x 2 (2 x) 2 + z 2 = 1 4x + z 2 = 5 x = 5 z2 4 Como y = 2 x, vem que y = 3+z2

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1 Turma A Questão 1: (a Calcule Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT55 - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia a. Prova - 1o. Semestre 15-19/5/15 e z dx + xz dy + zy dz sendo a curva dada pela intersecção das superfícies x y + z 1 e y + x, percorrida de (1, 1, 1 a (1, 1, 1 (b Seja F (x, y (y xy, y y +1 x + xy. (i F é conservativo? Justique sua resposta. (ii Calcule F d r, para a curva dada por (t (t 3 t, e t 1, t 1. Solução: (a Inicialmente encontra-se uma parametrização para a curva. Da equação do plano dado, y x. Substituindo na experssão do hiperbolóide de uma folha, vem que: x ( x + z 1 x + z 5 x 5 z Como y x, vem que y 3+z. Dessa forma, uma parametrização para a curva é: ( 5 t (t, 3 + t, t, 1 t 1 1

2 Calculando a integral: F ((t. (t dt (e t, 5t t3, 3t + t3. ( t, t, 1 dt tet 1 + 5t t 3t + t3 + dt 8 ( 1 et (t 1 + 5t3 t5 + 3t 8 + t 16 e e 1 1 (b (i O domínio do campo é o conjunto R, que é um conjunto simplesmente conexo. Além disso verica-se que Logo, o campo é conservativo. rot F ( Q x P y. k (( x + y (y x k. (ii Como o campo é conservativo, há uma função ϕ, potencial, denida no mesmo domínio que F, tal que ϕ F. Dessa sentença, decorre que: ϕ x y xy }{{} ϕ(x, y xy x y + h(y dx Derivando a função potencial em relação a y e, em seguida, comparando-a com a seguinda componente do campo F, encontra-se h(y: ϕ y xy x + h (y y y + 1 x + xy h (y y y + 1 Assim: Logo um potencial é dado por: h(y y y + 1 ln(y + 1 ϕ(x, y xy x y + ln(y + 1 A curva é percorrida entre os pontos ( (, e (1 (, e 1. Sendo assim a integral pedida é dada por: F d r ϕ(, e 1 ϕ(, 1 1

3 Questão : Calcule ( sen (x y dx + (xy + y 3 dy para a curva dada por x x + y y 7 com x 1 percorrida no sentido anti-horário. Solução: A curva é exibida na gura abaixo: Para aplicação do Teorema de Green, os pontos (1, e (1, serão unidos por uma curva auxiliar (t de maneira a formar uma região fechada R na qual R: A curva auxiliar é dada por (t (1, t t. Como R está contido no domínio do campo e ambas as curvas estão orientadas positivamente em relação a R, pelo Teorema de Green: Q F d r + F d r R x P dx dy 3y dx dy y R 3

4 Para calcular a integral dupla utilizam-se coordenadas polares, com x r cos θ + 1,y r sen θ + 1 e J r. Sendo assim: R 3y dx dy 3 3π π 3 3 Calculando a integral sobre a curva auxiliar (t: F d r ( 3π π 3π π 3 ( r 3 3 r sen θ + r dr dθ r 3 sen θ + dθ 9 sen θ + 9 dθ 9 cos θ + 3θ ( sen 1 t, t + t 3.(, 1 dt 3π π 7π ( t t + t 3 dt + t Com isso: F d r 7π 66

5 Questão 3: ( Seja o campo F y (x, y (x 1 + y, (x 1 (x 1 + y + ( xy + sen y, x + x cos y e seja a curva que é fronteira da região limitada pelos grácos das funções y 8 + x x e y x percorrida no sentido horário. Calcule F d r. Solução: A região compreendida entre as funções é exibida abaixo: Sendo que a intersecção das parábolas ocorre quando 8 + x x x x 3, x Seja F F 1 + F, sendo F ( y (x 1 1 (x, y e F (x, y ( xy + sen y, x + x cos y., (x 1 +y (x 1 +y Vamos calcular a integral de cada campo separadamente. O campo F 1 tem singularidade em (1,, ponto que está no interior da região limitada por. Para utilizar o Teorema de Green, será utilizada uma curva (t que isole a singularidade de F 1. Seja a sucientemente pequeno para que a curva (t (a sen t + 1, a cos t, t [, π], esteja contida no interior de. Note que está orientada no sentido horário. 5

6 R. Seja R a região limitada por e. Logo a fronteira de R, R é. O campo é de classe C 1 em todo Como rot F 1. k 1[(x 1 +y ]+(x 1(x 1 ((x 1 +y Teorema de Green fornece: Logo: F 1 d r 1 π π F 1 d r π 1[(x 1 +y ]+y8y ((x 1 +y F 1 d r + F 1 d r. (a cos t/, a sen t a.(a cos t, a sen t/ dt cos t + sen t dt dt π, e está orientada negativamente, o O campo F é de classe C 1 em todo o R. Logo não é necessário utilizar uma curva auxiliar visto que o domínio do campo contem a região D interior a. Temos que rot F x + cos y ( x + cos y 3x, logo, pelo Teorema de Green vem que: Resolvendo a integral: F d r 15 Logo, Por m, a integral pedida é: F d r F d r 3x dx dy D D 3 8+x x 3 3 ( x x 3x dx dy x dx dy x 3 + x + 1x dx x 3 + x + 6x dx 6 + x x 6 ( F d r π

7 Turma B Questão 1: (a Calcule Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT55 - Cálculo Diferencial e Integral III para Engenharia a. Prova - 1o. Semestre 15-19/5/15 e z dx + xz dy + zy dz sendo a curva dada pela intersecção das superfícies y x + z 1 e y + x, percorrida de (1, 1, 1 a (1, 1, 1 (b Seja F (x, y ( x x +1 y + xy, x xy. (i F é conservativo? Justique sua resposta. (ii Calcule F d r, para a curva dada por (t ( e t 1, t 3 t, t 1. Solução: (a Inicialmente encontra-se uma parametrização para a curva. Da equação do plano dado, y x. Substituindo na experssão do hiperbolóide de uma folha, vem que: ( x x + z 1 x + z 3 x 3 + z Como y x, vem que y 5 z. Dessa forma, uma parametrização para a curva é: ( 3 + t (t, 5 t, t 1 t 1 7

8 Calculando a integral: F ((t. (t dt (e t, 3t + t3, ( 5t t3 t., t, 1 dt tet 3t + t 5t t3 + dt 8 ( 1 et (t 1 t5 t t 8 t 16 e e (b (i O domínio do campo é o conjunto R, que é um conjunto simplesmente conexo. Além disso, verica-se que Logo, o campo é conservativo. rot F ( Q x P y. k ((x y ( y + x k. (ii Como o campo é conservativo, há uma função ϕ, potencial, tal que ϕ F. Dessa sentença, decorre que: ϕ x x x + 1 y + xy }{{} ϕ(x, y ln(x + 1 y x + x y + h(y dx Derivando a função potencial em relação a y e, em seguida, comparando-a com a a componente do campo F, encontra-se h(y: ϕ y x xy xy + x + h (y h (y Assim: E um potencial é dado por: h(y cte ϕ(x, y ln(x + 1 y x + x y A curva é percorrida entre os pontos ( (, e (1 ( e 1,. Sendo assim a integral pedida é dada por: F d r ϕ( e 1, ϕ(, 1 1 8

9 Questão : Calcule ( sen (x y dx + (xy + y 3 dy para a curva dada por x x + y y 7 com x 1 percorrida no sentido anti-horário. Solução: A curva é exibida na gura abaixo: Para aplicação do Teorema de Green, os pontos (1, e (1, serão unidos por uma curva auxiliar (t de maneira a formar uma região fechada R na qual R: A curva auxiliar é dada por (t (1, t t. Como o dominio do campo contem R e ambas as curvas estão orientadas positivamente em relação a R, pelo Teorema de Green: Q F d r + F d r R x P dx dy 3y dx dy y R Para calcular a integral dupla utilizam-se coordenadas polares, com x r cos θ + 1, y r sen θ + 1 e J r. 9

10 Sendo assim: R π 3y dx dy π π π π π 3 ( r 3 3 r sen θ + r dr dθ r 3 sen θ + dθ 9 sen θ + 9 dθ ( 9 cos θ + 3θ 3π π 7π Calculando a integral sobre a curva auxiliar (t: F d r ( sen 1 t, t t 3.(, 1 dt ( t t + t 3 dt + t 66 Com isso: F d r 7π

11 Questão 3: ( Seja o campo F y (x, y (x 1 + y, (x 1 (x 1 + y + ( xy + sen y, x + x cos y e seja a curva que é fronteira da região limitada pelos grácos das funções y x x 8 e y x percorrida no sentido horário.calcule F d r. Solução: A região compreendida entre as funções é exibida abaixo: Seja F F 1 + F, sendo F ( 1 (x, y y (x 1, (x 1 +y (x 1 +y Vamos calcular a integral de cada campo separadamente. por. e F (x, y ( xy + sen y, x + x cos y. Iniciando pela integral de F 1 tem singularidade em (1,, ponto que está no interior da região limitada Seja a sucientemente grande para que a curva (t (a cos t + 1, a sen t, t [, π], contenha a curva no seu interior. Note que está orientada no sentido anti-horário. R. Seja R a região limitada por e. Logo a fronteira de R, R. O campo é de classe C 1 em todo Como rotf 1. k 1[(x 1 +y ]+(x 1(x 1 ((x 1 +y 1[(x 1 +y ]+y8y ((x 1 +y F 1 d r + F 1 d r, o Teorema de Green fornece: Logo: F 1 d r 1 π π F 1 d r (a sen t/, a cos t a.( a sen t, a cos t/ dt dt π O campo F é de classe C 1 em todo o R. Logo não é necessário utilizar uma curva auxiliar visto que o domínio do campo contem a região D interior a. Temos que rot F x + cos y ( x + cos y 3x, logo, 11

12 pelo Teorema de Green vem que: Resolvendo a integral: F d r D 3x dx dy F d r 15 Logo, Por m, a integral pedida é: F d r x dx dy D 3 x 3 3 ( x x x+8 x dx dy x 3 + x + 1x dx x 3 + x + 6x dx 6 + x x 6 ( F d r π