TÓPICO. Fundamentos da Matemática II FUNÇÕES VETORIAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS. Licenciatura em Ciências USP/ Univesp. Gil da Costa Marques

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1 FUNÇÕES VETORIAIS DE VÁRIAS VARIÁVEIS 5 Gil da Costa Marques TÓPICO Fundamentos da Matemática II 5. Introdução 5. Funções vetoriais de duas variáveis 5.3 Representação gráfica de funções vetoriais 5.4 Funções vetoriais de três variáveis 5.5 Funções vetoriais de várias variáveis 5.6 Operações com funções vetoriais 5.7 Domínios 5.8 Limite e continuidade de funções vetoriais 5.9 Descontinuidade de funções vetoriais Licenciatura em Ciências USP/ Univesp

2 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Introdução Neste tópico, introduiremos o conceito de função vetorial de várias variáveis. Trata-se da extensão do conceito apresentado no tópico Introdução ao Cálculo Vetorial, quando tratamos de funções vetoriais de uma variável. Assim, uma função vetorial é, essencialmente, uma grandea vetorial cujas componentes são funções de várias variáveis. Essas funções são essenciais no estudo do movimento dos fluidos, no Eletromagnetismo, na Astronomia, na Astrofísica, na Gravitação, na Mecânica Quântica e na Cosmologia, dentre outras áreas do conhecimento. Quando uma função desse tipo depende das coordenadas ou do tempo, ou de ambas, ela é denominada campo. Como no caso das funções de muitas variáveis, cada uma das componentes das funções vetoriais pode ser representadas numericamente (utiliando uma tabela, por exemplo), algebricamente, por meio de fórmulas (o que é mais usual), ou graficamente (quando utiliamos o gráfico da função). No caso das Ciências Atmosféricas, buscamos uma representação numérica para a função vetorial associada à velocidade das massas de ar em cada ponto da atmosfera terrestre (ou parte dela). Tais dados resultam de cálculos numéricos muito complexos. 5. Funções vetoriais de duas variáveis A forma mais geral de uma função vetorial de duas variáveis é: Vxy (, ) = V xyi, + V xy, j+ V xyk, ( ) ( ) ( ) x y 5. onde os versores i, j e k formam uma base de vetores de módulo unitário, que são perpendiculares entre si. Ademais, tais vetores são constantes. Eles se constituem em uma generaliação do referencial cartesiano. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

3 70 Licenciatura em Ciências USP/Univesp As funções V x (x, y), V y (x, y) e V (x, y) 5. são denominadas funções componentes do vetor da função vetorial V (x, y). Uma função vetorial de duas variáveis da forma 5. é uma aplicação que associa, mediante uma regra, um ponto no espaço (pertencente ao domínio da função) a um ponto, e apenas um ponto, no espaço tridimensional 3 : ( x,y) ( V ( x,y ),V ( x,y ),V ( x,y)) x y Representação gráfica de funções vetoriais Uma forma muito útil de representar graficamente uma função vetorial é aquela na qual apresentamos o vetor associado a cada ponto do espaço bidimensional. O que emerge dessa representação é um conjunto de vetores como é possível visualiar na Figura 5.. Figura 5.: Representação gráfica de uma função vetorial TÓPICO 5 Funções Vetoriais de Várias Variáveis

4 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 7 Exemplos Exemplo O campo V( xy, ) = xi + yj x + y 5.4 Figura 5.. Em cada ponto o campo pode ser diferente. Quer seja, em relação à sua orientação, como nesse caso, ou seu módulo (o que não é o caso considerado). Introduindo a notação matricial, onde vetores são representados por matries linhas, escrevemos: x y V ( xy ; ) =, x² + y² x² + y² é tal que tem módulo sempre igual e tem a direção de retas que partem da origem. É dito um campo radial. Ele pode ser representado graficamente pela Figura Exemplo O campo V( xy, ) = V 0 xi + yj x + y 5.6 Ou, na notação matricial y x ( ; ) =, x² + y² x² + y² V xy V0 tem sempre a direção tangencial a circunferências concêntricas cujos raios representam distâncias até a origem do sistema de coordenadas. É um vetor de módulo constante e perpendicular ao vetor V (x, y). Isso se pode verificar a partir do produto escalar entre eles, dado por: V( xy, ) V ( xy, ) = VV + VV = x x y y xy yx = V0 + = 0 x + y x + y x + y x + y A representação gráfica da função vetorial 5.6 é dada pela Figura Figura 5.3: Representação do campo vetorial 5.5. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

5 7 Licenciatura em Ciências USP/Univesp Exemplo 3 A velocidade dos ventos (uma grandea vetorial, portanto) varia tanto de direção e sentido, quanto de magnitude. Numa região próxima do olho de um furacão podemos representar o campo de velocidades por meio da expressão: x+ y x y Vxy (, ) = i+ j x + y x + y 5.9 Sua representação gráfica é dada pela Figura 5.4. Figura 5.4 Campo de velocidades no olho do furacão 5.4 Funções vetoriais de três variáveis Uma função vetorial de três variáveis independentes x, y e (por exemplo, as coordenadas cartesianas de um ponto no espaço) tem a forma geral, no referencial cartesiano, dada por: V( xy,, ) = V xyi,, + V xy,, j+ V xyk,, ( ) ( ) ( ) x y 5.0 onde as funções V x (x, y, ), V y (x, y, ) e V (x, y, ) são denominadas componentes da função vetorial V (x, y, ). TÓPICO 5 Funções Vetoriais de Várias Variáveis

6 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 73 Uma função vetorial de três variáveis da forma 5.0 é uma aplicação que associa, mediante uma regra, um ponto no espaço 3 (pertencente ao seu domínio) a um ponto, e apenas um ponto, no espaço tridimensional 3 : ( x,y,) ( V ( x,y, ); V ( x,y,); V ( x,y,)) x y 5. Exemplos Exemplo 4 De acordo com a Lei da Gravitação Universal de Newton uma partícula de massa M ou, mais geralmente, um corpo esférico de mesma massa, gera no espaço ao seu redor um campo denominado campo gravitacional. Adotando-se um referencial com origem no campo, este num ponto P cujas coordenadas são x, y e é dado por: xi + yj + k g( x, y, ) = MG x + y + ( ) 3 onde G é a Constante Universal da Gravitação. As componentes do campo gravitacional são, portanto, dadas por: g = MG x, g = MG y, g = MG ( x + y + ) ( x + y + ) ( x + y + ) x 3 y 3 3 Exemplo 5: De acordo com a Lei fundamental da eletrostática, descoberta por Coulomb, o campo elétrico produido por uma carga Q localiada na origem, num ponto de coordenadas (x, y, ), é dado por: gxy (,, ) Q xi + yj + k = 4 πε ( x y ) 3 Onde 4πε 0 é uma constante fundamental no sistema MKS. Suas componentes são E = Q x, E = Q y, E = Q ( x + y + ) ( x + y + ) ( x + y + ) x 3 y 3 3 4πε0 4πε0 4πε0 5.5 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

7 74 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 5.5 Funções vetoriais de várias variáveis Geralmente, uma função vetorial dependente de n variáveis (x, x,..., x n ) pode ser escrita sob a forma: A( x, x,, x ) = A ( x, x,, x ) i + A ( x, x,, x ) j + A ( x, x,, x ) k n x n y n n 5.6 As funções vetoriais de maior interesse nas ciências, aquelas sob a forma da expressão 5.6, são aplicações que associam, mediante uma regra, um ponto no espaço n (pertencente ao domínio da função) a um ponto, e apenas um ponto, no espaço tridimensional 3.Isto é, ( x, x,, x ) ( A ( x, x,, x ), A ( x, x,, x ), A ( x, x,, x )) n x n y n n 5.7 Dados dois pontos P e P no espaço n, cujas coordenadas são, respectivamente (x, x,..., x n ) e (y, y,..., y n ), pertencentes ao domínio D(A ) da função vetorial, definimos a distância entre esses pontos como sendo dada por: ( ) ( ) ( ) d( P, P ) = x y + x y + + xn yn 5.8 A distância entre os seus pontos imagens no espaço tridimensional é dada por: d ( AP ( ), AP ( )) = ( A x( x,, ) (,, )) ( (,, ) (,, )) ( (,, ) (,, ) x n A x y y n + A y x x n A y y y n + A x x n A y y n ) 5.9 Os casos de maior interesse são os campos vetoriais dependentes de quatro variáveis. Três variáveis são associadas às coordenadas de um ponto no espaço (x, y, ) e a quarta variável é o tempo. Assim, um campo vetorial é função das coordenadas (x, y,, t). Mais geralmente, um campo vetorial se escreve como: Bxyt (,,, ) = B xyt,,, i+ B xyt,,, j+ B xyt,,, k ( ) ( ) ( ) x y 5.0 TÓPICO 5 Funções Vetoriais de Várias Variáveis

8 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 75 Exemplos Exemplo 6: Um campo magnético em uma onda eletromagnética plana e que se propaga ao longo do eixo pode ser expresso como: B( x, y,, t) = B cos k ω t i + B sen k ωt j ( ) ( ) 0 0 onde B 0 é o módulo do campo magnético. De fato tomando o produto escalar: 5. B( x, y,,) t B( x, y,,) t = B B + B B = B cos k ω t + B sen k ω t = B x x y y ( ) ( ) Operações com funções vetoriais Podemos introduir as mesmas operações com funções vetoriais como o faemos para os vetores. Assim, a soma de duas funções vetoriais V (x, y, ) e V (x, y, ) é outra função vetorial V (x, y, ) definida por: V( xy,, ) = V( xy,, ) + V( xy,, ) 5.3 onde, V( xy,, ) = V xy,,, V xy,,, V xy,, V( xy,, ) = V xy,,, V xy,,, V xy,, V( xy,, ) = V xy,,, V xy,,, V xy,, ( x( ) y( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( x y ) ( x( ) y( ) ( )) 5.4 de modo que o vetor soma tem suas componentes dadas por: V( xy,, ) = V ( xy,, ) + V ( xy,, ) x x x V( xy,, ) = V ( xy,, ) + V ( xy,, ) y y y V( xy,, ) = V ( xy,, ) + V ( xy,, ) 5.5 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

9 76 Licenciatura em Ciências USP/Univesp De uma forma análoga à subtração de dois vetores, definimos V( xy,, ) = V( xy,, ) V ( xy,, ) 5.6 tomando, agora a diferença entre as componentes de V (x, y, ) e V (x, y, ). O produto de um escalar C por um vetor é outro vetor; V (x, y, ) é definido por: V ( xy,, ) = CV( xy,, ) 5.7 de modo que as componentes são dadas por: V ( xy,, ) = CV( xy,, ), V ( xy,, ) = CV( xy,, ), V ( xy,, ) = CV( xy,, ) x x y y 5.8 Lembramos ainda que, a partir de dois campos vetoriais (ou de um só), podemos gerar uma função escalar. Para isso devemos faer uso do produto escalar de duas funções vetoriais V (x, y, ) e V (x, y, ). O produto escalar de duas funções vetoriais de três variáveis é definido como: u xy,, V( xy,, ) V( xy,, ) V ( xy,, ) V ( xy,, ) V ( xy,, ) V ( xy,, ) V ( xy,, ) V ( xy,, ) ( ) = = + + x x y y 5.9 O módulo de uma funçao vetorial é uma função escalar definida por: V( xy,, ) = V( xy,, ) V( xy,, ) = V ( xy,, ) + V ( xy,, ) + V ( xy,, ) ( ) ( ) ( ) x y 5.30 Por exemplo, a densidade de energia numa região na qual existe um material elétrico caracteriado por uma permitividade ε e um campo elétrico E (x, y, ) é dada por: ε ρ E ( xy,, ) = Exy (,, ) Exy (,, ) 5.3 TÓPICO 5 Funções Vetoriais de Várias Variáveis

10 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 77 Exemplos Exemplo 7 Determine o módulo da função vetorial definida por x+ y ycos ysen V( xy,, ) = i+ j+ k ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ou x+ y ycos ysen V( xy,, ) =,, ( x² + y² ) ² ( x² + y² ) ² ( x² + y² ) ² 5.3 Solução: Tendo em vista que o módulo de uma funçao vetorial é definida em termos de suas componentes de acordo com a expressão 5.30, obtemos: V( xy,, ) V ( xy,, ) + V ( xy,, ) + V ( xy,, ) ( ) ( ) ( ) x y = ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) ( x + y ) x+ y ycos ysen + + = x+ y + y cos + y sen ( ) = x+ y + y ( ) 5.33 Finalmente, lembramos que, a partir de duas funções vetoriais, podemos definir uma nova função vetorial. Para isso devemos faer uso do produto vetorial de duas funções vetoriais e V (x, y, ). Tal produto é uma nova função vetorial (V (x, y, )) de três variáveis e é definido como: V( xy,, ) = V( xy,, ) V( xy,, ) 5.34 onde as componentes do vetor V (x, y, ) podem ser obtidas, em termos das componentes de V (x, y, ) e V (x, y, ), a partir da expressão 5.0. Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

11 78 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 5.7 Domínios Como discutido no tópico Introdução ao Cálculo Vetorial, a questão do domínio e do conjunto imagem dos campos vetoriais deve ser analisada, considerando-se o domínio e o conjunto imagem das funções componentes do campo vetorial, ou seja, devemos considerar o domínio à lu dos domínios das componentes dos campos vetoriais, e o conjunto imagem à lu dos conjuntos imagens das componentes dos campos vetoriais. Se as componentes dependem de três variáveis, um domínio possível para as componentes seria o paralelepípedo obtido pelo produto cartesiano de três intervalos abertos, fechados ou semiabertos. Por exemplo, se as três variáveis x, y e são tais que: 0 x a 0 y b 0 c 5.35 o domínio do campo considerado é: Figura 5.5: Paralelepípedo [0, a] x[0, b] x[0, c] 5.36 Assim, o domínio das componentes de uma função vetorial de mais de uma variável é, como regra geral: uma região do plano como um retângulo, quando se trata de componentes que sejam funções de duas variáveis, cada variável definida num intervalo; uma região do espaço 3, como um paralelepípedo, tratando-se de componentes que sejam funções de três variáveis; uma hiper-região do espaço n quando se trata de componentes funções dependentes de n variáveis. Como já mencionado, tratando-se de componentes que dependam de duas variáveis, dependendo da naturea do problema, o domínio não é necessariamente um retângulo. No caso tridimensional o domínio poderá ser um cubo, uma esfera etc. TÓPICO 5 Funções Vetoriais de Várias Variáveis

12 Licenciatura em Ciências USP/Univesp 79 Assim, de modo geral, o domínio D(A ) da função vetorial A tanto pode ser o espaço n como um todo. 5.8 Limite e continuidade de funções vetoriais No que tange às suas componentes, os conceitos de limite e continuidade de funções vetoriais são definidos em plena analogia com o caso de funções muitas variáveis. Tendo em vista que os versores i, j e k são constantes, e sendo (x, y ) um ponto pertencente ao domínio das componentes V x, V y, V da função vetorial Vxy (, ) = ( Vx( xy, ), Vy( xy, ), V( xy, )), dier que lim V( x, y) = V( x, y ) é equivalente a dier que ( xy, ) ( x, y) lim V ( x, y) = V ( x, y ) ( xy, ) ( x, y) e ( xy, ) ( x, y) e ( xy, ) ( x, y) x lim V ( x, y) = V ( x, y ) y lim V ( x, y) = V ( x, y ) x y 5.37 Escrevendo V (x, y) como combinação linear dos versores i, j, k, isto é, em termos de suas componentes temos: lim Vxy (, ) = lim V( xy, ) i+ lim V( xy, ) j+ lim V( xy, ) k = V ( x, y ) i + V ( x, y ) j + V ( x, y ) k x y x x x x x x x x y y y y y y y y x y 5.38 A extensão do conceito de limite para funções de mais de duas variáveis é simples. Assim, quando escrevemos, por exemplo, que lim Bxy (,, ) = Bx (, y, ) x x y y 5.39 Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA

13 80 Licenciatura em Ciências USP/Univesp isso significa que, quando um tal limite existir, os limites das componentes existem e lim B ( x, y, ) = B ( x, y, ) x x y y x x y y x x y y x lim B ( x, y, ) = B ( x, y, ) y lim B ( x, y, ) = B ( x, y, ) x y 5.40 Diemos que um campo vetorial é contínuo num ponto de coordenadas (x, y ) pertencente ao seu domínio D se o limite da função nesse ponto existe e é dado pela expressão Geralmente, diemos que uma função vetorial é continua no sentido de Lipschit,se para quaisquer dois pontos pertencentes ao seu domínio, existe uma constante C tal que: d V( P), V( P) C. d( P, P) 5.4 ou seja, se a função é tal que a distância entre os pontos imagens podem ser limitadas pelas distâncias dos respectivos pontos do domínio da função. Exemplos Exemplo 8 Determine o limite da função vetorial definida no exemplo 5.3, quando nos aproximamos (esse é o sentido de limite) do ponto do espaço cujas coordenadas são dadas por (0,, π). Solução: Tendo em vista que x+ y lim Vx ( xy,, ) = lim = x 0 x 0 x + y y y π π ( ) ycos lim V( xy,, ) = lim = cos π= ( x + y ) x 0 y y π ysen lim V( xy,, ) = lim = sen π= 0 ( x + y ) x 0 x 0 y y π π 5.4 TÓPICO 5 Funções Vetoriais de Várias Variáveis

14 concluímos que: Licenciatura em Ciências USP/Univesp 8 x+ y ycos ysen lim V( xy,, ) = lim i+ j+ k = i j= (,,0) x + y ( x + y ) ( x + y ) x 0 x 0 y y π π Descontinuidade de funções vetoriais Nem todos os campos relevantes na física são contínuos. Por exemplo, na superfície de um condutor, o campo elétrico passa por uma descontinuidade. De acordo com a primeira equação de Maxwell, essa descontinuidade é proporcional à densidade de cargas na superfície do condutor. Como regra geral, diemos que, sempre que há uma distribuição de cargas numa superfície, o campo é descontínuo. Escrevemos: acima abaixo ( En En ) σ = ε onde E n é a componente normal do campo elétrico na superfície. Assim, numa superfície dotadas de carga elétrica, o campo elétrico exibe direções opostas em cada um dos lados dela. O campo elétrico do lado de um condutor é igual a ero (vide Figura 5.6). Assim, a descontinuidade do campo elétrico na superfície do condutor nos permite estabelecer uma relação entre a normal do campo elétrico (a única nesse caso) e a densidade de carga na superfície dele. Obtemos: fora E n superfície σ = ε Figura 5.6: Descontinuidade do campo elétrico na superfície de um condutor Fundamentos da Matemática II AMBIENTE NA TERRA