Lista 1 - Cálculo III

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1 Lista 1 - Cálculo III Parte I - Integrais duplas sobre regiões retangulares Use coordenadas cartesianas para resolver os exercícios abaixo 1. Se f é uma função constante fx, y) = k) e = [a, b] [c, d], mostre que fx, y) da = kb d 1). Calcule as seguintes integrais: 1 1 π/ ln) ln5) e) f) g) h) i) 1 + 4xy) dx dy 1) x siny) dy dx ) x + y) 8 dx dy 61, 6/45) x y + y ) dy dx 1, 5 ln)) x xy x + 1 e x y dx dy 6) da, = {x, y) x 1, y } ) x sinx + y)da, = [, π/6] [, π/] ) 1) π 6x y 5y 4 )da, = {x, y) x, y 1} 1/) ) 1 xye xy da, = [, 1] [, ] e ). etermine o volume do sólido que se encontra abaixo do plano x + y + z = 1 e acima do retângulo = {x, y) x 1, y }. 47,5 4. etermine o volume do sólido contido abaixo do paraboloide elíptico x /4 + y /9 + z = 1 e acima do retângulo = [ 1, 1] [, ]. 166/7) 5. etermine o volume do sólido limitado pela superfície z = x x + y e pelos planos x =, x = 1, y =, y = 1 e z = )) 6. etermine o volume do sólido contido no primeiro octante limitado pelo cilindro z = 9 y e pelo plano x =. 6) 1

2 Parte II - Integrais duplas sobre regiões genéricas Use coordenadas cartesianas para resolver os exercícios abaixo 7. Calcule as seguintes integrais: 1 x ) 9 x + y) dy dx 1 e y 4 x dx dy 9 e/ ) 45 y π/ cosθ) e sinθ) dr dθ use coordenadas polares) e 1) ) 56 x y da, = {x, y) x, x y x} 1 y e) x + 1 da, = {x, y) x 1, y ) 1 x} ln) ) 1 f) e x/y da, = {x, y) 1 y, y x y } e4 e ) 1 cos1) g) x cosy)da, onde é a região limitada por y =, y = x e x = 1. ) 147 h) y da, onde é a região triangular com vértices, ), 1, 1) e, ). i) x y)da, onde é a região limitada pelo círculo de centro na origem e raio. ) 8. ncontre o volume das seguintes regiões: Abaixo do plano x + y z = e acima da área limitada por y = x e y = x 4. Abaixo do plano z = xy e acima do triângulo com vértices em 1, 1), 4, 1) e 1, ). ) 1 Limitada pelos planos x =, y =, z = e x + y + z = 1. 6 elimitada pelo cilindro z = x, y = x e pelos planos z = e y =. ) ) 7 18 ) 1 8 e) Limitada pelo cilindro x + y = 1 e pelos planos y = z, x = e z = no primeiro octante. 1/) 9. etermine o volume do sólido delimitado pelos cilindros parabólicos y = 1 x, y = x 1 e pelos planos x + y + z = e x + y z + 1 = ) Mude a ordem de integração e calcule as seguintes integrais 1 y 9 1 π/ e x dx dy e 9 1)/6 ) ) sin81) y cosx )dx dy y 4 sin 1 y cosx) 1 + cos x)dx dy ) 1)/

3 Parte III - Integrais duplas com coordenadas polares 11. Calcule as seguintes integrais. 1 1 x y e x +y π ) dy dx. 4 e 1) x y dy dx. y ) 4π cosx + y )da, π ) onde é a região acima do eixo x e dentro da circunferência x + y = 9. sin9) e x y da, onde é a região limitada pelo semicírculo x = π 4 y e o eixo y. )) 1 e 4 e) tg 1 y/x)da, ) onde = x, y) 1 x + y 4,, y x. 64 π 1. Utilize integrais duplas para determinar a área das seguintes regiões: π Um laço da rosácea r = cosθ). 1) ) π egião interior a ambos os círculos r = cos θ e r = sin θ Calcule o volume dos seguintes sólidos: ) 81π Abaixo do parabolóide z = x + y e acima do disco x + y 9. ) 4πa sfera de raio a. Acima do cone z = ) π x + y e abaixo da esfera x + y + z = 1. [1 1/ )] ) 8π entro do cilindro x + y = 4 e do elipsóide 4x + 4y + z = ) 14. Utilize coordenadas polares para combinar a soma 1 x x 4 x xy dy dx + xy dy dx + xy dy dx ) 1 x 1/ 1 em uma única integral dupla. m seguida, calcule essa integral. 15/16) 15. Calcule as seguintes integrais: e x dx π ) ) π x e x dx 4 ) π xe x dx

4 Parte IV - Aplicações de Integrais uplas e Áreas de Superfícies. 16. A carga elétrica total em uma superfície pode ser calculada pela seguinte integral: Q = σx, y)da, ) onde σx, y) é a densidade supercial de cargas. etermine Q sabendo que = [1, ] [, ] e σx, y) = xy + y. 64/ C) 17. A massa de uma superfície pode ser calculada pela seguinte integral: m = ρx, y)da, 4) onde ρx, y) é a densidade supercial. Além disso, as coordenadas do centro de massa x CM, y CM ) dessa superfície também podem ser encontradas por meio de integrais duplas: x CM = 1 xρx, y)da m y CM = 1 yρx, y)da m etermine m, x CM e y CM onde ρx, )) y) = y e é a região limitada por y = e x, y =, x = e x = 1 e 1)/4, e +1, 4e 1) e 1) 9e 1) 18. etermine a área da parte da superfície z = x + y que está acima da região triangular T no plano xy com vértices, ), 1, ) e 1, 1) ) ) 19. etermine a área da parte do parabolóide z = x + y que está abaixo do plano z = 9. π ) ). etermine a área da parte do plano z = + x + 4y que está acima do retângulo [, 5] [1, 4] ) 1. etermine a área da parte do plano x + y + z = 6 que está no primeiro octante. 14 ). etermine a área da parte do cilindro y + z = 9 que está acima do retângulo com vértices, ), 4, ),, ) e 4, ). 1 sin 1 /) ). etermine a área da parte do parabolóide hiperbólico z = y x que está entre os cilindros x + y = 1 e x + y = 4. π ) 4. etermine a área da parte da superfície z = xy que está dentro do cilindro x + y = 1. π 1) ) 5. etermine a área da parte da esfera x + y + z = a que está dentro do cilindro x + y = ax. a π )) 4

5 Parte V - Integrais Triplas em Coordenadas Cartesianas. 6. Calcule as seguintes integrais. 1 z x+z 1 x y x 1 1 z 1 z y 6xz dy dx dz. xyz dz dy dx. ze y dx dz dy. ze y dx dy dz. 7. xpresse a integral fx, y, z)dv como uma integral iterada de seis modos diferentes, onde é o sólido limitado pelas superfícies dadas não é necessário calcular as integrais). x + z = 4, y =, y = 6. z =, x =, y =, z = y x. z =, z = y, x = 1 y. 9x + 4y + z = Calcule a seguinte integral tripla. x dv, onde = {x, y, z) y, x 4 y, z y}. 6xy dv, onde está abaixo do plano z = 1 + x + y e acima da região do plano xy limitada pelas curvas y = x, y = e x = 1. xy dv, onde é o tetraedro com vértices,, ),, 1, ), 1,, ),,, ) e,, ). x e y dv, onde é limitado pelo cilindro parabólico z = 1 y e pelos planos z =, x = 1 e x = 1. e) z dv, onde é limitado pelo cilindro y + z = 9 e pelos planos x =, y = x e z = no primeiro octante. 9. Use a integral tripla para determinar o volume do sólido dado. O tetraedro limitado pelos planos coordenados e o plano x + y + z = 4. O sólido limitado pelo cilindro y = x e pelos planos z =, z = 4 e y = 9. O sólido limitado pelo cilindro x + y = 9 e pelos planos y + z = 5 e z = 1. O sólido limitado pelo parabolóide x = y + z e pelo plano x = 16. 5

6 Parte VI - Integrais Triplas em Coordenadas Cilíndricas e sféricas.. Faça um esboço do sólido cujo volume é dado pela integral e calcule essa integral. 4 π 4 r π/ 9 r π/6 π/ π π π/ 1 r dz dθ dr r dz dr dθ r sin θ dr dφ dθ r sin θ dr dθ dφ. 1. Calcule as seguintes integrais usando coordenadas cilíndricas. x + y dv, onde é a região contida dentro do cilindro x + y = 16 e entre os planos z = 5 e z = 4. e z dv, onde está delimitado pelo parabolóide z = 1 + x + y, pelo cilindro x + y = 5 e pelo plano xy. x dv, onde é o sólido que está dentro do cilindro x + y = 1, acima do plano z = e abaixo do cone z = 4x + 4y. dv, onde é a região limitada pelos parabolóides z = x + y e z = 6 x y.. Calcule as seguintes integrais usando coordenadas esféricas. x + y + z dv, onde é a bola unitária x + y + z 1 z dv, onde está contido entre as esferas x + y + z = 1 e x + y + z = 4 no primeiro octante. x dv, onde é limitado pela plano xz e os hemisférios y = 9 x z e y = 16 x z. dv, onde é o sólido acima do cone θ = π/ e abaixo da esfera r = 4 cos θ.. Calcule as integrais usando coordenadas cilíndricas itens a e e esféricas itens c e. 1 1 x x y x 9 x x +y x + y ) / dz dy dx 1 y x +y xyz dz dx dy 9 x x +y 9 x y z x + y + z dz dy dx 9 y 18 x y x +y x + y + z ) dz dx dy 6