Eletromagnetismo I: Campo eletrostático

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1 UNIVERSIDDE ESTDUL PULIST FCULDDE DE ENGENHRI DE ILH SOLTEIR DEPRTMENTO DE ENGENHRI ELÉTRIC Eletromagnetismo I: Campo eletrostático E 1 E V

2 Prefácio Esta apostila foi desenvolvida com o objetivo de cobrir os tópicos previstos na ementa da disciplina Eletromagnetismo I oferecida aos alunos do curso de Engenharia Elétrica, da Faculdade de Engenharia de Ilha Solteira, da Universidade Estadual Paulista. ntes de entrar nos assuntos relacionados à Eletrostática (conteúdo da disciplina), a apostila fa uma revisão, no capítulo 1, dos conceitos relacionados a vetores, a sistemas de coordenadas e às definições de integrais de superfície (relacionadas ao fluo de um vetor através de uma superfície) e de integrais de linha (relacionadas ao trabalho realiado por uma força). Uma grande parte da apostila foi dedicada a estes temas, devido ao fato do autor entender que estas são as ferramentas básicas para que o aluno tenha condições de aplicar os conhecimentos do cálculo vetorial ao campo eletrostático, que é um campo vetorial conservativo. apostila foi escrita tomando como base livros clássicos de eletromagnetismo e, por este motivo, não tem a pretensão de ser um livro. No entanto,pelo fato de tratar-se de uma apostila, onde a quantidade de páginas não é um fator limitante, o autor procura eplicar o conteúdo com um nível de detalhamento bastante grande de modo a tentar facilitar o processo de aprendiado por parte do aluno. Este alto nível de detalhamento eigiu uma enorme quantidade de figuras e equações, fato este que fe com que a apostila tenha uma grande quantidade de páginas. No entanto sabendo que, às vees, a tentativa de simplificar um processo pode torná-lo mais complicado, o autor espera receber críticas referentes a este material, de modo que ele possa ser aperfeiçoado e que possa realmente alcançar o objetivo proposto.

3 Sumário 1 Vetores e cálculo vetorial 1.1 Grandeas escalares e grandeas vetoriais 1 1. Definição de vetor Definição de vetor unitário na direção de um vetor Produto escalar Produto vetorial Campos Sistemas de coordenadas Vetores no sistema de coordenadas cilíndricas Vetores no sistema de coordenadas esféricas Mudança de coordenadas de grandeas vetoriais 1.11 Elementos diferenciais no sistema de coordenadas cartesianas Elementos diferenciais no sistema de coordenadas cilíndricas Elementos diferenciais no sistema de coordenadas esféricas Fluo (Integral de superfície) Divergente Integral de linha Campos conservativos 59 Lei de Coulomb e intensidade de campo elétrico.1 Carga elétrica 6. Lei de Coulomb 6.3 Campo elétrico devido a uma carga pontual 69.4 Campo elétrico devido a um arranjo de cargas 76.5 Campo elétrico devido a uma distribuição de cargas 76

4 3 Densidade de fluo elétrico, lei de Gauss e divergência 3.1 Eperimento de Farada Densidade de fluo elétrico e lei de Gauss plicação da lei de Gauss a distribuições simétricas de carga plicação da lei de Gauss a distribuições assimétricas de carga Energia e potencial 4.1 Energia necessária para mover uma carga pontual em um campo elétrico Diferença de potencial elétrico Potencial elétrico Cálculo do campo a partir do potencial elétrico Energia armaenada no campo elétrico Condutores, dielétricos e capacitncia 5.1 Introdução Corrente e vetor densidade de corrente Corrente elétrica em materiais condutores e lei de Ohm Equação da continuidade Propriedade dos materiais condutores e condições de contorno Método das imagnes Propriedades dos materiais dielétricos e condições de contonro Capacitncia 175 Referências 179

5 Capítulo 1 Vetores e Cálculo Vetorial 1.1 Grandeas escalares e grandeas vetoriais s grandeas físicas podem ser classificadas em grandeas escalares e grandeas vetoriais. Uma grandea que necessita de apenas um número e uma unidade para ser completamente caracteriada é denominada de grandea escalar. ssim di-se, por eemplo, que um corpo possui massa de 5 kg. Neste caso a grandea 5 e a unidade (grama) especificam completamente a massa do corpo. Outros eemplos de grandeas escalares são volume, energia, entropia, temperatura, etc. No entanto também eistem grandeas que para serem completamente caracteriadas necessitam, além de um número e de uma unidade, de uma direção e de um sentido. Estas grandeas são denominadas grandeas vetoriais e necessitam de uma álgebra própria para serem manipuladas matematicamente. Como eemplo de uma grandea vetorial, cita-se a velocidade. Para que a velocidade de um corpo seja completamente definida é necessário conhecer, além do valor e da unidade (por eemplo, 5 m/s) a direção e o sentido da mesma. Grandeas tais como deslocamento, velocidade, campo elétrico e momento linear são eemplos de grandeas vetoriais. 1. Definição de vetor Um vetor no espaço R 3 é uma classe de objetos matemáticos (segmentos de reta) que possuem a mesma direção e mesma intensidade. Esta classe de objetos é representada por um elemento que, geralmente, é um segmento de reta que tem início no ponto (,,) e termina no ponto (,,) do sistema de coordenadas cartesianas, conforme mostra a Figura

6 r P(,,) Fig Vetor no sistema de coordenadas cartesianas Na Figura 1.1, e são vetores unitários nas direções, e, respectivamente, enquanto que r é um vetor escrito como sendo: r = (1.1) 1.1. Na equação 1.1, e são as coordenadas do ponto P(,,) mostrado na Figura Eemplo Determine o vetor r com início em (,,) e término em (3,-1,4). Solução: com base na equação 1.1, o vetor r será r = Para definir um vetor entre dois pontos, sendo que nenhum dos pontos coincide com a origem, considere a Figura 1. onde se mostra, no espaço R 3, os pontos O, e B e os vetores r 1, r e r 3. (,, ) r 1 r 3 O(,,) r B( B, B, B ) Fig Vetores r 1, r e r 3 no espaço R 3

7 Na Figura 1. os vetores r 1 e r possuem início na origem enquanto que o vetor r 3 possui início em um ponto diferente da origem (ponto B). Os vetores r 1 e r, com início na origem, são escritos como sendo: r 1 r = (1.) B B B = (1.3) Utiliando a propriedade de adição de vetores verifica-se, na Figura 1., a seguinte relação: r r3 = r1 r3 = r1 r (1.4) Substituindo as equações 1. e 1.3 na equação 1.4 obtém-se: r = ) ( ) (1.5) 3 ( B B B Manipulando a equação 1.5 verifica-se que r 3 pode ser escrito como sendo: 3 ( B) ( B ) ( B r = ) (1.6) Portanto para definir um vetor com início em um ponto B e término no ponto, basta aplicar a relação mostrada na equação 1.6. Eemplo 1. - Determine o vetor V com início em (1,,-3) e término em (7,1,-4). Solução: com base na equação 1.6, o vetor V será escrito como sendo: V = ( 7 1) (1 ) ( 4 3) V = Definição de vetor unitário na direção de um vetor Um vetor unitário r é dito estar na direção do vetor r, se seu módulo for unitário e se este vetor r for paralelo ao vetor r conforme mostra a Figura

8 r r Fig Vetor unitário r na direção do vetor r Na Figura 1.3 o vetor unitário r é escrito como sendo: r r = (1.7) r Sendo: r = (1.8) r r r Na equação 1.7 r é o módulo do vetor r, e é escrito como sendo: r r r r = (1.9) Eemplo Sabendo que G = - -, determine o vetor unitário na direção do vetor G. Solução: O módulo de G é escrito como sendo: G = () ( ) ( 1) G = 3 Substituindo G e G na equação 1.7 obtém se o vetor unitário g na direção de G, escrito como sendo: g 1 = (1.1) Observe que o módulo de um vetor unitário é sempre Produto escalar Definição de produto escalar entre dois vetores Considere os vetores e B, no espaço R 3, e o ngulo θ B formado por estes vetores, conforme mostra a Figura

9 θ B B Fig. 1.4 Vetores e B no espaço R 3 Define-se o produto escalar entre os vetores e B, escrito na forma.b, como sendo:.b = B cosθ (1.11) B Na equação 1.11 e B são os módulos dos vetores e B, respectivamente, enquanto que θ B é o ngulo formado por estes vetores. O produto escalar entre dois vetores resulta em uma grandea escalar. Outra maneira de obter o produto escalar entre dois vetores consiste em epressar esta grandea em função das componentes dos vetores. Para tanto, considere os vetores e B escritos, de maneira genérica, como sendo: = (1.1) B = B B B (1.13) O produto escalar entre e B pode ser escrito como sendo:.b = )(B B B ) (1.14) ( Desenvolvendo (1.14) obtém-se:.b = B B B... B B B... B B B... (1.15) equação 1.15 mostra que para obter o produto escalar entre e B é necessário calcular os produtos escalares entre os vetores unitários, e. Sabendo que estes vetores unitários constituem uma base do espaço R 3 (ou seja, são perpendiculares entre 5

10 si), e utiliando a definição de produto escalar mostrada na equação 1.11 é possível escrever:.. = 1 ; = ;.. = ; = ;.. = ; = 1. = ;. = 1;. = (1.16) Substituindo a equação 1.16 na equação 1.15 verifica-se que o produto escalar entre os vetores e B pode ser escrito, em função das coordenadas destes vetores, como sendo:.b = B B B (1.17) equação 1.17 mostra que o produto escalar entre os vetores e B é igual ao produto das componentes, que estão na mesma direção, destes vetores Projeção de um vetor em uma determinada direção Considere o vetor B e o vetor unitário mostrados na Fig B θ Fig Vetores B e no espaço R 3 na Figura 1.6. Projetando o vetor B na direção do vetor unitário obtém-se o vetor P mostrado B θ P Fig projeção do vetor B na direção do vetor unitário Na Figura 1.6, o vetor P pode ser escrito como sendo: 6

11 P = P (1.18) partir da Figura 1.6, verifica-se que: P = B cosθ (1.19) Uma ve que é um vetor unitário na direção do vetor P, a equação 1.19 pode ser escrita como sendo: P = B cosθ (1.) Na equação 1., o termo B cosθ corresponde ao produto escalar dos vetores B e. ssim, a equação 1. pode ser escrita como sendo: P = B. (1.1) Substituindo a equação 1.1 na equação 1.18 verifica-se que a projeção de B na direção de é escrita como sendo: P = ( B.) (1.) equação 1. mostra que o vetor P, resultante da projeção do vetor B na direção do vetor unitário, é um vetor cujo módulo coincide com o produto escalar entre B e e cuja direção é a direção de. 1.5 Produto vetorial Considere os vetores e B, no espaço R 3, e o ngulo θ B formado por estes vetores, conforme mostra a Figura 1.7. θ B B Fig Vetores e B no espaço R 3 7

12 8 Define-se o produto vetorial de por B, escrito na forma B, ao vetor cujo módulo é dado por B senθ B. direção do vetor B é perpendicular ao plano que contém e B e o sentido deste vetor corresponde ao sentido de avanço de um parafuso de rosca detrogiro quando é girado para B. Figura 1.8 mostra o vetor resultante do produto B e mostra também um parafuso de rosca detrogiro, que define o sentido deste produto vetorial. Fonte: Hat Fig Produto vetorial B Uma maneira mais simplificada de obter o produto vetorial consiste em epressá-lo em função das componentes dos dois vetores. Para isto, considere os vetores e B, genéricos, escritos na forma: = (1.3) B B B B = (1.4) O produto vetorial B é dado por: ) B B (B ) ( B = (1.5) Desenvolvendo a equação 1.5 obtém-se: B = ) B ( ) B ( ) B ( ) B ( ) B ( ) B ( ) B ( ) B ( ) B ( (1.6) B B Plano que contém os vetores e B

13 9 equação 1.6 mostra que o produto vetorial B ficou escrito em função do produto vetorial entre os vetores unitários, e que, por constituírem uma base vetorial, são perpendiculares entre si. ssim, aplicando o conceito de produto vetorial, o produto vetorial entre os vetores unitários, e resulta em: ; ; ; ; ; ; ; = = = = = = = = = (1.7) Substituindo 1.7 em 1.6: )() B ( ) )( B ( ) )( B ( ) )( B ( )() B ( ) )( B ( ) )( B ( ) )( B ( )() B ( = B (1.8) partir da equação 1.8 obtém-se: B ) B B ( ) B B ( ) B B ( = (1.9) equação 1.9 mostra o produto vetorial B escrito em função das componentes de e B. Este resultado também pode ser obtido a partir do desenvolvimento do determinante escrito na equação 1.3. B B B B = (1.3) Na primeira linha do determinante, mostrado na equação 1.3, estão os vetores unitários, e. Na segunda e na terceira linhas estão, respectivamente, as componentes dos vetores e B. O desenvolvimento da equação 1.3 fornece o mesmo resultado obtido na equação 1.9. Eemplo Sendo = e B = 3 determine o produto vetorial B. Solução: Figura 1.8 mostra os vetores e B no sistema cartesiano de coordenadas.

14 B Fig Vetores e B no sistema de coordenadas cartesianas plicando a definição de produto vetorial e levando em conta que os vetores e B são perpendiculares, chega-se à conclusão de que o módulo do vetor C, resultante do produto vetorial B, é escrito como sendo: π C = B sen C = 6 (1.31) Sabe-se que vetor C é perpendicular ao plano que contém e B (portanto C está na direção do eio ) e o sentido de C corresponde ao sentido de avanço de um parafuso de rosca detrogiro quando é girado sobre B (Figura 1.8). Conclui-se que o sentido do vetor C é o sentido positivo do eio, conforme mostra a Figura 1.1. B C Fig Vetor C resultante do produto vetorial B Portanto o produto vetorial B é um vetor C escrito como sendo: B = 6 (1.3) 1

15 O produto vetorial B pode ser mais facilmente obtido a partir do desenvolvimento do determinante escrito na equação 1.3. Substituindo as componentes de e B na equação (1.3) obtém-se: B = (1.33) 3 Desenvolvendo o determinante mostrado na equação 1.33 obtém-se o produto vetorial B escrito como sendo: B = 6 (1.34) Observa-se que o módulo do produto vetorial B corresponde ao valor da área do paralelogramo formado pelos vetores e B. Deste modo, é possível representar a área de uma superfície por meio de um vetor, perpendicular a esta superfície, cujo módulo corresponde numericamente à área da superfície. 1.6 Campos Matematicamente, um campo é definido como uma função de um conjunto de variáveis em um determinado espaço. Esta função representa uma grandea qualquer (escalar ou vetorial) em uma porção do espaço Campo escalar Di-se que em uma determinada região do espaço eiste um campo escalar se, para cada ponto desta região é atribuído uma grandea escalar. Tome como eemplo função f(,,) escrita como sendo: f (,, ) = 5 (1.35) Na equação 1.35, verifica-se que para cada ponto P(,,) do espaço, é atribuído um valor para a função escalar f(,,). Então, f(,,) descreve um campo escalar. função f(,,) pode, por eemplo, descrever a temperatura em cada ponto P(,,) do espaço. ssim, a cada ponto P(,,) é atribuído uma temperatura cujo valor é função da localiação deste ponto. No eemplo descrito na equação 1.35, di-se que o campo é 11

16 estático, pois ele não depende do tempo. Caso a temperatura em cada ponto do espaço varie também em função do tempo, teríamos um campo escalar variável no tempo Campo vetorial Outro tipo de campo é o campo vetorial. Di-se que uma região do espaço possui um campo vetorial se a cada ponto desta região é atribuído uma grandea vetorial. Tome como eemplo a função vetorial descrita pela equação F = (,, ) (1.36) (,, ) (,, ) (,, ) equação 1.36 mostra que a cada ponto P(,,) é atribuído um vetor F(,,) cujas componentes são funções da posição do ponto P(,,). Verifica-se que a cada ponto do espaço é atribuído um vetor descrito pela função vetorial F(,,). Portanto, F(,,) descreve um campo vetorial. 1.7 Sistemas de coordenadas Um sistema de coordenadas é um conjunto de eios utiliado para representar comprimentos, superfícies e volumes. Dentre os diversos sistemas de coordenadas eistentes os mais utiliados são os sistemas de coordenadas ortogonais, sistemas estes cujos eios são perpendiculares uns em relação aos demais. Como eemplo de sistemas de coordenadas ortogonais cita-se o sistema de coordenadas cartesianas, o sistema de coordenadas cilíndricas e o sistema de coordenadas esféricas. escolha do sistema de coordenadas a ser utiliado depende da naturea do que deve ser representado. ssim, intuitivamente, percebe-se que um cubo é mais fácil de ser representado em um sistema de coordenadas cartesianas, enquanto que uma esfera pode ser descrita com maior facilidade em um sistema de coordenadas esféricas Sistema de coordenadas cartesianas O sistema de coordenadas cartesianas é constituído de três eios (,,) perpendiculares entre sí, conforme mostra a Figura

17 Fig Sistema de coordenadas cartesianas Um ponto P( p, p, p ) é localiado, no sistema de coordenadas cartesianas, conforme mostra a Figura 1.1. p P( p, p, p ) p p Fig. 1.1 Localiação de um ponto no sistema de coordenadas cartesianas Sistema de coordenadas cilíndricas Figura 1.13 mostra um ponto P genérico representado no sistema de coordenadas cartesianas. Nesta figura o ponto P é definido em função de suas coordenadas, e. Este ponto também pode ser definido em função do raio ρ, do ngulo φ, definidos no plano =, e da altura (conforme mostra a Fig. 1.14). Neste caso, di-se que o ponto está localiado no sistema de coordenadas cilíndricas circulares (ou, simplesmente, sistema de coordenadas cilíndricas). P(,,) Fig Ponto P genérico representado no sistema de coordenadas cartesianas 13

18 P(ρ, φ,) φ ρ Fig Ponto P genérico representado no sistema de coordenadas cilíndricas Na Figura 1.14 o ngulo φ é definido a partir do eio, no sentido anti-horário. Observando a Figura 1.14, verifica-se que a componente do ponto P é a mesma nos dois sistemas de coordenadas. s demais coordenadas do ponto P, epressas nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas, obedecem as seguintes relações: = ρ cosφ (1.37) = ρ senφ (1.38) ρ = (1.39) Utiliando as equações , é possível converter uma função escalar, inicialmente definida no sistema de coordenadas cartesianas, para o sistema de coordenadas cilíndricas. O contrário também é verdadeiro ou seja, uma função escalar, definida no sistema de coordenadas cilíndricas, pode ser convertida para o sistema de coordenadas cartesianas. Eemplo 1.5 Considere que em uma determinada região do espaço a temperatura em um ponto genérico P(,,) pode ser epresso por T(,,) = 4 -. Epresse a temperatura desta região no sistema de coordenadas cilíndricas. Solução: Observe que a função T(,,) é um campo escalar, pois a cada ponto de uma determinada região do espaço ela atribui uma temperatura (que é uma grandea escalar). Substituindo as equações 1.37 e 1.38 na função T(,,) obtém-se a temperatura em cada ponto do espaço, sendo estes pontos definidos no sistema de coordenadas cilíndricas. Têm-se então: 14

19 T( ρ, φ,) = 4 ρ senφcosφ (1.4) equação 1.4 pode ser escrita como sendo: T( ρ, φ, ) = 4 ρ sen(φ ) (1.41) equação 1.41 epressa o campo de temperaturas no sistema de coordenadas cilíndricas. Eemplo 1.6 Considere um sólido, cujos pontos são definidos no sistema de coordenadas cilíndricas. Sabendo que cada ponto deste sólido possui uma densidade que varia em função da posição deste ponto, e que esta densidade é epressa por D(ρ,φ,) = e -. ( ρ 3 cos φ) determine a densidade do corpo no ponto P(-, -5, 1) do sistema de coordenadas cartesianas. Solução: Inicialmente o ponto P(-,-5,1) deve ser convertido para coordenadas cilíndricas. O raio ρ é obtido a partir da equação Substituindo as coordenadas e do ponto P na equação 1.39 obtêm-se: ρ = 5,385 (1.4) Para obter o ngulo φ é necessário, inicialmente, verificar em qual quadrante ele se encontra. Para isto represente o ponto P(-,-5,1) no plano. coordenada será desconsiderada pelo fato de ela não influenciar no valor de φ. Figura 1.15 mostra o ponto (-,-5) no sistema de coordenadas cartesianas. ρ - -5 θ φ Fig Localiação do ngulo φ no plano Da Figura 1.15 obtém-se: 15

20 tan gθ = θ =,385 rads (1.43) 5 O ngulo φ é escrito como sendo: 3 φ = π θ φ = 4,3319 rads cosφ =,3714 (1.44) Uma ve obtidos os valores de ρ, e cosφ, substitui-se estes valores na função que epressa a densidade do corpo, obtendo-se o seguinte valor: D ( ρ = 5,385, φ = 4,3319, = 1) = 8,66 (1.45) Observe, nos eemplo 1.5 e 1.6, que para um determinado ponto P, o campo escalar possui o mesmo valor, independentemente do sistema de coordenadas no qual o campo está representado Sistema de coordenadas esféricas No sistema de coordenadas cartesianas um ponto é definido pelo raio r e pelos ngulos θ e φ, conforme mostra a Figura θ P(r, θ, φ) φ r Fig Localiação de um ponto no sistema de coordenadas esféricas Observando a Figura 1.16 é possível relacionar as coordenadas cartesianas, e com as coordenadas esféricas r, θ e φ. Deste modo, é possível escrever: 16

21 = r senθ cosφ (1.46) = r senθsenφ (1.47) = r cosθ (1.48) Também são válidas as seguintes relações: r = r ;r (1.49) θ = arccos ; θ π (1.5) φ =arctg (1.51) 1.8 Vetores no sistema de coordenadas cilíndricas Um vetor, no sistema de coordenadas cilíndricas, é escrito como combinação linear dos vetores unitários ρ, φ e mostrados na Figura P(ρ, φ,) φ ρ φ ρ P Fig vetores unitários no sistema de coordenadas cilíndricas Um vetor (ρ,φ,), em coordenadas cilíndricas, é escrito como sendo: ( ρ, φ,) = ρ ( ρ, φ,) ρ φ( ρ, φ,) φ ( ρ, φ,) (1.5) Na equação 1.5 ρ ( ρ,φ, ), φ ( ρ,φ, ) e ( ρ,φ, ) são as componentes do vetor (ρ,φ,) nas direções ρ, φ e e tais componentes são, de maneira genérica, funções escalares de ρ,φ e. 17

22 Observe, na Figura 1.17, que o vetor unitário ρ em qualquer ponto P(ρ,φ,) está dirigido radialmente para fora. O vetor unitário φ é tangente, no ponto P(ρ,φ,), ao cilindro de raio ρ. O vetor φ aponta na direção crescente de φ e o vetor unitário Z aponta na direção do eio. O vetor unitário ρ aponta sempre na direção radial para fora. O mesmo ocorre com o vetor unitário que aponta sempre na direção do eio. No entanto, verifica-se que a direção em que aponta o vetor unitário φ depende do ponto em que foi definida a base vetorial. Portanto, para definir um vetor no sistema de coordenadas cilíndricas é necessário especificar o ponto em que o vetor será definido. Como eemplo, considere os pontos P 1 (ρ 1, φ 1 = π/, 1 ) e P (ρ, φ =, ) na Figura É possível construir as bases definidas pelos vetores unitários ρ, φ e nestes dois pontos e em seguida verificar como elas se comportam. ρ P φ ρ 1 ρ 1 P 1 φ ρ Fig Base vetorial no sistema de coordenadas cilíndricas definida em pontos distintos Verifica-se na Fig que o vetor unitário ρ aponta sempre na direção radial para fora (tanto para ρ = ρ 1, em P 1, quanto para ρ = ρ em P ). O mesmo ocorre com o vetor unitário que nos pontos P 1 e P aponta sempre na direção do eio. No entanto, verifica-se que a direção em que aponta o vetor unitário φ depende do ponto (P 1 ou P ) em que foi definida a base vetorial. 1.9 Vetores no sistema de coordenadas esféricas Considere os vetores unitários r, θ e φ, perpendiculares entre si, definidos em um ponto P(r,θ,φ) do sistema de coordenadas esféricas, conforme mostra a Figura

23 r P φ θ θ r φ Fig vetores unitários no sistema de coordenadas esféricas O vetor unitário r aponta, para fora, na direção do raio r enquanto que o vetor unitário φ é tangente, no ponto P(r,θ,φ), ao cilindro de raio ρ. O vetor θ é tangente, no ponto P(r,θ,φ), à esfera de raio r cujo centro está na origem do sistema de coordenadas cartesianas. Os vetores θ e φ apontam na direção crescente dos ngulos θ e φ, respectivamente. Um vetor (r,θ, φ), em coordenadas esféricas, é escrito como sendo: ) ( r, θ, φ) = r (r, θ, φ) r θ(r, θ, φ) θ φ(r, θ, φ φ (1.53) Na equação 1.53 r (r,θ, φ), θ ( r,θ, φ) e φ (r,θ, φ) são as componentes do vetor (r,θ, φ) nas direções r, θ e φ. Considerando os pontos P 1 (r 1,θ 1,φ 1 ) e P (r,θ = π/,φ ) é possível construir as bases definidas pelos vetores unitários r, θ e φ nestes dois pontos e em seguida verificar como elas se comportam. Figura 1. mostra as bases definidas pelos vetores unitários r, θ e φ nos pontos P 1 e P. Observando a Figura 1., verifica-se que o vetor r aponta sempre na direção do raio r, para fora, independentemente do ponto onde os vetores unitários r, θ e φ são construídos. Quanto aos vetores θ e φ verifica-se que são tangentes aos ngulos θ e φ, respectivamente, sendo que suas direções dependem do ponto onde a base vetorial é construída. 19

24 r P 1 φ θ 1 θ r 1 φ 1 r φ θ P r φ Fig Base vetorial no sistema de coordenadas esféricas definida em pontos distintos 1.1 Mudança de sistemas de coordenadas de grandeas vetoriais No item 1.7 verificou-se que as coordenadas que definem um ponto, ou as componentes que definem uma função escalar, podem ser localiado em diversos sistemas de coordenadas sendo que nesta apostila foram mostrados os sistemas de coordenadas cartesianas, cilíndricas e esféricas. Foi mostrado também que é possível converter as coordenadas de um ponto (ou de uma função escalar) inicialmente definido em um sistema de coordenadas, para outro sistema de coordenadas. s equações mostram o processo de conversão entre os sistemas de coordenadas cartesianas para cilíndricas (e vice-versa) enquanto que as equações mostram o processo de conversão do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas esféricas (e vice-versa). Neste item será mostrado o procedimento para trocar o sistema de coordenadas de uma grandea vetorial Mudança entre os sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas Considere a base vetorial, e que descreve vetores no sistema de coordenadas cartesianas e a base vetorial ρ, φ e que descreve vetores no sistema de coordenadas cilíndricas. Estas duas bases são mostradas na Figura 1.1.

25 No sistema de coordenadas cartesianas, uma função vetorial (,,) genérica pode ser escrita como sendo: (,, ) = (1.54) cart Na equação 1.54, e cart são funções escalares de, e. ρ φ ρ ρ senφ φ ρ cosφ Fig Bases vetoriais nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas função vetorial mostrada na equação 1.54 pode ser escrita no sistema de coordenadas cilíndricas como sendo: ( ρ, φ, ) = ρ ρ φ φ cil (1.55) s componentes da função (ρ,φ,) podem ser obtidas a partir da projeção da função (,,) nas direções dos vetores unitários ρ, φ e que constituem a base no sistema de coordenadas cilíndricas. Então, as componentes ρ, φ e cil são escritas como sendo: ρ = ρ (1.56) φ = (,,). φ (1.57) cil (,,) =. (1.58) cart Substituindo a equação 1.54 nas equações obtém-se as componente de (ρ,φ,), ou seja: 1

26 ρ = ( cart ). ρ (1.59) φ = ( cart ). φ (1.6) cil ( cart ) =. (1.61) Desenvolvendo as equações obtém-se: =. (1.6) ρ.ρ.ρ φ.φ.φ cart ρ =. (1.63) cil.. cart cart φ =. (1.64) Sabendo que os vetores unitários ρ, φ e são perpendiculares, conclui-se que os produtos escalares. ρ,. φ,. e. são nulos. Quanto ao produto escalar., sabe-se que é unitário. Deste modo, as equações 1.6 a 1.64 tornam-se: =. (1.65) ρ.ρ φ.φ ρ =. (1.66) φ cil = cart (1.67) maneira de se interpretar a equação 1.67 é que as componentes, na direção de, das funções vetoriais (,,) e (ρ,φ,) são iguais. Para obter os demais produtos escalares mostrados nas equações 1.65 e 1.66, considere o plano mostrado na Figura φ φ ρ φ φ φ ρ Fig Vetores unitários,, ρ e φ no plano

27 Observando a Figura 1. verifica-se que os produtos escalares. ρ,. ρ,. φ e. φ são escritos como sendo:.ρ = ρ cosφ (1.68).ρ = ρ cos( 9 φ) (1.69).φ = φ cos( 9 φ) (1.7).φ = φ cosφ (1.71) Uma ve que os vetores são unitários, as equações tornam-se:. ρ = cosφ (1.7). ρ = cos( 9 φ) (1.73). φ = cos( 9 φ) (1.74). φ = cosφ (1.75) Sabendo que cos(9-φ) e cos(9φ) correspondem a senφ e a -senφ, respectivamente, as equações resultam em:. ρ = cosφ (1.76). ρ = senφ (1.77). φ = senφ (1.78). φ = cosφ (1.79) Substituindo as equações (1.76) - (1.79) nas equações (1.65) - (1.67), obtém-se as seguintes relações entre as componentes das funções vetoriais (,,) e (ρ,φ,): ρ = cosφ senφ cart (1.8) φ = senφ cosφ cart (1.81) = (1.8) cil cart 3

28 s equações podem ser escritas na forma matricial como sendo: ρ φ cil cosφ = senφ senφ cosφ 1 cart (1.83) equação 1.83 permite converter um vetor descrito nas coordenadas cartesianas em um vetor descrito no sistema de coordenadas cilíndricas. Para converter um vetor do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano de coordenadas, basta inverter a equação 1.83 obtendo-se a seguinte relação: cart cosφ = senφ senφ cosφ 1 ρ φ cil (1.84) Observe, nas equações 1.83 e 1.84, que o ngulo ϕ está relacionado ao ponto onde foi (ou será) definido o vetor no sistema de coordenadas cilíndricas conforme mostra a Figura 1.3. ρ P(ρ,φ,) φ ρ Ponto onde está definido o vetor no sistema de coordenadas cilíndricas ρ senφ φ ρ = ρ cosφ Fig Vetores unitários ρ, φ e no ponto P(ρ,φ,) Devemos imaginar que o vetor está representado no sistema de coordenadas cilíndricas no ponto P(ρ,φ,) e que este vetor deve ser projetado nas direções dos 4

29 vetores, e que constituem a base do sistema de coordenadas cartesianas. projeção se dá por meio da aplicação da equação Figura 1.4 mostra o vetor nos sistemas de coordenadas cilíndricas e cartesianas. P(ρ,φ,) φ ρ (a) (b) Fig Vetor representado nos sistemas cilíndricos (a) e cartesiano (b) de coordenadas Eemplo 1.7 Sabe-se que o vetor, no ponto P(ρ=5; φ=,973; =7), é escrito como = ρ 3 φ -, determine este vetor no sistema de coordenadas cartesianas. Solução: Figura 1.5 mostra os vetores unitários que constituem as bases dos sistemas cartesianos e cilíndricos. = 7 ρ = 5 φ P(ρ,φ,) ρ ρ senφ φ=,973 ρ cosφ Fig Vetores unitários ρ, φ e no ponto P(ρ=5; φ=,973; =7) Uma ve que o ponto P, em que está localiado o vetor no sistema de coordenadas cilíndricas, é conhecido, é possível obter valores para cosφ e para senφ. Neste caso específico, onde φ=,973, obtém-se: 3 4 cos φ = ; senφ = 5 5 (1.85) 5

30 valem: s componentes do vetor em coordenadas cilíndricas foram fornecidas e ρ = ; φ = 3 ; cil = 1 (1.86) Substituindo as componentes ρ, φ e cil, bem como os valores de senφ e cosφ na equação 1.84 obtém-se: cart = (1.87) Desenvolvendo a equação 1.87: 6 1 = (1.88) = (1.89) 5 5 cart = 1 (1.9) sendo: Então, o vetor no sistema cartesiano de coordenadas será escrito como = (1.91) Observe que quando um vetor é convertido do sistema de coordenadas cilíndricas para o sistema de coordenadas cartesianas, é necessário definir o ponto onde o vetor, no sistema de coordenadas cilíndricas, está localiado. Observe também que o módulo do vetor é o mesmo, independentemente do sistema de coordenadas em que ele está representado. Eemplo 1.8 Converta o vetor = para o sistema de coordenadas cilíndricas no ponto P(-, 3, 1). 6

31 Solução: Incialmente é necessário definir o ngulo φ, relacionado com o ponto onde está definido o vetor no sistema de coordenadas cilíndricas (este ngulo φ definirá a matri de transformação de coordenadas cartesianas para coordenadas cilíndricas). Para obter φ, coloque o ponto P(-, 3, 1) no plano, conforme mostra a Figura π-φ ρ P(-,3) φ 3 Fig Ponto P(-,3,1) no plano partir da Figura 1.6 conclui-se φ está localiado no segundo quadrante do plano. Desta Figura obtém-se: ρ = 3 => ρ = 13 (1.9) cos( π φ) = => cosφ = => cosφ = (1.93) sen ( π φ) = => senφ= => senφ= (1.94) Observe que o valor de cosϕ é negativo. Isto era esperado, pelo fato de ϕ estar no segundo quadrante. s componentes do vetor em coordenadas cartesianas foram fornecidas e valem: = ; = 5 ; 3 (1.95) cart = Substituindo as componentes, e cart, bem como os valores de senφ e cosφ na equação 1.83 obtêm-se: 7

32 ρ φ cil = (1.96) Desenvolvendo a equação 1.96: 4 15 ρ = (1.97) φ = (1.98) cil = 3 (1.99) sendo: Então, o vetor no sistema de coordenadas cilíndricas será escrito como = ρ φ (1.1) Observe que quando um vetor é convertido do sistema de coordenadas cartesianas para o sistema de coordenadas cilíndricas, é necessário definir o ponto onde o vetor, no sistema de coordenadas cilíndricas, está localiado. Observe também que o módulo do vetor é o mesmo, independentemente do sistema de coordenadas em que ele está representado Mudança entre os sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas Considere a base vetorial, e que descreve vetores no sistema de coordenadas cartesianas e a base vetorial r, θ e φ que descreve vetores no sistema de coordenadas esféricas. Estas duas bases são mostradas na Figura

33 r θ θ φ r φ Fig Bases vetoriais nos sistemas de coordenadas cartesianas e esféricas No sistema de coordenadas cartesianas, uma função vetorial (,,) genérica pode ser escrita como sendo: (,, ) = (1.11) Na equação 1.11, e cart são funções escalares de, e. No sistema de coordenadas esféricas, a função vetorial (,,), descrita na equação 1.11, é uma função vetorial (r,θ,φ) escrita na forma: ( r, θ, φ) = r r (1.1) θ θ φ φ s componentes da função (r,θ,φ) podem ser obtidas a partir da projeção da função (,,) nas direções dos vetores unitários r, θ e φ que que constituem a base do sistema de coordenadas esféricas. Então as componentes r, θ e φ são escritas como sendo: r (,, ) =. (1.13) r θ = (,, ). θ (1.14) φ = (,,). φ (1.15) Substituindo a equação 1.1 nas equações obtém-se as componente de (r,θ, φ), ou seja: 9

34 r ( ) =. (1.16) r θ = ( ). θ (1.17) φ = ( ). φ (1.18) Desenvolvendo as equações obtém-se: =. (1.19) r.r.r θ.θ.θ r =. (1.11) φ.φ.φ θ =. (1.111) φ É possível mostrar que o desenvolvimento dos produtos escalares mostrados nas equações 1.19 a resulta em: r = senθ cosφ senθsenφ cosθ (1.11) θ = cosθcosφ cosθsenφ senθ (1.113) φ = senφ cosφ (1.114) Na forma matricial as equações tornam-se: r θ φ senθ cosφ = cosθcosφ senφ senθsenφ cosθ senφ cosφ cosθ senθ (1.115) equação permite converter um vetor descrito nas coordenadas cartesianas em um vetor descrito no sistema de coordenadas esféricas. Para converter um vetor do sistema esférico para o sistema cartesiano de coordenadas, deve-se inverter a equação obtendo assim a seguinte relação: senθ cosφ = senθsenφ cosθ cosθcosφ cosθ senφ senθ senφ cosφ r θ φ (1.116) Nas equações e θ e ϕ estão relacionados ao ponto onde está definido o vetor no sistema de coordenadas esféricas, conforme mostra a Figura

35 Ponto onde está definido o vetor no sistema de coordenadas esféricas r θ P(r,θ,φ) θ φ r φ Fig Vetores unitários r, θ e φ no ponto P(r,θ,φ) Devemos imaginar que o vetor está representado no sistema de coordenadas esféricas no ponto P(r,θ,φ) e que este vetor deve ser projetado nas direções dos vetores, e que constituem a base do sistema de coordenadas cartesianas. projeção se dá por meio da aplicação da equação Figura 1.9 mostra o vetor nos sistemas de coordenadas esféricas e cartesianas. θ P(r,θ,φ) φ Â r (a) (b) Fig Vetor representado nos sistemas esférico (a) e cartesiano (b) de coordenadas Eemplo 1.9 Sabendo que no ponto P(r=5; θ=π/6, φ=π/3) o vetor é definido como = r 3 θ - φ determine este vetor no sistema de coordenadas cartesianas. Solução: Figura 1.3 mostra os vetores unitários que constituem as bases dos sistemas cartesiano e esférico. 31

36 r θ=π/6 P(r,θ,φ) θ φ r = 5 φ=π/3 Fig Vetores unitários r, θ e φ no ponto P(r=5; θ=π/6, φ=π/3) Uma ve que o ponto P em que está localiado o vetor no sistema de coordenadas esféricas é conhecido, é possível obter valores para senθ, cosθ, senφ e cosφ. Deste modo, no o ponto P, tem-se: r = 5 (1.117) 1 3 cos φ = ; senφ = (1.118) 3 1 cos θ = ; senθ = (1.119) s componentes do vetor em coordenadas esféricas foram fornecidas e valem: r = ; θ = 3 ; φl = 1 (1.1) Substituindo os valores de senφ, cosφ, senθ, cosθ (mostrados nas equações e 1.119) e as componentes r, θ e φ (mostradas na equação 1.1) na equação obtém-se: 3

37 33 = (1.11) Desenvolvendo a equação 1.11: = (1.1) = (1.13) 3 3 = (1.14) Então, o vetor no sistema cartesiano de coordenadas será escrito como sendo: = (1.15) O eemplo 1.9 mostra que quando um vetor é convertido do sistema de coordenadas esféricas para o sistema de coordenadas cartesianas, é necessário definir o ponto onde o vetor, no sistema de coordenadas esféricas, está localiado. Observe também que o módulo do vetor é o mesmo, independentemente do sistema de coordenadas em que ele está representado. Eemplo 1.1 Converta o vetor = para o sistema de coordenadas esféricas no ponto P(-, 3, 1). Solução: Incialmente o ponto P(-, 3, 1), onde estará o vetor, será convertido para o sistema de coordenadas esféricas de modo que seja possível especificar os ngulos θ e φ. Para encontrar o ngulo φ, definido no plano, considere tal plano e os pontos = - e =3, conforme mostra a Figura 1.3.

38 - π-φ ρ P(-, 3, 1) φ 3 Fig. 1.3 Definição do ngulo φ para o ponto P(=-; =3) Figura 1.3 mostra que φ está localiado no segundo quadrante do plano. Desta Figura obtém-se: ρ = 3 => ρ = 13 (1.16) cos( π φ) = => cosφ = => cosφ = (1.17) sen ( π φ) = => senφ= => senφ= (1.18) Para encontrar o ngulo θ, considere a Figura 1.31 onde é mostrado o ponto P(-, 3, 1). Desta figura verifica-se que: r = => r = 14 (1.19) 1 cos θ = => cosθ = (1.13) r 14 partir do valor de cosθ é possível obter senθ a partir da seguinte relação: 13 senθ = 1 cos θ => senθ = (1.131) 14 34

39 P(=-; =3; =1) =1 θ r =- ρ φ =3 Fig. 1.3 Definição do ngulo θ para o ponto P(=-; =3;=1) Uma ve que os valores do seno e do cosseno de θ e de φ são conhecidos, basta substituí-los, juntamente com os valores das componentes, e, na equação 1.16 e obter as componentes r, θ e φ.faendo as substituições obtém-se: r 3 13 θ = 5 (1.13) φ Da equação 1.13 obtém-se: r 16 = (1.133) θ = (1.134) 18 4 φ = (1.135) 13 Então, o vetor no sistema de coordenadas esféricas é escrito como sendo: 35

40 = r θ φ (1.136) Observe que o módulo de é o mesmo, independentemente do sistema de coordenadas em que este vetor é representado Elementos diferenciais de volume, de superfície e de comprimento no sistema de coordenadas cartesianas Elemento diferencial de volume Um elemento diferencial de volume, no sistema de coordenadas cartesianas, é um paralelepípedo do tipo mostrado a Figura d d d Fig Elemento diferencial de volume no sistema de coordenadas cartesianas Na Figura 1.31 o elemento diferencial de volume dvol corresponde ao volume do paralelepípedo cujas arestas possuem comprimento d, d e d. Então, o elemento diferencial de volume dvol é escrito como sendo: dvol = d dd (1.137) Eemplo 1.11 Determine o volume do sólido definido por -1 ; 7 9 e 3 7. Solução: Verifica-se que o sólido do eemplo trata-se de um paralelepípedo reto cujos lados medem 3, e 4. O volume deste sólido pode ser facilmente obtido multiplicandose as dimensões dos três lados, resultando em um valor igual a 4. No entanto, o volume do sólido pode ser calculado a partir da integração do elemento diferencial de volume descrito na equação 1.137, ou seja: 36

41 vol = d dd (1.138) volume equação pode ser escrita como sendo: vol = d d d (1.139) 7 3 Desenvolvendo a equação obtém-se um valor correspondente a 4, que é o mesmo valor obtido anteriormente Elemento diferencial de superfície No elemento diferencial de volume mostrado na Figura 1.31 é possível definir seis elementos diferenciais de área na forma vetorial. Figura 1.3 mostra cinco destes elementos. ds 1 ds4 ds 3 ds 5 ds Fig Elementos diferenciais de superfície no sistema de coordenadas cartesianas como sendo: Os elementos diferenciais de superfície mostrados na Figura 1.3 são escritos ds ds ds ds ds = dd (1.14) 1 dd ( ) ds = dd = (1.141) = dd (1.14) 3 = dd (1.143) 4 = dd (1.144) 5 É possível definir também o elemento diferencial de área ds 6, que não consta da Figura 1.3, como sendo: 37

42 ds = d d (1.145) 6 ds6 = ds5 Eemplo 1.1 Determine a área da superfície definida por 3 7 e -3. Solução: Verifica-se que a superfície definida anteriormente é a superfície de um retngulo cujos lados medem 4 e 5 e está localiado no plano = (que corresponde ao plano. área desta superfície pode ser obtido multiplicando se os valores dos dois lados da figura, resultando em um valor igual a. No entanto, a área da superfície será calculada partir da integração do elemento diferencial de superfície, ou seja: area = d d (1.146) sup erfície partir da equação obtém-se: 7 d area = d (1.147) 3 3 Desenvolvendo a equação obtém-se um valor correspondente a, que é o mesmo valor obtido anteriormente Elemento diferencial de comprimento Para definir um elemento diferencial de comprimento no sistema de coordenadas cartesianas, considere um segmento de reta de comprimento infinitesimal dl definido pelos pontos (,, ) e B( B, B, B ) conforme mostra a Figura B Fig Segmento de reta de comprimento infinitesimal 38

43 o segmento de reta dl, mostrado na Figura 1.31, é possível associar um vetor dl com início no ponto e término no ponto B, que será escrito como sendo: dl = ) (1.144) ( B ) (B ) (B na forma: O diferencial de comprimento dl mostrado na equação (1.144) pode ser escrito dl= d d d (1.145) Portanto conclui-se que um elemento diferencial de comprimento é um vetor cujas componentes são d, d e d nas direções, e, respectivamente, conforme mostra a Figura B dl d d d Fig Elemento diferencial de comprimento dl no sistema de coordenadas cartesianas 1.1 Elementos diferenciais de volume e de superfície no sistema de coordenadas cilíndricas Elemento diferencial de volume Para definir um elemento diferencial de volume no sistema de coordenadas cilíndricas, considere variações dρ, dφ e d conforme mostra a Figura Considerando que os elementos dρ, dφ e d são infinitesimais o volume do sólido, mostrado na Figura 1.35, se aproimará do volume de um paralelepípedo. ssim quando os elementos dρ, dφ e d tenderem a ero, o elemento diferencial de volume dvol será escrito como sendo: dvol = ρdφdρd (1.146) 39

44 d dρ ρ dφ Fig Elemento diferencial de volume no sistema de coordenadas cilíndricas Eemplo 1.13 Determine o volume do sólido definido por ρ R ; ϕ π e h. Solução: Verifica-se que o sólido descrito no eemplo 1.13 corresponde à um cilindro de raio R e altura h. Integrando o elemento diferencial de volume na região em que o sólido está definido obtém-se o volume do sólido. Têm-se então: ρdφ dρ vol = d (1.147) volume Desenvolvendo a equação 1.147: vol = R ρ dρ π dφ h d (1.148) Da equação obtém-se: 1 vol = ( R ) πh vol = π( R) h (1.149) equação é a clássica fórmula para cálculo do volume de um cilindro Elemento diferencial de superfície Na Figura 1.35 é possível definir seis elementos diferenciais de superfície. No entanto, os elementos que merecem destaque são os elementos diferenciais de superfície ds 1 e ds, que são mostrados na Figura

45 ds d ds 1 dρ ρ dφ Fig Elementos diferenciais de superfície no sistema de coordenadas cilíndricas como sendo: Os elementos diferenciais de superfície mostrados na Figura 1.36 são escritos ds 1 = ρd φd (1.15) ds ρ = ρ φ dρ ds = ρ dρ dφ d (1.151) Eemplo 1.14 Calcule a área da superfície definida por ρ R ; ϕ π e =. Solução: Verifica-se que a superfície descrita corresponde a um disco de raio R localiado no plano =. Integrando o elemento diferencial de superfície na região em que a superfície foi definida obtém-se sua área. Têm-se então: ρ dρdφ area = (1.15) sup erfície Da equação 1.15 obtém-se: R π vol = ρ dρ dφ 1 vol = ( R ) π vol = π( R ) equação corresponde à clássica fórmula para cálculo da área de um disco. (1.153) Eemplo 1.15 Calcule a área da superfície definida por ρ = R ; ϕ π e h. 41

46 Solução: Verifica-se que a superfície descrita corresponde à superfície de um cilindro de raio R e altura h. Integrando o elemento diferencial de superfície na região em que a superfície foi definida obtém-se sua área. Têm-se então: φ area = ρ d d (1.154) sup erfície Da equação obtém-se: π h vol = ρ dφ d vol = R π h vol = π R h (1.155) equação corresponde à clássica fórmula para cálculo da área da superfície lateral de um cilindro Elementos diferenciais de volume e de superfície no sistema de coordenadas esféricas Elemento diferencial de volume Para definir um elemento diferencial de volume no sistema de coordenadas esféricas, considere variações dr, dθ e dφ conforme mostra a Figura dr r dθ ds r senθ dφ Fig Elemento diferencial de volume no sistema de coordenadas esféricas 4

47 Considerando que os elementos dr, dθ e dφ são infinitesimais o volume do sólido, mostrado na Figura 1.37, se aproimará do volume de um paralelepípedo. ssim quando os elementos dr, dθ e dφ tenderem a ero, o elemento diferencial de volume dvol será escrito como sendo: dvol = (r senθ dφ)(r dθ)(dr ) dvol = r dr senθdθdφ (1.156) Eemplo 1.16 Determine o volume do sólido definido por r R ; ϕ π e θ π. Solução: Verifica-se que o sólido descrito anteriormente corresponde à uma esfera de raio R. Integrando o elemento diferencial de volume na região em que o sólido está definido obtém-se o volume do sólido. Têm-se então: vol = r dr senθ dθ dφ (1.157) volume Desenvolvendo a equação 1.157: vol = R r dr π dφ π senθ dθ (1.158) Da equação obtém-se: vol = ( R ) ( ) 3 π() vol = π R (1.159) 3 3 equação é a clássica fórmula para cálculo do volume de uma esfera Elemento diferencial de superfície Considere, na Figura 1.37, o elemento diferencial de superfície ds. O vetor que representa esta superfície está na direção do vetor unitário r e é escrita como sendo: r ds = ( r senθdφ) (r dθ) ds = r senθ dθ dφ (1.16) r Eemplo 1.17 Calcule a área da superfície definida por r = R ; ϕ π e θ π. 43

48 Solução: Verifica-se que a superfície descrita corresponde à superfície de uma esfera de raio R. Integrando o elemento diferencial de superfície na região em que a superfície foi definida obtém-se sua área. Têm-se então: area = r dr senθ dθ dφ (1.161) sup erfície Da equação obtém-se: π vol = r dφ senθdθ π vol = ( R ) π() vol = 4π( R ) (1.16) equação 1.16 corresponde à clássica fórmula para cálculo da área da superfície de uma esfera Fluo através de uma superfície (Integral de superfície) Considere uma tubulação com secção transversal S, por onde flui um fluído com uma velocidade constante v (v é o vetor velocidade) conforme mostra a Figura 1.38 v superfície com área S Figura Fluído em uma tubulação Vamos marcar um determinado volume de fluído, conforme mostra a Figura superfície com área S Figura Fluído com volume S Considerando que o volume de fluído indicado na Figura 1.39 necessite de um intervalo de tempo t para atravessar a área S da tubulação, é possível escrever o módulo da velocidade do fluído como sendo: 44

49 v = (1.163) t por: Durante o intervalo de tempo t o volume do fluído que atravessa a área S é dado Vol = S (1.164) Da equação obtém-se: Vol = (1.165) S Substituindo a equação na equação 1.163, e faendo as devidas operações, obtém-se: Vol = v S t (1.166) Sabe-se que o volume Vol do fluído pode ser escrita em função de sua massa específica ρ como sendo: m Vol = (1.167) ρ obtém-se: Igualando as equações e e faendo as devidas operações algébricas m = ρ v S t (1.168) Na equação o termo m/ t representa a massa de fluido que atravessa a área S da tubulação por unidade de tempo e é denominado fluo. Denominando o fluo de fluído como sendo ω, a equação torna-se: ω = ρ v S

50 equação mostra o fluo obtido quando se considera que a velocidade do fluído é constante e que a área S é perpendicular à velocidade do fluído. Considere agora que a velocidade do fluído é constante, mas não é perpendicular à área da saída do tubo. Figura 1.4 ilustra esta situação. Secção transversal com área S superfície com área S 1 n v θ v Figura Tubo com saída inclinada Na Figura 1.4 n é um vetor unitário perpendicular à superfície S 1. Representando a Figura 1.4 em duas dimensões, obtém-se a Figura Secção transversal com área S superfície com área S 1 n v θ θ v Figura Vista bidimensional do tubo com saída inclinada Observe, na Figura 1.44, que S 1 é maior que S. No entanto, o fluo que atravessa as duas superfícies é o mesmo. De acordo com a equação 1.169, o fluo que atravessa a superfície S é dado por: ω = ρ v S (1.17) Da Figura 1.41 é possível verificar que a área S é a projeção da área S 1. Deste modo, é possível escrever: S = S1 cosθ (1.171) Substituindo a equação na equação 1.17 obtém-se: ω = ρ v S 1 cosθ (1.17) 46

51 Na forma vetorial a equação 1.17 torna-se um produto escalar, ou seja: ω = ρ v S ) (1.173) ( 1 n Na equação o vetor S 1 n corresponde à área S 1 escrita na forma de um vetor, que pode ser denominado vetor S 1. Deste modo, verifica-se que o fluo que atravessa a superfície S 1 é obtido a partir do produto escalar entre a velocidade do fluo e a área da secção que o fluo atravessa. Na Figura 1.4 foi considerado que a velocidade do fluído através de uma secção transversal da tubulação era constante. Vamos considerar agora que o fluído possui uma velocidade variável quando atravessa uma secção irregular da tubulação, conforma mostra a Figura 1.4. superfície com área S v Figura Fluído com perfil de velocidade não uniforme Uma ve que a velocidade do fluído não é constante em toda a superfície S 1, não é possível utiliar a equação para calcular o fluo através desta superfície. No entanto, é possível considerar uma pequena superfície s i em que a velocidade é constante e possui um valor v i conforme mostra a Figura ni θ i v i v s i S Figura Velocidade do fluído na superfície s i Na Figura 1.43 ni é um vetor unitário que é perpendicular à superfície s i. Considerando que a superfície S, na Figura 1.43, foi dividida em n pequenas superfícies com área s i, em que as velocidades do fluído podem ser consideradas 47

52 constantes, é possível aplicar a equação para obter o fluo através de cada uma das superfícies s i. ssim pode-se dier que o fluo através da superfície S pode ser escrito, de maneira aproimada, como sendo: ω n i= 1 ρ v s i ) (1.174) i ( ni Faendo s i tender a ero na Figura 1.43, a equação torna-se: ω = i= 1 ρ v s i ) (1.175) i ( ni equação (1.175) pode ser escrita como sendo: ω = ρ v ( ds ) S n (1.176) O vetor ds i n pode ser escrito como ds. Neste caso, o vetor ds representa um vetor que é perpendicular à superfície S em todos os pontos desta superfície. Deste modo a equação (1.176) torna-se: ω = ρ v ( ds) (1.177) S integral mostrada na equação é denominada Integral de Superfície e, conforme demonstrado, representa o fluo do vetor ρv através de uma superfície genérica S. Substituindo o vetor ρv por um campo vetorial genérico, é possível calcular o fluo deste vetor através de uma superfície S por meio da seguinte integral de superfície: = ω ( ds) (1.178) S Se S for uma superfície fechada, a equação (1.178) torna-se: = ω ( ds) (1.179) S 48

53 equação (1.179) representa o fluo de através da superfície fechada S. Considere agora uma superfície fechada S imersa em um campo vetorial, conforme mostra a Figura S Figura Superfície fechada S imersa em um campo vetorial Considerando a superfície fechada S e o campo vetorial mostrados na Figura 1.44, eistem 3 possíveis condições para o campo vetorial e a superfície que são: a) Não eistem fontes ou sorvedouros para o campo vetorial no interior de S Neste caso o fluo que entra e o fluo que sai da superfície fechada S são iguais, conforme mostra a Figura S Figura 1.45 Superfície fechada sem fontes ou sorvedouros de fluo Observe na Figura 1.45 que a quantidade de linhas do campo que entram na superfície S é igual à quantidade de linhas que saem faendo com que o fluo resultante seja nulo, ou seja: (ds) = (1.18) S b) Eistem fontes do campo vetorial no interior de S Neste caso a quantidade de linhas de fluo que saem é maior que a quantidade que entra, conforme mostra a Figura

54 S Figura Superfície fechada com fontes de fluo É possível verificar na Figura 1.46 que a quantidade de linhas do campo que entra na superfície S é menor que a quantidade de linhas que saem faendo com que o fluo resultante seja maior que ero, ou seja: (ds) > (1.181) S Quando o fluo através de uma superfície fechada é maior que ero, di-se que há fontes do campo no interior da superfície. c) Eistem sorvedouros do campo vetorial no interior de S Quando há sorvedouros de linhas de campo no interior de uma superfície fechada, a quantidade de linhas que saem é menor que a quantidade de linhas que entram conforme mostra a Figura S Figura Superfície fechada com fontes de fluo É possível verificar na Figura 1.47 que a quantidade de linhas do campo que entram na superfície S é maior que a quantidade de linhas que saem faendo com que o fluo resultante seja menor que ero, ou seja: 5

55 (ds) < (1.18) S Quando o fluo através de uma superfície fechada é menor que ero, di-se que há sorvedouros do campo no interior da superfície. Eemplo Considere o campo vetorial = 5-3. Determine o fluo que atravessa a superfície do paralelepípedo definido por 1 4, -3 e 7. Eemplo Considere o campo vetorial = 5 3. Determine o fluo que atravessa a superfície do paralelepípedo definido por 1 4, -3 e 7. Eemplo 1. - Considere o campo vetorial = (R /r ) r. Determine o fluo que atravessa a superfície esférica r = R ; θ π e ϕ π. Eemplo Considere o campo vetorial = 3 ρ. Determine o fluo que atravessa a superfície cilíndrica 5, ρ = 5 e ϕ π Divergente O divergente de um campo vetorial é definido como sendo o fluo de através de uma superfície fechada S quando o volume desta superfície tende a ero, ou seja: (ds) S div =. = lim (1.183) vol vol Em outras palavras o divergente de um campo vetorial corresponde ao fluo deste campo em um ponto (ponto é, por definição, uma superfície fechada cujo volume tende a ero). O divergente é uma grandea escalar (fluo por unidade de volume) e é útil para indicar se eistem fontes ou sorvedouros de em um ponto. Esta grandea geralmente não é calculada diretamente a partir da definição mostrada na equação (1.183), mas sim a partir das componentes de. 51

56 Para obter o divergente de um vetor a partir de suas componentes, considere um campo vetorial e um ponto P(,,) no interior de uma superfícies fechada S, com volume vol, no sistema de coordenadas cartesianas, conforme mostra a Figura Superfície fechada S com volume vol Figura Ponto P no interior de uma superfície fechada S Na Figura 1.49 é mostrada em detalhes a superfície fechada S da Figura F G D E H I B C Figura Vértices da superfície fechada S Considerando que o ponto P(,,) está localiado no centro da superfície fechada S, as coordenadas dos vértices desta superfície são escritas como sendo: B(,, ) (1.184) C(,, ) (1.185) 5

57 D(,, ) (1.186) E(,, ) (1.187) F(,, ) (1.188) G(,, ) (1.189) H(,, ) (1.19) I(,, ) (1.191) Figura 1.5 mostra as superfícies que constituem a superfície fechada S. s s 6 s 4 s 3 s 5 s 1 Figura Superfícies que constituem a superfície fechada S s superfícies mostradas na Figura 1.5 podem ser representadas, na forma vetorial, como sendo: s = (1.19) 1 s = (1.193) s = (1.194) 3 s = ( ) (1.195) 4 s = ( ) (1.196) 5 s = ( ) (1.197) 6 O campo vetorial, no ponto P(,,) é escrito como sendo: = (,, ) (1.198) (,, ) (,, ) (,, ) 53

58 O fluo que atravessa a superfície fechada S é escrito como sendo: S (ds) = S S 1 5 (ds ) (ds 5 ) S S 6 (ds ) (ds ) 6 6 S 3 (ds 3 3 ) S4 (ds 4 4 ) (1.199) Na equação i é o vetor na i-ésima superfície. Têm-se então: = (1.) 1 (,,) = = (1.1) (,, ) = = (1.) 3 (,, ) = = (1.3) 4 (,, ) = = (1.4) 5 (,, ) = = (1.5) 6 (,, ) = Para obter as parcelas que constituem a equação 1.199, será considerado que as superfícies mostradas na Figura 1.5 são pequenas o suficiente para que o vetor seja considerado constante nestas superfícies. ssim, o fluo que atravessa a superfície S 1 é escrito como sendo: 1 (ds1) 1 (ds1) (1.6) S 1 Substituindo as equações 1.19 e 1. na equação 1.6, esta ultima torna-se: 1 ( ds1) (1 1 1 ) ( ) (1.7) S 1 Desenvolvendo a equação (1.7) obtém-se: 1 ( s1 1 S 1 d ) (1.8) 54

59 Utiliando o mesmo procedimento adotado para obter a equação 1.8, é possível mostrar que as demais parcelas que constituem a equação são escritas como sendo: ( s S d ) (1.9) 3 ( s3 3 S 3 d ) (1.1) 4 ( s4 4 S 4 d ) (1.11) 5 ( s5 5 S 5 d ) (1.1) 6 ( s6 6 S 6 d ) (1.13) Considerando que o volume da superfície fechada S é pequeno o suficiente de modo que o campo vetorial (,,), em cada uma das superfícies mostradas na Figura 1.5, possa ser aproimado pelos dois primeiros termos da série de Talor, é possível escrever as componentes 1,, 3, 4, 5 e 6 como sendo: (,, ) = (,, ) (,, ) (1.14) (,, ) = (,, ) (,, ) (1.15) (,, ) = (,, ) (,, ) (1.16) (,, ) = (,, ) (,, ) (1.17) (,, ) = (,, ) (,, ) (1.18) (,, ) = (,, ) (,, ) (1.19) Substituindo as equações nas equações obtém-se: S 1 (,, ) 1 (ds ) ( (,, ) ) (1.) 1 55

60 S (,, ) ( ds ) ( (,, ) ) (1.1) S 3 (,,) 3 ( ds ) ( (,,) ) (1.) 3 S 4 (,,) 4 (ds ) ( (,,) ) (1.3) 4 S 5 (,, ) 5 (ds ) ( (,, ) ) (1.4) 5 S 6 (,, ) 6 ( ds ) ( (,, ) ) (1.5) 6 Substituindo as equações na equação obtém-se o fluo total através da superfície S ou seja: (ds) ( S ( ( (, (,, ) (,, ), ) (, (,, ) (,, ), ) Desenvolvendo a equação 1.6 obtém-se: ) ( ) ( ) ( (,, ) (,, ) (,, ) (, (, (,, ), ), ) ) ) ) (1.6) S (,,) (,,) (,,) ( ds) (1.7) Na equação 1.7 o termo corresponde ao volume vol. Dividindo esta equação por obtém-se: S (ds) vol (,, ) (,,) (,, ) (66) Faendo, na equação (66) o volume dvol tender a ero obtém-se: lim vol S (ds) vol = (,, ) (,, ) (,, ) (1.8) 56

61 O lado esquerdo da equação 1.8 corresponde à definição do divergente do campo vetorial no ponto P(,,). ssim, o divergente de um campo vetorial em um ponto P(,,) é escrito como sendo: (,,) (,,) (,,). = (1.9) sendo: Nos sistemas de coordenadas cilíndricas e esféricas, o divergente é escrito como 1 ( ρρ ( ρ, φ,)) 1 φ ( ρ, φ,) ( ρ, φ,). = (1.3) ρ ρ ρ φ 1 = r. r 1 r sen ( r (r, θ, φ) ) θ r φ (r, θ, φ) φ 1 ( r senθ θ (r, θ, φ)senθ) θ (1.31) 1.16 Integral de linha Considere um corpo submetido à ação de uma força genérica F(,,) que é, de maneira genérica, variável em função da posição no espaço. Este corpo move-se do ponto até o ponto B seguindo o caminho mostrado na Figura F(,,) B Caminho C Figura Movimento do corpo no caminho C Para calcular o trabalho da força F ao deslocar o corpo no caminho C, considere um pequeno deslocamento do corpo. Se este deslocamento for considerado suficientemente pequeno, o mesmo pode ser aproimado por um segmento de reta L. 57

62 Figura 1.5 mostra, de forma ampliada, um deslocamento infinitesimal L sobre o caminho C. P (,, ) P 1 ( 1, 1, 1 ) Figura Deslocamento infinitesimal L do corpo sobre o caminho C força F que atua no corpo e o deslocamento L (na forma vetorial este deslocamento torna-se L) são escritos na forma: F = F F F (1.3) L = (1.33) Sendo L suficientemente pequeno, a força F pode ser considerada aproimadamente constante. Nestas condições, sabe-se que o trabalho w da força pode ser escrito como sendo: w = F F F (1.33) Observe que a equação 1.33 pode ser escrita como sendo o produto escalar dos vetores F e L mostrados nas equações 1.3 e Portanto, o trabalho da força F em um pequeno deslocamento L pode ser escrito como sendo: w = F. L (1.34) O caminho C pode ser aproimado por N pequenos segmentos de reta. Nestas condições, o trabalho W da força F para deslocar o corpo no caminho C é escrito como sendo: W N i= 1 F. L (1.35) i i 58

63 L i. Na equação 1.35 F i é a força F, aplicada ao corpo, no i-ésimo segmento de reta Faendo N, tem-se que L i. Nestas condições o trabalho da força (,,) para mover o corpo no caminho C passa a ser escrita como sendo: W = C F (,,). L (1.36) integral mostrada na equação 1.36 é denominada Integral de linha e F(,,) pode ser qualquer campo vetorial. Se C for um caminho fechado, a integral de linha é denominada integral de linha de caminho fechado e é escrita conforme mostra a equação W = F(,,). L (1.37) 1.17 Campo vetorial conservativo Um campo vetorial é dito conservativo quando a sua integral de linha de caminho fechado, considerando qualquer caminho fechado, é nula. Uma consequência da integral de linha de caminho fechado ser nula, é que a integral de linha entre dois pontos quaisquer é constante, independentemente do caminho adotado. 59

64 Capítulo Lei de Coulomb e Intensidade de Campo Elétrico.1 - Carga elétrica O primeiro registro de eperiências com eletricidade remonta ao século VI a.c., quando Tales de Mileto, filósofo e matemático grego, escreveu que o mbar friccionado na lã atrai pedaços de palha ou pena (o que agora sabemos ser uma manifestação de eletrificação por atrito). eplicação para este fenômeno é que o mbar, quando atritado com a lã, recebe cargas elétricas e se torna um corpo carregado. Eperimentos mostram também que dois bastões de plástico esfregados com pelica ficam sujeitos a uma força de repulsão. Quando os bastões de plástico são substituídos por bastões de vidro e lã por seda, verifica-se que os bastões de vidro também ficam sujeitos a uma força de repulsão. No entanto quando um bastão de plástico (atritado contra a lã) é colocado próimo a um dos bastões de vidro (atritado com a seda) verifica-se uma força de atração entre eles. Estes eperimentos mostram que eistem dois tipos de carga elétrica: o tipo de carga elétrica acumulada no bastão de plástico que foi atritado com a lã e o tipo de carga elétrica acumulada no bastão de vidro atritado com a seda. Benjamin Franklin ( ) sugeriu denominar, respectivamente, de carga negativa e de carga positiva esses dois tipos de carga elétrica. Di-se que o bastão de plástico foi carregado com cargas negativas e que o bastão de vidro foi carregado com cargas positivas. ssim verifica-se que duas cargas negativas se repelem (fato este que também ocorre com duas cargas positivas) e que eiste uma atração mútua entre uma carga positiva e uma carga negativa. Para entender o motivo pelo qual os bastões, dos eperimentos descritos no parágrafo anterior, ficam sujeitos a forças de atração ou de repulsão é necessário analisar a estrutura e a propriedade elétrica dos átomos. O modelo atômico clássico (modelo de Niels Bohr) di que a estrutura atômica pode ser descrita com base em três partículas elementares que são o elétron (que possui carga negativa), o próton (que possui carga positiva) e o nêutron (que não possui carga elétrica). De acordo com o modelo de Bohr, os prótons e nêutrons ocupam a parte central, e mais densa, do átomo que é denominada núcleo enquanto que os elétrons 6

65 circundam o núcleo do átomo. O núcleo atômico possui dimetro da ordem de 1-15 m enquanto que a região ocupada pelos elétrons se estende até uma distncia em torno de 1-1 m para fora do núcleo. Fig..1 mostra um átomo descrito pelo modelo de Bohr. Fonte: (prótons e nêutrons) Fig..1 - descrição de um átomo segundo o modelo de Bohr estabilidade do átomo é garantida pela força elétrica, que mantém os elétrons orbitando o núcleo atômico (há uma força de atração entre os elétrons e os prótons) e pela força nuclear que mantém a coesão dos prótons e nêutrons. Os prótons sofrem uma força de repulsão, mas esta força é muito menor que a força nuclear que garante a estabilidade do núcleo. força nuclear atua somente em pequenas distncias, restringindo-se ao núcleo atômico. Em um átomo em seu estado neutro as quantidades de prótons e elétrons são iguais, resultando em uma carga elétrica líquida nula. Quando se remove um ou mais elétrons de um átomo, o mesmo adquire uma carga elétrica positiva e torna-se um íon positivo. Por outro lado, ao se inserir elétrons em um átomo o mesmo torna-se carregado negativamente e recebe a denominação de íon negativo. plicando os conceitos do parágrafo anterior para um corpo macroscópico, conclui-se que quando a quantidade de elétrons e de prótons for igual o corpo é eletricamente neutro. Caso elétrons sejam retirados do corpo ele fica com um ecesso de prótons e di-se que o corpo está carregado com carga positiva. Por outro lado, se elétrons são inseridos no corpo ele ficará com ecesso de elétrons e adquire então uma carga negativa. Observe que prótons não podem ser inseridos ou retirados do átomo 61

66 (eceto nos processos de fissão e fusão nuclear). O que define o tipo de carga com o qual o corpo está carregado (carga positiva ou negativa) é a retirada ou a inclusão de elétrons no corpo. ssim, é possível eplicar a repulsão que ocorre entre os bastões de plástico (e entre os bastões de vidro) e a atração que acontece entre o bastão de plástico e de vidro. Quando o bastão de plástico e a lã, inicialmente descarregados, são atritados, o bastão retira elétrons da lã. Este processo fa com que o bastão fique com ecesso de elétrons e adquira uma carga negativa, enquanto que a lã passa a ter menos elétrons do que prótons e adquire assim uma carga elétrica positiva. Quanto ao bastão de vidro, a eplicação para naturea de sua carga é que o atrito dele com a seda fa com que o bastão perca elétrons para a seda. ssim o bastão fica com menos elétrons do que prótons e adquira carga elétrica positiva enquanto que o ecesso de elétrons na seda fa com que ela adquira carga elétrica negativa.. - Lei de Coulomb Charles ugustin de Coulomb ( ), um coronel do Corpo de Engenharia do Eército francês, estudou a força de interação entre partículas carregadas. Coulomb verificou que o módulo da força elétrica entre duas partículas é diretamente proporcional à quantidade de carga das partículas (entenda por quantidade de carga como sendo o produto do módulo das cargas) e ao inverso do quadrado da distncia que as separa. força está na direção da reta que passa pelos pontos onde estão localiadas as cargas e possui um sentido que depende da naturea (positiva ou negativa) das duas cargas. lei de Coulomb foi definida para cargas puntiformes, ou seja, para corpos carregados separados por uma distncia muito maior que as dimensões destes corpos. Considere duas cargas puntiformes Q 1 e Q dispostas no espaço (representado no sistema de coordenadas cartesianas) conforme mostra a Fig... Q Q 1 Fig.. - Cargas elétricas Q 1 e Q localiadas no sistema de coordenadas cartesianas 6

67 lei de Coulomb estabelece que a força elétrica entre as cargas Q 1 e Q age ao longo da linha que une as duas cargas e é repulsiva se as cargas são de mesma naturea (cargas de mesmo sinal) e atrativas se as cargas possuem sinais contrários. Fig..3 mostra, de acordo com a lei de Coulomb, as forças que agem em Q 1 e Q nas situações em que tais cargas possuem sinais iguais e sinais contrários. F Q F Q Reta que une as duas cargas F 1 Q 1 Reta que une as duas cargas F 1 Q 1 a) Cargas de mesmo sinal b) Cargas de sinais contrários Fig..3 - Força elétrica que atua em duas cargas Para quantificar a força na carga Q devido à carga Q 1 vamos inicialmente definir o vetor R 1 como sendo um vetor que tem início no ponto onde está localiada a carga Q 1 e termina no ponto onde está a carga Q, conforme mostra a Fig..4. Q R 1 Q 1 Fig..4 - Definição do vetor R 1 Considerando que as cargas Q 1 e Q estão localiadas nos pontos P 1 ( 1, 1, 1 ) e P (,, ), respectivamente, o vetor R 1 é escrito como sendo: R = ) (.1) ( ) ( ) (

68 O módulo do vetor R 1 corresponde à distncia entre as cargas, enquanto que a direção da força é definida por um vetor unitário 1 paralelo ao vetor R 1 que é escrito como sendo: R R 1 = (.) 1 1 Na equação (.) R 1 é o módulo de R 1. Portanto o vetor unitário 1 será escrito como sendo: ( ) ( ) ( ) = (.3) 1 ( ) ( ) ( ) ssim, conhecendo os valores (e os sinais) das cargas Q 1 e Q e a distncia que as separa, é possível definir a força F que atua em Q devido à Q 1. Esta força, de acordo com a Lei de Coulomb será: Q Q = (.3) 4πε R 1 F 1 1 Lei de Coulomb também estabelece que a força F 1 que atua na carga Q 1 possui o mesmo módulo da força F, porém atua em sentido oposto, ou seja: F = (.4) 1 F Substituindo a equação (.3) na equação (.4) obtém-se: Q Q 1 F = ( ) (.5) 1 1 4πε R 1 Para comprovar a validade da Lei de Coulomb (epressa na forma da equação.5), considere os eemplo.1 e.. Eemplo.1 - Considere duas cargas Q 1 = Q e Q = Q localiadas nos pontos P 1 (,1,) e P (,3,), respectivamente. Determine a força elétrica que atua nestas cargas. Vamos incialmente, representar as duas cargas no sistema de coordenadas cartesianas conforme mostra a Fig

69 Q 1 Q Fig..5 - Sistema de duas cargas positivas localiadas ao longo do eio Para calcular a força que atua na carga Q, devido à carga Q 1, vamos inicialmente obter os vetores R 1 e 1 mostrados na Fig..6. Q 1 R 1 Q 1 Fig..6 - Vetores R 1 e 1 O vetor R 1 mostrado na Fig..6 é escrito como sendo: R = (.6) ( ) (3 1) ( ) => R = 1 1 O módulo de R 1 é dado por: R => = (.7) = R 1 1 O vetor unitário 1 paralelo a R 1 é escrito como sendo: R = R 1 = => = => (.8) Força na carga Q devido à carga Q 1 será: Q Q Q 1 F = => F = (.9) 1 4πε R 16πε 1 65

70 Sabendo que, de acordo com a Lei de Coulomb, a força F 1 que atua na carga Q 1 possui o mesmo módulo da força F, porém atua em sentido oposto, têm-se: Q F = F => F = ( ) (.1) πε Fig..7 mostra a força elétrica em cada uma das cargas. Q 1 Q R 1 F 1 1 F Fig..7 - Forças elétricas que atuam em duas cargas positivas localiadas no eio Eemplo. - Considere duas cargas Q 1 = Q e Q = - Q localiadas nos pontos P 1 (,1,) e P (,3,), respectivamente. Determine a força elétrica que atua nestas cargas. Para obter a força elétrica, devido à carga Q 1, devemos incialmente obter os vetores R 1 e 1 mostrados na Fig..8. Q 1 R 1 Q 1 Fig..8 - Vetores R 1 e 1 Na Fig..8, o vetor R 1 é escrito como sendo: R = (.11) ( ) (3 1) ( ) => R = 1 1 O módulo de R 1 será: R => = (.1) = R

71 O vetor unitário 1 paralelo a R 1 é escrito como sendo: R = R 1 = => = => (.13) Força na carga Q devido à carga Q 1 será: Q Q Q Q 1 F = => F = => F = ( ) (.14) 1 4πε R 16πε 16πε 1 Sabendo que, de acordo com a Lei de Coulomb, a força F 1 que atua na carga Q 1 possui o mesmo módulo da força F, porém atua em sentido oposto, têm-se: F Q = (.15) 16πε F => F = 1 1 Fig..9 mostra a força elétrica em cada uma das cargas, obtidas com o método que utilia a lei de Coulomb na forma vetorial. Q 1 Q R 1 F 1 1 F Fig..9 - Forças que atuam em cargas, com sinais contrários, localiadas sobre o eio Eemplo.3 - Considere duas cargas Q 1 = C e Q = C localiadas nos pontos P 1 (1,,3) e P (,,5), respectivamente. Determine a força elétrica que atua nestas cargas. Para calcular a força F, que é a força em Q devido à carga Q 1, é necessário definir o vetor R 1, com início na carga Q 1 e término na carga Q, e o vetor unitário 1 mostrados na Fig

72 P (,,5) Q R 1 Q 1 P 1 (1,,3) Fig..1 - Vetores R 1 e 1 Na Fig..13, o vetor R 1 é escrito como sendo: R = (.16) ( 1) ( ) (5 3) => R = 1 1 Verifica-se que o módulo de R 1 será: R = 3 (.17) 1 O vetor unitário 1 paralelo a R 1 é escrito como sendo: R 1 1 = => = ( ) (.18) 1 1 R 3 1 Força na carga Q devido à carga Q 1 será: Q Q = (.19) 4πε R 1 F 1 1 Substituindo os valores das cargas e os vetores R 1 e 1 na equação.19 obtémse: ( 1 ) 1 F = ( 1 4π 8, ) (.) Desenvolvendo a equação. obtém-se: F = (.1) 1 Sabendo que, de acordo com a Lei de Coulomb, a força F 1 que atua na carga Q 1 possui o mesmo módulo da força F, porém atua em sentido oposto, têm-se: F = (.)

73 Eercício: Considere as cargas Q 1 e Q localiadas nos pontos (1,1,) e (,3,) do sistema de coordenadas cartesianas. a) Calcule as forças em Q 1 e Q considerando Q 1 = 1-9 C, Q = 41-9 C; b) Calcule as forças em Q 1 e Q considerando Q 1 = 1-9 C, Q = C; Resposta:a) F 1 = -6, , N; F = -F 1 b) F 1 = 6, , N; F = -F 1.3 Campo elétrico devido a uma carga pontual Campo elétrico devido a uma carga positiva Considere uma carga positiva Q 1 fia em um ponto que é o centro de uma circunferência, conforme mostra a Fig..11. Q 1 Fig Carga positiva Q 1 fia no ponto Considere agora que uma carga positiva q p (denominada carga de prova) seja colocada em um ponto B sobre a circunferência. carga q p ficará sujeita à força elétrica F p mostrada na Fig..1. F p B q p Q 1 Fig..1 - Força elétrica F p, na carga q p, devido à carga Q 1 Se a carga q p for solta ela irá mover se ao longo da reta que passa pelos pontos e B, afastando-se da carga Q 1 conforme mostra a Fig..13. Na Figura.13 a reta que define a trajetória de q p é denominada Linha de Força ou Linha de Fluo produida pela carga Q 1. 69

74 E B Q 1 D Quando solta, q p move-se ao longo desta reta C Fig Sentido do movimento de q p quando solta no ponto B Repetindo o procedimento descrito anteriormente (que consiste em fiar q p em um ponto, determinar a direção da força em q p e depois soltar esta carga) em outros pontos sobre a circunferência, é possível obter outras linhas de fluo da carga Q 1 conforme mostra a Fig..14. Q 1 Fig Linhas de fluo da carga positiva Q 1 o conjunto de linhas de força de Q 1 damos o nome de Campo Elétrico de Q 1. Verifica-se, na Fig..14, que as linhas de fluo (e consequentemente o campo elétrico) de uma carga pontual positiva são radiais que saem da carga e afastam-se da mesma. Fig..15 mostra a força elétrica F p, considerando q p em um ponto qualquer do espaço que envolve a carga Q 1. F p 1p q p R 1p Q 1 Fig Força elétrica na carga q p força elétrica F p, mostrada na Fig..15 é escrita como sendo: Q q = (.3) 1p 4πε R 1 p Fp 1p 7

75 Vamos definir a grandea Intensidade de campo elétrico E, devido à carga pontual Q 1, como sendo: F 1p E = (.4) q p equação.4 mostra que, considerando q p como sendo uma carga positiva, o campo elétrico E e a força F 1p possuem os mesmos sentidos. Consequentemente, o campo elétrico está na mesma direção e sentido das linhas de força conforme mostra a Fig..16. E Q 1 Linhas de fluo Fig..16 Campo elétrico de uma carga Q 1 positiva Figura.16 mostra que o campo elétrico de uma carga pontual positiva nasce na carga e estende-se em direção ao infinito. Substituindo a equação.3 na equação.4 verifica-se que o vetor intensidade de campo elétrico E devido à carga pontual Q 1 é escrito como sendo: Q1 = (.5) 1p 4πε R E 1p equação.5 mostra que o vetor intensidade de campo elétrico (ou campo elétrico) de uma carga pontual Q 1 em um ponto qualquer do espaço pode ser escrito em função da carga Q 1 e do vetor R 1p que determina a posição do ponto em relação à Q 1. unidade de E é Newton/Coulomb (N/C). equação.4 pode ser escrita na forma: F 1p = q p E (.6) equação.6 mostra que uma ve conhecido o campo elétrico em um ponto, é possível obter a força elétrica em uma carga q p sem que seja necessário conhecer a carga que criou este campo. 71

76 Eemplo.4 - Considere a carga pontual Q 1 positiva localiada no ponto (7,-3,4). Com base nestas informações, faça os itens descritos em seguida. a) Determine o campo elétrico no ponto P(3,,4); b) Determine a força elétrica sobre a carga q p = Q localiada no ponto P; c) Determine a força elétrica sobre a carga q p = -Q localiada no ponto P. Solução do item a: E 1p P Q 1 R 1p Cálculo de R 1p : R = ( 3 7) ( 3) (4 4) => R = 4 3 1p 1p Cálculo de 1p: 1p = R R 1p 1p => 1p = Cálculo do campo elétrico E: Q1 E = 4πε R 1p 1p Q1 => E = 4πε ( 5) Q1 E = > = 5 15πε 3Q1 5πε Solução do item b: F 1p Q1 Q 4 3 = q E => F = p 1p 4πε ( 5) 5 5 Observe que a força sobre a carga q p está no mesmo sentido do campo elétrico E. Solução do item c: F 1p Q Q Q = q E => F = Q => F = p 1p 1p 4πε ( 5) 5 5 4πε ( 5) 5 5 Observe que a força sobre a carga q p está em sentido contrário ao sentido do campo elétrico E. 7

77 .3. - Campo elétrico devido a uma carga negativa Considere uma carga negativa Q 1 fia em um ponto que é o centro de uma circunferência, conforme mostra a Fig..17. Q 1 Fig Carga negativa fia no ponto Considere agora que uma carga positiva q p (denominada carga de prova) seja colocada no ponto B mostrado na Fig..17. carga q p ficará sujeita à força elétrica F p mostrada na Fig..18. F p B q p Q 1 Fig Força elétrica F p, na carga q p, devido à carga negativa Q 1 Se a carga q p for solta ela irá mover se ao longo da reta que passa pelos pontos e B, aproimando-se da carga Q 1 conforme mostra a Fig..19. B E Q 1 D Quando solta, q p move-se ao longo desta reta C Fig Sentido do movimento de q p quando solta no ponto B Repetindo o procedimento descrito anteriormente (que consiste em fiar q p em um ponto, determinar a direção da força em q p e depois soltar esta carga) em outros pontos sobre a circunferência, é possível obter outras linhas de fluo da carga Q 1 conforme mostra a Fig... 73

78 Q 1 Fig.. - Linhas de fluo da carga negativa Q 1 Fig..1 mostra a força elétrica F p, considerando q p em um ponto qualquer do espaço que envolve a carga Q 1. F p 1p q p R 1p Q 1 Fig..1 - Força elétrica na carga q p força elétrica F p, mostrada na Fig..1 é escrita como sendo: Q q = (.7) 1p 4πε R 1 p F p 1p Vamos definir a grandea Intensidade de campo elétrico E, devido à carga pontual Q 1, como sendo: F 1p E = (.8) q p equação.8 mostra que, considerando q p como sendo uma carga positiva, o campo elétrico E e a força F 1p possuem os mesmos sentidos. Consequentemente, o campo elétrico está na mesma direção e sentido das linhas de força conforme mostra a Fig... Esta figura mostra que o campo elétrico de uma carga pontual negativa nasce no infinito e termina na carga. 74

79 E Q 1 Linhas de fluo Fig.. - Campo elétrico de uma carga Q 1 negativa Substituindo a equação.7 na equação.8 verifica-se que o vetor intensidade de campo elétrico E devido à carga pontual Q 1 é escrito como sendo: Q1 = (.9) 1p 4πε R E 1p Os itens.3.1 e.3. mostraram que as linhas de força (e consequentemente o campo elétrico) nascem nas cargas positivas e convergem para a s cargas negativas. ssim as linhas de força de um sistema constituído por duas cargas Q e Q possuem os aspectos mostrados na Fig..3 enquanto que para um sistema com duas cargas com sinais iguais as linhas de força são mostradas na Fig..4. Fonte: Fig..3 - Linhas de força para duas cargas com sinais contrários Fig..4 - Linhas de força para duas cargas com sinais iguais 75

80 .4 Campo elétrico devido a um arranjo de cargas pontuais Considere n cargas pontuais Q 1, Q,...Q n dispostas no espaço. Estas cargas irão produir os campos E 1, E,..., E n em um ponto P genérico, conforme mostra a Fig..5. E n E Q 1 P E 1 Q Q n Fig..5 - Campo elétrico de n cargas pontuais O campo elétrico resultante E, no ponto P é escrito como sendo: E = E K (.3) E E 1 n Uma carga pontual q, localiada no ponto P, ficará sujeita a uma força elétrica F epressa como sendo: F = qe (.31) Eercício: Considere as cargas Q 1 = Q, Q = -3Q e Q 3 = Q localiadas nos pontos P 1 (1,-1,6), P (4,5,-6) e P 3 (,-3,1) respectivamente. Determine o campo elétrico no ponto P(4,-1,)..5 Campo elétrico devido a uma distribuição de cargas Distribuição de cargas Cargas elétricas podem estar distribuídas no espaço ou concentradas em um ponto. Di-se que as cargas estão concentradas em um ponto se o volume ocupado por elas é pequeno quando comparado com as demais dimensões do sistema. Se as dimensões de um corpo, carregado eletricamente, não podem ser consideradas despreíveis é necessário atribuir a este corpo uma distribuição de cargas. s distribuições de carga podem ser classificadas em distribuições lineares, distribuições superficiais e distribuições. 76

81 a) Distribuição linear de cargas Di-se que um corpo possui uma distribuição linear de cargas se uma das dimensões do corpo é muito maior que as outras duas dimensões. Um fio bastante fino, carregado eletricamente com Q Coulombs, pode ser caracteriado como sendo uma distribuição linear de cargas. Fig..6 mostra uma distribuição linear de cargas positivas. Fig..6 - Distribuição linear de cargas Considerando que um comprimento L do fio mostrado na Fig..6 possui uma carga Q, define-se densidade linear de cargas ρ L da distribuição como sendo: ρ Q = lim L L ρ = L L dq dl (.3) densidade linear de cargas é epressa em Coulomb/metro (C/m). b) Distribuição superficial de cargas Di-se que um corpo, carregado eletricamente, possui uma distribuição superficial de cargas se duas de suas dimensões podem ser consideradas muito maiores que a sua terceira dimensão. Um eemplo de uma distribuição linear de cargas é a placa mostrada na Fig..7. Fig..7 - Distribuição superficial de cargas 77

82 Considerando que uma pequena área s, da placa mostrada na Fig..7, possua uma carga Q, define-se densidade superficial de cargas ρ s como sendo: Q ρ = lim s s ρ = s s dq ds (.33) (C/m ). densidade superficial de cargas é epressa em Coulomb/metro quadrado c) Distribuição volumétrica de cargas Di-se que um corpo, carregado eletricamente, possui uma distribuição volumétrica de cargas se as três dimensões do corpo são levadas em consideração (nenhuma dimensão pode ser desconsiderada). Considerando que um elemento de volume vol do corpo possua uma carga Q, define-se densidade volumétrica de carga à relação: ρ Q = lim vol vol ρ = v v dq dvol (.34) (C/m 3 ). densidade volumétrica de cargas é epressa em Coulomb/metro cúbico.5. - Campo elétrico devido a uma distribuição volumétrica de cargas Fig..8 mostra um corpo carregado eletricamente com uma distribuição volumétrica de cargas ρ v, e um ponto P(,,) no qual se deseja calcular o campo elétrico E devido à carga total Q do corpo. # P(,,) Fig..7 - Corpo com distribuição volumétrica de cargas 78

83 Vamos considerar uma quantidade de carga incremental de cargas Q contida em um volume vol do corpo. carga Q produ um campo elétrico incremental E no ponto P(,,), conforme mostra a Fig..8. Elemento de volume vol com carga Q # r r - r r P(,,) E Fig..7 - Campo elétrico devido à carga Q Se o volume vol for suficientemente pequeno, a carga Q pode ser considerada uma carga pontual. Nestas condições, o campo elétrico incremental E pode ser escrito como sendo: Q E = (.35) 4πε r r' Na equação.35 é um vetor unitário na direção do vetor r-r. Então, a equação.35 pode ser epressa na forma: E Q = 4πε r r' r r' r r' (.36) Sabendo que a densidade volumétrica de cargas do corpo mostrado na Fig..6 é ρ v, a quantidade de cargas Q pode ser escrita como sendo: Q = ρ vol (.37) v Substituindo a equação.37 na equação.36 obtém-se: E ρ vol v = 4πε r r' r r' r r' (.38) 79

84 Faendo o volume vol tender a ero, a equação.38 torna-se: de ρ v = 4πε r r' dvol r r' r r' (.39) Integrando a equação.39 em todo o volume do corpo obtém-se: ρ dvol v r r' E = (.4) 4πε r r' r r' vol Na equação.4 E é o campo elétrico resultante, devido à carga total do corpo, no ponto P(,,). Observe que, de maneira genérica, o campo E possui três componentes nas direções, e faendo com que a equação.4 corresponda a três integrais de volume..5.3 Campo devido a uma distribuição linear de cargas Figura.8 mostra uma distribuição linear de cargas positivas, ao longo do eio, que se estende de - até e um ponto P(,,). P(,,) Distribuição linear de cargas com densidade ρ L constante Fig..8 - Distribuição linear de cargas com densidade constante Uma ve que a distribuição linear de cargas está ao longo do eio do sistema de coordenadas cartesianas, um elemento diferencial de carga elétrica dq é identificado pelas coordenadas (,, ) conforme mostra a Figura.9. 8

85 Elemento diferencial de cargas dq localiado no ponto (,, ) P(,,) Fig..9 - Elemento diferencial de cargas da distribuição linear O elemento diferencial de cargas dq produ um elemento diferencial de campo de, no ponto P(,,), conforme mostra a Figura.3. Elemento diferencial de cargas dq localiado no ponto (,, ) P(,,) de Fig..3 - Elemento diferencial de campo de devido ao elemento de carga dq Para obter o campo de devemos utiliar a lei de Coulomb, sendo então necessário definir um vetor R com início no ponto (,, ) e término no ponto P(,,), e um vetor unitário r na direção de R, conforme mostra a Figura.31. Elemento diferencial de cargas dq localiado no ponto (,, ) r R P(,,) de Fig Definição dos vetores para cálculo do elemento diferencial de campo de O vetor R, na Fig..31 é escrito como sendo: 81

86 R = ( ') (.41) Sabe-se que uma função escalar descrita no sistema de coordenadas cartesianas pode ser convertida para o sistema de coordenadas cilíndricas por meio das seguintes relações: ρ = (.4) = ρcosφ (.43) = ρsenφ (.44) Figura.3 mostra as variáveis,,, ρ e φ. P(,,) φ ρ Fig..3 - Ponto P nos sistemas de coordenadas cartesianas e cilíndricas Substituindo as equações.43 e.44 na equação.41 obtém-se: R = ( ρcosφ) ( ρsenφ) ( ') (.45) Na equação.45 verifica-se que as componentes R e R estão escritas em função de ρ e φ e são escritas como sendo: R = ρcosφ (.46) R = ρsenφ (.47) forma: O vetor R pode ser escrito no sistema de coordenadas cilíndricas na seguinte R = R ρ ρ R φ φ R cil (.48) sendo: s componentes de R no sistema de coordenadas cilíndricas são escritas como 8

87 R R R ρ φ cil cosφ = senφ senφ cosφ R R 1 R cart (.49) Substituindo as componentes R, R e R cart na equação.49 têm-se: R R R ρ φ cil cosφ = senφ senφ cosφ ρcosφ ρsenφ 1 ' (.5) Desenvolvendo a equação.5 e substituindo os valores de R ρ, R φ e R cil na equação.7 verifica-se que o vetor R em coordenadas cilíndricas é escrito como sendo: R = ρρ ( ' ) (.51) Uma ve obtido o vetor R, é possível obter o vetor unitário r mostrado na Figura.31. O vetor r é dado por: R ρρ ( ' ) r = r = (.5) R ρ ( ' ) O elemento diferencial de cargas mostrado na Figura.31, em função da densidade linear de cargas ρ L, é dado por: dq = ρ L d' (.53) Na equação.53 d é o comprimento do elemento diferencial de cargas. Considerando o elemento diferencial de carga dq como sendo uma carga pontual podemos afirmar que o campo elétrico de, no ponto P(,,), é escrito como sendo: dq de = r (.54) 4πε R Substituindo as equações.5 e.53 na equação.54 verifica-se que o campo elétrico de, no ponto P(,,), é dado por: 83

88 [ ρ ( ' ) ] ( ρ ( ' ) ρld' E = ) 3/ ρ (.55) 4πε d Desenvolvendo a equação.55: ρ [ ] [ ] L ρd' ( ' ) d' d E = ρ (.56) 3/ 3/ 4πε ρ ( ' ) ρ ( ' ) equação.56 mostra que o elemento diferencial de campo elétrico possui componentes somente nas direções ρ e. Para obter o campo elétrico E no ponto P(,,) devido à distribuição linear de cargas de comprimento infinito, devemos integrar a equação.56 ao longo de todo o eio, que é onde está disposta a distribuição linear de cargas. Integrando a equação.56 obtém-se: ρ L ρd' = 4πε ( ' )d' ρ [ ρ ] [ ρ ] 3/ 3/ ( ' ) ( ' ) E (.57) Na equação.57 corresponde à posição do elemento diferencial de carga ao longo do eio, enquanto que é referente à posição do ponto P(,,) no espaço. ntes de realiar a integração da equação.57 vamos faer uma análise qualitativa do campo elétrico no ponto P(,,). Para tanto, vamos considerar dois elementos diferenciais de carga dq iguais e localiados à mesma distncia d do ponto P(,,) conforme mostra a Figura.33. Estes elementos diferencias de carga produem, no ponto P, os elementos diferencias de campo elétrico de 1 e de cujos módulos são iguais. dq d de 1 ρ P d de dq Fig Campo elétrico no ponto P(,,) 84

89 Figura.33 mostra que o campo elétrico resultante está na direção do raio ρ, pois, devido à simetria, não há campo resultante na direção do eio. Uma ve que foi considerado que a linha de cargas possui comprimento infinito, o raio ρ, definido pelo ponto P(,,), sempre irá dividir a distribuição linear de cargas em dois segmentos de reta de mesmo comprimento e este fato garantirá que o campo elétrico na direção do eio seja nulo. Conclui-se então que a segunda parcela da equação.57 é nula, faendo com que esta equação seja escrita como sendo: ρ ρ d' = L E πε 3/ 4 [ ρ ( ') ] ρ (.58) Para obter o campo elétrico E vamos definir a variável u escrita como sendo: u = ' (.59) Da equação.59 obtém-se: du = d' (.6) Substituindo as equações.59 e.6 na equação.58: ρ ρdu = L E πε 3/ 4 [ ρ u ] ρ (.61) Resolvendo a integral da equação.61, Substituindo u por e colocando os limites de integração teremos: ρl 1 E = ρ (.6) πε ρ equação.6 mostra que o campo de uma distribuição linear e infinita de cargas ρ L disposta ao longo do eio resulta em um campo elétrico na direção ρ. Consequentemente este campo é perpendicular à linha de cargas, conforme mostra a Figura

90 P ρ Distribuição linear de cargas de comprimento infinito e densidade de cargas constante φ ρ E Fig Campo elétrico devido a uma distribuição linear de cargas de comprimento infinito Se for considerado uma distribuição linear de cargas de comprimento infinito em uma posição genérica no espaço, o campo elétrico resultante será perpendicular à distribuição de cargas, conforme mostra a Figura.35. Distribuição linear de cargas de comprimento infinito com densidade de cargas constante ρ L r r P(,,) E Fig Distribuição linear de cargas em um lugar qualquer do espaço Na Figura.35 r é a distncia do ponto P(,,) à distribuição linear de cargas enquanto que ρ é um vetor unitário perpendicular à distribuição de cargas. O campo elétrico E, no ponto P(,,) da Figura.35, devido à distribuição linear de cargas de comprimento infinito com densidade de cargas constante ρ L é escrito como sendo: E ρ 1 L = r r (.63) πε.5.4 Campo devido a uma distribuição superficial de cargas Vamos considerar uma placa infinita disposta no plano, sendo que esta placa está eletricamente carregada com uma distribuição superficial de cargas ρ s C/m, e um 86

91 ponto P(,,) em que se deseja calcular o campo elétrico E devido à distribuição superficial de cargas na placa. Esta situação é ilustrada na Figura.36. P(,,) Placa infinita carregada eletricamente com uma densidade superficial de cargas constante igual a ρ s C/m Fig Placa infinita com densidade superficial de cargas Para obter o campo elétrico no ponto P(,,) inicialmente é necessário definir um elemento diferencial de cargas dq na placa infinita. Vamos considerar como elemento diferencial uma faia com comprimento L (com L ) e largura d conforme mostra a Figura.37. P(,,) Elemento diferencial de cargas dq d Fig Elemento diferencial de cargas em um plano infinito Se a largura d do elemento diferencial de cargas mostrado na Figura.37 seja etremamente pequena (d ), o elemento diferencial de cargas torna-se uma distribuição linear de cargas cujo campo elétrico é radial a tal distribuição (item.5.3). Então o elemento diferencial de campo elétrico de, devido ao elemento diferencial de 87

92 cargas da distribuição superficial mostrada na Figura..37, terá a direção mostrada na Figura.38. de P(,,) R Elemento diferencial de cargas dq d Fig Elemento diferencial de campo de devido ao elemento de carga dq Na Figura.38 R é um vetor perpendicular ao elemento diferencial de cargas dq. Para obter a epressão para o campo de vamos definir os vetores r, r e a r conforme mostra a Figura.39. de P(,,) r r R Elemento diferencial de cargas dq r d Fig Definição dos vetores r, r e a r Na Figura.39 r é um vetor unitário paralelo ao vetor R. partir da Figura.3 verifica-se que os vetores r e r são escritos como sendo: r = (.64) r' = ' (.65) r ' R = r R = r - r' (.66) 88

93 Substituindo as equações.64 e.65 na equação.66 obtém-se: R = ' (.67) Uma ve conhecido o vetor R é possível escrever o vetor unitário r como sendo: ' r = (.68) ( ') densidade superficial de cargas da superfície infinita mostrada na Figura.37 foi considerada constante, sendo então possível escrevê-la como sendo: ρ = dq s Ld' (.69) Uma ve que foi considerado que a largura do elemento diferencial de cargas dq é etremamente fino, faendo com que d, é possível considerar que tal distribuição de cargas seja uma distribuição linear de cargas com densidade linear ρ L escrita como sendo: ρ = dq L L (.7) Se for considerado que dq é um elemento diferencial de carga com densidade linear ρ L, o elemento diferencial de campo elétrico de mostrado na Figura.39 será escrito como sendo: de ρ L = r (.71) πε R partir das equações.69 e.7 verifica-se a seguinte relação entre ρ L e ρ s : ρ L = ρ s d' (.7) Substituindo a equação.7 na equação.71 é possível obter o elemento diferencial de campo de em função da densidade superficial de cargas ρ s. Verifica-se que de será escrito como sendo: 89

94 de ρ d' s = r (.73) πε R Substituindo r e o módulo do vetor R na equação.73 obtém: ρ ' d' d' s d = E (.74) πε ( ') equação.74 pode ser escrita na forma: E ρ s ' d' d' d = πε (.75) (') (') Para obter o campo elétrico E no ponto P(,,) devido à distribuição superficial de cargas, devemos integrar a equação.75 ao longo do eio (de - a ) ou seja: ρ s ' d' d' = πε (') (') E (.76) ntes de realiar as integrais mostradas na equação.76 vamos analisar o comportamento das componentes do campo elétrico E no ponto P(,,). Para tanto, considere dois elementos diferencias de carga dq de largura d, simétricos em relação ao eio. Estes elementos diferencias de carga produirão campos de de mesmo módulo, conforme mostra a Figura.4. Elemento diferencial de cargas dq R de de P(,,) R Elemento diferencial de cargas dq d d Fig..4 - Campos de devidos a elementos de carga simétricos em relação ao eio 9

95 Na Figura.4 é possível verificar que a componente do campo elétrico resultante, no ponto P(,,), na direção é nula. Portanto o campo resultante possui componente somente na direção. Conclui-se então que a primeira parcela da equação.74 é nula. ssim, a equação.76 torna-se: ρs d' E = πε (') (.77) equação.77 resulta em: ρs E = (.78) πε equação.78 mostra que o campo de uma distribuição superficial e infinita de cargas ρ s disposta sobre o plano resulta em um campo elétrico na direção. Este campo possui módulo constante e é perpendicular à distribuição superficial de cargas, conforme mostra a Figura.41. E Distribuição superficial de cargas ρ s E Fig Campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas no plano Na Figura.41, para >, o campo elétrico E é escrito como sendo: ρs E = (.79) πε Na região descrita por Z <, na Figura.41, o campo elétrico E é dado por: ρs E = ( ) (.8) πε 91

96 Considerando a distribuição superficial de cargas no plano, o campo elétrico E terá a direção mostrada na Figura.4. Distribuição superficial de cargas ρ s E E Fig..4 - Campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas no plano Na Figura.4, para >, o campo elétrico E é escrito como sendo: ρs E = (.81) πε Na região descrita por <, na Figura.4, o campo elétrico E é dado por: ρs E = ( ) (.8) πε Para uma distribuição superficial de cargas no plano, o campo elétrico E terá a direção mostrada na Figura.43. E Distribuição superficial de cargas ρ s Fig Campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas no plano 9

97 Na Figura.43, para >, o campo elétrico E é escrito como sendo: ρs E = (.83) πε Na região descrita por <, na Figura.43, o campo elétrico E é dado por: ρs E = ( ) (.84) πε Figura.44 mostra uma distribuição superficial de cargas em um plano α genérico. α E 1 Distribuição superficial de cargas ρ s E n Fig Campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas em um plano genérico Na Figura.44 n é um vetor unitário paralelo ao plano α. distribuição superficial de cargas em um plano infinito genérico, do tipo mostrado na Figura.44, resulta em um campo elétrico E que se manifesta nas duas faces do plano e é escrito como sendo: ρs E 1 = n (.85) πε E ρs = ( ) (.86) πε n 93

98 Capítulo 3 Densidade de Fluo Elétrico, Lei de Gauss e Divergência 3.1 Eperimento de Farada Em 1837, o diretor da Roal Societ de Londres, Michel Farada tornou-se muito interessado em campos eletrostáticos e realiou um eperimento conhecido como Eperimento de Farada. Em seu eperimento, Farada tomou um para de esferas concêntricas, a de fora consistindo de dois hemisférios que podem ser firmemente unidos entre si. Preparou também conchas de material isolante (material dielétrico) que ocupariam o volume inteiro entre as esferas concêntricas. Sua eperiência consistiu das seguintes etapas: 1 Com o equipamento desmontado, a esfera interior foi carregada eletricamente com uma carga Q positiva conhecida. os hemisférios são, então, presos entre si em torno da esfera carregada a uma distncia de cerca de cm e os espaço entre as esferas foi preenchido com o material dielétrico. 3 esfera eterna foi descarregada por coneão momentnea à terra. 4 superfície eterna a esfera eterior foi separada cuidadosamente, usando ferramentas de material dielétrico de modo a não perturbar a carga nela induida e, então, a carga induida em cada hemisfério foi medida. Farada observou que a carga total na esfera eterna era igual, em módulo à carga Q da esfera interna, independentemente do material dielétrico que separava as duas esferas. Ele então concluiu que algo havia se deslocado da esfera interna em direção à esfera eterna e que este algo era independente do meio. Farada denominou este algo de fluo elétrico. 94

99 3. Densidade de fluo elétrico e Lei de Gauss Para entender o conceito de densidade de fluo elétrico vamos, inicialmente, calcular a integral de superfície do campo elétrico de uma carga pontual e das distribuições de carga que foram estudadas no capítulo (distribuição linear e distribuição superficial plana). Vamos considerar superfícies fechadas adequadas envolvendo as cargas (ou distribuições de cargas) descritas anteriormente e calcular o fluo associado ao campo elétrico que atravessa tais superfícies. Em seguida o fluo, calculado teoricamente, será comparado com o fluo elétrico oriundo dos resultados eperimentais obtidos por Michel Farada. a) Fluo devido ao campo de uma carga pontual Vamos considerar uma carga pontual Q fia, em um ponto qualquer do espaço, envolvida por uma superfície esférica S de raio R. Figura 3.1 ilustra esta situação e mostra também o campo elétrico E em um ponto P localiado na superfície esférica. Ponto P na superfície esférica Carga pontual Q no centro da esfera E r Fonte: Fig Carga pontual envolvida por uma superfície esférica Na Figura 3.1 R é um vetor definido entre o ponto em que está a carga Q e o ponto P, E é o campo elétrico no ponto P e r é um vetor unitário na direção do vetor R. De acordo com a Lei de Coulomb, o campo elétrico E no ponto P é dado por: Q E = r (3.1) 4πε R É possível verificar, na Figura 3.1, que o campo elétrico é sempre perpendicular à superfície esférica, pois o campo da carga pontual é um campo radial. ssim se a 95

100 superfície esférica for representada por um vetor, este vetor e o vetor campo elétrico serão paralelos em qualquer ponto da superfície esférica. Figura 3. mostra a superfície esférica dividida em diversos elementos diferenciais de superfície ds e o campo elétrico E. Fonte: Elemento diferencial de superfície E ds Fig Elemento diferencial de superfície e o vetor campo elétrico na superfície esférica Vamos agora calcular o fluo de E através da superfície esférica S, que corresponde à integral de superfície de E ao longo da superfície esférica S ou seja: F = E. ds (3.) S Conforme mostrado na Figura 3., os vetores E e ds são paralelos. Deste modo, o produto escalar entre estes dois vetores é dado pelo produto dos módulos dos mesmos, ou seja: E. ds = E ds (3.3) sendo: O elemento diferencial de superfície ds em coordenadas esféricas é escrito como ds = R senθ dθ dφ ; θ π ; φ π (3.4) Substituindo as equações 3.1, 3.3 e 3.4 na equação 3. obtêm-se: Q F = R senθdθdφ (3.5) S 4πε R 96

101 equação 3. pode ser escrita na forma: π π Q F = senθ dθ dφ (3.6) 4πε Calculando a integral na equação 3.6 obtêm-se: Q F = (3.7) ε equação 3.7 mostra que o fluo de E através de uma superfície esférica que envolve a carga pontual independe do raio da esfera e depende somente do valor da carga envolvida pela superfície fechada e do meio em que a carga está imersa (no caso considerou-se que a carga está no vácuo). b) Fluo devido ao campo de uma distribuição linear de cargas Considere uma distribuição linear de cargas com densidade constante ρ L C/m, envolvida por uma superfície cilíndrica fechada S, de altura L, conforme mostra a Figura 3.3. Distribuição linear de cargas com densidade ρ L C/m S L S 1 Superfície da tampa inferior, com área S 3 Fig Distribuição linear de cargas envolvida por uma superfície cilíndrica Na superfície cilíndrica mostrada na Figura 3.3 S 1 é a área da superfície lateral do cilindro enquanto que S e S 3 são as áreas das tampas superior e inferior, respectivamente, do cilindro. Vamos definir, para o cilindro mostrado na Figura 3.3, os elementos diferenciais de área (na forma vetorial) ds 1, ds e ds 3 conforme mostra a Figura

102 ds Distribuição linear de cargas com densidade ρ L C/m S L S 1 ds 1 ds 3 Superfície da tampa inferior, com área S 3 Fig Identificação dos elementos diferenciais de superfície na superfície cilíndrica Sabe-se que o campo elétrico E devido a uma distribuição linear de cargas é radial e depende do vetor R, que é um vetor perpendicular à linha de cargas com início nesta e término no ponto onde se deseja obter o campo elétrico. Portanto, o campo elétrico E em um ponto localiado na superfície cilíndrica possui o aspecto mostrado na Figura 3.5. ds Distribuição linear de cargas com densidade ρ L C/m S S 1 L ds 3 R r ds 1 E Superfície da tampa inferior, com área S 3 Fig Campo elétrico E na superfície cilíndrica Vamos agora calcular o fluo de E através da superfície cilíndrica S, que corresponde à integral de superfície de E ao longo de toda a superfície do cilindro mostrado na Figura 3.5. Têm-se então: F = E. ds (3.8) S O cilindro é constituído pelas superfícies S 1, S e S 3. Então a equação 3.8 torna-se: F =. ds E. ds 1 E. ds3 S1 S S3 E (3.9) 98

103 Observa-se na Figura 3.5 que o campo elétrico E é perpendicular aos vetores ds e ds 3. Portanto os produtos escalares E.ds e E.ds 3 são nulos faendo com que a equação 3.9 torne-se: F = S 1 E. d (3.1) s 1 Verifica-se também, na Figura 3.5, que os vetores E e ds 1 são paralelos. ssim, a equação 3.1 passa a ser escrita como sendo: F = E.ds 1 (3.11) S 1 Na equação 3.11 E e ds 1 correspondem aos módulos dos vetores E e ds 1, respectivamente, mostrados na Figura 3.5. O termo E na equação 3.11 é o módulo do campo elétrico E, na superfície cilíndrica mostrada na Figura 3.5, devido a uma distribuição linear de cargas e é escrito como sendo: ρl E = (3.1) πε R Na equação 3.1 R é o módulo do vetor R. O elemento ds 1, na equação 3.11 é o elemento diferencial da superfície lateral do cilindro e é escrito, em coordenadas cilíndricas, como sendo: ds 1 = R dφdl ; φ π (3.13) Substituindo as equações 3.13 e 3.1 na equação 3.11 teremos: F ρl = R dφdl πε R (3.14) S1 Reescrevendo a equação 3.14 obtém-se: ρl F = πε d φ dl (3.15) S 1 equação 3.15 pode ser escrita como sendo: 99

104 π L ρl F = dφ πε dl (3.16) Desenvolvendo a equação 3.16 obtém-se: ρ L L F = (3.16) ε O produto ρ L L, na equação 3.16, corresponde à carga Q da parte da distribuição linear de cargas que está envolvida pela superfície cilíndrica de altura L (conforme mostra a Figura 3.3). ssim, a equação 3.16 torna-se: Q F = (3.17) ε equação 3.17 mostra que o fluo de E, devido a uma distribuição linear de cargas, através de uma superfície cilíndrica depende somente da carga total envolvida pelo cilindro e do meio em que está imersa a distribuição de cargas. c) Fluo devido ao campo de uma distribuição superficial de cargas Figura 3.6 mostra uma distribuição superficial de cargas constante ρ s C/m em um plano, sendo que parte da carga é envolvida por uma superfície cilíndrica fechada S. Área, resultante da intersecção do plano com a superfície cilíndrica, com carga Q = ρ s Plano com distribuição superficial de cargas com densidade ρ s C/m Fig Plano com distribuição superficial de cargas com uma parte envolta por uma superfície cilíndrica 1

105 superfície cilíndrica mostrada na Figura 3.6 é constituída pela superfície lateral, com área S 1 e pelas duas tampas com áreas S e S 3, respectivamente. Podemos então definir o elemento diferencial de área ds 1, associado à área S 1, e os elementos diferenciais de área ds e ds 3 associados às tampas do cilindro, conforme mostra a Figura 3.7. Área, resultante da intersecção do plano com a ds S superfície cilíndrica, com ds carga Q = ρ 1 s Plano com distribuição superficial de cargas com densidade ρ s C/m S 1 S 3 ds 3 Fig Elementos diferenciais de área associados à superfície cilíndrica Sabe-se que o campo elétrico E devido a uma distribuição superficial de cargas é constante e perpendicular à superfície, conforme mostra a Figura 3.8. Área, resultante da intersecção do plano com a superfície cilíndrica, com carga Q = ρ s ds S E Plano com distribuição superficial de cargas com densidade ρ s C/m ds 1 S 1 S 3 ds 3 E Fig Campo elétrico E devido à distribuição superficial de cargas 11

106 Vamos agora calcular o fluo de E através da superfície cilíndrica fechada S, que corresponde à integral de superfície de E ao longo de toda a superfície do cilindro mostrado na Figura 3.8. Têm-se então: F = E. ds (3.18) S O cilindro é constituído pelas superfícies S 1, S e S 3. Então a equação 3.18 tornase: F =. ds E. ds 1 E. ds3 S1 S S3 E (3.19) Observa-se na Figura 3.8 que o campo elétrico E é perpendicular ao vetor ds 1. Portanto o produto escalar E.ds 1 é nulo faendo com que a equação 3.19 torne-se: F = E. ds E. ds3 (3.) S S 3 Verifica-se também, na Figura 3.8, que os vetores E, ds e ds 3 são paralelos. ssim, a equação 3. passa a ser escrita como sendo: F = E.ds E. ds3 (3.1) S S 3 Na equação 3.1 E, ds e ds 3 correspondem aos módulos dos vetores E, ds e ds 3, respectivamente, mostrados na Figura 3.8. O termo E na equação 3.1 é o módulo do campo elétrico E, na superfície da do plano mostrado na Figura 3.8. Uma ve que o campo E é constante, a equação 3.1 torna-se: F = E ds ds3 (3.) S S 3 Na equação 3. as integrais correspondem às áreas das tampas do cilindro mostrado na Figura 3.8. Verifica-se que estas áreas são idênticas á área da intersecção do cilindro com o plano. ssim, a equação 3. torna-se: ( ) F E F = E = (3.3) 1

107 Sabe-se que o módulo do campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas e é escrito como sendo: E ρ ε s = (3.4) Substituindo a equação 3.4 na equação 3.3 teremos: F ρ ε s s = F = (3.5) ρ ε Na equação 3.5 o termo ρ s corresponde à carga Q presente na intersecção da superfície cilíndrica com o plano eletricamente carregado, conforme mostra a Figura 3.8. ssim, a equação 3.5 torna-se: Q F = (3.6) ε equação 3.6 mostra que o fluo do campo elétrico, devido a uma distribuição superficial de cargas em um plano, através de uma superfície cilíndrica fechada depende somente da quantidade de cargas que é envolvida pela superfície fechada e do meio que envolve esta carga. Os resultados obtidos nos itens a, b e c mostraram que o fluo do campo elétrico através de uma superfície fechada é proporcional à carga elétrica envolvida pela superfície. Este resultado independe do fato da carga envolvida pela superfície ser uma carga pontual (item a) ou distribuída (itens b e c). No entanto os eperimentos realiados por Farada mostraram que o fluo que atravessa uma superfície fechada é igual à carga envolvida pela superfície, independentemente do meio que envolve a carga. ssim, utiliando os resultados obtidos por Farada, o fluo elétrico φ que atravessa uma superfície fechada é dado por: φ = Q (3.7) Os resultados que obtivemos nos itens a, b e c mostram que o fluo através de uma superfície fechada é dado por: 13

108 Q F = (3.8) ε Então para que os nossos resultados sejam coerentes com os resultados obtidos eperimentalmente por Farada, vamos criar um vetor denominado densidade de fluo elétrico D que possui a seguinte relação com o campo elétrico E: D= ε E (3.9) Se nos itens a, b e c calcularmos o fluo do vetor D e não o fluo do vetor E, utiliando a condição de que D = ϵ E, obteremos os mesmos resultados obtidos eperimentalmente por Farada (recomenda-se fortemente que você faça esta substituição). Conclui-se então que a grandea que flui de uma determinada quantidade de carga (discreta ou distribuída) através de uma superfície fechada que envolve esta carga é o vetor densidade de fluo elétrico D e não o vetor campo elétrico E. Este fato foi verificado por Johann Carl Friederich Gauss e é conhecido como Lei de Gauss. Lei de Gauss di que o fluo que atravessa qualquer superfície fechada é igual à carga envolvida pela superfície, ou seja: φ = D. ds = Q φ = ε E. ds = Q (3.3) S S Na equação 3.3 φ é o fluo que atravessa a superfície fechada S e Q é a carga total envolvida por esta superfície. Para ilustrar a Lei de Gauss, considere uma quantidade de carga Q envolvida por uma superfície fechada S e o vetor D, conforme mostra a Figura 3.9. Carga Q envolvida pela superfície fechada S ds Superfície fechada S D Elemento diferencial de superfície Elemento diferencial de superfície ampliado Figura Densidade de fluo elétrico D atravessando um elemento diferencial de superfície ds de uma superfície fechada 14

109 3.3 plicação da Lei de Gauss a distribuições simétricas de cargas Lei de Gauss estabelece a relação entre a carga envolvida por uma superfície fechada e o fluo elétrico que atravessa a superfície. Esta lei mostra que o fluo é função eclusivamente da carga total envolvida por esta superfície, e é escrita como sendo: ε E. ds = Q (3.31) S Considerando que o meio em que a carga Q está é homogêneo, a permissividade dielétrica pode ser considerada constante e, consequentemente, retirada da integral. ssim, a equação 3.31 torna-se: S Q E. ds = ε (3.3) Vamos agora aplicar a equação 3.3 em uma situação em que a superfície fechada S seja perpendicular ou paralela ao campo elétrico em todos os pontos desta superfície. Nestas condições, têm-se as seguintes possibilidades para o produto escalar E.ds: S E ds E. ds = ou (3.33) Substituindo a equação 3.33 na equação 3.3 obtém-se: Q E ds = S ε (3.34) Na equação 3.34 E e ds correspondem aos módulos dos vetores E e ds, respectivamente. Vamos considerar também que a superfície S possua um formato tal que o módulo do campo elétrico seja constante em qualquer ponto da superfície. Nestas condições E pode ser retirado da integral e a equação 3.34 torna-se: Q E ds= (3.35) S ε 15

110 integral mostrada na equação 3.35 corresponde à área da superfície fechada S que envolve a carga Q. Portanto, a partir da equação 3.35, obtém-se: E Q = (3.36) ε equação 3.36 mostra que o módulo do campo elétrico E, devido a uma carga Q envolvida por uma superfície fechada S pode ser facilmente calculado desde que a superfície S tenha um formato tal que atenda às seguintes condições: - O campo elétrico E, devido à carga envolvida pela superfície, deve ser perpendicular ou paralelo à superfície em todos os pontos da mesma; - O módulo de E deve ser constante em todos os pontos da superfície S Uma superfície fechada que atenda às duas condições mencionadas anteriormente é denominada superfície Gaussiana. Então, considerando que seja possível determinar uma superfície Gaussiana uma carga ou distribuição de carga Q, é possível obter o módulo do campo elétrico em todos os pontos desta superfície utiliando a equação Devido ao fato da superfície ser uma superfície Gaussiana, o vetor campo elétrico E possui módulo constante (e igual a E) e é perpendicular à superfície em todos os pontos desta. Verifica-se então que é possível determinar facilmente o campo elétrico E, utiliando a equação 3.36, devido a uma carga ou distribuição de carga Q desde que seja possível definir uma superfície Gaussiana para a carga Q. Em seguida mostraremos que os vetores campo elétrico obtidos no capítulo podem ser facilmente obtidos quando se utilia a Lei de Gauss Campo elétrico devido a uma carga pontual Para obter o campo elétrico de uma carga pontual Q, utiliando a lei de Gauss, inicialmente é necessário definir a direção e o sentido do campo elétrico devido à carga Q. Já foi visto que, com base na lei de Coulomb, que o campo elétrico devido a uma carga pontual positiva fia em um ponto do espaço é radial conforme mostra a Figura

111 Fonte: Figura Características do campo elétrico E devido a uma carga pontual positiva Com base na Figura 3.1 conclui-se que uma esfera de raio R é uma superfície Gaussiana quando de deseja determinar o campo elétrico devido a uma carga pontual. Verifica-se que todos os pontos da superfície esférica estão a uma mesma distncia R em relação à carga Q, faendo com que o campo elétrico tenha o módulo constante na superfície esférica. Verifica-se também que o campo elétrico é sempre perpendicular à superfície esférica em todos os pontos desta superfície, conforme mostra a Figura Fonte: Figura Campo elétrico E em uma superfície Gaussiana esférica de raio R que envolve uma carga pontual Q plicando a Lei de Gauss (equação 3.3) na superfície esférica mostrada na Figura 3.11, obtém-se: ε E. ds= Q (3.37) S Uma ve que a superfície esférica mostrada na Figura 3.11 é uma superfície Gaussiana, a equação 3.37 torna-se: 17

112 ε E ds = Q (3.38) S Na equação 3.38 E é o módulo do campo elétrico devido à carga Q. Considerando que a carga e a superfície Gaussiana estão no sistema de coordenadas esféricas, o elemento diferencial de superfície ds é escrito como sendo: ds = R senθdθdφ ; θ π ; φ π (3.39) Substituindo a equação 3.39 na equação 3.38: ε E R senθ dθ dφ= Q (3.4) S equação 3.4 pode ser escrita na forma: π π ε E R senθdθ dφ= Q (3.41) Desenvolvendo a equação 3.41: ε E R 4π = Q (3.4) Da equação 3.4 verifica-se que o módulo do campo elétrico, devido a uma carga pontual Q, em um ponto P localiado a uma distncia R da carga é dado por: Q E = (3.43) 4πε R Foi observado (Figura 3.1) que o campo elétrico de uma carga pontual está na direção do raio da superfície esférica. Então o vetor E possui o módulo dado pela equação 3.43 e a direção deste vetor é radial, ou seja: Q E = r (3.44) 4πε R Na equação 3.44 R é um vetor definido entre o ponto em que está a carga Q e o ponto P onde se deseja conhecer o campo elétrico, E é o campo elétrico no ponto P e r é um vetor unitário na direção do vetor R. 18

113 Note que a epressão de E obtida com a Lei de Gauss coincide com a Lei de Coulomb (que foi obtida eperimentalmente) Campo elétrico devido a uma distribuição linear infinita de cargas Vamos considerar uma distribuição linear de cargas, de comprimento infinito e densidade linear de cargas constante igual a ρ L C/m, localiada sobre o eio, conforme mostra a Figura 3.1. Distribuição linear de cargas com densidade ρ L constante Figura Distribuição linear de cargas sobre o eio Considere que devemos obter uma epressão para o campo elétrico devido à distribuição de carga dq iguais e localiados à mesma distncia d do ponto P(,,) conforme mostra a Figura Estes elementos diferencias de carga produem, no ponto P, os elementos diferencias de campo elétrico de 1 e de cujos módulos são iguais. dq d de 1 ρ P d de dq Fig Comportamento do campo elétrico devido a uma distribuição linear de cargas 19

114 Figura 3.13 mostra que o campo elétrico resultante está na direção do raio ρ, pois, devido à simetria, não há campo resultante na direção do eio. Conclui-se então que o campo elétrico é perpendicular à linha de cargas. Para a distribuição linear de cargas, verifica-se que uma superfície cilíndrica de altura L com eio de simetria coincidente com a distribuição linear de cargas, do tipo mostrado na Figura 3.14, é uma superfície Gaussiana. ds Distribuição linear de cargas com densidade ρ L C/m S L S 1 R r ds 1 E ds 3 Figura Superfície Gaussiana para uma distribuição linear de cargas plicando Lei de Gauss na superfície cilíndrica mostrada na Figura 3.14 têm-se: ε E. ds= Q (3.45) S superfície cilíndrica mostrada na Figura 3.14 é constituída pelas superfícies S 1, S e S 3. ssim, a equação 3.45 torna-se: E. ds ε E. ds ε E. ds3 = ε 1 Q (3.46) S 1 S S3 Observa-se na Figura 3.14 que o campo elétrico E é perpendicular aos vetores ds e ds 3. Portanto os produtos escalares E.ds e E.ds 3 são nulos faendo com que a equação 3.46 torne-se: ε E. ds1 = Q (3.47) S 1 Verifica-se também, na Figura 3.14, que os vetores E e ds 1 são paralelos. ssim, a equação 3.47 passa a ser escrita como sendo: 11

115 ε E.ds 1 = Q (3.48) S 1 Uma ve que na lateral do cilindro o módulo do campo é constante, a equação 3.48 torna-se: ε E ds 1 = Q (3.49) S 1 Na equação 3.49 ds 1 é o elemento diferencial da superfície lateral do cilindro que, em coordenadas cilíndricas é escrita como sendo: ds 1 = R dφdl ; φ π (3.5) Substituindo a equação 3.5 na equação 3.49 obtém-se: ε E R dφdl = (3.51) Q S 1 O raio R da superfície cilíndrica é constante e pode ser retirado da integral. ssim, a equação 3.51 torna-se: π L ε E R dφ dl = Q (3.5) Desenvolvendo a equação 3.5 verifica-se que: ε E R πl Q (3.53) = sendo: Na equação 3.53 Q é a carga total envolvida pela Gaussiana, que é escrita como Q= ρ L L (3.54) Substituindo a equação 3.54 na equação 3.53 obtém-se: 111

116 ε E R πl = L (3.55) ρl Desenvolvendo a equação 3.55 verifica-se que o módulo do campo elétrico devido à distribuição linear de cargas, a uma distncia R da distribuição é dado por: E ρl = (3.56) πε R análise do campo elétrico, feita com o auílio da Figura 3.13, mostrou que o campo é perpendicular à distribuição linear de cargas. Então, conclui-se que o campo terá o módulo descrito pela equação 3.56 e será escrito como sendo: ρl E = πε ρ ρ (3.57) Figura 3.15 mostra o vetor E e o vetor unitário ρ, no ponto P(,,) considerando que a distribuição de cargas está ao longo do eio. P ρ Distribuição linear de cargas de comprimento infinito e densidade de cargas constante φ ρ E Figura Campo elétrico devido a uma distribuição linear de cargas no eio equação 3.57 mostra que a epressão do campo elétrico que foi obtida por meio da Lei de Gauss é idêntica à epressão obtida, no capítulo, com a Lei de Coulomb. No entanto, verifica-se que é mais fácil obter a epressão para o campo elétrico utiliando a Lei de Gauss Campo elétrico devido a uma distribuição superficial infinita de cargas Vamos considerar uma distribuição superficial de cargas, com densidade superficial de cargas constante igual a ρ s C/m, localiada no plano, e um ponto P 11

117 localiado sobre o eio onde se deseja obter uma epressão para o campo elétrico de vido à distribuição superficial de carga. Esta situação está ilustrada na Figura P(,,) Placa infinita carregada eletricamente com uma densidade superficial de cargas constante igual a ρ s C/m Figura Distribuição superficial de cargas sobre o plano Para determinar uma superfície Gaussiana adequada, devemos inicialmente conhecer o comportamento do campo elétrico devido à distribuição superficial de cargas. Para isto, considere os dois elementos diferenciais de carga, simétricos em relação ao eio, mostrados na Figura Observa-se na Figura 3.17, que devido ao fato dos dois elementos diferenciais de cargas estarem a uma mesma distncia do ponto P(,,), o elemento diferencial de campo elétrico resultante possui componente somente na direção do eio. Conclui-se então que uma distribuição superficial de cargas produ um campo elétrico que é perpendicular à distribuição. Elemento diferencial de cargas dq R de de P(,,) R Elemento diferencial de cargas dq d d Fig Comportamento do campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas 113

118 Para a distribuição superficial de cargas, verifica-se que uma superfície cilíndrica do tipo mostrado na Figura 3.18, é uma superfície Gaussiana. Área, resultante da intersecção do plano com a superfície cilíndrica, com carga Q = ρ s E Plano com distribuição superficial de cargas com densidade ρ s C/m E Figura Superfície Gaussiana para uma distribuição superficial de cargas Figura 3.19 mostra as superfícies S 1, S e S 3 que constituem a superfície Gaussiana. Observe que na superfície S o campo elétrico é constante e paralelo ao vetor ds enquanto que na superfície S 1 o campo elétrico e o vetor ds 1 são perpendiculares. Na superfície S 3 o campo elétrico é constante e paralelo ao vetor ds 3. ds Área, resultante da intersecção do plano com a S superfície cilíndrica, com ds carga Q = ρ 1 s E Plano com distribuição superficial de cargas com densidade ρ s C/m E S 1 S 3 Figura Campo elétrico e elementos diferenciais de superfície na gaussiana de uma ds 3 distribuição superficial de cargas 114

119 plicando Lei de Gauss na superfície cilíndrica mostrada na Figura 3.19 têm-se: E. ds ε E. ds ε E. ds3 = ε 1 Q (3.58) S 1 S S3 Uma ve que, na Figura 3.19, o campo elétrico E é perpendicular ao vetor ds 1, o produto escalar E.ds 1 é nulo faendo com que a equação 3.58 torne-se: ε E. ds ε E. ds3 = Q (3.59) S S 3 Devido ao fato de que, na Figura 3.19, o vetor E ser paralelo aos vetores ds e ds 3, e considerando que E é constante nas superfícies S e S 3, a equação 3.59 torna-se: ds ε E ds3 = ε E Q (3.6) S S 3 Na equação 3.6 ds e ds 3 são os elementos diferenciais de superfície das tampas inferior e superior do cilindro mostrado utiliado como superfície Gaussiana. área destas tampas, conforme mostrado na Figura 19, possui valor. ssim a equação 3.6 torna-se: ε E ε E = Q (3.61) Da equação 3.61 resulta: E Q = (3.6) ε carga Q, na equação 3.6, é carga envolvida pela superfície Gaussiana que corresponde à carga distribuída na área resultante da intersecção do plano de cargas com a superfície Gaussiana. Conforme mostra a Figura 3.19, a carga Q pode ser escrita como sendo: Q = (3.63) ρs ε Substituindo a equação 3.63 na equação 3.6 obtém-se: ρs E = (3.64) 115

120 Uma ve que o campo devido a uma distribuição superficial de cargas, conforme mostrado na Figura 3.16, é perpendicular à distribuição, conclui-se que o campo elétrico E devido a uma distribuição superficial de cargas com densidade de cargas constante e localiada no plano é escrito como sendo: ρs ; para > πε E = (3.65) ρs ( ) ; para < πε equação 3.65 mostra que o resultado obtido com a Lei de Gauss é idêntico ao resultado obtido com a Lei de Coulomb. No entanto a aplicação da Lei de Gauss é mais simples que a aplicação da Lei de Coulomb. 3.4 plicação da Lei de Gauss em distribuições assimétricas de cargas Considere agora um sistema de cargas elétricas sem simetria, em que não seja possível definir uma superfície Gaussiana. Para este sistema, o fluo através da superfície fechada não pode ser calculado. Para contornar a dificuldade resultante da assimetria da distribuição de cargas, deve-se escolher uma superfície s, fechada, muito pequena cujo volume seja infinitesimal e aplicar a lei de Gauss. Teremos então: D. ds = Q (3.66) s Na equação 3.66 Q é a carga envolvida pela superfície fechada s e o vetor D é a densidade de fluo que é escrita como sendo: D = ε E (3.67) obtém-se: Dividindo os dois lados da equação 3.66 pelo volume vol da superfície fechada s D. ds s vol = Q vol (3.68) 116

121 Uma ve que o volume da superfície fechada tende a ero, a superfície s tende a um ponto e a equação 3.68 deve ser escrita na forma: lim vol D. ds s vol = lim vol Q vol (3.69) O lado esquerdo da equação 3.69 corresponde ao divergente da densidade de fluo D no ponto, enquanto que o lado direito corresponde à densidade volumétrica de cargas neste ponto. ssim, a equação 3.69 passa a ser escrita como sendo:. D = ρ v (3.69) equação 3.69 é denominada forma diferencial da lei de Gauss e é a primeira das quatro equações de Mawell. Considere agora uma superfície genérica s fechada, conforme mostra a Figura 3., que possua uma densidade volumétrica de cargas igual a ρ v C/m 3. Figura 3. - Superfície fechada s com uma densidade volumétrica de cargas ρ v C/m 3 plicando a Lei de Coulomb na superfície fechada mostrada na Figura 3., obtém-se: D. ds = Q (3.7) s carga total Q, envolvida pela superfície fechada s mostrada na Figura 3. é escrita como sendo: Q ρ v dvol (3.71) = vol Na equação 3.71 vol é o volume da superfície fechada s. 117

122 Igualando as equações 3.7 e 3.71: s D.ds = ρ dvol (3.7) vol v Substituindo a epressão de ρ v, mostrada na equação 3.69, na equação 3.7 obtém-se: s D. ds =. D dvol (3.73) vol equação 3.73 é o teorema da divergência. Esta equação mostra que o fluo que atravessa uma superfície fechada s (lado esquerdo da equação) é igual à soma do fluo que atravessa todos os pontos do volume definido pela superfície s (lado direito da equação). 118

123 Capítulo 4 Energia e Potencial 4.1 Energia necessária para mover uma carga pontual em um campo elétrico Considere uma carga pontual positiva em um ponto de uma região do espaço em que há um campo elétrico E. Sabe-se que a carga Q ficará sujeita a uma força elétrica F e que estará na mesma direção do campo elétrico E, conforme mostra a Figura 4.1. Ponto E F Q Fig Carga Q em um campo elétrico E Caso não eistam outras forças agindo na carga, ela se moverá na direção do campo elétrico, do ponto em direção ao ponto B, no segmento de reta mostrado na Figura 4.. E B Direção do movimento da carga Q Figura 4. - Carga movendo-se na direção do campo elétrico Observe, na Figura 4., que para mover a carga Q na direção do campo elétrico não há a necessidade de dispêndio de energia por parte de uma fonte eterna, pois o movimento é provocado pela ação da força elétrica sobre a carga, força esta cuja origem é atribuída ao campo elétrico. Di-se então que o campo elétrico realia trabalho e não há dispêndio de energia por parte de uma fonte eterna. 119

124 Considere agora que a carga Q é movida em direção contrária ao campo, ou seja, do ponto até o ponto B ao longo do segmento de reta mostrado na Figura 4.3. E B Direção do movimento da carga Q Figura Carga movendo-se na direção contrária à direção do campo elétrico Para que a carga Q eecute o movimento mostrado na Figura 4.3 é necessário o dispêndio de energia de uma fonte eterna (realiação de trabalho), que eige a presença de uma força eterna F et de mesma intensidade, mas com direção contrária à direção da força elétrica Fe conforme mostra a Figura 4.4. Carga Q F e E F et B Direção do movimento da carga Q Figura Carga movendo-se, devido à ação da força eterna F et, na direção contrária à direção do campo elétrico força elétrica aplicada na carga Q, de acordo com a Lei de Coulomb, é escrita como sendo: F e = QE (4.1) força eterna, necessária para mover a carga na direção contrária à direção do campo elétrico é escrita como sendo: F = (4.) et F e 1

125 Substituindo a equação 4.1 na equação 4. obtém-se: F et = QE (4.3) Uma ve conhecida a força eterna, é possível obter o trabalho que esta força realia quando a carga Q é movida, em direção contrária à direção do campo elétrico conforme mostra a Figura 4.4, do ponto até o ponto B. Este trabalho é dado por: W = final início F et. dl (4.4) Substituindo a equação 4.3 na equação 4.4: W = Q final início E. dl (4.5) Na equação 4.5 W é o trabalho necessário para mover a carga de um ponto até um ponto B, sendo que estes pontos são genéricos. associação do sinal do trabalho (positivo ou negativo) com o agente que realia o trabalho (campo elétrico ou fonte eterna de energia) pode ser realiada a partir da resolução dos eemplos 4.1 e 4.. Eemplo 4.1) Considere um campo elétrico constante E na direção do eio, e uma carga positiva Q que é movida de 1 = até = 5 sobre um segmento de reta. Determine o trabalho necessário para mover a carga. (Resposta: W = -3Q E ) Eemplo 4.) Repita o eemplo 4.1, considerando agora que a carga é movida de de 1 = 5 até =. (Resposta: Resposta: W = 3Q E ) Eemplo 4.3) Dado o campo elétrico E = 3 V/m, determine o trabalho realiado para mover uma carga de 7 µc ao longo de um caminho incremental de 1 mm de comprimento na direção do vetor a = 6-3, localiado no ponto (1,,3). 11

126 Eemplo 4.4) Dado o campo elétrico E = V/m, determine o trabalho realiado para mover uma carga de C do ponto B(1,,1) até o ponto (,8;,6;1) ao longo dos seguintes caminhos: a) = 1 e = 1; b) ao longo de uma reta que passa pelos pontos e B. Eemplo 4.5) Determine o trabalho realiado para mover uma carga de prova Q, do ponto (ρ 1, φ 1, 1 ) até o ponto B(ρ, φ, ), no campo de uma distribuição linear de cargas localiada sobre o eio. Eemplo 4.6) Determine o trabalho realiado para mover uma carga de prova Q em um campo elétrico resultante de uma distribuição superficial de cargas localiada no plano =, no caminho fechado mostrado em seguida. (1,-1,) B(3,,5) C(7,4,3) Os resultados obtidos nos eemplos 4.1 e 4. mostram que quando a carga é movida na direção do campo o trabalho é negativo e que quando a carga é movida em direção contrária à direção do campo o trabalho é positivo. Portanto conclui-se que quando o campo realia trabalho, a equação 4.5 fornece um resultado negativo e quando o trabalho é realiado por uma fonte eterna o resultado obtido é positivo. Os resultados do eemplo 4.4 mostram que o trabalho independe do caminho seguido pela carga. Os resultados do eemplo 4.5 mostram que quando o movimento da carga ocorre em uma direção perpendicular ao campo elétrico, não há a realiação de trabalho. Os resultados obtidos nos eemplos 4.5 e 4.6 mostram que o trabalho para mover uma carga em um caminho fechado, em um campo elétrico, não há a realiação de trabalho. Uma ve que o trabalho independe do caminho, conclui-se que o campo elétrico é um campo conservativo. 1

127 4. Diferença de potencial elétrico Considere uma carga Q, em uma região do espaço em que há um campo elétrico E, que é movida do ponto B até o ponto no caminho mostrado na Figura 4.5. E(,,) Figura Carga Q movida do ponto B até o ponto B O trabalho para mover a carga Q, no caminho definido na Figura 4.5, é escrito como sendo: W = Q B E. dl (4.6) Define-se diferença de potencial elétrico entre os pontos e B, V B, ao trabalho realiado para movimentar uma carga unitária (Q=1 C) do ponto B até o ponto, ou seja: VB = E. dl (4.7) B Observe que, a partir das equações 4.6 e 4.7, é possível escrever: W V B = (4.8) Q diferença de potencial elétrico é medida em volts, sendo que: Joule Newton metro 1 volt = = (4.9) Coulomb Coulomb 13

128 Com base na definição, verifica-se que a diferença de potencial elétrico é uma grandea escalar relacionada a dois pontos de uma região do espaço em que há um campo elétrico E que é uma grandea vetorial. Uma ve conhecida a diferença de potencial elétrico V B entre os pontos e B de um campo elétrico é possível, a partir da equação 4.8, determinar a energia W necessária para mover uma carga Q entre os pontos B e sem que seja necessário conhecer o campo elétrico. Eemplo 4.7) Determine a diferença de potencial elétrico entre dois pontos situados em uma região do espaço em que eiste um campo elétrico devido a uma carga pontual Q. Eemplo 4.8) Determine a diferença de potencial elétrico entre dois pontos situados em uma região do espaço em que eiste um campo elétrico devido a uma distribuição linear de cargas, com densidade l de cargas constante ρ L C/m, localiada no eio. Eemplo 4.9) Determine a diferença de potencial elétrico entre dois pontos situados em uma região do espaço em que eiste um campo elétrico devido a uma distribuição superficial de cargas, com densidade superficial de cargas constante ρ S C/m localiada no plano =. 4.3 Potencial elétrico Potencial elétrico devido a uma carga pontual Considere o caminho definido pelos pontos e B, em uma região do espaço em que há um campo elétrico E devido a uma carga pontual Q, conforme mostra a Figura 4.6. (R, ϴ, Ф ) E R dl Carga pontual Q B(R B, ϴ B, Ф B ) Figura Campo elétrico devido a uma carga pontual e caminho definido entre os pontos e B 14

129 O campo elétrico E devido à carga pontual mostrada na Figura 4.6 é dado por: Q E = 4 r (4.1) πε R Na equação 4.1 R é o módulo do vetor R. Na Figura 4.6 a diferença de potencial elétrico entre os pontos e B é escrita como sendo: VB = E. dl (4.11) B Na equação 4.11 dl é o elemento diferencial de comprimento, em coordenadas esféricas, escrito como sendo: dl = dr R R dθ R senθdφ (4.1) θ φ Substituindo as equações 4.1 e 4.1 na equação 4.11 obtém-se: V B Q = 4πε R B R. ( dr R dθ R senθ dφ ) R θ φ (4.13) Desenvolvendo a equação 4.13: Q 1 V B = πε dr (4.14) 4 R R B Da equação 4.14 obtém-se: Q 1 1 V = B (4.15) 4πε R R B equação 4.15 pode ser escrita como sendo: V B = V V (4.16) B 15

130 Na equação 4.16 os termos V e V B são denominados potencial elétrico nos pontos e B, respectivamente. Verifica-se, a partir da equação 4.15 que V e V B são escritos como sendo: V V B Q 1 = (4.17) 4πε R Q 1 = (4.18) 4πε R B Observe que o potencial elétrico é uma grandea escalar que está associada aos pontos de uma região do espaço em que há um campo elétrico. Mas, qual é o significado desta grandea? Para entender o significado do potencial elétrico, considere uma carga pontual Q e os pontos e P situados a distncias R e R P da carga Q, respectivamente, conforme mostra a Figura 4.7. R Carga pontual Q R P P Figura Potencial elétrico nos pontos e P diferença de potencial elétrico entre os pontos e P pode ser escrita em função dos potenciais elétricos nos pontos e P, na forma: V P = V V (4.19) P Sendo: V P Q 1 = (4.) 4πε R P Considerando que o ponto P está bem distante da carga pontual Q é possível faer R P e, consequentemente, o potencial elétrico no ponto P é nulo e a equação 4.19 torna-se: 16

131 V P = V (4.1) equação 4.1 mostra que o potencial elétrico V no ponto corresponde à energia necessária para levar uma carga unitária de um ponto onde o potencial elétrico é nulo (R P ) até o ponto que está a uma distncia R em relação à carga pontual Q. De maneira genérica, podemos definir a função potencial V(r) elétrico ou potencial elétrico como sendo o trabalho para mover uma carga unitária, em uma região em que há um campo elétrico devido a uma carga pontual Q, do infinito até uma distncia r da carga pontual. O potencial elétrico é um campo escalar que está relacionado a um campo vetorial que é o campo elétrico. O potencial elétrico V(r) é escrito como sendo: Q 1 V(r) = (4.) 4πε r Observe que todos os pontos que estão a uma mesma distncia em relação à carga pontual Q possuem o mesmo potencial elétrico e di-se que a superfície constituída pelos pontos que estão a um mesmo potencial é denominada superfície equipotencial. Para o caso do campo devido a uma carga pontual, as superfícies equipotenciais são superfícies esféricas cujo centro é o ponto onde está localiada a carga pontual. Figura 4.8 mostra as superfícies equipotenciais, projetadas no plano, de uma carga pontual localiada na origem. Em um plano, estas superfícies equipotenciais são circunferências concêntricas cujo centro está na origem. E 1 E R 1 R Q Superfície equipotencial com potencial V Superfície equipotencial com potencial V 1 Figura Superfícies equipotenciais para o campo elétrico de uma carga pontual 17

132 Na Figura 4.8 R 1 e R são os raios das superfícies equipotenciais de potenciais elétricos V 1 e V, respectivamente. Com base na equação 4. conclui-se que o potencial elétrico V 1 é maior que o potencial elétrico V. Observe que o campo elétrico, por ser radial, é perpendicular a qualquer superfície equipotencial. Figura 4.9 mostra uma superfície equipotencial para o campo elétrico devido a uma carga pontual Q. Fonte: E Q Figura Superfície equipotencial para o campo elétrico de uma carga pontual Considere, na Figura 4.9, dois pontos e B distintos sobre a superfície equipotencial e um caminho definido sobre a superfície equipotencial. Neste caminho, o raio R é constante e, consequentemente, dr é nulo. ssim, o elemento de comprimento dl é escrito como sendo: dl = R dθ R senθdφ (4.3) θ φ O campo elétrico E devido á carga pontual Q é dado por: Q E = 4 r (4.4) πε R sendo: O trabalho realiado para mover a carga Q entre os pontos B e é escrito como W = Q E. dl (4.5) B Substituindo as equações 4.3 e 4.4 na equação 4.5 obtém-se: 18

133 Q W = r.(r dθ R sen d ) θ θ φφ (4.6) 4πε R B Desenvolvendo a equação 4.3, obtém-se: W = (4.7) equação 4.7 mostra que quando uma carga é movida sobre uma superfície equipotencial o trabalho W para mover esta carga é nulo. Este fato acontece porque o campo elétrico é perpendicular à superfície equipotencial Potencial elétrico devido a um sistema discreto de cargas Considere uma carga pontual Q 1 e um ponto P conforme mostra a Figura 4.1. P r r 1 r - r 1 Figura Potencial elétrico devido a uma carga pontual Q 1 O potencial elétrico no ponto P, que corresponde à energia necessária para traer uma carga unitária do infinito até o ponto P considerando o campo elétrico resultante da carga Q 1, é escrito como sendo: Q1 1 V( r) = (4.8) 4πε r-r 1 Considere que uma carga Q é adicionada ao sistema mostrado na Figura 4.1, conforme mostra a Figura

134 Q r r P r r r 1 r - r 1 Q 1 Figura Potencial elétrico devido a duas cargas pontuais O potencial elétrico no ponto P, que corresponde à energia necessária para traer uma carga unitária do infinito até o ponto P, deve levar em conta o campo resultante das cargas Q 1 e Q. Portanto o potencial elétrico no ponto P torna-se: Q1 1 Q 1 V( r) = (4.8) 4πε r -r 4πε r - 1 r 4.1. dicionando uma terceira carga ao sistema, teremos o sistema mostrado na Figura Q 3 r r 3 r 3 Q r r r r P r 1 r - r 1 Figura Potencial elétrico devido a três cargas pontuais Q 1 O potencial elétrico no ponto P, mostrado na Figura 4.1, corresponde à energia necessária para mover uma carga unitária do infinito até o ponto P, levando em conta o campo elétrico resultante das cargas Q 1, Q e Q 3. O potencial elétrico no ponto P será então escrito como sendo: 13

135 Q1 1 Q 1 Q 1 V( r) = (4.9) 4πε r -r 3 1 4πε r -r 4πε r -r3 Com base no desenvolvimento que foi feito pra três cargas pontuais, conclui-se que o potencial elétrico em um ponto P devido a n cargas pontuais é escrito como sendo: Q1 1 Q 1 Q 1 Q 1 V( r) = L (4.3) 4πε r -r 3 n 1 4πε r -r 4πε r -r3 4πε r -rn equação 4.3 pode ser escrita na forma de um somatório, ou seja: = n Qm 1 V( r ) (4.31) m= 1 4πε r -r m equação 4.31 mostra que à medida que aumenta a quantidade de cargas, há um aumento do potencial elétrico em um ponto P qualquer. Este fato ocorre pelo fato de que o potencial elétrico equivale à energia necessária para levar uma carga unitária do infinito até o ponto P, levando em conta o campo elétrico presente. Uma ve que o aumento da quantidade de cargas fa com que o campo elétrico também aumente, há um aumento na energia necessária para mover a carga neste campo e, consequentemente, há um aumento no potencial elétrico Potencial elétrico devido a uma distribuição volumétrica de cargas Figura 4.13 mostra uma distribuição volumétrica de cargas e um ponto P, localiado a uma distncia r da origem, onde se deseja determinar o potencial elétrico devido a esta distribuição de cargas. r P Figura Potencial elétrico devido a uma distribuição volumétrica de cargas 131

136 Para calcular o potencial elétrico no ponto P, vamos dividir o volume mostrado na Figura 4.13 em n elementos de volume v conforme mostra a Figura P r r n r r - r n v n r - r r - r 1 r 1 v v 1 Figura Divisão do volume em n elementos de volume Na Figura 4.14, v i corresponde ao volume do i-ésimo elemento de volume. Considerando que a distribuição de cargas possui uma densidade volumétrica de cargas ρ v (r), onde r define a posição do elemento de volume em relação à origem, a carga de cada um dos elementos de volume mostrados na Figura 4.14 será escrita como sendo: Q Q 1 = ρv ( 1) v1 r (4.3) = ρv ( ) v r (4.33) Q n = ρv( n r ) v (4.34) n Considerando que cada elemento de volume possa ser considerado uma carga pontual, o potencial elétrico no ponto P será dado por: Q1 1 Q 1 Q 1 V( r) = L (4.35) 4πε r -r n 1 4πε r -r 4πε r-rn Substituindo as equações na equação 4.35 obtém-se: V( r) ρ ( r ) v 4πε r -r V 1 1 V V n n = L (4.36) 1 ρ ( r ) v 4πε r -r ρ ( r ) v 4πε r -r n 13

137 Faendo o volume de cada elemento de volume tender a ero, cada elemento tenderá a ser um ponto na distribuição volumétrica de cargas, conforme mostra a Figura P r Elemento diferencial de volume dv r - r r Figura Divisão do volume em n elementos de volume com v densidade volumétrica de cargas do elemento diferencial de volume dv mostrado na Figura 4.15 é escrita como sendo: dq ρv ( r' ) = (4.37) dv' Da equação 4.37 obtém-se: dq = ρv ( r' ) dv' (4.38) O elemento diferencial de potencial elétrico no ponto P, devido ao elemento diferencial de carga contido no volume dv é escrito como sendo: ρv ( r' )dv' dv( r) = (4.39) 4πε r -r' Integrando a equação 4.39 em todo o volume da distribuição de cargas, obtém-se o potencial elétrico no ponto P devido a esta distribuição. Deste modo, obtém-se: ρv( r' ) dv' V( r ) = (4.4) 4 πε r -r' vol 133

138 Com base na lei de Coulomb verifica-se que o campo elétrico no ponto P, devido à distribuição volumétrica de cargas mostrada na Figura 4.15, é escrito como sendo: ρv( r' )dv' r -r' E( r) = (4.41) 4 πε r -r' r -r' vol Comparando o campo potencial elétrico e o campo elétrico de uma distribuição volumétrica de cargas, chega-se às seguintes conclusões: i) O campo elétrico e o campo potencial elétrico são características da distribuição de carga; ii) O campo elétrico é uma grandea vetorial enquanto que o campo potencial elétrico é uma grandea escalar; iii) O campo elétrico é mais difícil de ser obtido, pois requer uma integração de volume (caso de uma distribuição volumétrica de cargas) em cada uma das direções do espaço, enquanto que o campo potencial elétrico requer somente uma integração devido ao fato de ser uma grandea escalar. Eemplo 4.1) Determine o potencial elétrico em um ponto P(,,) devido a uma distribuição linear de cargas na forma de um anel de raio R, localiado no plano =. Eemplo 4.11) Determine o potencial elétrico em um ponto P(,,) devido a uma distribuição superficial de cargas em um disco de raio R localiado no plano =. 4.4 Cálculo do campo elétrico a partir do potencial elétrico Sabe-se que um campo vetorial conservativo pode ser escrito como sendo o gradiente de um campo escalar denominado função potencial. No caso do campo elétrico, a função potencial é o potencial elétrico. Portanto, uma ve obtido o potencial elétrico é possível obter o campo elétrico a partir da seguinte relação: E = V (4.4) equação 4.4 mostra que se a função potencial elétrico for conhecida, é possível obter o campo elétrico a partir de uma simples diferenciação desta função. 134

139 s equações 4.4 e 4.41 mostram que o campo elétrico é mais difícil de ser obtido, pois requer uma integração de volume (caso de uma distribuição volumétrica de cargas) em cada uma das direções do espaço, enquanto que o campo potencial elétrico requer somente uma integração devido ao fato de ser uma grandea escalar. Uma ve obtido o potencial elétrico, é possível obter o campo elétrico por meio de uma simples diferenciação. O cálculo do campo a partir do gradiente do potencial é o terceiro método, estudado nesta disciplina, de obter o campo elétrico de uma distribuição de cargas. Os outros métodos estudados foram a Lei de Coulomb e a Lei de Gauss. Eemplo 4.1) Determine o campo elétrico, a partir do potencial elétrico, em um ponto P(,,) devido a uma distribuição linear de cargas na forma de um anel de raio R, localiado no plano =. Eemplo 4.13) Determine o campo elétrico, a partir do potencial elétrico, em um ponto P(,,) devido a uma distribuição superficial de cargas em um disco de raio R localiado no plano =. Eemplo 4.14) Determine o potencial elétrico e o campo elétrico, em um ponto P(r, θ,ϕ), devido a um dipolo. 4.5 Energia armaenada em um campo eletrostático Considere uma região do espaço em que, inicialmente, não há cargas elétricas. Nestas condições uma carga Q 1 é levada do infinito até um ponto P 1 no caminho mostrado na Figura Q 1 P 1 Fig Movimento de Q 1 do infinito até o ponto P 1 135

140 Uma ve que não há outras cargas, a movimentação da carga Q 1 até o ponto P 1 não eige dispêndio de energia. Portanto o trabalho W 1 necessário para mover Q 1 do infinito até o ponto P 1 é escrito como sendo: W 1 = (4.48) sendo: carga Q 1, fiada no ponto P 1, irá produir um campo elétrico E escrito como Q E = 4 r (4.49) πε R Figura 4.17 mostra o campo elétrico E, devido à carga Q 1, em um ponto P. E P R 1 P 1 Q 1 Fig Campo elétrico em P, devido a Q 1 gora uma carga Q é levada do infinito até um ponto P, próimo ao ponto P 1, conforme mostra a Figura Q P R 1 Q 1 P 1 Fig Movimento de Q do infinito até o ponto P considerando a presença de Q 1 Observe que o trabalho para mover Q até o ponto P não é nulo, pois eiste o campo elétrico devido à presença de Q 1 no ponto P 1. energia necessária para mover Q do infinito até o ponto P é dada por: 136

141 W P = Q. E dl (4.5) obtém-se: Substituindo a equação 4.49 na equação 4.5, e faendo as demais operações, W Q 1 = Q (4.51) 4πεR1 s cargas Q 1 e Q irão produir um campo elétrico, em um ponto P 3, conforme mostra a Figura P Q R 3 P 3 E R 13 Q 1 P 1 Fig Campo elétrico em P 3, devido a Q 1 e a Q Na Figura 4.19 o campo elétrico em P 3 é escrito sob a forma: Q Q E = r13 r3 (4.5) 4πε 4πε 1 R13 R 3 gora uma carga Q 3 é levada do infinito até um ponto P 3, próimo aos pontos P 1 e P, conforme mostra a Figura 4.. Q P P 3 R 3 Q 3 R 13 Q 1 P 1 Fig Movimento de Q 3 até o ponto P 3 considerando a presença de Q 1 e de Q 137

142 Observe que o trabalho para mover Q 3 até o ponto P deve levar em conta o campo elétrico devido às cargas Q 1 e Q. energia necessária para mover Q 3 do infinito até o ponto P 3 é dada por: W P 3 3 = Q3. E dl (4.53) obtém-se: Substituindo a equação 4.7 na equação 4.71, e faendo as demais operações, W Q Q 1 3 = Q3 Q3 (4.54) 4πεR13 4πεR 3 sendo: energia total necessária para montar o sistema de três cargas é escrita como W = W (4.55) 1 W W3 Substituindo as equações 4.48, 4.5 e 4.51 na equação 4.55 verifica-se que a energia necessária para montar o sistema de cargas é dada por: W Q Q 1 1 = Q Q3 Q3 (4.56) 4πεR1 4πεR13 4πεR 3 Q Para montar o sistema de cargas, considerou que a primeira carga a ser introduida no sistema foi a cargas Q 1, sendo seguida pelas cargas Q e Q 3 (sequência Q 1, Q, Q 3 ). Outras ordens de chegada das cargas poderiam ter sido adotadas. Por eemplo, poderia ter sido considerado que a primeira carga a ser colocada no sistema tivesse sido a carga Q 3, seguida pelas cargas Q e Q 1 (sequência Q 3, Q, Q 1 ). No entanto, independentemente da sequência para a chegada das cargas, a energia necessária para montar o sistema é a mesma energia W. Vamos então analisar a energia necessária para constituir o sistema de três cargas, considerando que a sequência de chegada das cargas seja Q 3, Q, Q

143 primeira carga a faer parte do sistema será a carga Q 3, que será levada do infinito até o ponto P 3 considerando que não há outras cargas no sistema, conforme mostra a Figura 4.1. Q 3 P 3 Fig Movimento de Q 3 do infinito até o ponto P 3 Uma ve que não há outras cargas presentes o campo elétrico inicial do sistema é nulo, ou seja: W' 3 = (4.57) próima carga a ser levada ao sistema é a carga Q. Esta carga será levada do infinito até o ponto P, conforme mostra a Figura 4.. Q P R 3 Q 3 P 3 Fig Movimento de Q do infinito até o ponto P considerando a presença de Q 3 movimentação de Q do infinito até o ponto P requer energia, pois há no sistema o campo elétrico devido à presença de Q 3. energia necessária para levar Q do infinito até o ponto P é escrita como sendo: 139

144 W' Q 3 = Q (4.58) 4πεR 3 Em seguida a carga Q 1 será levada do infinito até o ponto P 1, conforme mostra a Figura 4.3. Q P P 1 R 1 Q 1 R 31 Q 3 P 3 Fig Movimento de Q 1 até o ponto P 1 considerando a presença de Q 3 e de Q energia necessária para mover Q 1 do infinito até o ponto P 1, considerando a presença de Q 3 e de Q é dada por: W' Q Q 3 1 = Q1 Q1 (4.59) 4πεR 31 4πεR 1 energia total necessária para montar o sistema na sequência Q 3, Q, Q 1 será: W ' = W (4.6) 3 W W1 Substituindo as equações 4.57, 4.58 e 4.59 na equação 4.6, verifica-se que a energia necessária para montar o sistema de cargas, na sequência Q 3, Q, Q 1, é dada por: W Q Q 3 3 = Q Q1 Q1 (4.61) 4πεR 3 4πεR 31 4πεR 1 Q energia necessária para montar o sistema de três cargas é a mesma, independentemente da sequência das cargas. ssim a soma das equações 4.56 e 4.61 resultam em: 14

145 W = Q3 Q 1 4πεR 31 Q Q 3 4πεR 3 Q 4πε R Q1 4πε R 1 13 Q3 Q 4πεR 3 Q1 4πε R 1 (4.6) Com base no conceito de potencial elétrico, verifica-se que o termo que multiplica Q 1, na equação 4.6, corresponde ao potencial no ponto P 1 devido à presença das cargas Q 3 e Q. De mesmo modo verifica-se que o termo que multiplica Q corresponde ao potencial elétrico no ponto P resultante da ação das cargas Q 1 e Q 3, e que o termo que multiplica Q 3 corresponde ao potencial elétrico no ponto P 3 devido à presença das cargas Q e Q 1. Denominando os potenciais mencionados anteriormente de V 1, V e V 3, teremos: V Q Q 3 1 = (4.63) 4πεR 31 4πεR 1 V Q Q 3 1 = (4.64) 4πεR 3 4πεR1 V Q Q 1 3 = (4.65) 4πεR 3 4πεR13 Substituindo as equações na equação 4.6, e faendo as demais operações, obtém-se: 1 W = ( Q1V1 QV Q3V3 ) (4.66) equação 4.66 mostra a energia necessária para montar um sistema de três cargas. Di-se que esta energia está armaenada no campo elétrico resultante destas cargas. Então, a energia armaenada em um sistema de N cargas é escrita como sendo: N 1 W = Q V i i (4.67) i= 1 Na equação 4.67 V i corresponde ao potencial elétrico no ponto P i considerando todas as cargas, com eceção da i-ésima carga. 141

146 Se considerarmos uma distribuição volumétrica de cargas, a carga contida em um elemento diferencial de volume será: dq = dvol (4.68) ρv Substituindo a equação 4.68 na equação 4.67: N 1 W = ρvdvoli Vi (4.69) i= 1 Na equação 4.69 V i é o potencial no local onde se encontra o i-ésimo elemento de carga. Se este elemento de cargas for infinitamente pequeno, a equação 4.69 torna-se: 1 W = Vdvol ρ (4.7) v vol equação 4.7 representa a energia armaenada em um campo elétrico resultante de uma distribuição volumétrica de cargas. Observe que o integrando é diferente de ero somente nos pontos em que houver densidade de cargas (ρ v ). Portanto o domínio de integração corresponde à região do espaço em que eiste densidade de cargas. Na equação 4.7 a energia armaenada no campo elétrico foi epressa em função do potencial elétrico e da densidade volumétrica de cargas. No entanto esta energia pode ser epressa em função do campo elétrico. Para isto considere a primeira equação de Mawell, ou seja:. D = ρ v (4.71) Substituindo a equação 4.71 na equação 4.7 obtém-se: 1 W (. D ) V dvol (4.7) = vol Das propriedades do cálculo vetorial têm-se:. (V D ) = V(. D) D. ( V) (4.73) Da equação 4.73 obtém-se: 14

147 V(. D ) =.(V D) D. ( V) (4.74) Substituindo a equação 4.74 na equação 4.7 têm-se: W = 1 vol 1.(V D ) dvol D. ( V) dvol (4.75) vol Com base no teorema da divergência, é possível escrever: (V )dvol = vol. D V D. ds (4.76) s Substituindo a equação 4.76 na equação 4.75 têm-se: W = 1 s 1 V D. ds D. ( V) dvol (4.77) vol Sabe-se que o potencial elétrico e o campo elétrico possuem a seguinte relação: E = V (4.78) densidade de fluo elétrico D pode ser escrita como sendo: D = ε E (4.79) Substituindo as equações 4.78 e 4.79 na equação 4.77 obtém-se: W = 1 s 1 ε V E. ds εe. E dvol (4.8) vol Desenvolvendo o produto escalar E.E a equação 4.8 torna-se: W = 1 s 1 ε V E. ds ε E dvol (4.81) vol Verifica-se que a integral de superfície, que corresponde ao fluo de VE através da superfície S, mostrada na equação 4.81 é nula em qualquer situação. Este fato será comprovado a partir de dois eemplos que serão mostrados em seguida. 143

148 Eemplo 4.15) Calcule a energia armaenada no campo elétrico de uma distribuição superficial de cargas constante ρ s C/m no formato de uma superfície esférica de raio R. Eemplo 4.16) Calcule a energia armaenada no campo elétrico produido pelas cargas Q e -Q distribuídas nas superfícies esféricas concêntricas mostradas em seguida. Superfície esférica com carga distribuída Q R Superfície esférica com carga distribuída -Q R 1 Figura para o eemplo 4.16 Os eemplos 4.15 e 4.16 mostram que a integral de superfície da equação 4.81 é sempre nula. ssim a energia armaenada no campo elétrico, resultante de uma distribuição de cargas, é escrito como sendo: 1 ε W E dvol (4.8) = vol Na equação 4.8 E é o módulo do campo elétrico E. Esta equação mostra a energia armaenada em um campo elétrico, considerando o volume em que este campo elétrico E se manifesta. Eemplo 4.17) Determine a energia armaenada no campo elétrico de um cabo coaial de comprimento L. Eemplo 4.18) Considere uma nuvem, cujo formato pode ser considerado uma esfera de raio a = 1 km, com uma distribuição volumétrica de cargas igual a 1 ηc/m 3. Determine a energia associada a esta nuvem (energia armaenada no campo elétrico da nuvem). 144

149 Capítulo 5 Condutores, Dielétricos e Capacitncias 5.1 Introdução Para que uma carga elétrica se mova é necessário que uma força atue sobre ela. Esta força pode ser de origem mecnica (por eemplo, o movimento de partículas carregadas, no interior de uma nuvem, devido à ação do vento), elétrica (devido a um campo elétrico) ou térmica (efeito termoiônico, que é a emissão de elétrons pela superfície de um metal aquecido). O movimento de cargas também pode ocorrer por meio da liberação de cargas dos átomos (devido às colisões que ocorrem no interior do átomo). O movimento de cargas elétricas (elétrons, prótons ou íons) constitui um fluo, ou corrente, que depende do tipo de mecanismo que deu origem ao movimento das cargas. Dentre os diversos tipos de corrente, podemos citar a corrente de convecção e a corrente de condução sendo que a principal diferença entre estes dois tipos é que a corrente de convecção não necessita de um campo elétrico para ser estabelecida enquanto que a corrente de condução eiste somente na presença de um campo elétrico. 5. Corrente e vetor densidade de corrente Considere um elemento diferencial de volume vol, com comprimento e seção transversal S, que se move com uma velocidade constante V, ao longo de um corpo cilíndrico conforme mostra a Fig Elemento de volume vol L V Seção transversal com área s Fig Movimento de um elemento de volume 145

150 Considere que o volume vol possua N partículas por unidade de volume e que estas partículas possuam uma carga elétrica q. ssim, a carga total no interior do volume vol é escrita como sendo: Q = Nq vol (5.1) Considerando que todas as partículas contidas no volume vol movem-se com velocidade constante V, e que este volume atravessa a superfície S em um intervalo de tempo t é possível escrever: = V t (5.) O volume vol é dado por: vol = S (5.3) Substituindo a equação 5. na equação 5.3: vol = S V t (5.4) Substituindo a equação 5.4 na equação 5.1: Q = N q S V t (5.5) Dividindo os dois lados da equação 5.5 por t obtém-se: Q = N q S t V (5.6) Na equação 5.6 o termo Nq corresponde à densidade volumétrica de cargas ρ v que está atravessando a superfície S. ssim, a equação 5.6 passa a ser escrita na forma: Q S t = ρ v V (5.7) equação 5.7 mostra a quantidade de cargas, por unidade de tempo, que atravessa a superfície S. esta relação dá-se o nome de corrente elétrica, cuja unidade 146

151 é Coulombs/segundo (C/s) mais conhecida como ampére (). Portanto a corrente elétrica I pode ser escrita de duas formas, conforme mostram as equações 5.8 e 5.9.: Q I = (5.8) t I = ρv V S (5.9) equação 5.9 foi obtida para o caso particular em que as partículas movem-se em uma direção perpendicular à superfície S. Vamos agora definir a densidade de corrente considerando que a direção do movimento das partículas e a superfície S não são perpendiculares. Para isto, considere a Fig. 5. onde a velocidade V do elemento de volume e a área S 1 não são paralelas. S 1 n V Fig Movimento de cargas de um elemento de volume considerando que a velocidade e a superfície não são paralelas Figura 5.3. Figura 5. pode ser desenhada de forma bidimensional conforme mostra a área S n v θ θ v área S 1 Figura Vista bidimensional do elemento de volume em que a velocidade e a superfície não são paralelas Conforme mostrado na equação 5.9, a corrente I através do elemento de superfície S é escrita como sendo: I = ρv V S (5.1) 147

152 Da Figura 5.3 é possível verificar que a área S é a projeção da área S 1. Deste modo, é possível escrever: S = S1 cosθ (5.11) Substituindo a equação 5.11 na equação 5.1 obtém-se: I 1 = ρv V S cosθ (5.1) Na equação 5.1 o termo V S 1 cosθ corresponde ao produto escalar entre V e S 1 n. Portanto a equação 5.1 torna-se: I = ρv V S1 n (5.13) Os termos ρ v e V é uma característica das partículas que estão se movendo e estas duas variáveis definem a densidade de corrente, que é um vetor escrito como sendo: J = V (5.14) ρv Verifica-se, na equação 5.14, que a unidade da densidade de corrente J é o ampere/m (/m ). Portanto, a corrente I pode ser escrita como sendo: I = J S1 n (5.15) equação 5.15 mostra que a corrente corresponde ao produto escalar dos vetores densidade de corrente J e elemento de superfície S 1 n. Vamos considerar agora a situação em que o elemento de volume vol atravessa uma superfície irregular, conforme mostra a Figura 5.4. L volume vol V superfície irregular com área S Figura Elemento de volume atravessando uma superfície irregular 148

153 Uma ve que a superfície da seção transversal é irregular, vamos considerar um pequeno elemento de superfície S i ni na seção transversal, conforme mostrado na Figura 5.5. vol V ni θ i V s i Figura Pequeno elemento de superfície S i ni na superfície irregular Na Figura 6 ni é um vetor unitário que é perpendicular à superfície s i. Considerando que a superfície irregular, mostrada na Figura 5.9, foi dividida em n pequenas superfícies com área s i, é possível aplicar a equação 5.15 para obter a corrente em cada uma das superfícies s i. ssim, pode-se dier que a corrente através da superfície irregular pode ser escrito, de maneira aproimada, como sendo: I n i= 1 J ( s i ) (5.16) ni Faendo s i tender a ero na Figura 5.9, a equação 5.16 torna-se: I = i= 1 J ( s i ) (5.17) ni equação 5.17 pode ser escrita como sendo: I = J (ds ) S n (5.18) O vetor ds i n pode ser escrito como ds. Neste caso, o vetor ds representa um vetor que é perpendicular à superfície S em todos os pontos desta superfície. Deste modo a equação 5.18 torna-se: I = J (ds) (5.19) S 149

154 equação 5.19 mostra que a corrente elétrica corresponde ao fluo da densidade de corrente através de uma superfície genérica S. 5.3 Corrente elétrica em materiais condutores e Lei de Ohm Um material dito condutor é caracteriado pelo fato de que a camada de valência (ultima camada com elétrons) de seus átomos estarem a uma distncia relativamente grande do núcleo. Em raão da grande distncia entre essa última camada e o núcleo, os elétrons ficam fracamente ligados com o núcleo, podendo, dessa forma, abandonar o átomo em virtude das forças que ocorrem no interior dos átomos. Esses elétrons que abandonam o átomo são chamados de elétrons livres. Os metais no geral são bons condutores de eletricidade, pois eles possuem elétrons livres. Na ausência de um campo elétrico eterno, as cargas livres em um condutor metálico estão em um estado de movimento (caótico) aleatório, por causa de sua energia térmica. Esse é o chamado movimento térmico de cargas. velocidade correspondente é a velocidade térmica que, em temperatura ambiente, é da ordem de 1 5 m/s. Em função da naturea aleatória, não há nenhum movimento líquido macroscópico em qualquer direção dada, isto é, a resultante vetorial média macroscópica de velocidades térmicas de cargas individuais, em qualquer ponto do condutor, é ero. Para eistir uma corrente elétrica (definida como um fluo macroscópico líquido de cargas livres) as cargas devem ter uma velocidade média macroscópica diferente de ero em alguma direção. Esta velocidade pode ser alcançada com a aplicação de um campo elétrico eterno em um condutor. Vamos analisar incialmente a situação em que um condutor isolado, eletricamente neutro, é submetido a um campo elétrico eterno E et,. Vamos considerar, inicialmente, o condutor em um meio em que não há nenhum campo elétrico, conforme mostra a Figura 5.6. condutor Fig Material condutor em um meio sem campo elétrico eterno partir do momento em que o material é submetido ao campo elétrico eterno E et tem início um movimento de elétrons livres para o lado esquerdo, deiando um 15

155 déficit de elétrons no outro lado do condutor, que corresponde a um movimento de cargas negativas em direção ao lado direito do condutor conforme mostra a Figura 5.7(a). O acúmulo de cargas positivas e negativas nas etremidades direita e esquerda, respectivamente, dá origem a outro campo elétrico interno ao material, denominado E int, conforme mostra a Figura 5.7(b) E et E et E int - (a) (b) Fig Movimentação de cargas (a) e estabelecimento do campo E int (b) no interior do condutor, durante um período transitório À medida que aumenta a concentração de cargas nos etremos do condutor, o campo E int também aumenta. movimentação de elétrons livres é interrompida no instante em que os campos E et e E int se anulam. partir deste instante, o campo elétrico no interior do condutor é nulo e não há mais movimentação de cargas no interior do condutor. Esta situação é descrita na Figura 5.8. E et E = E et Fig Condutor isolado, em um campo elétrico eterno, após o período transitório Conclui-se que quando um condutor isolado é colocado na presença de um campo elétrico eterno os elétrons livres se posicionam de modo a anular o campo elétrico no interior do material. O deslocamento de elétrons livre, neste processo de anulação do campo no interior do condutor, constitui uma corrente elétrica; porém, trata-se de uma corrente transitória, de curta duração. Vamos analisar agora a situação em que os terminais do condutor são conectados a uma pilha elétrica, ou bateria, formando um circuito fechado conforme mostra a Figura

156 Condutor - Pilha chave Fig Circuito fechado O princípio de funcionamento de uma bateria baseia-se na ocorrência de uma reação química que fornece a energia para criar a corrente elétrica em seu interior. Essa reação cria uma força que empurra as cargas positivas para o polo positivo e pua as cargas negativas para o polo negativo. Esta força de origem química provoca uma separação de cargas que cessa somente quando seu valor é igualado à força de repulsão (de origem elétrica) originada pelas cargas que já estão nos polos. pós o término do processo de separação de cargas é estabelecida uma diferença de potencial entre os polos positivo e negativo da bateria. Se a chave for fechada, será estabelecido um campo elétrico E no interior do condutor, conforme mostra a Figura 5.1. Elétron saindo do condutor E Reposição de elétron no condutor - Pilha Fig Circuito fechado pós o fechamento da chave, o campo elétrico no interior do condutor fa com que seus elétrons livres movam-se em sentido contrário ao campo E. Cada elétron livre que sai do terminal negativo da pilha é imediatamente reposto pela força de origem química. ssim, o movimento de elétrons livre no interior do condutor (do polo negativo para o polo positivo) ocorre devido ao campo elétrico E enquanto que o movimento de elétrons no interior da pilha (do polo positivo para o polo negativo) 15

157 ocorre devido à força de origem química. corrente elétrica causada por uma pilha é denominada corrente contínua ou corrente constante. É importante observar que quando um elétron livre deia o condutor pelo lado esquerdo, ele é imediatamente reposto pelo polo negativo da pilha de modo que a quantidade total de elétrons do material não é alterada. Consequentemente a densidade volumétrica de cargas no interior permanece constante. Um elétron livre do material condutor mostrado na Figura 5.1 está submetido a uma força elétrica, devido ao campo E, dada por: F = e E (5.) Na equação 5. e é a carga elétrica do elétron livre. Se o elétron livre estivesse no vácuo, sua velocidade aumentaria indefinidamente devido à atuação da força F. No entanto em um meio material (material condutor) o elétron alcança uma velocidade máima, denominada drift, que é limitada pelas colisões do elétron com a estrutura cristalina do condutor. velocidade de drift é proporcional ao valor do campo elétrico E sendo escrita como sendo: v = E (5.1) d µ e Na equação 5.1 µ e é a mobilidade do elétron no material condutor. mobilidade é epressa em m /(volt.s) (metro quadrado por volt por segundo). Valores típicos da mobilidade são,1 para o alumínio,,3 para o cobre e,56 para a prata. densidade de corrente J para este material condutor, de acordo com a equação 5.14, é escrita como sendo: J = ρ e v d (5.) Na equação 5. ρ e corresponde à densidade volumétrica de elétrons livre do material condutor. Substituindo a equação 5.1 na equação 5. obtém-se: J = ρ e µ e E (5.3) equação 5.3 pode ser escrita na forma: J = σ E (5.4) 153

158 Na equação 5.4 σ, que corresponde ao produto -ρ e µ e, é um parmetro macroscópico do meio denominado condutividade do material epresso em siemens/metro (S/m) ou mhos/metro. Valores típicos para a condutividade do alumínio, do cobre e da prata são 3,8 1 7, 5,8 1 7 e 6,17 1 7, respectivamente. equação 5.4 corresponde à forma pontual ou local da Lei de Ohm. Eemplo 5.1: Um fio de cobre de comprimento L = 1 km e raio a = 3 mm transporta uma corrente contínua I = 1 que está uniformemente distribuída em todo o corte transversal do fio. Determine o tempo necessário para que um elétron livre percorra toda a etensão deste fio. Eemplo 5.: Uma bateria é conectada aos terminais de um condutor cilíndrico de comprimento L e área de seção transversal S. Sabendo que a bateria fa com que o condutor seja submetido a um campo elétrico uniforme E no sentido do comprimento do condutor, determine (a) a diferença de potencial V B entre as etremidades do condutor, (b) a corrente I no condutor e (c) a relação V B /I. 5.4 Equação da continuidade carga elétrica é indestrutível, e não pode ser perdida ou criada. Ela pode se mover de um lado para outro, mas nunca aparece do nada ou desaparece. Este é o princípio da conservação da carga, que é um dos princípios fundamentais do eletromagnetismo e é epresso matematicamente por meio da equação da continuidade. Figura 5.1 mostra um corpo isolado carregado eletricamente com uma densidade volumétrica de cargas ρ v. ρ v Figura Corpo isolado carregado eletricamente Uma ve que o corpo mostrado na Figura 5.1 está isolado, cargas elétricas não entram e não saem deste corpo. ssim, a carga total do corpo se manterá indefinidamente. Este é um eemplo trivial do princípio da conservação da carga elétrica. 154

159 Considere agora que o corpo mostrado na Figura 5.1 é conectado a outro corpo, por meio de um fio, de modo que cargas elétricas fluam para este corpo (não mostrado na figura). O movimento de cargas resulta em uma corrente elétrica I, conforme mostra a Figura ρ v I ds Figura Corpo carregado eletricamente conectado a outro corpo corrente I que flui para fora do corpo fa com que sua densidade volumétrica de cargas diminua. Considerando que a carga do corpo diminua de uma quantidade dq em um intervalo de tempo dt, a corrente I pode ser escrita como sendo: dq I= (5.) dt carga total do corpo pode ser epressa em função de sua densidade volumétrica de cargas ρ v como sendo: Q = ρ v dvol (5.1) vol Substituindo a equação 5.1 na equação 5. obtém-se: d dρv I = v dvol I dvol dt ρ => = (5.) dt vol vol Epressando a corrente I em função da densidade de corrente J obtém-se: I = s J ds (5.3) s partir das equações 5. e 5.3 obtém-se: dρv J ds = dvol (5.4) dt vol 155

160 equação 5.4 é a equação da continuidade na forma integral. Esta equação garante que o fluo eterno do vetor densidade de corrente através de qualquer superfície fechada é igual ao negativo da variação de cargas no interior da superfície. partir do teorema da divergência, é possível escrever: s J ds = ( J)dvol (5.5) vol Substituindo a equação 5.5 na equação 5.4: vol dρ J (5.6) dt v ( ) dvol = dvol vol Que resulta em: dρ J = v (5.6) dt equação 5.6 é a equação da continuidade na forma pontual. O lado esquerdo desta equação corresponde ao fluo de J, que corresponde à corrente elétrica, em um ponto do corpo. Portanto, a equação da continuidade di que caso ocorra uma variação na densidade volumétrica de cargas em um ponto qualquer do corpo, esta variação de cargas corresponderá a uma corrente neste ponto. Em outras palavras, a única maneira possível de ocorrer variação na densidade de cargas do corpo é se cargas elétricas entrarem ou saírem do corpo. Para correntes contínuas, do tipo mostrado na Figura 5.9, em que toda carga que sai do condutor é reposta pela bateria, a densidade de cargas é invariante no tempo, ou seja: dρ v = dt (5.7) Substituindo a equação 5.7 na equação 5.4, verifica-se que para correntes contínuas a equação da continuidade na forma integral torna-se: 156

161 J ds = (5.8) s Para escrever a equação da continuidade na forma pontual, para correntes contínuas, deve-se substituir a equação 5.7 na equação 5.6 obtendo-se então: J = (5.9) equação 5.9 mostra que em qualquer ponto, de um volume percorrido por uma corrente contínua, a corrente elétrica é nula (ou solenoidal). Isto significa que não eistem fontes ou sumidouros de corrente e que o fluo devido a correntes contínuas é fechado. Considere então uma junção em que uma corrente contínua é carregada para dentro e para fora por meio de N condutores conforme mostra a Figura 5.1. I N I I 1 Figura Corrente contínua entrando e saindo de uma junção equação 5.8 garante que a soma algébrica de todas as correntes que entram e saem do corpo mostrado na Fig. 51 é nula, ou seja: N Ik = k= 1 (5.3) equação 5.3 equivale à lei de Kirchhoff para as correntes. Eemplo 5.3: Considere um ponto P de um corpo condutor homogêneo com condutividade σ e permissividade ε em que, no instante t =, é inserida um densidade volumétrica de cargas constante ρ v = ρ C/m 3. Determine uma função que epresse a densidade volumétrica de cargas em função do tempo no ponto P do condutor. 157

162 5.5 Propriedade dos materiais condutores e condições de contorno Figura 5.13 mostra um material condutor eletricamente neutro. material condutor Figura Material condutor eletricamente neutro Considere que em um determinado instante cargas negativas (elétrons) sejam inseridas no interior do condutor conforme mostra a Fig cargas inseridas Figura Cargas inseridas no interior do condutor Os elétrons inseridos no interior do material irão afastar-se uns em relação aos outros (devido à força elétrica repulsiva entre eles) até que alcancem a superfície do material. partir deste instante, o movimento das cargas que foram inseridas é interrompido, pois o material condutor está envolvido por um meio isolante que não permite a movimentação das cargas. ssim, após o término do movimento das cargas inseridas não haverá mais cargas no interior do material condutor e as cargas terão o arranjo mostrado na Figura cargas inseridas distribuem-se na superfície do condutor Figura Cargas distribuídas na superfície do condutor pós o período transitório, em que as cargas movimentam-se em direção à superfície do condutor, conclui-se que: 158

163 a) O condutor adquire uma distribuição superficial de cargas, sendo que não haverá cargas no interior do condutor; b) Uma ve que não há cargas no interior do condutor, a Lei de Gauss garante que o campo elétrico nesta região é nulo. distribuição superficial de cargas mostrada na Figura 5.15 resultará então em um campo elétrico eterno ao condutor. Este campo elétrico pode, em qualquer ponto da superfície, ser decomposto em suas componentes normal e tangencial ao condutor conforme mostra a Figura E n condutor E t E Figura Campo elétrico em um ponto genérico da superfície do condutor Na Figura 5.16 E é o campo elétrico em um ponto P genérico na superfície do condutor enquanto que E t e E n são as componentes tangencial e normal, respectivamente, ao condutor no ponto P. nalogamente ao campo elétrico, a densidade de fluo elétrico D no ponto P também pode ser decomposta em suas componentes normal D n e tangencial D t. Uma ve que as cargas estão imóveis na superfície do condutor, conclui-se que a componente tangencial do campo elétrico é nula, pois em caso contrário as cargas estariam movendo-se na superfície do condutor. Conclui-se então que o campo elétrico, assim como a densidade de fluo elétrico, terá apenas a componente normal ao condutor faendo com que, em condições eletrostáticas, o campo elétrico seja sempre perpendicular à superfície do condutor conforme mostra a Figura E 3 E P3 P 4 P P 1 E 1 E 4 P 5 P n E n E 5 Figura Campo elétrico na superfície do condutor 159

164 Então, o campo elétrico e a densidade de fluo elétrico na superfície do condutor são escritos como sendo: E = E n (5.31) D = D n (5.3) Uma consequência de o campo elétrico ser sempre perpendicular à superfície do condutor eletricamente carregado é que a diferença de potencial entre dois pontos quaisquer sobre tal superfície é nula. Para verificar tal afirmação, vamos calcular a diferença de potencial entre os pontos P 1 e P 5 que estão na superfície do condutor mostrado na Figura Esta diferença de potencial é escrita como sendo: V P1 15 =. dl = V1 V5 P 5 E (5.33) Sabe-se que o campo elétrico é perpendicular à superfície. Uma ve que o caminho foi definido sobre a superfície, os vetores E e dl são perpendiculares e a diferença de potencial entre os pontos P 1 e P 5 é nula. Portanto, conclui-se que os pontos P 1 e P 5 estão no mesmo potencial, e que a superfície do material condutor é uma superfície equipotencial (veja definição de superfície equipotencial no capítulo 4). Para encontrar D e E em um ponto qualquer na superfície do condutor, considere um pequeno elemento da superfície condutora e uma pequena superfície Gaussiana de formato cilíndrico conforme mostra a Figura Cargas superficial envolvida pela Gaussiana ds 1 D Superfície eterna do condutor Superfície Gaussiana ds D = Superfície interna do condutor Figura Superfície Gaussiana na superfície do condutor Sabe-se que as cargas estão distribuídas na superfície do condutor. Considerando que a Gaussiana mostrada na Figura 5.18 é bastante pequena, é possível afirmar que a 16

165 carga envolvida pela Gaussiana possui uma densidade superficial ρ s constante. ssim, a carga envolvida pela Gaussiana é escrita como sendo: Q = ρ s S (5.34) Na equação 5.34 S é a área da superfície do condutor envolvida pela Gaussiana. plicando a lei de Gauss na Figura 5.18, podemos escrever: D ds = Q (5.35) s Substituindo a equação 5.34 na equação 5.35 e sabendo que o vetor D no interior do condutor é nulo, a equação 5.35 torna-se: D ds = ρs S (5.36) s 1 Sabendo que o vetor D é constante na superfície S 1, a equação 5.36 torna-se: D S = ρ S D = ρ (5.37) s s equação 5.37 mostra que o módulo do vetor densidade de fluo em um ponto qualquer da superfície do condutor é igual à densidade superficial de cargas neste ponto. Substituindo a equação 5.37 na equação 5.3 verifica-se que a densidade de fluo D em um ponto qualquer da superfície condutora é escrita como sendo: D = (5.38) ρs n relação: Sabe-se que o campo elétrico e a densidade de fluo elétrico obedecem a seguinte D = ε E (5.39) Substituindo a equação 5.39 na equação 5.38 conclui-se que o campo elétrico em um ponto qualquer da superfície de um material condutor eletricamente carregado é dado por: 161

166 ρ E = s n (5.4) ε Na equação 5.4 ε é a permissividade do meio que envolve o condutor e ρ s é a densidade de cargas na superfície do condutor. Resumindo, conclui-se que para um condutor eletricamente carregado valem as seguintes condições de contorno: i) s cargas estão na superfície do condutor (o condutor possui uma distribuição superficial de cargas); ii) O campo elétrico no interior do condutor é nulo; iii) O campo elétrico é perpendicular à superfície do condutor 5.6 Método das imagens Vamos considerar uma região do espaço que contenha uma única carga pontual Q conforme mostra a Figura E P(,,) Q Figura Campo elétrico de uma carga pontual Na Figura 5.19 E é o campo elétrico da carga pontual Q, que pode ser obtido por meio da lei de Coulomb ou da lei de Gauss. Vamos considerar agora que nas proimidades da carga positiva Q eista um plano condutor perfeitamente aterrado conforme mostra a Figura 5.. Carga Q Plano condutor Figura 5. - Carga pontual próima a uma superfície condutora 16

167 Na Figura 5., a carga Q irá induir uma carga -Q na superfície condutora, faendo com que esta superfície adquira uma densidade superficial de cargas. densidade superficial de cargas em um ponto sobre a superfície é função da distncia deste ponto em relação à origem do sistema de coordenadas também localiado na superfície condutora. Uma análise quantitativa nos permite concluir que a densidade de cargas na superfície condutora diminui à medida que nos afastamos da origem. ssim, pontos da superfície próimos à origem terão densidade superficial de cargas maior que pontos mais afastados conforme mostra a Figura 5.1. Figura Distribuição da carga induida na superfície condutora Na Figura 5.1 as regiões mais escuras da superfície (regiões mais próimas da origem) possuem densidade de carga maior que as regiões mais claras (regiões mais afastadas da origem). presença do plano condutor irá faer com que o campo elétrico devido ao sistema constituído pela carga pontual e pela superfície condutora seja diferente do campo elétrico devido somente à carga pontual que foi mostrado na Figura Sabendo que o campo elétrico em uma superfície condutora é perpendicular a esta superfície, conclui-se que o campo elétrico devido à carga pontual e ao plano condutor terá o aspecto mostrado na Figura

168 Fonte: Campo elétrico Plano condutor com carga distribuída -Q Figura 5. - Campo elétrico devido ao sistema constituído pela carga pontual e pelo plano condutor O campo elétrico mostrado na Figura 5. não pode ser calculado por meio dos métodos já estudados (leis de Coulomb e de Gauss e método do potencial) devido ao fato de que não conhecemos quantitativamente a distribuição de cargas do plano condutor. No entanto, este campo pode ser obtido por meio da aplicação do método das imagens. ntes que seja mostrado o método das imagens, será feita uma análise do campo elétrico devido ao sistema de duas cargas pontuais Q e -Q mostradas na Figura 5.3. Na Figura 5.3 as cargas Q e -Q estão localiadas a uma mesma distncia em relação ao plano. Os vetores R 1 e R definem as distncias das cargas Q e Q, respectivamente, em relação a um ponto P genérico localiado no plano (,,d) Carga Q R 1 R (,,-d) Carga -Q P(,,) Figura Sistema de cargas Q e -Q em posições simétricas em relação ao plano 164

169 O potencial elétrico no ponto P(,,) é escrito como sendo: V p Q Q = (5.41) 4πε R1 4πε R Os vetores R 1 e R possuem o mesmo módulo. ssim, o potencial elétrico em qualquer ponto localiado no plano é nulo, ou seja, o plano é uma superfície equipotencial cujo potencial é ero. Uma ve que o plano é uma superfície equipotencial, o campo elétrico é perpendicular a este plano. Conclui-se então que o campo elétrico devido às cargas Q e -Q terá o aspecto mostrado na Figura 5.4. Observe que o campo elétrico, acima do plano, do sistema de cargas Q e -Q mostrado na Figura 5.5 é idêntico ao campo elétrico do sistema constituído por uma carga pontual Q e um plano condutor mostrado na Figura 5.. Esta é a ideia básica do método das imagens. Fonte: Superfície equipotencial com V = Figura Campo elétrico para o sistema de cargas Q e -Q em posições simétricas em relação ao plano 165

170 De acordo com o método das imagens, o campo elétrico de uma carga pontual que está a uma distncia d de um plano condutor infinito e com potencial nulo é idêntico ao sistema constituído por duas cargas pontuais Q e -Q separadas por uma distncia d e dispostas de maneira simétrica em relação ao plano. O método das imagens pode ser aplicado no caso de cargas pontuais ou de qualquer distribuição de cargas. Figura 5.5 ilustra o método das imagens. Q Q d d d Plano condutor infinito com potencial nulo -Q Plano equipotencial com potencial nulo Figura Método das imagens Eemplo 5.4: Considere uma carga pontual Q fia no ponto (,,h) e um plano condutor localiado no plano =. a) Determine o campo elétrico na superfície do plano condutor; b) Determine a densidade de cargas induida no plano condutor; c) Calcule a carga induida no plano condutor. Eemplo 5.5: Considere uma distribuição linear de cargas igual a ρ L C/m paralela ao eio e que passa pelo ponto (,,h) e um plano condutor localiado no plano =. a) Determine o campo elétrico em um ponto P(,,) genérico; b) Determine a densidade de cargas induida no plano condutor; c) Determine a diferença de potencial V B entre os pontos (1,,) e B(-, 3,); d) Determine a diferença de potencial V B entre os pontos (,,h/4) e B(,,3h/4); 5.7 Propriedade dos materiais dielétricos e condições de contorno Em um material dielétrico (ou isolante) os elétrons estão fortemente presos ao núcleo atômico devido à força elétrica entre tais elétrons e os prótons, sendo que não eistem elétrons livres nestes materiais. No entanto, se um campo elétrico for aplicado a 166

171 um dielétrico, haverá uma tendência a afastar os elétrons de seus núcleos em virtude da força eterna originada pelo campo elétrico. À medida que o campo elétrico eterno aumenta, a força eterna que age em cada elétron aumenta na mesma proporção e, eventualmente, pode-se chegar ao ponto em que a força eterna seja maior do que a força de atração que eiste entre o elétron e seu núcleo atômico. Quando ocorre esta situação, os elétrons tornam-se elétrons livres, e o dielétrico torna-se um condutor. Esse processo pode ocorrer em qualquer dielétrico, e a intensidade do campo elétrico que o transforma em condutor depende da estrutura de cada material. O valor mínimo do campo elétrico que deve ser aplicado a um isolante para transformá-lo em condutor é denominado rigide dielétrica, e cada material possui seu valor característico de rigide dielétrica. Outra característica importante dos dielétricos é a sua capacidade de armaenar energia eletrostática. Tal propriedade é observada quando um material dielétrico é introduido entre meios condutores, formando um dispositivo denominado capacitor. Figura 5.6 mostra a representação de um átomo de um material dielétrico em uma região do espaço em que não há um campo elétrico eterno. Nesta representação, o átomo é representado por um núcleo que contém cargas positivas e por elétrons que orbitam o núcleo. Os elétrons estão fortemente acoplados ao núcleo por meio de forças elétricas, sendo que não eistem elétrons livres neste átomo. O átomo é eletricamente neutro núcleo elétron Figura Átomo de material dielétrico Vamos considerar que o átomo mostrado na Figura 5.6 seja colocado em uma região do espaço em que eiste um campo elétrico eterno E et. Nestas condições, dise que o átomo foi polariado. Uma ve que os elétrons do átomo não são elétrons livres, eles não serão deslocados para a superfície do material dielétrico (fato este que ocorre com um material condutor na presença de um campo elétrico eterno). No entanto, estes elétrons irão sofrer um pequeno deslocamento no sentido contrário ao campo elétrico eterno, conforme mostra a Figura

172 E et elétron núcleo Figura Polariação das cargas de um átomo de material dielétrico O átomo ou molécula de um material dielétrico polariado devido à presença de um campo elétrico eterno pode ser representado por um dipolo, conforme mostra a Figura Figura Átomo de material dielétrico polariado representado por um dipolo E et Átomo ou molécula do dielétrico Portanto um material dielétrico, quando polariado, pode ser representado por dipolos alinhados com o campo eterno conforme mostra a Figura 5.9. Material dielétrico E et Figura Material dielétrico na presença de um campo elétrico eterno Figura 5.9 mostra que a polariação do dielétrico fa com que os campos de seus átomos resultem em um campo elétrico na mesma direção, mas em sentido oposto ao campo elétrico eterno. ssim o campo elétrico no interior de um dielétrico polariado é menor que o campo eterno que causou a polariação do material. Portanto um dielétrico, quando polariado por um campo elétrico eterno, tornase uma fonte de seu próprio campo elétrico e o campo elétrico total em um ponto 168

173 qualquer do espaço (dentro ou fora do dielétrico) é uma soma do campo eterno e do campo devido à polariação dielétrica (campo elétrico secundário). s características de um material dielétrico, descritas anteriormente, levam à seguinte relação entre a densidade de fluo elétrico e o campo elétrico no interior do material polariado: D = ε ε )E (5.4) ( χe Na equação 5.4 D e E são, respectivamente, a densidade de fluo e o campo elétrico no interior do dielétrico polariado, ε é a permissividade do vácuo e χ e é denominada suscetibilidade elétrica do material. Esta equação é mais encontrada na forma: D = εe (5.43) O termo ε é a permissividade do material e pode ser escrita como sendo: ε = ε r ε (5.44) Na equação 5.44 ε r é a permissividade relativa do material dielétrico. Esta grandea mostra o quanto a permissividade de um material é maior que a permissividade do vácuo (cujo valor de ε r é unitário). O ar possui uma permissividade relativa igual a 1,5 (ε r 1), para o teflon temos ε r =,1 e para o titanato de bário a permissividade relativa é igual a 1. Uma ve descoberto que o campo elétrico no interior de um dielétrico polariado é menor que o campo eterno responsável pela polariação, resta agora obter uma relação entre o campo elétrico em uma situação em que haja dois dielétricos diferentes, ou um dielétrico e um condutor. Para isto, precisamos descobrir as condições de contorno para materiais dielétricos, uma ve que tais condições para materiais condutores na presença de um campo eterno já foram estabelecidas no item 5.5 (o campo é nulo no interior do condutor e, eternamente, é perpendicular à sua superfície). Considere dois materiais dielétricos distintos polariados por um campo elétrico eterno, cujas superfícies estão em contato. Devido ao fato de que os dielétricos possuem permissividades ε 1 e ε diferentes, o campo elétrico no interior de cada um dos dielétricos serão diferentes. Vamos definir os campos E 1 e E como sendo os campos 169

174 elétrico nos dielétricos 1 e, respectivamente, próimos a um ponto P situado na fronteira entre os dois materiais. Os campos E 1 e E serão decompostos, neste ponto P, em suas componentes tangenciais e normais conforme mostra a Figura 5.3. Ponto P localiado na superfície de fronteira entre os condutores E N1 Dielétrico 1 ε 1 E T1 E N E T Dielétrico ε Figura Campo elétrico na fronteira entre dois dielétricos Para analisar o comportamento do campo elétrico na fronteira entre os dielétricos, vamos tomar um elemento infinitesimal da superfície, de tamanho tal que possa ser considerada uma superfície plana, que separa estes materiais. Em seguida vamos definir um caminho fechado que envolva a fronteira e os dois materiais, conforme mostra a Figura h fronteira w E N1 E T1 E N E T Figura Caminho fechado envolvendo a fronteira Para um caminho fechado genérico, em uma região do espaço que eista um campo elétrico, podemos escrever: E dl = (5.45) c plicando a equação 5.45 no caminho fechado mostrado na Figura 5.31 obtém-se: h h h h E T1 w EN1 EN ET w EN EN1 = (5.46) 17

175 Como estamos interessados no comportamento do campo elétrico em regiões próimas à fronteira, vamos considerar que h. Nestas condições, a equação 5.46 torna-se: E w E w = (5.47) T1 T Da equação 5.47 obtém-se: E T1 = E T (5.48) Com base na equação 5.48 conclui-se que a componente tangencial do campo elétrico não é alterada quando se passa do material 1 para o material. s relações entre a densidade de fluo e o campo elétrico nos materiais 1 e são dadas por: DT1 ε1 E T1 = (5.49) DT ε E T = (5.5) partir das equações 5.49 e 5.5 obtém-se: DT1 E = (5.51) T1 ε 1 DT E = (5.5) T ε Sabendo que E T1 e E T são iguais obtém-se, a partir das equações 5.51 e 5.5, a seguinte relação entre as componentes tangenciais das densidades de fluo nos dois materiais: D D T1 T = ε ε 1 (5.53) Portanto conclui-se que a componente tangencial da densidade de fluo é alterada quando se passa do material 1 para o material. 171

176 Para obter a relação entre as componentes normais dos campos elétrico nos materiais 1 e, vamos envolver um elemento infinitesimal da superfície de contato entre os dielétricos por uma superfície cilíndrica conforme mostra a Figura 5.3. s D N1 fronteira h - s D N Figura Fluo através de uma superfície fechada envolvendo a fronteira Da lei de Gauss: D ds = Q (5.54) c plicando a lei de Gauss na superfície fechada mostrada na Figura 5.3, verificase que a carga envolvida pela superfície gaussiana é nula, pois não há carga resultante (elétrons livres) em materiais dielétricos. Deve-se observar também que estamos interessados no fluo próimo à fronteira sendo necessário então faer h e, consequentemente, o fluo através da superfície lateral do cilindro é nulo. ssim, com base nestas considerações, a equação 5.54 torna-se: D s D s = (5.55) N1 N Da equação 5.55 obtém-se: D N1 = D N (5.56) Portanto, com base na equação 5.56, conclui-se que a componente normal da densidade de fluo não sofre alterações quando se muda do material 1 para o material. Para obter a relação entre as componentes normais dos campos nos dois materiais, considere as seguintes relações: 17

177 DN1 ε1 E N1 = (5.57) DN ε E N = (5.58) Substituindo as equações 5.57 e 5.58 na equação 5.56 obtém-se: E E N1 N = ε ε 1 (5.59) Conclui-se então que a componente normal do campo elétrico é alterada quando se passa do material 1 para o material. s equações 5.48, 5.53, 5.56 e 5.59 são as condições de contorno para dois materiais dielétricos. Vamos resumir as condições de contorno nos itens i e ii mostrados em seguida. i) Direção tangencial à fronteira entre os dielétricos E T1 = E T (5.6) D D T1 T = ε ε 1 (5.61) ii) Direção normal à fronteira entre os dielétricos D N1 = D N (5.6) E E N1 N = ε ε 1 (5.63) Para uma melhor compreensão do comportamento do campo elétrico e da densidade de fluo elétrico quando se leva em conta dois dielétricos, vamos considerar dois materiais com permissividades ε 1 e ε = ε 1. Vamos considerar que conhecemos o campo elétrico no material 1. Consequentemente conhecemos também a densidade de fluo neste material. Com base nas condições de contorno e nos valores das permissividades dos materiais obtém-se: E T1 = E T (5.64) 173

178 D D T1 T 1 = DT = DT1 (5.65) D N1 = D N (5.66) E E N1 N 1 = EN = EN1 (5.67) Figura 5.33 ilustra o comportamento do campo elétrico e da densidade de fluo nos dois materiais. partir das componentes normais e tangencias do campo e da densidade de fluo é possível obter as resultantes destes vetores nos dois dielétricos, conforme é mostrado na Figura Dielétrico ε Dielétrico ε E N E T D N D T E N1 E T1 D N1 D T1 Dielétrico 1 ε 1 Dielétrico 1 ε 1 Figuras Componentes normais e tangenciais do campo elétrico e da densidade de fluo na fronteira dos dois materiais Dielétrico ε Dielétrico ε E D E 1 D 1 Dielétrico 1 ε 1 Dielétrico 1 ε 1 Figura Campo elétrico e densidade de fluo na fronteira dos dois materiais Figura 5.34 mostra que quando o campo elétrico passa de um meio para outro ocorre uma alteração na sua direção o mesmo ocorre com a densidade de fluo elétrico 174

179 Eemplo 5.6: O plano = é a superfície que separa dois meios dielétricos. região < possui permissividade ε 1 e a região > possui permissividade ε. Considerando que o campo elétrico E = 3 4 V/m vai do dielétrico 1 para o meio, e que ε = ε 1, determine a densidade de fluo elétrico e o campo elétrico nos meios 1 e. Eemplo 5.7: Repita o eemplo 5.6 considerando ε 1 = ε Eemplo 5.8: O plano = é a superfície que separa dois meios dielétricos. região < possui permissividade ε 1 e a região > possui permissividade ε. Considerando que o campo elétrico E = 3 4 V/m vai do dielétrico 1 para o meio, e que ε = ε 1, determine a densidade de fluo elétrico e o campo elétrico nos meios 1 e. 5.8 Capacitncia Definição de capacitncia Considere dois condutores M 1 e M carregados eletricamente com carga -q e q, respectivamente, inseridos em um meio dielétrico cuja permissividade é ε. Este sistema, mostrado na Figura 5.35, constitui um capacitor. M q - q M 1 Figuras Capacitor No sistema mostrado na Figura 5.35 o campo elétrico comporta-se conforme mostra a Figura Fonte: Figuras Linhas de força em um capacitor 175