Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística Departamento de Matemática Aplicada. Cálculo 3A Lista 9
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- Heitor Beretta Cruz
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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo A Lista 9 Eercício : eja uma superfície parametriada por com u π e v. ϕu,v) vcosu, vsenu, v ) a) Identifique esta superfície. b) Encontre uma equação da reta normal e a equação do plano tangente a em ϕ,). olução: vcosu a) As equações paramétricas de são vsenu, com u π e v. Eliminando os v parâmetros u e v, temos + v ou parabolóide circular). b) Um vetor normal de em ϕ,),,) é: ϕ ϕ N,),) u v,) vsenu,vcosu,) cosu,senu, v),),,),, ),, ). i j k Equação do plano tangente a em ϕ,),,) a fórmula [,,) ϕ,) ] N,) temos: [,,),,) ],, ),,),, ) ) +. Equação da reta normal a em ϕ,),,) a fórmula [,,) ϕ,) ] λ N,), com λ R, temos: [,,),,) ] λ,, )
2 Cálculo A Lista 9 8 com λ R que é a equação vetorial da reta normal ou λ λ com λ R, que são equações paramétricas da reta normal. Eercício : Encontre uma representação paramétrica para a superfície a) : parte da esfera que fica acima do plano. b) : parte do cilindro + 4 que fica entre os planos e +. c) : parte do plano + + no interior do cilindro +. d) : cone gerado pela semirreta,, girando-a em torno do eio. olução: a) O esboço de é a figura a seguir. φ senφcosθ e,,) então senφsenθ cosφ. { θ π a figura vemos que cosφ. Portanto, uma parametriação de é dada / φ π/4 por ϕφ,θ) senφcosθ,senφsenθ,cosφ) { φ π/4 com φ,θ) :. θ π
3 Cálculo A Lista 9 9 b) O esboço de está representado na figura a seguir. cost e,,) então sent, com t π e sent. Então uma parametriação de é com t,) : { t π sent. ϕt,) cost,sent,) c) O esboço de está representado na figura a seguir.
4 Cálculo A Lista 9 4 e,,) então com,) : +. Então, uma parametriação de é dada por φ,),, ). Uma outra parametriação de é dada por com r,θ) : { r θ π. ϕr,θ) rcosθ,rsenθ, rcosθ rsenθ) d) O esboço de é está representado na figura a seguir. C Uma parametriação de C é dada por t) t) t t) t com t. e,,) então,,) pertence à circunferência de raio t) t e de centro,,t)),,t). Então tcosθ tsenθ t com t e θ [,π]. Assim, uma parametriação de é dada por com t,θ) : t, θ [,π]. ϕt,θ) tcosθ,tsenθ,t) Eercício : a) Encontre uma parametriação para a superfície obtida girando-se o círculo a) + r, com < r < a, em torno do eio esta superfície é chamada toro). b) Encontre um vetor normal à esta superfície.
5 Cálculo A Lista 9 4 olução: a) Inicialmente vamos parametriar o círculo que está no plano. Temos que com t π. eja,,). Temos t)cosθ t)senθ t) { t) a+rcost t) rsent, com t π e θ π. Então, uma parametriação de é dada por ϕθ,t) a+rcost)cosθ, a+rcost)senθ, rsent ) com θ π e t π. Um vetor normal à é dado por ϕ ϕ Nθ,t) θ,t) θ t θ,t) onde Logo: ϕ θ a+rcost)senθ,a+rcost)cosθ, ) ϕ t rsentcosθ, rsentsenθ,rcost). Nθ,t) i j k a+rcost)senθ a+rcost)cosθ rsentcosθ rsentsenθ rcost ra+rcost)cosθcost,ra+rcost)senθcost,ra+rcost)sent ) a+rcost)rcosθcost,rsenθcost,rsent). Eercício 4: eja a parte do cilindro + 4, com 5, delimitada pelos semiplanos e, com. a) Obtenha uma parametriação de. b) Calcule a área de. olução: O esboço de está representado na figura que se segue.
6 Cálculo A Lista θ π/4 θ arctg Adotando as coordenadas ciĺındricas θ e como parâmetros temos { com θ,) : 5 π/4 θ arctg. : ϕθ,) cosθ,senθ,) b) Temos: A) ϕθ ϕ dθd onde ϕ θ ϕ i j k senθ cosθ cosθ,senθ,) e ϕθ ϕ 4cos θ +4sen θ 4. Então: A) dθd arctg π ) 4 u.a. arctg 5 π/4 ddθ arctg π/4 d Eercício 5: eja a superfície parte da esfera + + 4, interior ao cone +.
7 Cálculo A Lista 9 4 a) Parametrie usando coordenadas cartesianas como parâmetros. b) Parametrie usando coordenadas polares como parâmetros. c) Parametrie usando coordenadas esféricas como parâmetros. d) Calcule a área de. olução: a) e e +, temos donde +. Logo, a interseção é a circunferência + e ocorre no plano. Assim, o esboço de está representado na figura a seguir. α Temos : ϕ,),, ) 4, com,) : +. b) Usando as coordenadas polares, temos rcosθ, rsenθ, e 4 r, com r e θ π. Logo, temos : ϕr,θ) rcosθ,rsenθ, 4 r ), com r,θ) : r, θ π. c) As coordenadas esféricas são: ρ,φ e θ. Em, temos que ρ. Logo, senφcosθ, senφsenθ e cosφ. Temos tgα /, donde α π/. Assim, pode ser definida por: : ϕφ,θ) senφcosθ,senφsenθ,cosφ) { φ π/ com φ,θ) :. θ π
8 Cálculo A Lista 9 44 d) Usando o item c), temos que d ρ senφ dφdθ 4senφ dφdθ. Temos que, A) 8π π/ d 4senφ dφdθ 4 π/ π senφ dθdφ senφ dφ 8π [ cosφ ] π/ 8π ) 4π u.a. Eercício 6: eja a superfície parte do cone + que se encontra dentro do cilindro +, fora do cilindro + e acima do plano. a) Parametrie usando coordenadas cartesianas. b) Parametrie usando coordenadas polares. c) Calcule a área de. olução: a) O esboço de está representado na figura a seguir. ) /,/ ) /,/ α Adotando e como parâmetros, temos : ϕ,),, + ), com,). b) Adotando r e θ como parâmetros, temos rcosθ, rsenθ e + r. Vamos descrever em coordenadas polares.
9 Cálculo A Lista 9 45 Temos tgα /)/ /), donde α π/6. Logo, π/6 θ 5π/6. e +, temos r rsenθ, donde r senθ. Logo, r senθ. Então, temos : ϕr,θ) rcosθ,rsenθ,r), com r senθ e π/6 θ 5π/6. c) e a) temos que é dada por : +, com,). Então: A) + ) + ) dd ) ) + + dd dd dd 5π/6 senθ π/6 5π/6 π/6 r drdθ 4sen θ ) dθ [ ] 5π/6 θ senθ π/6 ) π +sen π 5π/6 [ r ] senθ π/6 dθ [ 4 θ senθ ) [ 5π 6 sen 5π ) ) π + u.a. ] 5π/6 θ π/6 π 6 sen π )] Eercício 7: Considere o parabolóide {,,) R ; +, + }. a) Parametrie usando coordenadas cartesianas. b) Parametrie usando coordenadas ciĺındricas. c) Calcule a área de. olução: O esboço de está representado na figura que se segue. a) Adotando e como parâmetros temos : ϕ,),, + ), com,) : +. b) Adotando r e θ como parâmetros temos : ϕr,θ) rcosθ,rsenθ,r ), com r,θ) : { r θ π.
10 Cálculo A Lista 9 46 c) Como é gráfico de f,) +,,) : +, então: A) + ) + ) dd dd. Usando { coordenadas polares, temos + r, dd rdrdθ e r rθ : θ π. Então: A) π rθ +4r r drdθ +4r ) / r dr. π +4r ) / r dθdr Faendo u +4r temos du 8rdr ou rdr du/8). Para r temos u e para r temos u 5. Então: A) π 5 u / du 8 π 8 [ ] u / 5 π ) u.a. Observação: Usando a parametriação encontrada em b) temos A) ϕr ϕ θ drdθ. Então, calculamos as derivadas parciais ϕ r e ϕ θ, o produto vetorial ϕ r ϕ θ e sua norma e em seguida a integral. Eercício 8: etermine a área da porção do cilindro + entre os planos e. olução: O esboço de está representado na figura a seguir.
11 Cálculo A Lista 9 47 Temos, donde A) A )+A ) A ) por simetria. Asuperfície éaporção de acima do plano { e é dada por : ϕt,) t π cost,sent,) com t,) : sent sent. Temos ϕ t ϕ i j k sent cost cost,sent,) donde, ϕ t ϕ. Como A ) ϕ t ϕ dtd então Logo: A ) π dtd [ sentdt π sent sent ] π cost. ddt π A) 4 u.a. sent sent)dt
12 Cálculo A Lista 9 48 Eercício 9: Calcule a área da superfície do cone + que está entre o plano e o plano. olução: e + e temos que: + + ) /) + 4/ 6/ ) ) 4 Assim, o esboço de está representado na figura que se segue. / / Temos : +, com,) : A) /) + 4/ 6/9. Então: + ) + ) dd onde + +.
13 Cálculo A Lista 9 49 Logo: A) dd + dd A) πab onde a / e b 4/. Portanto: A) π 8 8π 6 u.a. 9 Eercício : Calcule a área da superfície esférica que está no interior do cilindro +. olução: A superfície está ilustrada na figura a seguir. C C / C C / C C / C C / Por simetria, A ) A ). Logo, A) A ). Temos que é definida por :
14 Cálculo A Lista f,), com,) : +. Temos: A ) Em coordenadas polares temos: + ) f ) f + dd dd 9 dd. A ) 9 r ) r drdθ rθ rθ onde Então: rθ { r,θ) R ; π/ θ π/, r cosθ }. A ) π/ cosθ π/ 9 r ) / d 9 r ) π/ [ 9 r )/] cosθ π/ dθ Logo: π/ [ 9sen θ )/ 9 /] π/ dθ senθ dθ π/ π/ ) 9 π π/ senθ) dθ π/ [ ] [ 9 π + cosθ + cosθ π/ ] π/ senθ dθ A) 8π ) u.a. ) 9π ).
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