LISTA DE EXERCÍCIOS SOBRE TEOREMA DE GREEN, FLUXO (CONT.), DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL DE UM CAMPO ESPAÇO, LAPLACIANO, FUNÇÕES HARMÔNICAS (CONT)

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1 LISTA DE EXEÍIOS SOBE TEOEMA DE GEEN, FLUXO (ONT.), DIVEGÊNIA E OTAIONAL DE UM AMPO ESPAÇO, LAPLAIANO, FUNÇÕES HAMÔNIAS (ONT) POFESSO: IADO SÁ EAP () Sejam F (x, y, ) e G(x, y, ) campos vetoriais definidos num aberto U 3. Seja f(x, y, ) uma função real suave definida em U. Mostre que div F e rot F são operadores lineares no espaço vetorial real dos campos vetoriais sobre U. Todavia, mostre que div (f(x, y, )F (x, y, )) = f(x, y, ) div F (x, y, )+ f(x, y, ) F (x, y, ) onde denota o produto escalar em 3 rot (f(x, y, )F (x, y, )) = f rot F (x, y, ) + f(x, y, ) rot F (x, y, ) onde denota o produto vetorial em 3 Mostre também que rot f = 0 e div rot F = 0. (2) Seja X(x, y, ) = (x, y, ), o campo vetor posição. Seja f(x, y, ) = (x 2 + y ) α/2 em 3 \ {(0, 0, 0)}, α > 0. (a) alcule f, f, f em 3 \ {(0, 0, 0)}. (b) Sejam F (x, y, ) = X(x, y, ) e (x 2 +y ) 3/2 G(x, y, ) = k F, onde k = (0, 0, ). alcule div F, rot F e div G. (c) Seja g : (0, + ) uma função suave. Seja h(x, y, ) = g( x 2 + y ), (x, y, ) 3 \{(0, 0, 0)}. alcule h(x, y, ) e h(x, y, ). Encontre todas tais funções g tal que h seja harmônica; i.e h(x, y, ) = h xx +h yy +h = 0, (x, y, ) 3 \ {(0, 0, 0)}. alcule também rot(gx)(x, y, ). (d) A mesma questão do item anterior considerando agora h(x, y) = g( x 2 + y 2 ), (x, y) 2 \ {(0, 0)}. Daí, tente encontrar todas as funções harmônicas h(x, y) definidas no anel < x 2 + y 2 < 2 que valem valores constantes h() = a e h(2) = b nos círculos de raio e 2, respectivamente, onde a, b são números reais dados. (e) Seja Y (x, y, ) = (a, b, c) um campo constante de 3. alcule (Y X), div(y X), rot(y X), div(fy X) e rot(fy X).

2 2 POFESSO: IADO SÁ EAP (3) Sejam F (x, y, ) e G(x, y, ) = (G (x, y, ), G 2 (x, y, ), G 3 (x, y, )) campos suaves definidos num aberto U 3, onde G i (x, y, ), i =, 2, 3 são funções reais (escalares) definidas em U (componentes de G). Sejam f(x, y, ) e g(x, y, ) funções reais suaves definidas em U. Denotemos por o produto escalar em 3 e denotemos por o produto vetorial 3. Vamos introduir uma simbologia. (F )G := (F G, F G 2, F G 3 ), etc. G := ( G, G 2, G 3 ), etc. Dedua as seguintes fórmulas: (a) (F G) = (F )G + (G )F + F rot G + G rot F. (b) div(f G) = (rot F ) G F (rot G). (c) rot(f G) = (div G)F (div F )G + (G )F (F )G. (d) rot rot F = div F F. (e) div( f g) = 0 (f) div(f g g f) = f g g f. (g) Assuma que G é um campo contante e dedua fórmula particulares para as identidades acima. (4) Seja Ω um domínio de 3 e seja F um campo suave em Ω. eflita o seguinte: (a) A condição F = u e a relação com a condição de F (x, y, ) ser irrotacional (rot F 0) em Ω. (b) A condição F = rot G e a relação com a condição de F (x, y, ) ser incompressível (div F 0) em Ω. (c) Para um domínio estrelado, as condições de F (x, y, ) ser ao mesmo tempo irrotacional e incompressível, e a relação com as condições de F ser conservativo e a função potencial associada f ser harmônica ( f 0) em Ω. (5) (primeira e segunda identidades de Green). Seja uma região cuja fronteira é uma curva simples fechada positivamente orientada =. Seja n + o campo normal unitário exterior (apontando para fora). Seja F (x, y) um campo suave em. Sejam u(x, y) e v(x, y) funções reais suaves definidas em. Sabemos que o fluxo Φ de F através de é dado por (faendo uma aplicação do teorema de Green): Φ := F n + dl = div F da onde da = dx dy é o elemento de área do plano, e dl é o elemento comprimento de arco de. Escolha F = v u, na fórmula acima, use a identidade u = div u e denote := u n +, para deduir a seguinte identidade (primeira n + identidade de Green):

3 LISTA 4 DE ÁLULO ESPEIAL INTEGAL A VÁIAS VAIÁVEIS 3 v u da + v u da = v n + dl Troque u por v na fórmula acima e dedua a seguinte identidade segunda identidade de Green): (v u u v) da = (a) onclua que se u é harmônica então (b) Mostre que se u é harmônica então u 2 da = ( v n u v ) dl + n + n dl = 0 + u n + dl onclua que uma função harmônica u se anulando em = se anula identicamente em u. Dedua daí que duas funções harmônicas u e v em que possuem os mesmos valores na fronteira de são iguais. Isto é, se a restrição de u à é igual à restrição de v à, então u = v em toda a região. (6) (propriedade da média para funções hamônicas no plano). Vamos supor agora que u é harmônica num domínio (aberto e conexo) Ω. Seja (x 0, y 0 ) um ponto de Ω e seja D r = D r (x 0, y 0 ) um disco fechado de raio r (possivelmente pequeno) e de centro (x 0, y 0 ) inteiramente contido em Ω. Tal escolha é possível já que Ω é um aberto do plano. Seja r o círculo de raio r que é a fronteira de D r (positivamente orientada). omo u é harmônica é subharmônica, i. e u 0. Seja Φ o fluxo do campo u através de. Já sabemos que Φ = r r dl = u dx dy D r Em coordenadas polares, dl = r dθ e assim 2π r 0 r dθ = u dx dy D r omo, u 0, integrando o primeiro termo da equação acima com respeito a r, entre 0 e um número fixo, levando em conta que cada D r é um disco de raio r centrado em (x 0, y 0 ), dedua que u(x 0, y 0 ) 2π 2π 0 u( cos θ x 0, sen θ y 0 ) dθ = 2π u dl

4 4 POFESSO: IADO SÁ EAP Agora, considerando que u também é uma função subharmônica dedua que (propriedade da média de uma função harmônica): Se u é harmônica num domínio Ω então u(x 0, y 0 ) é igual a média do valor de u em qualquer círculo em Ω centrado em (x 0, y 0 ), inteiramente contido em Ω, isto é u(x 0, y 0 ) = u dl 2π (7) (princípio do máximo para funções harmônicas). Dedua do item anterior o seguinte princípio do máximo: Se u atinge um máximo M num ponto (interior) de Ω então u M em todo o domínio Ω. Tal princípio vale também para funções subharmônicas? (8) Este exercício será melhor compreendido quando você tiver conhecimento da teoria da integração complexa e do cálculo de integrais complexas usando o teorema dos resíduos. Volte a revisitá-lo quando você estiver faendo o curso de variáveis complexas. Seja U, onde U aberto do plano complexo. Denotamos w = a + ib, a, b um número complexo, a e b são chamadas de parte real e parte imaginária de w, respectivamente. Seja f() = u()+iv(), onde = x+iy U (x, y ) e u(), v(), uma função complexa contínua definida em U (ou seja u() e v(), a parte real e a parte imaginária de f() são funções reais contínuas em U). Seja uma curva parametriada suave cujo traço está em U. Definimos a integração complexa da seguinte maneira f() d = f() d = (u dx v dy) + i (v dx + u dy) na prática: faça f() = u() + iv() e d = dx + i dy e efetue a multiplcação f() d separando as partes real e imaginária Assim, tanto parte real quanto a parte imaginária da integral complexa é uma integral de linha real. Quando f() é holomorfa em U, ou seja tem derivada complexa, ou seja ainda a parte real e imaginária satisfaem as equações de auchy-iemann, i.e u x = v y e u y = v x em U, ou ainda f := ( ) f 2 x + i f 0 y em U então, f() d = 0 em todo domínio estrelado U. Quando f() tem singularidades isoladas, digamos um número finito de polos na interior

5 LISTA 4 DE ÁLULO ESPEIAL INTEGAL A VÁIAS VAIÁVEIS 5 da região cuja fronteira orientada é, denotados por a,..., a n com a propriedade de que f(), se a k, a situação é controlada pelo teorema dos resíduos como explicado abaixo. Numa viinhança de cada pólo a := a k, f() se escreve como f() = b m ( a) m + b ( a) +c 0+c ( a)++c 2 ( a) 2 + (b m 0) O número complexo b é chamado de resíduo de f() em = a e denotado por es(f, a). Quando m = di-se que f() tem um pólo simples em = a. O exemplo típico é f() =. Também desenvolvendo a série de Taylor de e e cos na origem verifica-se que f() = e cos e g() = são meromorfas em, holomorfas em \ {0} com um pólo simples na origem, ambas com resíduos iguais a na origem. O teorema de resíduos di uma função f() holomorfa no interior da região U, exceto num número finito de singularidades, digamos pólos, a,..., a n, satisfa f() d = 2πi es(f, a k ). onsidere agora uma função meromorfa f() em que têm um único pólo na origem e este pólo é simples e com resíduo real. Acima explicitamos alguns exemplos desta situação. Segue daí que quando o resíduo é real, a parte real da diferencial meromorfa f() d é exata ou integrável (ou seja, o campo associado é conservativo) e assim tem uma primitiva (o campo associado tem um potencial). Enquanto que a parte imaginária de f() d, embora seja localmente exata (o campo associado tem rotacional ero) não é globalmente exata (o campo associado não é conservativo em todo o plano perfurado, mas é conservativo num domínio estrelado que não contém a origem). Nos exemplos (b), (c) abaixo, tomamos as partes imaginárias na integral complexa. (a) Particularie a análise precedente, considerando a integral complexa d, onde é uma curva parametriada simples fechada não passando pela origem, faendo observações pertinentes, exemplificando. Por exemplo, volte ao último exercício da lista 4 e o analise à lu destes novos fatos. Note o seguinte: No domínio estrelado \ (, 0] com centro em = uma primitiva de está dada por ln() = ln + iθ(), onde, = x + iy, = r = x 2 + y 2 (determinação do logaritmo ou função logaritmo complexo)

6 6 POFESSO: IADO SÁ EAP θ ( π, π) está dada por θ = arg = 2 arctan ( y x+r). Note que arctan(y/x) se x > 0 θ = π + arctan(y/x) se x < 0, y > 0 π + arctan(y/x) se x < 0, y < 0 As parte real e imaginária do logaritmo complexo, dadas por ln e θ(), respectivamente, são funções e harmônicas em \ (, 0], como pode ser verificado diretamente. Dado \ (, 0], seja [, ] o segmento orientado partindo do centro até. Pode-se mostrar que ln tem a seguinte forma integral complexa ln = d. Em todo caso vale que ln () = d ln d Assim, d = 0 [,] =, \ (, 0]. para toda curva parametriada fechada contida num domínio estrelado que não contém a origem. laro que se é uma curva simples fechada positivamente orientada que dá uma volta em torno da origem, tem-se que d = 2πi aplicando o teorema dos resíduos. Mais geralmente vale o seguinte fato: Dado um domínio estrelado Ω com centro c e uma função holomorfa f() em Ω, tem-se que F () := f() d, é uma primitiva de f(), i.e [c,] F () = f(), Ω. Assim, f() d = 0 para toda curva parametriada fechada contida no tal domínio Ω. (b) Seja F (x, y) um campo suave definido no plano perfurado na origem por ( e x F (x, y) = x ) (x cos y + y sen y) 2 e (x sen y y cos y), x 2 + y2 x 2 + y (x, y) 2 \ {(0, 0)}. Seja uma curva simples fechada positivamente orientada que não passa pela origem. Seja a região do plano cuja fronteira (orientada) é. alcule o trabalho W realiado pelo campo F (x, y), levando em conta os caso em que a origem (0, 0) pertence ou não pertence ao interior da região, pelos argumentos acima.,

7 LISTA 4 DE ÁLULO ESPEIAL INTEGAL A VÁIAS VAIÁVEIS 7 OBS: Aqui a função meromorfa é f() = e e tem resíduo na origem. Logo, o trabalho W realiado pelo campo F (x, y) ao longo de uma curva simples fechada que dá uma volta em torno da origem é igual a 2π. O trabalho W realiado pelo campo F (x, y) ao longo de uma curva simples fechada que é fronteira de uma região que não contém a origem é igual a ero. (c) Seja F (x, y) um campo suave definido no plano perfurado na origem por ( y cos x cosh y x sen x sinh y x 2 + y 2, ) x cos x cosh y y sen x sinh y. x 2 + y 2 OBS: Aqui a função meromorfa é f() = cos, = x + iy, x, y e tem resíduo na origem. Logo, o trabalho W realiado pelo campo F (x, y) ao longo de uma curva simples fechada que dá uma volta em torno da origem é igual a 2π. O trabalho W realiado pelo campo F (x, y) ao longo de uma curva simples fechada que é fronteira de uma região que não contém a origem é igual a ero.