Fundamentos da Eletrostática Aula 04 Coordenadas Curvilíneas, Lei de Gauss e Função Delta

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1 Coordenadas Curvilíneas Fundamentos da Eletrostática Aula 04 Coordenadas Curvilíneas, Lei de Gauss e Função Delta Até agora, usamos sempre o sistema de coordenadas cartesiano, ou seja: dados três eixos perpendiculares no espaço, representamos um ponto P pelas três projeções (coordenadas) deste ponto sobre cada eixo coordenado, ou seja, Prof. Alex G. Dias Prof. Alysson F. Ferrari P = (x, y, z). Esta não é a única forma de especicar um ponto no espaço. Podemos, por exemplo, considerar a esfera centrada na origem passando por P. A posição de P na esfera pode ser representada por dois ângulos (latitude e longitude). Conhecendo o raio R da esfera, pode-se igualmente especicar o ponto P através destes três números, P = (R, latitude, longitude). Dependendo da simetria do problema que consideramos, o tratamento é muito simplicado se adotamos um sistema de coordenadas adequado. Note que os resultados que obtemos não dependem do sistema de coordenadas que escolhemos para trabalhar: geralmente, o grau de diculdade para chegar a estes resultados varia muito. Na prática, portanto, escolher o sistema de coordenadas adequado já é um passo muito importante para a solução do problema. NH Fundamentos da Eletrostática t1 NH Fundamentos da Eletrostática t1 1

2 Coordenadas polares esféricas Um vetor P qualquer pode ser escrito, portanto, de duas formas P = P xx + P y ŷ + P z ẑ onde Já em coordenadas esféricas, escrevemos Em coordenadas cartesianas: P = (x, y, z). P = (r, θ, φ), r é a distância de P até a origem do referencial, θ é o ângulo da linha que une P à origem com o eixo z positivo (ângulo polar), φ é o ângulo da linha que une a origem à projeção de P no plano xy, com o eixo x positivo (ângulo azimutal). = P rr + P θ θ + Pφ φ onde os vetores unitários r, θ e φ são mutualmente ortogonais e apontam na direção de crescimento das respectivas variáveis, e P x = P sin θ cos φ P y = P sin θ sin φ P z = P cos θ Diferentemente do caso cartesiano, os vetores unitários r, θ e φ variam de posição para posição, ou seja, r = r (r, θ, φ) θ = θ (r, θ, φ) φ = φ (r, θ, φ) A relação entre coordenadas esféricas e cartesianas é dado por: z = r cos θ 0 r x = r sin θ cos φ 0 θ π y = r sin θ sin φ 0 φ 2π Para encontrar os vetores r (r, θ, φ), θ (r, θ, φ) e φ (r, θ, φ), note: φ (r, θ, φ) é paralelo ao plano xy e perpendicular ao próprio vetor P; consequentemente, é NH Fundamentos da Eletrostática t1 2 NH Fundamentos da Eletrostática t1 3

3 perpendicular à projeção de P no plano xy: Para encontrar θ (r, θ, φ), note que P xy = P xx + P y ŷ Ou seja, φ (r, θ, φ) é da forma = r sin θ cos φx + r sin θ sin φŷ e daí θ (r, θ, φ) = φ (r, θ, φ) r (r, θ, φ) x ŷ ẑ = sin φ cos φ A z sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ φ (r, θ, φ) = φ x (r, θ, φ) x + φ y (r, θ, φ) ŷ θ (r, θ, φ) = cos θ cos φx + cos θ sin φŷ sin θẑ e é perpendicular a P xy, isto é φ (r, θ, φ) P xy = φ x (r, θ, φ) r sin θ cos φ+ φ y (r, θ, φ) r sin θ sin φ = 0 além disso, deve valer φ (r, θ, φ = 0) = +ŷ, já que o ângulo φ é medido a partir do eixo dos x, e φ (r, θ, φ) = 1. A única solução possível é φ (r, θ, φ) = sin φx + cos φŷ O vetor r (r, θ, φ) está na mesma direção de P e tem módulo 1, daí imediatamente, r (r, θ, φ) = sin θ cos φx + sin θ sin φŷ + cos θẑ Deslocamentos innitesimais: pela gura, uma variação dr na variável r implica num deslocamento de magnitude dr do vetor, uma variação dθ implica num deslocamento de magnitude rdθ, e uma variação dφ implica num deslocamento de magnitude r sin θdφ NH Fundamentos da Eletrostática t1 4 NH Fundamentos da Eletrostática t1 5

4 Assim, o elemento de linha d l = dx x + dx ŷ + dx ẑ escreve-se, em coordenadas esféricas, d l = dr r + rdθ θ + r sin θ dφ φ, e o elemento de volume d 3 V = dx dy dz, d 3 V = r 2 sin θ dr dθ dφ Assim, por exemplo, dado um campo escalar f (r, θ, φ), a integral de f num dado volume é dado por Derivadas vetoriais em coordenadas esféricas O vetor gradiente é dado, em coordenadas cartesianas, por T (r) = T (r) x T (r) T (r) x + ŷ + ẑ y z Este mesmo vetor pode ser escrito em coordenadas esféricas, isto é, da forma T (r) = ( T ) r r + ( T ) θ θ + ( T )φ φ V f (r, θ, φ) d 3 V = φf θf rf φ 0 θ 0 r 0 f (r, θ, φ) r 2 sin θ dr dθ dφ Para encontrar ( T ) r, ( T ) θ e ( T ) φ, usamos a regra da cadeia: por exemplo, T (x, y, z) x Precisamos usar que: T (r, θ, φ) dr T (r, θ, φ) dθ = + dx θ dx T (r, θ, φ) dφ + dx. r = x 2 + y 2 + z 2 tan φ = y x cos θ = z r = z x2 + y 2 + z 2 NH Fundamentos da Eletrostática t1 6 NH Fundamentos da Eletrostática t1 7

5 Logo: x = x = sin θ cos φ r θ x = 1 [ ] zx sin θ r 3 = 1 cos θ cos φ r [ ] [ x = 1 y 1 + tan 2 φ x 2 = cos 2 φ tan φ ] r sin θ cos φ = sin φ r sin θ y = y r θ y = 1 y = cos2 θ = sin θ sin φ [ ] zy sin θ r 3 = 1 cos θ sin φ r [ ] 1 = cos φ x r sin θ z = z r = cos θ θ z = 1 [ z 2 sin θ r ] = 1 r r sin θ z = 0 Falta expressar x, ŷ e ẑ em termos de r, θ e φ. Já encontramos as relações contrárias, que podem ser expressas de forma matricial como r θ φ = sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ cos θ cos φ cos θ sin φ sin θ sin φ cos φ 0 } {{ } M A relação inversa pode ser facilmente encontrada se percebemos que a matriz M acima é ortogonal, isto é: M 1 = M T M T M =. Multiplicando a equação acima por M T, à esquerda, encontramos: x ŷ ẑ = sin θ cos φ cos θ cos φ sin φ sin θ sin φ cos θ sin φ cos φ cos θ sin θ 0 A componente ( T ) r, portanto, é dada por: ( T ) r = sin θ cos φ T }{{ x} I I = sin θ cos φ II = sin θ sin φ " T " T + sin θ sin φ T y }{{} II T 1 sin θ cos φ + cos θ cos φ θ r {z } T 1 sin θ sin φ + cos θ sin φ θ r {z } x ŷ ẑ r θ φ + cos θ T }{{ z} III T + T.., sin φ r sin θ # # cos φ r sin θ NH Fundamentos da Eletrostática t1 8 NH Fundamentos da Eletrostática t1 9

6 III = cos θ " T # T 1 cos θ θ r sin θ {z } (os termos indicados se cancelam entre si); obtemos por m: ( T ) r = T Fazendo o mesmo para as outras componentes, encontramos: A = 1 r 2 A r 2 r + 1 r sin θ + 1 r sin θ A φ θ (sin θ A θ)» θ (sin θ A φ) A θ 1 A = r sin θ + 1» 1 A r r sin θ (r A φ) + 1» r (r A θ) A r φ θ θ r ( T ) θ = 1 T r θ e ( T ) φ = 1 T r sin θ Finalmente, para o Laplaciano, Temos assim, o gradiente em coordenadas esféricas: T (r) = T r + 1 T r θ θ + 1 T r sin θ φ 2 T = 1 «r 2 T + 1 r 2 r 2 sin θ 1 2 T + r 2 sin 2 θ 2 θ sin θ T «θ Fica como exercício para o leitor pesquisar/demonstrar as seguintes formas explícitas para o divergente, o rotacional e o Laplaciano em coordenadas esféricas, para um vetor A = A rr + A θ θ + Aφ φ: NH Fundamentos da Eletrostática t1 10 NH Fundamentos da Eletrostática t1 11

7 Coordenadas Cilíndricas T (r) = T ρ ρ + 1 T ρ φ + T z ẑ x = ρ cos φ y = ρ sin φ z = z 0 ρ 0 θ 2π z Neste caso, os vetores unitários ρ, θ e ẑ são ρ = cos φ x + sin φ ŷ φ = sin φ x + cos φ ŷ ẑ = ẑ o elemento de volume innitesimal é A = 1 ρ ρ (ρ A ρ) + 1 A φ ρ + A z z» 1 A z A = ρ A φ ρ z» Aρ + z A z φ ρ + 1» ρ ρ (ρ A φ) A ρ ẑ 2 T = 1 ρ ρ ρ T «+ 1 2 T ρ ρ T 2 z 2 e o deslocamento innitesimal d l é dado por d 3 V = ρ dρ dφ dz d l = dρρ + ρdφ φ + dz ẑ. Você também pode proceder de forma geral, encontrando a forma explícita para estes operadores em qualquer sistema de coordenadas curvilíneas (veja o Cap. 2 do livro do Arfken); os resultados para coordenadas cartesianas, esféricas e cilíndricas são obtidos assim como formas particulares destes resultados gerais. Seguindo a mesma metodologia mostrada para coordenadas esféricas, podemos encontrar os diferentes operadores diferenciais de que tratamos em nosso curso. NH Fundamentos da Eletrostática t1 12 NH Fundamentos da Eletrostática t1 13

8 A Lei de Gauss Considere o seguinte campo vetorial, expresso em coordenadas esféricas, E = C r 2r. Para C = q 4πε, 0 E é o campo elétrico produzido por uma carga puntiforme q, localizada na origem. Considere agora uma superfície fechada qualquer S, que engloba um volume V. São duas as possibilidades de interesse: a superfície S engloba a carga q ou não (veja gura). A lei de Gauss arma que, para qualquer superfície fechada S, E da = { 4πC, se S engloba a origem 0, se S não engloba a origem Se a origem não é englobada por S: Comece lembrando o teorema de Gauss, S E da = V E d 3 V. r 3. O cálculo é mais simples em coordenadas esféricas, com origem sobre a carga. Pela simetria Se você fez a Lista 1, já calculou r esférica do problema, E θ = E φ = 0, logo E = 1 ( r 2 ) 1 r 2 E r = r 2 (C) = 0, se r 0. Note que E, da forma escrita, não está bem denido em r = 0. Contudo, se a superfície S não engloba a origem r = 0, podemos usar o teorema de Gauss e ver que S E da = V E d 3 V = 0 (se S não inclui a origem). Se a origem é englobada por S: Se S inclui a origem, não sabemos calcular E em r = 0, e portanto não podemos usar diretamente o teorema de Gauss para calcular S E da. Para superar esta diculdade, consideramos o seguinte truque: retiramos do volume V uma pequena esfera de raio r 0, englobada pela superfície S, com centro na origem (veja gura). O novo volume V considerado (em cinza na gura) não inclui a origem, NH Fundamentos da Eletrostática t1 14 NH Fundamentos da Eletrostática t1 15

9 vale portanto que 0 = E d 3 V = V E da + S E da + S E da. S buraco Podemos tornar o buraco arbitrariamente estreito, de modo que S buraco E da seja tão pequeno quanto quisermos (note que E não diverge em nenhum ponto de S buraco ). Neste limite em que S buraco E da 0, a superfície S converge para a superfície S que consideramos inicialmente, e temos portanto, S E da = E da. S Portanto: Como C E da = S S r0 2 r0 2 sin θ dθ dφ r ( r) = C sin θ dθ dφ S = C π 0 = 4πC sin θ dθ 2π 0 dφ S E da = S E da, concluímos assim que S E da = 4πC (se S inclui a origem). Fica assim vericada a lei de Gauss, para o campo vetorial E = C r 2r. O que ganhamos com isso? A superfície S tem simetria esférica, por isso é muito fácil calcular S E da usando coordenadas esféricas. Note apenas que, em S, da aponta em direção à origem, ou seja, da = r 2 0 sin θ dθ dφ r. NH Fundamentos da Eletrostática t1 16 NH Fundamentos da Eletrostática t1 17

10 A função Delta de Dirac Considere uma carga puntiforme q localizada na origem. Nos perguntamos agora qual a densidade de carga associada a esta carga, ou seja, uma função ρ (r) tal que todo o espaço mas, ao mesmo tempo, ρ (r) d 3 V = q ρ (r) = 0 se r 0. Ou seja, ρ (r) só pode diferir de zero na origem. O problema é que não existe nenhuma função que satisfaça, ao mesmo tempo, as duas condições acima. Foi o físico Paul A. M. Dirac que percebeu que podia-se trabalhar com funções generalizadas, que satiszessem estas propriedades. O uso de tais funções está cuidadosamente justicado por um ramo da matemática chamada de teoria das distribuições ou das funções generalizadas. Vamos dar uma noção intuitiva desta teoria, e mostrar as regras práticas que permitem o uso de distribuições para a modelagem e solução de problemas físicos. Por simplicidade, vamos considerar primeiro o caso unidimensional. Suponha que tenhamos uma certa quantidade de carga, digamos q = 1C, numa certa região de largura L próxima à origem. Uma possível densidade de carga seria a função ρ L (x) = { 1 L, se L 2 < x < L 2 0, se x < L 2 ou x > L 2 mostrada na gura. Note que ρ L (x) dx = 1 o que justamente nos diz que ρ L (x) descreve uma distribuição de carga total 1C. Como modelar agora o caso de uma partícula pontual, localizada em x = 0, com carga q = 1C? Podemos tomar a distribuição ρ L e tornar L cada vez menor, como na gura ao lado. A carga pontual corresponderia ao limite L 0 da função ρ L (x), ou seja, uma função δ (x) innitamente concentrada em x = 0, com altura em x = 0 tendendo ao innito. Seríamos tentados a escrever { 0, se x 0 δ (x) = lim ρ L (x) = L 0, se x = 0. NH Fundamentos da Eletrostática t1 18 NH Fundamentos da Eletrostática t1 19

11 Com o único problema que não é um número, ou seja, esta função na verdade não está denida em x = 0. A expressão acima não dene, portanto, uma função no verdadeiro sentido da palavra. Mas ela intuitivamente representa a idéia de uma carga totalmente concentrada na origem, se entendermos sua integral da forma δ (x) dx = lim ρ L (x) dx = 1. L 0 δ (x) pode ser, portanto, entendida como uma distribuição de carga total 1C, totalmente concentrada na origem. Podemos multiplicar a função δ (x) por uma função contínua f (x), e qual será o resultado? Claramente, f (x) δ (x) não pode ser entendido como uma função própria, mas esta expressão faz sentido sob o símbolo de integral, se entendemos que f (x) δ (x) dx = lim f (x) ρ L (x) dx. L 0 Para calcular o limite, note que ρ L (x) = 0 se x > L/2, logo f (x) ρ L (x) dx = L/2 L/2 f (x) ρ L (x) dx e, para L sucientemente pequeno, podemos tomar f aproximada- mente constante, igual a f (0), na região de integração, L/2 f (x) ρ L (x) dx f (0) ρ L (x) dx L/2 }{{} 1 Portanto, tomando o limite L 0, f (x) δ (x) dx = f (0), o que nos permite escrever, no sentido de distribuição, f (x) δ (x) = f (0) δ (x). = f (0). Esta igualdade é razoável já que δ (x) = 0 se x 0, portanto, o produto f (x) δ (x) não pode depender do valor de f em qualquer x 0. Obviamente, o ponto x = 0 não tem nada de especial, e poderíamos ter escolhido um x = a qualquer. Temos assim, mais geralmente, as propriedades da função δ (x) como sendo: δ (x a) dx = 1 f (x) δ (x a) dx = f (a) NH Fundamentos da Eletrostática t1 20 NH Fundamentos da Eletrostática t1 21

12 A função δ (x) é chamada de função delta de Dirac, em homenagem ao físico que motivou sua introdução. A moral da história é que δ (x) não faz sentido se tentamos deni-la como uma função usual, denida para todo x, mas sua integração dá um resultado bem denido, obtido por um procedimento honesto de limite de integrais de funções regulares. Apresentemos o exemplo da função ρ L (x), que apresenta o inconveniente de ser descontínua. Existem várias representações da função δ como limites de funções contínuas, como exemplo, n δ (x) = lim e n2 x 2 ; n π o gráco destas funções, para vários valores de n, encontra-se na gura ao lado. Leituras adicionais: livro do Griths, seção 1.5 livro do Arfken, seções 1.15 e 8.7 Notas de física matemática, Carmem Lys Ribeiro Braga uma carga puntiforme q localizada em x = 0. Temos, simplesmente, ρ (r) = q δ (x) δ (y) δ (z) = q δ 3 (r). Note que ρ (r) d 3 V = todo o espaço = = q = q δ (x) dx q δ 3 (r) dx dy dz q δ (x) δ (y) δ (z) dx dy dz δ (y) dy Valem, assim, as propriedades gerais (para r 0 = (x 0, y 0, z 0 )), δ 3 (r r 0 ) δ (x x 0 ) δ (y y 0 ) δ (z z 0 ) δ 3 (r r 0 ) d 3 V = 1 todo o espaço todo o espaço f (r) δ 3 (r r 0 ) d 3 V = f (r 0 ) δ (z) dz Conhecendo a função δ (x) unidimensional, não é difícil imaginar como seria uma função ρ (x) descrevendo a distribuição de carga para Pergunta: nas expressões acima, podemos substituir todo o espaço por qualquer volume V que contenha o ponto r 0. Por quê? NH Fundamentos da Eletrostática t1 22 NH Fundamentos da Eletrostática t1 23

13 Voltando ao problema que nos motivou de princípio, portanto, podemos escrever a densidade de carga para uma partícula localizada em r 0 = (x 0, y 0, z 0 ) como ρ (r) = q δ 3 (r r 0 ). se os integrandos são iguais, ou seja, ( ) q r r 0 E = 4πε 0 r r 0 3 = q ε 0 δ 3 (r r 0 ), O campo elétrico gerado por esta carga, medido num ponto r qualquer, é dado por E = q 4πε 0 r r 0 r r 0 3. ou seja, ( ) r r 0 r r 0 3 = 4πδ 3 (r r 0 ). Considere agora a lei de Gauss aplicada a uma certa superfície fechada S, que delimita um volume V. Já vimos que S E da = V E d 3 V = { q ε 0, se S engloba o ponto r 0 0, se S não engloba o ponto r 0. Do que estudamos da δ de Dirac, podemos armar que Por outro lado, na lista 01, você mostrou que 1 r r 0 = r r 0 r r 0 3 ; inserindo isso na equação anterior, obtemos também 2 1 r r 0 = 4πδ3 (r r 0 ). V q ε 0 δ 3 (r r 0 ) d 3 V = { q ε 0, se V inclui o ponto r 0 0, se V não inclui o ponto r 0 ou seja, comparando as duas expressões V E d 3 V = V q ε 0 δ 3 (r r 0 ) d 3 V, para qualquer volume V. Esta igualdade só é possível, para todo V, NH Fundamentos da Eletrostática t1 24 NH Fundamentos da Eletrostática t1 25

14 O teorema de Helmholtz Fica como exercício mostrar o teorema de Helmholtz, que arma que um campo vetorial V (r) satisfazendo V = f (r) V = C (r) onde f (r) é dito ser a fonte de V e C (r) a circulação de V, tais que tanto f quanto C se anulam no innito, então V pode ser escrito como V = φ + A com φ e A construídos a partir de f e C do livro do Arfken. Veja detalhes na seção NH Fundamentos da Eletrostática t1 26