Dessa forma, podemos reescrever o domínio

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1 Turma A Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT55 - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia a. Prova - o. Semestre - 9// Questão. (. pontos) Calcule as seguintes integrais: (a) arctg(y) sec x dx] dy (b) x x (x + y ) dy] dx Solução. ( arctg(y) (a) Note que podemos alterar a ordem de integração da seguinte forma: sec x dx] dy = sec x dy dx), onde D é o domínio de integração (D = D {(x, y) R : arctg(y) x π, y }), dado na gura abaixo: Dessa forma, podemos reescrever o domínio D = {(x, y) R : x π, y tg(x)} Com isso, pelo Teorema de Fubini, a integral a ser calculada ca: tg(x) sec x dy] dx = tg(x) sec(x) dx = sec(x)] π = (b) Abaixo, temos representada a região R, compreendida entre as retas x =, x = e y = e a curva y = x x (metade de uma circunferência):

2 Assim, podemos escrever R como R = {(x, y) R : (x ) + y, y, x } Fazemos, então, a seguinte transformação: x = ρ y = ρ sin θ J = ρ Redenindo, com essa tranformação, nossa região R, camos com: Da intersecção de ρ = ρ ρ ρ ρ sin θ sin θ ρ ρ e, da intersecção dos dois intervalos de ρ acima, como valores de, camos com as delimitações: com ρ =, camos com θ π, para quaisquer ρ θ π J = ρ Por m, atentando para o jacobiano J = ρ, camos com: x x (x + y ) dy] dx = ρ dρ] dθ = ρ ( ) dθ = sen θ ln tgθ + sec θ ]] π = ln( + )

3 Questão. (. pontos) (a) Calcule B x dx dy, onde y B = {(x, y) R : xy, x y x } Sugestão: Considere a mudança de variáveis satisfazendo u = y x e v = xy. (. pontos) (b) Calcule a massa da região limitada pelo cone z x + y e pela esfera x + y + z = z, sabendo que a densidade é dada por δ(x, y, z) = x + y + z. Solução: (a) Da mudança de variáveis sugerida no enunciado, podemos escrever x e y da seguinte forma: x = v u x = v u y = xy y = uv J =? Calculemos o Jacobiano da transformação: (x, y) (u, v) = u v u v u v u v Assim, podemos reescrever nossa região B como: J = u W = {(u, v) R : v, u } Então, pelo Teorema de Fubini, camos com o cálculo da seguinte integral: B x dx dy = J u y v u v du dv = W = u ] ln(v)] = ( u v du] dv )(ln() ln()) = ln() 6 (b) Rearranjando as desigualdades dadas, camos com: { z x + y x + y + (z ) Tal região do espaço está representada na gura abaixo (cone - azul claro, esfera - amarelo):

4 Façamos uma transformação por coordenadas esféricas, centradas em (,,): x = ρ sin φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos φ J = ρ sin φ Assim, reescrevendo as desigualdades, lembrando que, da transformação adotada, temos ρ, φ π e θ entre um período, camos com: { ρ cos φ ρ sin φ cos φ sin φ ρ ρ cos φ ρ cos φ Dessa forma, podemos escrever nossa região S como S = {(ρ, θ, φ) R : ρ cos φ, φ π, θ π} e calcular a massa M de S pela integral tripla: Pelo Teorema de Fubini: M = π cos φ M = J δ(ρ, θ, φ) dρ dθ dφ S (ρ sin φ)ρ dρ] dφ] dθ = π ( cos φ) sin φ dφ Calculando a integral indenida (cos φ) sin φ dφ pela substituição u = cos φ, com du = sin φ dφ, camos com: (cos φ) sin φ dφ = u du = u5 5 + k Voltando ao cálculo da massa M: M = π ( cos φ) sin φ dφ = 8π M = π 5 (8 ) (cos φ)5 ] π 5 = 8π 5 ( ( ) 5 + )

5 Questão. Seja R a região interior à esfera x + y + z = 9 que satisfaz x + y z e z. (a) (. ponto) Descreva R em coordenadas cilíndricas. (b) (. pontos) Supondo que a densidade é δ(x, y, z) = z, determine a massa de R. Solução (a) Temos R dado pelas desigualdades: x + y + z 9 x + y z z Tal região do espaço está representada na gura abaixo (esfera - azul claro transparente, hiperboloide - azul, plano - amarelo): Usemos uma tranformação cilíndrica de coordenadas para descrever R: Assim, camos com novas desigualdades: x = ρ y = ρ sin θ z = z ρ + z 9 z 9 ρ ρ z z ρ z De maneira que podemos delimitar nossas variáveis da seguinte forma: 9 ρ ρ ρ 5 z 9 ρ z ρ, se ρ z, se ρ Desse modo, precisamos dividir nossa região R em duas partes U e V : 5

6 U : ρ z 9 ρ ρ 5 θ π V : z 9 ρ ρ θ π (b) Tomando δ(ρ, θ, z) = z, podemos calcular a massa M da região R como M R = M U + M V a partir das integrais abaixo, lembrando do Jacobiano da transformação J = ρ sin φ: M R = J δ(ρ, θ, z) dρ dθ dz + J δ(ρ, θ, z) dρ dθ dz U V Pelo Teorema de Fubini: = π π M R = π 5 5 ρ z ] 9 ρ ρ 9 ρ ρz dz] dρ] dθ + ρ dρ + π ρ z π ] 9 ρ dρ = π 9 ρ ρz dz] dρ] dθ 5 ρ(9 ρ ρ + ) dρ + ρ(9 ρ ) dρ = π5ρ ρ ] 5 + π 9ρ ρ ] = π( ) M R = 9π 6

7 Turma B Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT55 - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia a. Prova - o. Semestre - 9// Questão. (. pontos) Calcule as seguintes integrais: Solução. ( arctg(y) (a) arctg(y) sec x dx] dy (b) x x dy] dx () x + y (a) Note que podemos alterar a ordem de integração da seguinte forma: sec x dx] dy = sec x dy dx), onde D é o domínio de integração D = D {(x, y) R : x arctg(y), y }, dado na gura abaixo: Dessa forma, podemos reescrever o domínio D = {(x, y) R : x π, tg(x) y } Com isso, pelo Teorema de Fubini, a integral a ser calculada ca: sec x dy] dx = tg(x) ( tg(x)) sec(x) dx = sec(x) dx tg(x) sec(x) dx = ln tg(x) + sec(x) ] π sec(x)] π = ln( + ) + (b) Abaixo, temos representada a região R, compreendida entre as retas x =, x = e y = e a curva y = x x (metade de uma circunferência): 7

8 Assim, podemos escrever R como R = {(x, y) R : (x ) + y, y, x } Fazemos, então, a seguinte transformação: x = ρ y = ρ sin θ J = ρ Redenindo, com essa tranformação, nossa região R, camos com: Da intersecção de ρ = ρ ρ ρ ρ sin θ sin θ ρ ρ e, da intersecção dos dois intervalos de ρ acima, como valores de, camos com as delimitações: com ρ =, camos com θ π, para quaisquer ρ θ π J = ρ Por m, atentando para o jacobiano J = ρ, camos com: x x x + y dy] dx = ρ dρ] dθ = ρ (cosθ ) dθ = sen θ] π ln tgθ + sec θ ] π = ln( + ) 8

9 Questão. (. pontos) (a) Calcule B x dx dy, onde y B = {(x, y) R : xy, x y x } Sugestão: Considere a mudança de variáveis satisfazendo u = y x e v = xy. (. pontos) (b) Calcule a massa da região limitada pelo cone z x + y e pela esfera x + y + z = z, sabendo que a densidade é dada por δ(x, y, z) = x + y + z. Solução: (a) Da mudança de variáveis sugerida no enunciado, podemos escrever x e y da seguinte forma: x = v u x = v u y = xy y = uv J =? Calculemos o Jacobiano da transformação: (x, y) (u, v) = u v u v u v u v Assim, podemos reescrever nossa região B como: J = u W = {(u, v) R : v, u } Então, pelo Teorema de Fubini, camos com o cálculo da seguinte integral: B x dx dy = J u y v u v du dv = W u v du] dv = u ] ln(v)] = ( ln() )(ln() ln()) = (b) Rearranjando as desigualdades dadas, camos com: { z x + y x + y + (z ) Tal região do espaço está representada na gura abaixo (cone - azul claro, esfera - amarelo): 9

10 Façamos uma transformação por coordenadas esféricas, centradas em (,,): x = ρ sin φ y = ρ sin θ sin φ z = ρ cos φ J = ρ sin φ Assim, reescrevendo as desigualdades, lembrando que, da transformação adotada, temos ρ, φ π e θ entre um período, camos com: { ρ cos φ ρ sin φ cos φ sin φ ρ ρ cos φ ρ cos φ Dessa forma, podemos escrever nossa região S como S = {(ρ, θ, φ) R : ρ cos φ, φ π, θ π} e calcular a massa M de S pela integral tripla: Pelo Teorema de Fubini: M = π cos φ M = J δ(ρ, θ, φ) dρ dθ dφ S (ρ sin φ)ρ dρ] dφ] dθ = π ( cos φ) sin φ dφ Calculando a integral indenida (cos φ) sin φ dφ pela substituição u = cos φ, com du = sin φ dφ, camos com: (cos φ) sin φ dφ = u du = u5 5 + k Voltando ao cálculo da massa M: M = π ( cos φ) sin φ dφ = 8π M = 6π 5 (8 ) (cos φ)5 ] π 5 = 8π 5 ( ( ) 5 + )

11 Questão. Seja R a região interior à esfera x + y + z = que satisfaz x + y z e z. (a) (. ponto) Descreva R em coordenadas cilíndricas. (b) (. pontos) Supondo que a densidade é δ(x, y, z) = z, determine a massa de R. Solução (a) Temos R dado pelas desigualdades: x + y + z x + y z z Tal região do espaço está representada na gura abaixo (esfera - azul claro transparente, hiperboloide - azul, plano - amarelo): Usemos uma tranformação cilíndrica de coordenadas para descrever R: Assim, camos com novas desigualdades: x = ρ y = ρ sin θ z = z ρ + z z ρ ρ z z ρ z De maneira que podemos delimitar nossas variáveis da seguinte forma: ρ ρ ρ 5 z ρ z ρ, se ρ z, se ρ Desse modo, precisamos dividir nossa região R em duas partes U e V :

12 U : ρ z ρ ρ 5 θ π V : z ρ ρ θ π (b) Tomando δ(ρ, θ, z) = z, podemos calcular a massa M da região R como M R = M U + M V a partir das integrais abaixo, lembrando do Jacobiano da transformação J = ρ sin φ: M R = J δ(ρ, θ, z) dρ dθ dz + J δ(ρ, θ, z) dρ dθ dz U V +π Pelo Teorema de Fubini: M R = 5 = π π ρ z 5 ρ ρz dz] dρ] dθ + ρ ρ ρ ] dρ + π ρ z π ] ρ dρ = π ρ ρz dz] dρ] dθ 5 ρ( ρ ρ + ) dρ ρ( ρ ) dρ = π 5ρ ρ ] 5 + πρ ρ ] = π( ) M R = π 8