Superfícies Parametrizadas

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1 Universidade Estadual de Maringá - epartamento de Matemática Cálculo iferencial e Integral: um KIT de Sobrevivência c Publicação eletrônica do KIT Superfícies Parametrizadas Prof. oherty Andrade Universidade Estadual de Maringá epartamento de Matemática Maringá-PR, Brazil Superfícies Parametrizadas Sumário 1. Superfícies Parametrizadas 1 2. Primeira Forma Quadrática 3 3. Área de uma superfície 5 4. Superfícies de Revolução 6 5. Integral de um campo escalar sobre uma superfície 7 1. Superfícies Parametrizadas Uma superfície parametrizada é uma função σ de classe C 1 tendo por domínio uma região simples (do tipo I ou do tipo II). Uma superfície é a imagem M de uma superfície parametrizada σ : R 3 (u, v) ((x(u, v), y(u, v), z(u, v)) satisfazendo: σ é de classe C 1

2 2 Prof. oherty Andrade σ é injetora no interior de e se q 1 pertence ao interior de e q 2, então σ(q 1 ) σ(q 2 ). N σ = σ u σ v (vetor normal a M ) não se anula no interior de. Uma tal função σ é chamada de uma parametrização de M. Seja σ uma parametrização de M e p 0 = σ(q 0 ) tal que N σ(q0 ) 0. O plano tangente a M em um ponto p 0 é o plano que passa por p 0 e tem N σ(q0 ) como vetor normal. O plano tangente de uma superfície S no ponto p S é denotado por T p (S). Exemplos 1 a) Seja f : R uma função de classe C 1. O gráco de f é uma superfície M. Armamos que σ : R 3 (x, y) (x, y, f(x, y)) é uma parametrização para M. disso, e fato, notemos facilmente que σ é de classe C 1 e injetora sobre ; além N σ = σ x σ y = ( f x, f y, 1) 0. b) Seja f : R uma função de classe C 1 dada por f(x, y) = x 2 + y 2, onde = {(x, y) R 2 ; x 2 + y 2 4}. O seu gráco é uma superfície parametrizada por σ : R 3 (x, y) (x, y, x 2 + y 2 ), como vimos em a). Uma parametrização alternativa para M pode ser: σ : R 3 (r, θ) (r cos θ, r sin θ, r), onde = [0, 2] [0, 2π]. Aqui vemos que σ r = (cos θ, sin θ, 1) Assim, N = ( r sin θ, r cos θ, r) 0. σ θ = ( r sin θ, r cos θ, 0). Vamos resumir:

3 c KIT - Cálculo iferencial e Integral 3 1 Coordenadas Retangulares: Podemos olhar o gráco de z = f(x, y), onde f é uma função C 1 denida sobre um domínio,como uma superfície parametrizada com parâmetros x e y. Basta tomar x = x, y = y e z = f(x, y). 2 Coordenadas Polares: o mesmo modo podemos olhar uma superfície dada em coordenadas cilindricas como z = g(r, θ), como uma superfície parametrizada. Basta denir x = r cos(θ), y = r sin(θ), z = g(r, θ). 3 Coordenadas Esféricas: Também podemos olhar uma superfície dada em coordendas esféricas ρ = h(φ, θ) como uma superfície parametrizada com parâmetros φ e θ. Basta denir x = h(φ, θ) sin(φ) cos(θ), y = h(φ, θ) sin(φ) sin(θ), z = h(φ, θ) cos(φ). 4 TORO: O toro é exemplo de uma superfície de revolução. É a superfície obtida pela revolução de um círculo. Por exemplo, o círculo dado por (x b) 2 + z 2 = a 2 no plano xz girando em torno do eixo z tem a seguinte parametrização x = r cos(θ) = (b + a cos(φ)) cos(θ) y = r sin(θ) = (b + a cos(φ)) sin(θ) z = a sin(φ). Veja a seção Ÿ4. para mais informações sobre as superfícies de revolução. 2. Primeira Forma Quadrática O produto interno do R 3 S induz em cada plano tangente T p (S) de uma superfície parametrizada S um produto interno, denotado por.,. p. Se w 1 e w 2 pertencem a T p (S), então w 1, w 2 p é igual a w 1, w 2 no R 3. A primeira forma fundamental I p é a aplicação que a cada vetor w do plano tangente T p (S) da superfície S associa o número real w, w p. Se σ é uma parametrização para S, então podemos escrever I p em termos dos vetores tangentes σ u e σ v : os coecientes são dados por E = σ u σ u

4 4 Prof. oherty Andrade G = σ v σ v F = σ u σ v Calcule os coecientes da primeira forma fundamental nos casos anteriores: Clique aqui para ver o caso da superfície dada em coordenadas retangulares, Clique aqui para ver a superfície em coordenadas polares, e Clique aqui para ver a superfície em coordenadas esféricas, e também nos seguintes casos: a então Parametrização do Plano: Sejam w 1 e w 2 vetores ortonormais, X(u, v) = p 0 + uw 1 + vw 2, onde (u, v) R R, é uma parametrização do plano. b por Parametrização do Cilindro: O cilindro x 2 +y 2 = 1, é parametrizado X(u, v) = (cos u, sin u, v) onde (u, v) [0, 2π] R. c Parametrização da Hélicóide: A hélicóide é uma escada em espiral", tem a seguinte parametrização onde (u, v) [0, 2π] R. X(u, v) = (v cos u, v sin u, au) d Parametrização do Elipsóide: O elipsóide tem a seguinte parametrização x 2 a 2 + y2 b 2 + z2 c 2 = 1 X(u, v) = (a sin u cos v, b sin u sin v, c cos u). e Parametrização do Parabolóide: O parabolóide z = x2 a + y2 2 b 2 tem a seguinte parametrização X(u, v) = (au cos v, bu sin v, u 2 )

5 c KIT - Cálculo iferencial e Integral 5 3. Área de uma superfície Seja R S uma região limitada de uma superfície regular contida num sistema de vizinhanças coordenadas da parametrização X : U R 2 S. O número positivo Q chamamos de área de R. Note que de modo que X u X v du dv = A(R), Q = X 1 (R), X u X v 2 + X u, X v 2 = X u 2 X v 2, Assim podemos reescrever A(R) = Q X u X v = EG F 2. X u X v du dv = Q EG F 2 du dv. 1 Calcule a área da esfera de centro O e raio a > 0. Seja σ a parametrização da esfera σ(u, v) = (a sin v cos u, a sin v cos u, a cos v), onde 0 u π e 0 θ 2π. É fácil obter que σ u = ( a sin v sin u, a sin v cos u, 0) σ v = (a cos v cos u, a cos v sin u, a sin v), segue que Logo, E = a 2 sin 2 v, F = 0, G = a 2. N = EG F 2 = a 2 sin v. Portanto A(M) = N = EG F 2 = a 2 sin vdudv = 4πa 2. 2 Calcule a área da superfície M que é o gráco da função f(x, y) = x2 + y 2 com x 2 + y 2 4.

6 6 Prof. oherty Andrade Uma parametrização para M é dada por σ(r, θ) = (r cos θ, r sin θ, r), onde 0 r 2 e 0 θ 2π. É fácil obter que E = 2, G = r 2 e F = 0. Segue que A(M) = 2r2 drdθ = 4π 2. 3 Calcule a área da superfície limitada pelo plano 2x+y+z = 4 e o cilindro x 2 + y 2 = 1. Sejam o disco x 2 + y 2 1 e σ : R 3 a parametrização dada por σ(x, y) = (x, y, 4 2x y). Pode-se determinar que E = 5, F = 2 e G = 2. Logo, A(M) = EG F 2 da = 6dA = 6 área de = π 6. 4 Calcule a área do toro, clique aqui para ver a parametrização do toro. Uma parametrização para o toro é dada por σ(φ, θ) = ((b + a cos φ) cos θ, (b + a cos φ) sin θ, a sin φ), onde φ, θ [0, 2π]. Vemos que (tomando b = 3 e a = 1), σ φ = ( sin φ cos θ, sin φ cos θ, cos φ) σ θ = ((b + a cos φ) sin θ, (b + a cos φ) cos θ, 0), onde temos que E = 1, F = 0, G = (3 + cos φ) 2. Logo, a área de M é dada por A(M) = 2π 2π Superfícies de Revolução (3 + cos φ)2 = 12π 2. Uma maneira de obter uma superfície é girar um curva plana C em torno de uma reta L no seu plano. Isto dá uma superfície de revolução com eixo L.

7 c KIT - Cálculo iferencial e Integral 7 enição 2 (Superfície de Revolução) Seja C uma curva plana e L uma reta no mesmo plano da curva. A superfície obtida pela revolução da curva C em torno da reta L é chamada superfície de revolução. A reta L é chamada eixo e a curva C de geratriz. A esfera pode ser gerada pela revolução de uma semi-circunferência. O cilindro circular reto é obtido pela revolução de uma reta C em torno de uma reta paralela L. Teorema 3 Seja f : [a, b] R uma função positiva com f contínua em [a, b]. Se A é a área da superfície de revolução obtida girando-se a curva y = f(x) com a x b, em torno do eixo x, então temos temos A = 2π b a f(x) [f (x)] 2 + 1dx. ( ) Se o gráco da curva y = f(x), a x b, é girado em torno do eixo y, A = 2π b a x [f (x)] 2 + 1dx. Para deduzir (*) devemos dar uma parametrização de S. ena a parametrização por x = u, y = f(u) cos v, z = f(u) sin v onde a u b, 0 v 2π. Agora usando a expressão para a área de uma superfície parametrizada obtemos que A(S) = = = = 2π b 2π a 0 b a [f(u)] 2 sin 2 v + [f(u)] 2 cos 2 v + [f(u)] 2 [f (u)] 2 dv du f(u) 1 + [f (u)] 2 dv du f(u) 1 + [f (u)] 2 dv du f(u) 1 + [f (u)] 2 du. 5. Integral de um campo escalar sobre uma superfície Seja M uma superfície confeccionada com material de densidade dada por f(x, y, z). Seja σ : R 3 M uma parametrização para M. Queremos

8 8 Prof. oherty Andrade achar a massa de M. Para isto dividimos o domínio em subretângulos i. A área de σ( i ) é aproximadamente σ( i ) N(q i ) A( i ), onde q i é um ponto de i. Segue que a massa de σ( i ) é aproximadamente σ( i ) f(σ(q i ) N(q i ) A( i ). Somando obtemos uma aproximação para a massa de M : n f(σ(q i )) N(q i ) A( i ), i=1 que é uma soma de Riemann que converge para Logo, podemos denir: f(σ(q)) N(q) da. enição 4 Se f é um campo escalar contínuo, cujo domínio contém a superfície M, a integral de f sobre M, indicada por f(p)ds ou fds, M M é denida por fds = f(σ(q)) N(q) da = f(σ(q)) EG F 2 da. M Se f(x, y, z) 1, então o que se obtém na integral acima coincide com a área da superfície. Referências [1] J. Stewart, Cálculo vol 2,Pioneira,1999. [2] Z. Abud and P. Boulos, Cálculo vol 2.