Ca lculo Vetorial. 2) Fac a uma corresponde ncia entre as func o es f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes.

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1 Se tima Lista de Exercı cios a lculo II - Engenharia de Produc a o extraı da do livro A LULO - vol, James Stewart a lculo Vetorial 1) Determine o campo vetorial gradiente de f. a) f (x, y) = ln(x + y) p b) f (x, y, z) = x + y + z c) f (x, y) = x y ) Fac a uma corresponde ncia entre as func o es f e os desenhos de seus campos vetoriais gradientes. a) f (x, y) = x + y b) f (x, y) = x(x + y) c) f (x, y) = (x + y) p d) f (x, y) = sin x + y 3) alcule a integral de linha, onde e a curva dada. a) y 3 ds, : x = t3, y = t, 0 t b) xy 4 ds, e a metade direita do cı rculo x + y = 16 c) (x y 3 x) dy, e o arco da curva y = x de (1, 1) a (4, ) d) xy dx + (x y) dy, consiste nos segmentos de reta de (0, 0) a (, 0) e de (, 0), a (3, ) e) xy 3 ds, : x = 4 sin t, y = 4 cos t e z = 3t, 0 t π f) xeyz ds, e o segmento de reta de (0, 0, 0) a (1,, 3) g) x y z dz, : x = t3, y = t, z = t, 0 t 1 h) (x + yz) dx + x dy + xyz dz, consiste nos segmentos de reta de (1, 0, 1) a (, 3, 1) e de (, 3, 1) a (, 5, ) 1

2 4) alcule a integral de linha F dr, onde é dada pela função vetorial r(t). a) F (x, y) = xy i + 3y j, r(t) = 11t 4 i + t 3 j, 0 t 1 b) F (x, y, z) = sin x i + cos y j + xz k, r(t) = t 3 i t j + t k, 0 t 1 5) alcule a integral de linha F dr, onde F (x, y) = ex 1 i + xy j e é dada por r(t) = t i + t 3 j, 0 t 1 6) Determine se F é ou não um campo vetorial conservativo. Se for, determine uma função f tal que F = f. a) F (x, y) = (x 3y) i + ( 3x + 4y 8) j b) F (x, y) = e x sin y i + e cos y j c) F (x, y) = (ye x + sin y) i + (e x + x cos y) j d) F (x, y) = (ln y + xy 3 ) i + (3x y + x y ) j 7) A figura mostra o campo vetorial F (x, y) =< xy, x > e três curvas que começam em (1, ) e terminam em (3, ). a) Explique por que F dr tem o mesmo valor para as três curvas. b) Qual é esse valor comum? 8) Determine uma função f tal que F = f e calcule F dr sobre a curva dada. a) F (x, y) = xy i + xy j b) F (x, y, z) = yz i + xz j + (xy + z) k é segmento de reta de (1, 0, ) a (4, 6, 3) c) F (x, y, z) = y cos z i + xy cos z j xy sin z k, : r(t) = t i + sin t j + t k, 0 t π 9) Mostre que a integral de linha x sin y dx + (x cos y 3y ) dy é independente do caminho e calcule a integral onde é qualquer caminho de ( 1, 0) a (5, 1). 10) alcule a integral de linha por dois métodos: diretamente e utilizando o Teorema de Green ȧ) (x y) dx + (x + y) dy, é o círculo com centro na origem e raio. b) xy dx + x y 3 dy, é o triângulo com vértices (0, 0), (1, 0) e (1, ).

3 11) Use o Teorema de Green para calcular a integral de linha ao longo da curva dada com orientação positiva. a) ey dx + xe y dy, é o quadrado de lados x = 0, x = 1, y = 0 e y = 1. b) (y + ex ) dx + (x + cos y ) dy, é a fronteira da região englobada pelas parábolas y = x e x = y. c) y3 dx x 3 dy, é o círculo x + y = 4 1) Use o Teorema de Green para calcular F dr. (Verifique a orientação da curva antes de aplicar o teorema). a) F (x, y) =< x + y 3, x + y >, consiste no arco da curva y = sin x de (0, 0) a (π, 0) e no segmento de reta (π, 0) a (0, 0). b) F (x, y) =< e x + x, e y xy >, é a circunferência x + y = 5, orientada no sentido anti-horário. 13) Utilize uma das fórmulas: A = x dy = y dx = 1 x dy y dx para achar a área sob um arco de cicloide x = t sin t, y = 1 cos t. 14) Determine o rotacional e o divergente do campo vetorial. a) F (x, y, z) = xyz i x y k b) F (x, y, z) = e x sin y i + e x cos y j + z k c) F (x, y, z) = 1 (x i + y j + z k) x + y + z d) F (x, y, z) =< ln x, ln(x, y), ln(xyz) > 15) Determine se o campo vetorial é conservativo ou não. Se for conservativo, determine uma função f tal que F = f. a) F (x, y, z) = y z 3 i + xyz 3 j + 3xy z k b) F (x, y, z) = xy i + (x + yz) vj + y k c) F (x, y, z) = ye x i + e x j + z k 16) Existe um campo vetorial G em 3 tal que rot G =< x sin y, cos y, z xy >? 17) Use o Teorema de Stokes para calcular rot F ds. S a) F (x, y, z) = x z i + y z j + xyz k, S é a parte do paraboloide z = x + y que está dentro dentro do cilindro x + y = 4, orientado para cima. b) F (x, y, z) = xyz i+xy j+x yz k, S é formada pelo topo e pelos quatro lados (mas não pelo fundo) do cubo com vértices (±1, ±1, ±1), com orientação para fora. 3

4 18) Use o Teorema de Stokes para calcular F dr. Em cada caso, é orientada no sentido anti-horário quando vista de cima. a) F (x, y, z) = (x + y ) i + (y + z ) j + (z + x ) k, é o triângulo com vértices (1, 0, 0), (0, 1, 0) e (0, 0, 1). b) F (x, y, z) = yz i + xz j + e xy k, é a circunferência x + y = 16, z = 5. ESPOSTAS: 1) a) f(x, y) = 1 x + y i + x + y j x b) f(x, y, z) = x + y + z i + c) f(x, y) = x i j ) (a) - III (b) - IV (c) - II (d) - I y x + y + z j + 3) a) 1 54 (1453/ 1) b) 1638, 4 c) 43 d) e) 30 f) (e 6 1) g) 1 h) ) a) 45 b) 6 cos 1 sin 1 5 z x + y + z k 5) e 6) a) f(x, y) = x 3xy + y 8y + K b) f(x, y) = e x sin y + K c) f(x, y) = ye x + x sin y + K d) f(x, y) = x ln y + x y 3 + K 7) 16 8) a) f(x, y) = 1 x y F dr = b) f(x, y, z) = xyz + z F dr = 77 c) f(x, y, z) = xy cos z dr = 0 9) 5 sin ) a) 8π b) 3 4

5 11) a) e 1 b) 1 3 c) 4π 1) a) 4 65 π b) π 3 13) 3π 14) a) rot F = x i+3xy j xz k div F = yz b) rot F = 0 div F = 1 c) rot F = 0 div F = x +y +z d) rot F =< 1 y, 1 x, 1 x > divf = 1 x + 1 y + 1 z 15) a) f(x, y, z) = xy z 3 + K b) f(x, y, z) = x y + y z + K c) Não conservativo 16) Não 17) a) 0 b) 0 18) a) 1 b) 80π 5