + y 2 6xy + 6 h) f(x, y) = x 3 + 2y 2 3x 4y 8

14 Multiplicadores de Lagrange É muito comum encontrarmos problemas cujas soluções consistem em maximizarmos ou minizarmos o valor de uma função z = f(x, y), sujeita a uma restrição do tipo g(x, y) = 0, onde f e g têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas. Nem sempre é possível resolver explicitamente a equação g(x, y) = 0 para uma das variáveis. O método dos multiplicadores de Lagrange, nos fornecer á uma estratégia para encontrarmos máximos e mínimos de uma função z = f(x, y) sujeita à condição g(x, y) = 0. Teorema 11 (Teorema de Lagrange) Sejam f e g funções de duas variáveis, tais que as suas derivadas parciais de primeira ordem sejam contínuas numa região do plano xy, na qual g(x, y) 0. Se f tem um extremo f(x 0, y 0 ) sujeito a condição g(x, y) = 0, então existe um número real λ, chamado de multiplicador de lagrange, tal que f(x 0, y 0 ) = λ g(x 0, y 0 ) s 26) Encontre os valores maiores e menores que a função f(x, y) = xy assume na elipse x y2 2 = 1 Solução: Queremos Os valores extremos de f(x, y) = xy sujeitos a restrição g(x, y) = x2 8 + y2 2 1 = 0 Para isso, encontramos os valores de x, y e λ para os quais f(x, y) = λ g(x, y) e g(x, y) = 0. Logo (y, x) = λ ( x, y) ou seja y = λ x e x = λy e 4 4 substituindo x = λ em y = λ x x2 encontramos y = ou y 4 4y seja y 2 = x2. Fazendo a substituição na equação 4 g(x, y) = 0, temos x2 + x2 1 = 0 e 8 8 x2 = 4 logo e x = ±2 e y = 1 ou x = ±2 e y = 1. O valor maior é f( 2, 1) = f(2, 1) = 2 e o menor é f( 2, 1) = f(2, 1) = 2. 27) Um galpão retangular deve ser construído em um terreno em forma de um triângulo com 20m de base e 10m de altura. Qual é a área máxima possível para o galpão. Solução: A área do galpão é dada por A(x, y) = xy e que o ponto (x, y) deve estar sobre a reta x + 2y = 20. Temos a restrição g(x, y) = x + 2y 20 = 0. Para isso, encontramos os valores de x, y e λ para os quais g(x, y) = 0 e A(x, y) = λ g(x, y). Logo (y, x) = λ(1, 2) ou seja y = λ e x = 2λ e fazendo a substituição temos x = 2y. Substituído em x + 2y = 20 logo x = 10 e y = 5 que são as dimensões do galpão e a área do galpão será A(x, y) = 50 m 2. O Teorema de Lagrange pode ser estendido para o caso de funções de mais de duas variáveis.

15 Teorema 11 (Teorema de Lagrange) Sejam f e g funções de três variáveis, tais que as suas derivadas parciais de primeira ordem sejam contínuas num subconjunto aberto de R 3 na qual g(x, y, z) 0. Se f tem um extremo f(x 0, y 0, z 0 ) sujeito a condição g(x, y, z) = 0, então existe um número real λ, chamado de multiplicador de lagrange, tal que f(x 0, y 0, z 0 ) = λ g(x 0, y 0, z 0 ) 28) Encontre o volume da maior caixa retangular de lados paralelos aos planos coordenados, que possa ser inscrita no elipsóide 16x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 144. Solução: Por simetria o volume da caixa será 8 vezes o volume da sua restrição ao primeiro octante, ou seja, V(x, y, z) = 8xyz, onde x, y, z 0. Neste caso, (x, y, z) são pontos do elipsóide 16x 2 + 4y 2 + 9z = 0 que é o vínculo. Ou seja, g(x, y, z) = 16x 2 + 4y 2 + 9z Portanto, f(x, y, z) = λ g(x, y, z) é equivalente a (8yz, 8xz, 8xy) = λ(32x, 8y, 18z) logo 8yz = 32λx 8xz = 8λy 8xy = 18λz { 16x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 144 Como f é contínua e o elipsóide restrito ao primeiro quadrante é uma região limitada e fechada, então sobre o mesmo f(x, y, z) assume os seus valores máximo e mínimo. É claro que existem pontos sobre o elipsóide para os quais todas as coordenadas são diferentes de zero, portanto, o valor máximo de V não pode ser zero. Se algumas das coordenadas de (x, y, z) for zero, então, o volume correspondente seria zero, portanto, V(x, y, z) não poderia ser máximo. Assim, no que se segue vamos supor que x, y e z não sejam nulos. Portanto, temos λ = yz = xz = 4xy 16x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 144. Logo, temos as seguintes relações y 2 = 4x 2 e 4x y 9z 4y 2 = 9z 2 e 16x 2 + 4y 2 + 9z 2 = 144. Eliminando-se y e z, temos 48x 2 = 144, ou seja, x = 3, portanto, y = 2 3 e y = 4 3. Logo, o 3 volume máximo é 8xyz = Exercício 1) Determinar o máximo e mínimo da função z = 2x + y no círculo x 2 + y 2 = 5. 2) Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange para achar os extremos de f sujeito as condições dados. a) f(x, y) = y 2 4xy + 4x 2 e x 2 + y 2 1 = 0 b) f(x, y) = x 2 y e x 2 + 2y 2 = 6 c) f(x, y) = x 2 + y 2 e g(x, y) = x 4 + y 4 = 1 d) f(x, y, z) = x 2 + y 2 + z 2 e x y + z = 1