{ y} Cálculo III. 1 - Funções de Várias Variáveis

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1 1 Cálculo III 1 - Funções de Várias Variáveis Em muitos casos, o valor de uma grandeza depende do valor de duas ou mais outras. O volume de água de um reservatório, por exemplo, depende das chuvas e da água consumida pelos habitantes. A produção de uma fábrica pode depender do capital investido e do número de operários que lá trabalham. È comum estes tipos de relações serem representadas matematicamente por uma função com mais de uma variável independente Definição n Seja A um conjunto do espaço n-dimensional ( A R ), isto é, os elementos de A são n-uplas ordenada de (x 1, x,..., x n ) de números reais. Se a cada ponto P do conjunto A associamos um único elemento z R, temos uma função f : a R n R. Essa função é chamada de função de n-variáveis reais. Denotamos: z = f(p) ou z = f(x 1,x,..., x n ) O conjunto A é denominado domínio da função z = f(p) x + y Exemplo 1 Suponha que f ( = x y a) Determine o domínio de f. D( f ) = ( R / x { y} b) Calcule f(1,-) Gráfico de f: f(1,-) = 1 3 Gráfico do D(f)

2 y Exemplo Suponha que f ( = xe + ln x a) Domínio de f: D ( f ) = {( R / x > 0} b) Calcule f(e, ln): f(e, ln) = (e +1) = 16,78 Gráfico de f Gráfico do D(f) Exemplo 3 Se f ( = 16 x y z 3 a) Domínio de f: D ( f ) = {( R / x + y + z 16} b) Calcule f (,1, ) f (,1, ) = 3 Gráfico de f: Nãoé representável ( R 4 ) Exemplo 4 Se f( = x + y Gráfico de f: a) Domínio de f: b) D(f) = R Parabolóide

3 3 Exemplo 5 f( = y - x a) Domínio de f: D(f) = R Gráfico de f: Exemplo 6 f( = x y + a) Domínio de f: D(f) = R Gráfico de f: Exemplo 7 Uma loja de vinhos mantém em seus estoques, duas qualidades de vinho branco de mesa: um A e o outro B. A demanda de cada qualidade depende não só dos preços dos próprios vinhos, mas também, do preço do vinho concorrente. Os resultados das vendas indicam que se cada garrafa do vinho A e B forem vendidos, respectivamente, por $x e $ a demanda do vinho A será: D 1 = x + 30 y garrafas por mês, e a do vinho B: D = x + 10 y garrafas por mês. Exprima, em função dos preços x e a receita mensal total que a loja obterá com a venda desses vinhos. Solução: R( = 300 x + 00 y - 10 xy 0 x + 10 y

4 Representação Geométrica no R 3 (gráficos) Funções de duas variáveis independentes podem ser representadas por superfícies num sistema tridimensional de coordenadas. Não existem, porém, modos análogos para visualizar funções com mais de duas variáveis independentes. O sistema de coordenadas tridimensionais é dividido pelos planos coordenados: x xz e yz. Normalmente representa-se apenas o 1º octante O gráfico de uma função de duas variáveis z = f( é o conjunto de todos os pontos 3 ( ( R, tais que ( D(f) e z = f( Podemos escrever: Graf (f) = ( R 3 / z = f ( Plano forma reduzida z = ax + by + c Esfera de centro (a, b, c) e raio d ( x a) + ( y b) + ( z c) = d Parabolóide forma reduzida z = a + ( x b) + ( y b) Cone forma reduzida centro na origem z = ax + ay Exemplo 1 A equação y = x é a equação de um plano vertical que passa por toda a extensão do eixo z. Exemplo A equação x + y + 3z = 3 é uma equação de um plano inclinado que corta os eixos coordenados em x = 3, y = 3/ e z = 1. Resolvendo essa equação para z em função de (, obtemos a função: z = 1/3(3 x cujo domínio é todo plano xy (R ) e cuja imagem é todo eixo z(r). A parte do gráfico de z que se encontra no primeiro octante pode ser facilmente desenhado.

5 5 Exemplo 3 Dada a equação x +y +z =a, sendo que a pertence a R * +, ela representa uma esfera de raio a, centrada na origem. Exemplo 4 Escreva a equação da superfície esférica de centro C e raio r quando C(,-3,1) e r = 5. Exemplo 5 Represente a esfera de equação x +y +z =16 Exemplo 6 Represente graficamente o parabolóide z = 4 - x y Função - Uma superfície S no espaço tridimensional só representará uma função se qualquer reta perpendicular ao plano xy cortar S no máximo em um ponto. No caso de funções de uma variável, é comum e eficiente elaborar uma tabela de valores (, para uma série de valores do domínio da função. Para o caso de funções tridimensionais isto é quase impossível. A elaboração em geral é feita usando um recurso computacional específico. É comum também a utilização, principalmente por cartógrafos, um conjunto de pontos do domínio para os quais a função permanece constante, as chamadas curvas de nível. Se K é um número real. Uma curva de nível, C K, de uma função z = f( é o conjunto de todos os pontos ( que pertencem ao domínio de f, tais que f( = K {( D( f ) / f ( xy K} C K = ) = Exemplo Para a função C 0 : 0 = C 1/ : 1/ = C 1 : 1 = C 3/ : 3/ = z = 4 x y, algumas curvas de nível são: x ou x + y = 4; x ou x + y = 15/4; x ou x + y = 3; x ou x + y = 7/4; Para K =, a curva de nível é dada por = reduz a um ponto, chamada curva degenerada. x ou x = y = 0, onde a curva se

6 Exercícios: 1) Encontrar uma função de várias variáveis que nos dê: a) O volume de um cone circular reto em função do raio da base r e da altura h b) Para um mol de um gás ideal a equação de Clapeyron estabelece que pv = RT, onde p é a pressão, V é o volume ocupado, T é a temperatura absoluta e R uma constante universal. - Exprima o volume como função da pressão e da temperatura - Exprima a pressão em função da temperatura e do volume - Exprima a temperatura em função da pressão e do volume c) Uma caixa sem tampa de volume dm 3 tem como dimensões da base x e y. Represente como função de x e a sua área total. d) a medida da hipotenusa de uma triângulo retângulo de catetos h e m. e) o volume de água necessário para encher uma piscina redonda de x metros de raio e y metros de altura f) a quantidade de rodapé, em metros, necessária para se colocar numa sala retangular de largura a e comprimento b. g) A quantidade, em metros quadrados, de papel de parede necessária para revestir as paredes laterais de um quarto retangular de x metros de largura, y metros de comprimento, se a altura do quarto é z metros. h) O volume de um paralelepípedo retângulo de dimensões y e z; a área total de suas faces ) Represente os pontos no sistema cartesiano de coordenadas: A(1,1,) B(,3,4) C(-1,1,) E(3,1,4) F(0,0,3) G(-,0,0) H(1,-3,5) I(-3,-3,-3) 3) Represente graficamente em R 3 os planos: a) x = 3 b) y = c) y = x d) y = x + 1 e) z = x f) z = y g) z = 3 x y h) x + 3y + z = 6 i) z = 4 - x - y j) z = 6 x - y k) z = 1 + x + y 9) Represente graficamente:

7 7 a) cone z= y x + b) parabolóide z = x + y + 1 c) parabolóide z =4 - x + y 10) Escreva uma equação da superfície esférica de centro C e raio r, nos casos: a) C=(3,-5,), r = b) C=(3,-,1) e r = c) C=(0,0,1) e r = 3 11) Represente graficamente as equações das esferas: a) x + y + z = 9 b) x + y + z = c) x + (y-1) + z = 9 d) x + y + z x y z + = 0 1) Descreva o domínio de f e calcule os valores nos pontos indicados: a) f( = (x 1) + xy 3 ; f(,-1); f(1,) 3x + y b) f ( = ; f(1,); f(-4,6) x + 3y c) f( = 10x y ; f(16, 7); f(4, -8) d) x f ( = ; f(,1); f( x + y 4 3, ) e) 3x + y f ( = ; f(1,); f(-4,6) x + 3y 3x f) f( = x y 10) Contando com x operários especializados e y não especializados, um fabricante produz Q( = 10x y unidades de um determinado produto por dia. Atualmente há 0 operários especializados e 40 não especializados. a) Quantas unidades estão sendo produzidas atualmente, por dia? b) Qual será a variação da produção diária se acrescentar mais um operário especializado à força de trabalho atual? c) Qual será a variação da produção diária se acrescentar mais um operário não especializado à força de trabalho atual? d) Qual será a variação da produção diária se acrescentar mais um operário especializado e mais um não especializado à força de trabalho atual? 11) Certo fabricante produz calculadoras científica e padrão, sendo seus custos unitários iguais a $ 80 e $ 0. a) Exprima o custo mensal de produção do fabricante b) Calcule o custo total mensal, caso se produzam 500 científicas e 800 padrão c) O fabricante pretende elevar em 50 unidades/mês, em relação ao nível obtido em (b), a produção de calculadoras científicas. Que alteração deverá ser feita na produção das calculadoras padrão a fim de que o custo mensal total permaneça inalterado?