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1 UFG Instituto de Matemática 215/2 POVA 2 16 de outubro de 215 8h y 811 onsidere a integral dupla iterada I = f(x,y)dxdy, em que o integrando é dado por f(x,y) = 4x y 2 x Determine e esboce uma região do plano xy tal que I = f(x,y)da. 2. Escreva I como integral dupla iterada na ordem dydx. 3. alcule o valor de I. 812 ejaaregiãosituadaforadacardioidedeequaçãopolarr = 2+2senθ e dentro do triângulo delimitado por x = 3y, y = e x = Obtenha coordenadas polares das retas x = 3y e x = Esboce no plano xy e dê coordenadas polares dos quatro vértices de. 3. Escreva (sem calcular!) (1+x 2 +y 2 ) 2 da como uma integral dupla iterada em coordenadas polares. 813 Use uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas para calcular o volume do sólido delimitado no primeiro octante pelo plano de equação 3x+4y = 12 e pelo cilindro parabólico horizontal de equação z = 4 y onsidere o sólido situado dentro da folha de cone superior de equação z = 3 x 2 +y 2 e dentro da esfera de equação x 2 + y 2 + (z 2) 2 = 4, cuja densidade num ponto P é dada por δ(x,y,z) = z. Escreva a massa de (sem calcular!) como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas e também em coordenadas esféricas. 815 eja a região delimitada no primeiro quadrante pelas curvas de equações x 2 + y 2 = 3 e x 2 + y 2 = 4 e considere a curva que contorna no sentido anti-horário. alcule a integral de linha ] y x] x dx+ 3xy + 2+y dy.

2 UFG Instituto de Matemática 215/2 POVA 2 16 de outubro de 215 1h onsidere a integral dupla I = x =, 3x+4y = 12 e 5x+4y = 2. 2xdA na região delimitada por 1. Determine e esboce a região na qual é dada a integral dupla I. 2. Escreva (sem calcular!) I como integral dupla iterada nas ordens dydx e dxdy. 112 onsidere a integral dupla iterada I = 1. alcule o valor de I. π/2 2 2senθ cosθdrdθ. 2. Esboce no plano xy e dê coordenadas polares dos três vértices de. 3. Usando equações em coordenadas cartesianas, descreva a região de integração e obtenha uma função z = f(x,y) tal que I = f(x,y)da. 113 onsidere o sólido situado acima do plano de equação z = e abaixo do paraboloidede equação z = 16 x 2 y 2, com densidade radial dada em cada ponto pelo quadrado da distância do ponto ao eixo z. Escreva (sem calcular!) a massa de como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas e, também, em coordenadas cilíndricas. 114 onsidere o sólido situado entre as superfícies esféricas de equações x 2 +y 2 +z 2 = 4 e x 2 +y 2 +z 2 = 9 e dentroda folhade cone superiorde equação z = 1 x2 3 +y 2. Use uma integraltriplaiteradaem coordenadasesféricaspara calcular (x 2 +y 2 +z 2 ) 1 dv. (Lembre que, em esféricas, dv = ρ 2 senφ dρdφdθ.) 115 onsidere o caminho poligonal fechado de vértices nos pontos (, ), (2,), (2,1) e (,3) percorrido no sentido anti-horário. alcule a integral de linha e 3x +y 2] dx+ 3xy +sen(2y) ] dy.

3 UFG Instituto de Matemática 215/2 POVA 2 16 de outubro de h x 1311 onsidere a integral dupla iterada I = f(x,y)dydx, em que o integrando é dado por f(x,y) = 4y x 2 y Determine e esboce uma região do plano xy tal que I = f(x,y)da. 2. Escreva I como integral dupla iterada na ordem dxdy. 3. alcule o valor de I ejaaregiãosituadaforada cardioidede equaçãopolarr = 2+2cosθ e dentro do triângulo delimitado por y =, x = e x+y = Obtenha coordenadas polares da reta x+y = Esboce no plano xy e dê coordenadas polares dos quatro vértices de. 3. Escreva (sem calcular!) (1+x 2 +y 2 ) 3 da como uma integral dupla iterada em coordenadas polares Use uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas para calcular o volume do sólido delimitado no primeiro octante pelo plano de equação x+z = 8 e pelo cilindro parabólico vertical de equação y = 4 x onsidere o sólido situado no primeiro octante entre as superfícies dadas pelas equações x 2 + y 2 + z 2 = 4 e x 2 + y 2 + z 2 = 9, cuja densidade num ponto P é dada pela terça parte da distância de P à origem. Escreva (sem calcular!) a massa de como uma integral tripla iterada em coordenadas cilíndricas e também em coordenadas esféricas eja a região delimitada no semiplano de equação y pelas curvas de equações x 2 +y 2 = 3 e x 2 +y 2 = 4 e considere a curva que contorna no sentido anti-horário. alcule a integral de linha y 2 +ln(1+3x 2 ) ] dx+ 3xy +e ] (1+y2 ) dy.

4 UFG Instituto de Matemática 215/2 POVA 2 16 de outubro de h onsidere a integral dupla I = y =, 4x+3y = 12 e 4x+5y = 2. 2ydA na região delimitada por 1. Determine e esboce a região na qual é dada a integral dupla I. 2. Escreva (sem calcular!) I como integral dupla iterada nas ordens dydx e dxdy onsidere a integral dupla iterada I = 1. alcule o valor de I. π/2 2 2cosθ senθdrdθ. 2. Esboce no plano xy e dê coordenadas polares dos três vértices de. 3. Usando curvas e retas em coordenadas cartesianas, descreva a região de integração e obtenhaumafunçãoz = f(x,y)talque I = f(x,y)da onsidere o sólido situado acima do plano de equação z = e abaixo da folha de cone de equação z = 25 x 2 +y 2, com densidade dada em cada ponto pelo dobro da distância do ponto ao plano de equação z = 25. Escreva (sem calcular!) a massa de como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas e, também, em coordenadas cilíndricas onsidere o sólido situado entre as superfícies esféricas de equações x 2 +y 2 +z 2 = 1 e x 2 +y 2 +z 2 = 4 e dentro da folha de cone superior de equação z = 3 x 2 +y 2. Use uma integral tripla iterada em coordenadas esféricas para calcular (x 2 +y 2 +z 2 ) 1/2 dv onsidere o caminho poligonal fechado de vértices nos pontos (, ), (1,), (3,2) e (,2) percorrido no sentido anti-horário. alcule a integral de linha e 2x +3y 2] dx+ 4xy +cos(3y) ] dy.

5 UFG Instituto de Matemática 215/2 POVA 2 16 de outubro de h onsidere a região delimitada por y =, y = 2x e x+y = Determine e esboce a região no plano xy. 2. onsidere a integral dupla 2y 2 da. Escreva essa integral como integral dupla iterada nas ordens dydx e dxdy. 3. alcule o valor de 2y 2 da onsidere a integral dupla iterada I = 1. alcule o valor de I. π/2 4 4cosθ senθdrdθ. 2. Esboce no plano xy e dê coordenadas polares dos três vértices de. 3. Usando curvas e retas em coordenadas cartesianas, descreva a região de integração e obtenhaumafunçãoz = f(x,y)talque I = f(x,y)da onsidere o sólido situado acima do plano de equação z = e abaixo do paraboloidede equação z = 16 x 2 y 2, com densidade radial dada em cada ponto pelo quadrado da distância do ponto ao eixo z. Escreva (sem calcular!) a massa de como uma integral tripla iterada em coordenadas cartesianas e, também, em coordenadas cilíndricas onsidere o sólido situado entre as superfícies esféricas dadas pelas equações x 2 +y 2 +z 2 = 4 e x 2 +y 2 +z 2 = 9 e dentro da folha de cone superior de equaçãoz = x 2 +y 2. Escreva(sem calcular!) a integraltripla z 3 dv como uma integral tripla iterada em coordenadas esféricas onsidere o caminho poligonal fechado de vértices nos pontos (,),(3,),(3,5) e (,5) percorrido no sentido anti-horário. alcule a integral de linha 4x 3 +3y 3] dx+ 6xy 2 +9y 3] dy.

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