Coordenadas Polares. Exemplos: Representar em um sistema de coordenadas polares, os seguintes pontos: d) P 4,

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1 Coordenadas Polares Existem vários sistemas de coordenadas que mostram a posição de um ponto em um plano. O sistema de coordenadas polares é um deles. No sistema cartesiano, as coordenadas são números chamados de abscissa e ordenada, que são medidas das distâncias orientadas a dois eixos fixos. No sistema polar, as coordenadas consistem de uma distância e da medida de um ângulo em relação a um ponto fixo e a uma semirreta fixa. O ponto P fica bem determinado através do par ordenado (r, ), em que r representa a distância entre a origem e o ponto P e representa a medida, em radianos, do ângulo orientado AÔP. Quando AÔP for descrito no sentido anti-horário, > 0, caso contrário, < 0. Exemplos: Representar em um sistema de coordenadas polares, os seguintes pontos: a) P 2, 4 c) P 4, 3 b) P 2, 4 d) P 4, 3 O ponto P pode ter um número ilimitado de pares de coordenadas polares, pois podemos representar esse ponto da forma: (P, +2k ), k Z Relação entre o sistema de coordenadas cartesianas retangulares e o sistema de coordenadas polares Para nos referirmos às coordenadas cartesianas e polares de um ponto P, fazemos a origem do primeiro sistema coincidir com o polo do segundo sistema, o eixo polar com o eixo positivo dos x e o raio para o qual = /2 com o eixo positivo dos y. y A x

2 Supondo que P seja um ponto com coordenadas cartesianas (x, y) e coordenadas polares (r, ), distinguimos dois casos: r > 0 r < 0 Portanto: x y r > 0: cos e sen r r x y r < 0: cos e sen r r Desta forma, temos: x = r cos y = r sen Utilizando estas equações, podemos deduzir uma relação muito usada: x 2 = r 2 cos 2 y 2 = r 2 cos 2 x 2 + y 2 = r 2 (cos 2 + sen 2 ) r 2 = x 2 + y 2 Portanto, 2 2 r x y Exemplos: a) Encontrar as coordenadas cartesianas do ponto cujas coordenadas polares são 7 4, 6 b) Encontrar (r, ) supondo r < 0 e 0 2 para o ponto P, cujas coordenadas cartesianas são 3, 1

3 Representação gráfica O gráfico de F(r, ) = 0 é formado por todos os pontos cujas coordenadas polares satisfazem a equação. Geralmente, a equação em sua forma explícita é dada por r = f ( ). Os seguintes procedimentos podem auxiliar no esboço do gráfico: Calcular os pontos de máximo ou de mínimo; Encontrar os valores de para os quais a curva passa pelo pólo; Verificar simetrias: Se a equação não se altera quando substituímos r por r, existe simetria em relação à origem; Se equação não se altera quando substituímos por, existe simetria em relação ao eixo polar (ou eixo dos x); Se equação não se altera quando substituímos por ( ), existe simetria em relação ao eixo = /2 (eixo dos y). Exemplo: A curva r = 2(1 cos ) é dada por: Equações de reta a) = 0 ou = 0 + n, n Z: reta que passa pelo polo e faz um ângulo de 0 ou 0 + n radianos com o eixo polar. b) r sen = a e r cos = b, a, b R: retas paralelas aos eixos polar e /2, respectivamente.

4 Circunferências a) r = c, c : circunferência centrada no polo e raio c b) r = 2a cos : circunferência de centro no eixo polar, tangente ao eixo = /2: se a > 0, o gráfico está a direita do polo; se a < 0, o gráfico está a esquerda do polo. [r = 2a cos a>0] [r = 2a cos a<0] c) r = 2b sen : circunferência de centro no eixo /2 e que tangencia o eixo polar. se b > 0, o gráfico está acima do polo; se b < 0, o gráfico está abaixo do polo. Exemplo: Esboce a curva com equação polar r = 2 cos

5 Limaçons: São equações do tipo: r = a b cos ou r = a b sen, a, b Se b > a, o gráfico tem um laço. Se a = b, então o gráfico é conhecido como cardeoide. Se b < a, o gráfico não tem um laço Exemplo: Esboce a curva r = 1+2 cos

6 Lemniscata: São equações do tipo: r 2 = ± a 2 cos 2 ou r 2 = ± a 2 sen 2, a Rosáceas: São equações do tipo: r = a cos n ou r = a sen n, a e n N Se n é par, temos uma rosácea de 2n pétalas Se n é ímpar, temos uma rosácea de n pétalas Exemplo: Esboce a curva r = cos2

7 Espirais Espirais hiperbólicas (a > 0) r = a ( >0) r = a ( <0) Espirais parabólicas Espiral de Arquimedes (a > 0) Espiral de logarítmica

8 Comprimento de arco de uma curva dada em coordenadas polares Seja C uma curva dada pela equação polar r = f ( ). Utilizando as equações temos que x = r cos y = r sen x = f( ) cos y = f( ) sen que podem ser consideradas equações paramétricas da curva C, para [ 0, 1 ]. Derivando essas equações, temos: dx f`( )cos f( )sen d dy f`( )sen f( )cos d Elevando ambos os lados das equações ao quadrado e somando, temos: 2 2 dx dy ( f `( )cos f ( )sen ) ( f `( )sen f ( )cos ) d d f `( ) cos 2 f `( ) f ( )cos sen f ( ) sen f `( ) sen 2 f `( ) f ( )sen cos f ( ) cos f`( ) cos sen f( ) cos sen f`( ) f( ) 2 2 Substituindo este resultado na fórmula do comprimento de arco de uma curva dado por suas equações paramétricas, temos que o comprimento de arco de uma curva dado em coordenadas polares é dado por: θ 1 s = f (θ) 2 + f(θ) 2 dθ θ 0

9 Exemplos a) Calcular o comprimento de arco da cardioide r = 1 + cos. b) Determine o comprimento da espiral r = e, [0, 2 ]. c) Calcular o comprimento de arco da cardioide r = 1 + sen.

10 Área de figuras planas em coordenadas polares Seja f uma função contínua e não negativa no intervalo fechado [α,β]. Seja R a região limitada pela curva cuja equação é r = f ( ) e pelas retas = α e = β Considere uma partição P de [α,β] definida por: α = 0 < 1 < 2 <... < i-1 < i <... < n = β Para cada [ i-1, i ], i = 1,..., n, consideramos um setor circular de raio f(ρ i ), e um ângulo central i, em que i-1 < ρ i < i e i = i - i-1 Desta forma, a área do i-ésimo setor circular é dada por: 1 f ( ) 2 i i 2 Como há um desses setores circulares para cada um dos n subintervalos, temos uma área aproximada igual a A n, sendo: n n A f f ( ) ( ) n i i i i i i 1

11 A medida em que n cresce, cada i, i = 1,..., n, torna-se pequeno e A n aproxima-se da área da região delimitada por = α, = β e r = f ( ). Portanto n 1 A lim f( ) 2 i i n 2 i 1 Pela definição de integral temos que: Exemplos: a) Encontre a área da região delimitada pela cardioide r = 2+2 cos. b) Encontre a área da região R interior à cardioide r = 2+2 cos( ) e exterior ao círculo r = 3.