Universidade Federal do Rio de Janeiro Cálculo III

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1 Universidade Federal do Rio de Janeiro Cálculo III 1 o semestre de 26 Primeira Prova Turma EN1 Não serão aceitas respostas sem justificativa. Explique tudo o que você fizer. 1. Esboce a região de integração, inverta a ordem da integração e calcule a integral 1 x 1 e (y 1)2 dydx. A região de integração é a união das duas regiões fechadas marcadas com X. X X Mudando a ordem das integrais temos 1 x e (y 1)2 dydx = 1 y e (y 1)2 dxdy y Integrando a primeira parcela 1 y e (y 1)2 dxdy = 1 1 O integrando na outra parcela dá exatamente igual, de modo que e (y 1)2 dxdy. 1 xe (y 1)2 y 1 dy = (1 y)e (y 1)2 dy; donde 1 x e (y 1)2 dydx = 2 1 (1 y)e (y 1)2 dy = x e (y 1)2 dydx = e (y 1)2 1 = 1 1 e. ( 2)(y 1)e (y 1)2 dy; 2. Considere o sólido S limitado acima pela esfera de centro na origem e raio 1 e abaixo pelo cone z = (x2 + y 2 )/3. (a) Esboce o sólido. (b) Sabendo-se que este sólido tem densidade ρ(x,y,z) = 2z calcule sua massa utilizando coordenadas esféricas.

2 A figura parece um sorvete de casquinha. O vértice do cone fica na origem: o sistema de eixos da figura não coincide com o xyz da questão para tornar a visualização mais fácil A massa é dada pela integral tripla Convertendo para coordenadas esféricas, obtemos que é igual a 2π π/3 1 2π π/3 1 Calculando a integral relativamente a r, 2π π/3 Calculando a integral relativamente a φ, Finalmente, 1 2 2π π/3 S 2zdxdydz. r cos(φ)sen(φ)dφdθ = 1 2 cos(φ)sen(φ)dφdθ = (2r cos(φ)) (r 2 sen(φ)) drdφdθ; }{{}}{{} 2z jacobiano 2π 2r 3 cos(φ)sen(φ)drdφdθ. 2π 2π π/3 dθ = 2π 3 16 = 3π 8. cos(φ) sen(φ)dφdθ. sen 2 (φ) π/3 dθ = 1 2π dθ.

3 3. Sejam α = 3(x 2 + y 2 + z 2 ) 3 (xdx + ydy + zdz). uma 1-forma e f(x,y,z) = y 3 + 3xz, uma função, ambas definidas em todo o R 3, e considere a 1-forma β = α + df. (a) Calcule a imagem inversa de β pela 1-célula (t) = (t 2,t 3,t), onde t 1. (b) Calcule a integral de β em. (c) Determine um campo vetorial B tal que β = τ B. (d) O campo B é conservativo? Se for, determine uma função potencial para B; se não for, explique detalhadamente sua resposta. Se A é o campo vetorial então α = τ A. Contudo, A = 3(x 2 + y 2 + z 2 ) 3 (x,y,z), A = 3r 6 (x,y,z), é um campo central, onde r = x 2 + y 2 + z 2. Portanto, 3r 7 dr = 3r8 8, é uma função potencial para A. Escrevendo esta função em termos x, y e z temos Logo, G(x,y,z) = 3(x2 + y 2 + z 2 ) 4. 8 ( 3(x 2 + y 2 + z 2 ) 4 ) β = d + y 3 + 3xz. 8 Com isto podemos facilmente calcular a imagem inversa que é igual a Integrando, temos (β) = (d(f + G)) = d (f) + d (G), 3 2 (t4 + t 6 + t 2 ) 3 (4t 2 + 6t 5 + 2t) + 9t 8 + 9t 2. β = [,1] (β) = [,1] (d (f) + d (G)). Mas, pelo teorema do gradiente isto dá β = (f)(1) + (G)(1) (f)() + (G)(). Assim, O campo B tal que τ B = β é igual a β = f(1,1,1) + G(1,1,1) = (x 2 + y 2 + z 2 ) 3 (x,y,z) + f.

4 Finalmente, o campo B é conservativo, já que B = (G + f), é um campo gradiente, e todo campo gradiente é conservativo. 4. Considere a região U = R 2 \ {(,)} obtida omitindo-se a origem do plano R 2, e seja F = um campo de vetores definido em U. (a) Esboce o campo na vizinhança da origem. (b) Calcule a circulação de F na elipse 1 9x y 2 ( y,x) 9x y 2 = 225. (c) Este campo é conservativo? Se for, determine uma função potencial para F ; se não for, explique detalhadamente sua resposta. O gráfico do campo é Logo, isto é O importante é observar que o vetor do campo em (x,y) é perpendicular ao vetor (x,y). Parametrizando a elipse dada obtemos E(θ) = (5cos(θ),3sen(θ)). ( ) E (τ F ) = E 1 9x y 2 ( ydx + xdy); E (τ F ) = 1 ((5cos(θ)( 3sen(θ)) + (5sen(θ)( 3cos(θ)); 225

5 donde Integrando, obtemos Γ = E (τ F ) == 1 15 dθ. E τ F = 2π 1 2π dθ = Finalmente, como a circulação nesta elipse (que é um encadeamento fechado) não é nula, o campo não pode ser conservativo. 1 o semestre de 26 Segunda Prova Turma EN1 1. Seja E(x,y,z) = (x,, 2z) um campo de R 3. (a) Determine Φ F e sua diferencial. (b) Determine uma parametrização do sólido que corresponde ao sorvete limitado abaixo pelo cone z 2 = x 2 + y 2 e acima pela esfera x 2 + y 2 + z 2 = 1. (c) Calcule o fluxo de F pela superfície do sorvete usando o teorema de Stokes. A 2-forma do fluxo é e sua diferencial é Φ E = xdy dz 2zdx dy, dφ E = dx dy dz 2dz dx dy = dx dy dz. Como o sorvete é uma porção da esfera, sua parametrização é dada por (φ,θ,r) = (r cos(θ)sen(φ),r sen(θ)sen(φ),r cos(φ)), com os limites dos parâmetros sendo dados por R = [,π/4] [,2π] [,1]. Para calcular o fluxo via Stokes usamos Φ E = onde esta última integral é igual a dφ E, dφ E = (dx dy dz). R

6 Como segue que Portanto, (dx dy dz) = r 2 sen(φ)dφ dθ dr, dφ E = π/4 2π 1 dφ E = 2π 3 r 2 sen(φ)dφdθdr. ( ) Seja E = (,x,) um campo de vetores do R 3 e : [,1] [,1] R 3 uma 2-célula definida por (s,t) = (e s,e t,e s2 +t 2 ). Calcule a circulação do campo E na fronteira de usando o teorema de Stokes. Usando Stokes a circulação é igual a Γ E ( ) = τ E = dτ E. Como τ E = xdy, temos que dτ E = dx dy; de modo que (dτ E ) = e s e t ds dt = e s+t ds dt. Integrando, Γ E ( ) = (dτ E ) = [,1] 2 donde Γ E ( ) = e s e t ds dt = (e 1) 1 e s+t ds dt; e t dt = (e 1) Considere o campo de vetores F = (y(sen(xy) + cos(xy)),x(sen(xy) + cos(xy))). O campo F é conservativo em todo o R 2? Se for, calcule uma função potencial para F. Como o campo está definido em todo o R 2, basta verificar que dτ F =. Contudo (y(sen(xy) + cos(xy))) = (sen(xy) + cos(xy)) + xy(cos(xy) sen(xy)), y

7 que é igual a (x(sen(xy) + cos(xy))) x de modo que dτ F =, e o campo é mesmo conservativo. Para calcular o potencial, fixamos o potencial nulo na origem e calculamos o potencial em (x,y ) avançando ao longo de uma reta radial da origem a este ponto: Como temos que Desta forma φ(x,y ) = [,1] τ F = λ(t) = (tx,ty ) onde t 1. τ F = (sen(xy) + cos(xy))(ydx + xdy), (τ F ) = (sen(t 2 x y ) + cos(t 2 x y ))(2tx y )dt. 1 Portanto, a função potencial desejada é (sen(t 2 x y ) + cos(t 2 x y ))(2tx y )dt = cos(x y ) sen(x y ). φ(x,y) = cos(xy) sen(xy). 4. Seja f(x,y,z) = x 2 y e considere o cilindro de equação f =, cuja base é uma parábola. Calcule a área da região deste cilindro limitada pelos planos z =, z = 1 e y = 1 em função de C = π/4 Cuidado com a inversão de sentido do gradiente! sec 3 (u)du. O campo normal é dado por O cilindro pode ser facilmente parametrizado por N = f f = 1 (2x, 1,) x 2 (s,t) = (s,s 2,t) onde s 1 e t 1. Por simetria, a área desejada é A = 2 Φ N = 2 (2s(2sds) dt + ds dt) s 2 Portanto, A = [,1] s2 dsdt = s2 ds.

8 Tomando s = tan(u)/2, vemos que s2 ds = 1 2 arctan(2) sec 2 (u)du. Note que o limite superior da integral na prova estava errado, o certo é arctan(2) e não π/4.