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1 NOME: Universidade Federal do Rio de Janeiro Instituto de Matemtica Departamento de Mtodos Matemticos Gabarito da a Prova de Cálculo II - 06//0 a QUESTÃO : Um tanque possui 0 litros de solução com cloro numa concentração de 4 mg/l. Se adicionamos água ao tanque por uma mangueira numa taxa de L/min contendo mg/l de cloro e a solução homogênea sai do tanque por um orifício em sua base com vazão de L/min, determine: (a) o volume da solução homogênea no tanque no instante t; (b) a quantidade de cloro no tanque no instante t; Solução: Resolução. (a) O volume no tanque no instante t é dado pela fórmula: V (t) = 0 + (v e v s )t; onde v e é a vazão de entrada L/min e v s é a vazão de saída L/min. Portanto, V (t) = 0 t. (b) A quantidade de cloro no tanque no instante t, Q(t), varia de acordo com a regra: Q (t) = Q e Q s, onde Q e é a taxa da quantidade de cloro que entra no tanque e Q s é a taxa da quantidade de cloro que sai do tanque, i.e. Q e = mg min Q s = Q(t) V (t) v s = Q(t) 0 t A equação diferencial obtida nesse caso é: O fator integrante é µ(t) = µ, obtemos Q (t) + Q(t) 0 t =. mg min e, portanto, multiplicando a equação por (0 t) (µ Q) (t) = Integrando dos dois lados, temos que (0 t).

2 Q(t) (0 t) = (0 t) dt = 0 t + C. onde C é a constante de integração. Daí segue que Q(t) = (0 t)(+c(0 t)). Como Q(0) = 40, encontramos que C = 0, 3. Assim, Q(t) = 0 t + 0, 3(0 t) = 40 7t + 0, 3t a QUESTÃO : Seja C uma curva parametrizada por σ(t) = (x(t), y(t), z(t)), de modo que σ(0) = (0, 0, 0), σ (0) = (,, ) e σ (t) + σ (t) + σ(t) = f(t) para todo t R, onde f(t) = (5 sen t, e t, 5 sen t e t ). Determine a parametrização σ(t). Solução: Como Então, isto é, σ (t) + σ (t) + σ(t) = f(t) = (5 sen t, e t, 5 sen t e t ) (x, y, z ) + (x, y, z ) + (x, y, z) = (5 sen t, e t, 5 sen t e t ) (x + x + x, y + y + y, z + z + z) = (5 sen t, e t, 5 sen t e t ) E como σ(0) = (0, 0, 0), σ (0) = (,, ) temos 3 equações diferenciais de segunda ordem com condições iniciais: x + x + x = 5 sen t, x(0) = 0, x (0) = () y + y + y = e t, y(0) = 0, y (0) = () z + z + z = 5 sen t e t, z(0) = 0, z (0) = (3) Como podemos ver, a equação característica é a mesma para as três equações: r + r + = 0 r = ± i. Assim, temos as seguintes soluções para as equações homogêneas associadas às três equações (), () e (3) acima: x h = e t (a cos t + a sen t) y h = e t (b cos t + b sen t) z h = e t (c cos t + c sen t) Iremos, agora, encontrar uma solução particular para cada uma das equações (), () e (3) acima, utilizando o método dos coecientes a determinar. Pelo aspecto das funções que estão à direita das igualdades, temos as seguintes soluções particulares para as equações (), (): x p = d cos t + d sen t (4) y p = ke t (5)

3 Substituindo x p e y p em (), (), respectivamente, obtemos: x p = cos t sen t (6) y p = e t (7) Agora, note que a função 5 sen t e t que aparece à direita de (3) é uma diferença das duas funções que aparecem nas equações em () e (). Assim uma solução particular para (3) é: Logo, temos as soluções: z p = cos t sen t e t x = x p + x h = cos t sen t + e t (a cos t + a sen t) (8) y = y p + y h = e t + e t (b cos t + b sen t) (9) z = z p + z h = cos t sen t e t + e t (c cos t + c sen t) (0) Utilizando as condições iniciais dadas em (), () e (3), obtemos as soluções: x(t) = cos t sen t + e t (cos t + sen t) () y(t) = e t + e t ( cos t sen t) () z(t) = cos t sen t e t + e t ( cos t + sen t) (3) 3 a QUESTÃO : A espiral logarítmica é a curva plana denida por γ(t) = (e t cos t, e t sen t).. Mostre que o vetor posição γ(t) faz sempre o mesmo ângulo constante com a reta tangente a espiral logarítmica nesse ponto.. Calcule o comprimento de arco entre γ(0) e γ(t). 3. Mostre que γ(t) (0, 0) quando t Mostre que o comprimento do arco entre 0 e t tem um limite nito quando t +. Solução:. A reta tangente tem vetor direção γ (t) = e t ( cos t sen t, sen t + cos t). O ângulo θ t entre γ (t) e γ(t) satisfaz cos(θ t ) = γ (t).γ(t) γ (t) γ(t). Calculamos γ (t).γ(t) = e t [ cos t(cos t + sen t) + sen t( sen t + cos t)] = e t 3

4 e γ (t) γ(t) = e t (cos t + sen t) + ( sen t + cos t) e t cos t + sen t = e t. Logo, cos(θ t ) = θ = 3π 4 não depende de t. A espiral logarítmica é também chamada de espiral equiângulos.. Seja L(t) o comprimento de arco entre γ(0) e γ(t), temos L(t) = t 0 γ (t) dt. Pelo item anterior, L(t) = t 0 e t dt = ( e t ). 3. Temos lim t + e t = 0 e t R, cos t, sen t, então pelo Teorema do confronto, lim t + e t cos t = 0 e lim t + e t sen t = 0, isso é lim γ(t) = (0, 0). t + 4. Vimos que o comprimento do arco entre 0 e t é L(t) = ( e t ), então o limite lim t + L(t) = é bem nito. 4 a QUESTÃO : S : x + 3y z = e S : z = x + y (a) Faça um esboço das superfícies S e S, separadamente, destacando as curvas de interseção com os planos coordenados x = 0, y = 0 e z = 0. (b) Parametrize a curva γ de interseção de S com S. (c) Determine as equações paramétricas da reta tangente à curva γ no ponto P 0 = (, 0, ). Solução: (a) S : Hiperbolóide de uma folha: x + 3y z = Determinando as curvas de interseção com os planos coordenados: Fazendo z = 0, obtemos a elípse x +3y = Fazendo as interseções com os planos coordenados x = 0 e y = 0, obtemos, respectivamente os traços: 3y z = : x z = : hipérbole no plano yz (curva vermelha na gura (a)) hipérbole no plano xz (curva verde na gura (a)) Para interseções com planos z = k, temos elípses (curvas azuis na gura (a)) para todo k R: x + 3y = + k 4 x +k + y +k 3 =

5 (a) (b) Figura : Hiperbolóide de uma folha: x + 3y z = Com isto obtemos a superfície chamada Hiperbolóide de uma folha. S : Folha de Cone: z = x + y z = x + y z = x + y. Esta última equação representa um cone, como veremos. A gura S é, então, a parte superior do cone (gura 3). A interseção com o plano z = 0, x + y = 0 x = y = 0 o que nos dá apenas o ponto O = (0, 0). O traço no plano y = 0, nos dá um par de retas (verdes na gura ) z = x z = ±x e o traço no plano x = 0, outro par de retas (vermelhas na gura ) z = y z = ±y As interseções com planos z = k são circunferências de raio k nestes planos. Figura : z = x + y Figura 3: S : z = x + y (b) Substituindo z = x + y na equação do hiperbolóide, temos, x + 3y x y = x + y = x + ( ) = y 5

6 que é a equação de uma elípse no plano xy. Parametrizando: x = cos t e y = sen t, t [0, π] Assim, temos a parametrização para γ: (c) e como x = cos t, y = sen t, e z = γ(t) = ( cos t, cos t + sen t, t [0, π] ) sen t, cos t + sen t = (, 0, ) t = π γ (t) = sen t, cos t, cos t( sen t) + sen t cos t cos t + sen t então, γ (π) = (0,, 0) Logo, as equações paramétricas para a reta tangente no ponto P 0 são: x = x(t) = x = x(t) = y = y(t) = t ou y = y(t) = t para t R z = z(t) = z = z(t) = 6

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