(g) (h) (i) (j) (k) (l) 2. Esboce o domínio e inverta a ordem de integração. (d) 1 e x

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1 Quarta Lista de Cálculo 3 Parte A. Calcule as integrais iteradas. (a) (b) (c) (d) (e) (f) x 4 dx ddx x ddx 2 3z x ( x 2 2 z 2) dxddz ddx 4 + z x 2 + xz 2 dxdzd (g) (h) (i) (j) (k) (l) π/2 π/2 π 2 π/2 2 2x sin x x x+ cos(x + )ddx ( ) x dx e x+ ddx 2 2 ln x R (x + + z)dzddx e z dzdxd ( 2x 2 )da, em que R é a região limitada pelo triângulo x + = 2. Esboce o domínio e inverta a ordem de integração. (a) (b) (c) x 2 x 2 x 2 x 2 x 2 (d) e x e x (e) π/4 (f) π/4 tan(x) cos(x) sin(x) 3. Utilize integrais duplas para encontrar a área da região dada. (a) Um triângulo eqüilátero. (b) Um hexágono regular. (c) Entre as curvas = x 2 e = x 4. (d) Dentro da rosácea r = a cos(2θ). (e) Um semi-círculo de raio a. 4. Mude a integral cartesiana para coordenadas polares e resolva a integral polar. (a) (b) 2 x 2 ln 2 (ln 2) x ddx e x dxd

2 (c) (d) 2 (x )ddx (x ) 2 x + x ddx 5. Utilize integrais triplas para encontrar o volume das regiões dadas. (a) Uma esfera de raio a. (b) Um cone de altura h e raio a. (c) Uma pirâmide quadrada de lado da base a e altura h. (d) Um tetraedro regular de lado a. (e) A seção cônica de uma esfera de raio a e ângulo β. 6. Utilizando coordenadas esféricas e coordenadas cilíndricas calcule os seguintes volumes. (a) Encontre o volume do sólido limitado pelo cone z = x entre as placas z = e z = 2. (b) Encontre o volume da região limitada abaixo pelo parabolóide z = x 2 + 2, lateralmente pelo cilindro x =, e acima pelo parabolóide z = x (c) Encontre o volume da região limitada pela esfera x z 2 = 4 e fora do cilindro x =. (d) Encontre o volume da região limitada acima pela esfera x z 2 = 2 e abaixo pelo parabolóide z = x Encontre a massa total, o centro de massa e o momento de inércia das guras. (a) Um quadrado de raio a e densidade constante, em rotação sobre uma diagonal. (b) Um cubo de lado a e densidade constante, em rotação sobre uma aresta. (c) Um cubo de lado a e densidade constante, em rotação sobre uma diagonal. (d) Um cone de raio a, altura h e densidade constante, em rotação sobre o eixo de simetria. (e) Uma esfera de raio a e densidade ρ(r) = ρ a a 2 r 2, em rotação sobre um diâmetro. 8. Encontre o volume entre as superfícies (a) z = x 2 2 e z = (b) z = x 2 2 e z = x 4 4 (c) z = e λx, z =, x = e = x 2 (d) x z 2 = e z = x Encontre o Jacobiano das transformações de coordenadas (a) Coordenadas elípticas: x = a cosh(u) cos(v), = a sinh(u) sin(v). Curvas de u constante formam elipses e curvas de v constante formam hipérboles. ( Funções hiperbólicas são denidas como cosh(x) = 2 e x + e x) ( e sinh(x) = 2 e x e x). É fácil demonstrar algumas d d propriedades úteis: sinh(x) = cosh(x), cosh(x) = sinh(x) dx dx e cosh(x)2 + sinh(x) 2 =. 2

3 (b) Coordenadas parabólicas: x = uv, = ( v 2 u 2). 2 Curvas de u constante formam parábolas viradas para cima e curvas de v constante formam parábolas viradas para baixo. (c) Coordenadas hiperbólicas: x = ve u, = ve u. Curvas de u constante formam retas a partir da origem e curvas de v constante formam hipérboles. O sistema hiperbólico parametriza somente o quadrante positivo do plano cartesiano. (d) Coordenadas esferóides oblatas: x = a cosh(u) cos(v) cos(w), = a cosh(u) cos(v) sin(w), z = a sinh(u) sin(v). Corresponde a uma rotação do sistema de coordenadas elíptico em torno do eixo não-focal da elipse. Observe que o planeta Terra é aproximadamente um esferóide oblato, de forma que este sistema de coordenadas algumas vezes pode ser mais conveniente para identicar pontos na superfície do planeta que as coordenadas esféricas. (Superfícies de u constante correspondem a esferóides oblatos) (e) Coordenadas esferóides prolatas: x = a sinh(u) sin(v) cos(w), = a sinh(u) sin(v) sin(w), z = a cosh(u) cos(v). Corresponde a uma rotação do sistema de coordenadas elíptico em torno do eixo focal da elipse. Parte B. Encontre o volume comum a dois cilindros de raio a, cujos eixos se interceptam em um ângulo reto. 2. Mostre que o momento de inércia em torno do eixo vertical de um toro circular de massa M é I = M (b ) a2, onde a é o raio do tubo circular e b é o raio da linha circular correspondente ao centro deste tubo. 3. Seja um tetraedro denido pelos vetores linearmente independentes u,v e w. Utilizando integrais triplas, mostre que o volume deste tetraedro é V = 6 det u x u u z v x v v z w x w w z. [ Dica: faça uma transformação de coordenadas x,, z para r, s, t, denidas como as componentes nas direções dos eixos u,v e w. ] 3

4 4. Mostre que o centro de massa de um triângulo que possui um vértice na origem e os lados denidos pelos vetores u e v é r cm = (u + v) Utilizando o resultado anterior e por um raciocínio análogo ao do exercício B.3, mostre que o centro de massa de um polígono de N lados, cujos vértices são dados por v,..., v N, é r cm = 3 i= v i v i+ (v i + v i+ ) i= v. i v i+ 6. Mostre que o centro de massa de um tetraedro de densidade uniforme cujas arestas são dadas pelos vetores u, v e w é dado por r cm = (u + v + w) Mostre que o momento de inércia de um triângulo uniforme de massa M, rodando em torno de um eixo perpendicular ao plano sobre um dos vértices é I = M 6 ( u 2 + u v + v 2), onde u e v são os vetores que ligam a origem aos outros dois vértices. 8. Utilizando o resultado anterior, mostre que o momento de inércia de um polígono arbitrário de massa M, rodando em um eixo perpendicular ao plano é I = M 6 i= v i v i+ ( v 2 i + v i v i+ + v 2 i+) i= v i v i+, onde os vetores v i representam a posição de cada vértice do polígono. [ Dica: decomponha o polígono como uma coleção de triângulos e utilize o resultado anterior. ] 9. Determine o momento de inércia de um quadrado de massa M, rodando em torno de seu centro (a) calculando diretamente a integral e (b) utilizando a fórmula do exercício anterior.. Sejam r e s vetores linearmente independentes. Mostre que o elemento de área da transformação de coordenadas no plano de x e para u e v, que são as projeções nas direções r e s respectivamente, é dado por dx d = r s du dv. [ Dica: a transformação entre dois sistemas de coordenadas é um problema de álgebra linear. Seja as duas possíveis decomposições para um vetor p = xi + j = ur + vs. Tomando cada componente Cartesiana desta equação, obtemos [ x ] [ ] [ rux + sv = x ux v = x ru + sv u v ] [ r s ] [ r s A expressão acima permite passar da representação (x, ) para (u, v). ]. Calcule a área de uma esfera utilizando o seguinte método: ] [ ux v = x u v ] [ x (a) Determine volume contido entre entre uma esfera de raio a e outra de raio a + ɛ. (b) Estime a área como o limite A = lim ɛ V (a, ɛ)/ɛ. ]. 4

5 Parte C. As superfícies de Bézier são denidas parametricamente pela equação n r= s= m Br n (u)bs n (v)p rs, onde u, v são parâmetros em um quadrado de lado, p rs são os chamados pontos de controle e Br n n! (x) = r! (n r)! ur ( u) n r. Os pontos p, p m, p n e p nm determinam os vértices da superfície e os outros pontos determinam direções para onde a superfície é deformada. O uso mais comum destas superfícies é aproximar uma superfície complicada como uma rede de malhas de Bézier cúbicas, onde m = n = 3. Estas redes são denidas por 6 pontos de controle e possuem várias propriedades interessantes. [ Consulte e a sua amiga Wikipédia. ] Considere uma das superfícies de Bézier mais simples que existe, dada por m = n =. Sejam os pontos de controle p = (,, z ), p = (,, z 2 ), p = (,, z 3 ) e p = (,, z 4 ). Calcule o volume sob superfície de Bézier mencionada. 2. Seja I o momento de inércia de um corpo de massa M com relação a um eixo arbitrário. Mostre que o momento de inércia com relação a um eixo paralelo a este é I = I + 2d d cm + Md 2, onde d é o vetor de separação entre os dois eixos e d cm fornece a separação entre o centro de massa e o primeiro eixo de rotação. No caso especial em que d cm = (o primeiro eixo de rotação passa pelo centro de massa), este resultado é conhecido como Teorema dos Eixos Paralelos. 3. Uma probabilidade Gaussiana bi-dimensional é dada por p(x, ) = det (2πM ) e 2 (r m)t M(r m), onde r = (x, ) e M é uma matriz 2x2 simétrica com autovalores positivos. (a) Mostre que p(x, )dxd =. [ Dica: é necessário fazer uma transformações de coordenadas que transforme o expoente numa soma do tipo (r m) T M (r m) = Au 2 +Bv 2, onde u = ax+b e v = cx + d. ] (b) Utilizando a mesma transformação de coordenadas do item anterior, calcule xp(x, )dxd m x m. Este resultado é conhecido como a correlação linear entre as variáveis x e. Mostre que este resultado é igual à M2. [ Dica: calcule a inversa da matriz M antes de fazer a comparação. ] 4. A densidade de energia do campo eletromagnético é dada por u = 2 ɛ E 2 + 2µ B 2. Determine a energia contida em um capacitor de placas paralelas de área A e separação entre as placas d que contem uma carga q distribuída em cada uma de suas placas. Neste problema, o campo elétrico aponta da região com carga positiva para a região com carga negativa e é nulo no resto do espaço. O módulo do campo é E = q/ɛ A. 5. Utilizando a expressão para a densidade de energia eletromagnética do exercício anterior, mostre que a energia devido a uma carga pontual, cujo campo é E = q/r 2, é innita. 6. Estime o volume e a área do planeta Terra levando em conta o fato que esta é um esferóide oblato, e não uma esfera. (O raio equatorial é de km e semi-eixo polar é de km). Compare estas estimativas com aquelas feitas utilizando o raio médio 6.37 km. 5

6 7. Em locais com alta amplitude de marés, é possível gerar energia elétrica de maneira competitiva aproveitando a variação no nível da água do mar. O método consiste em encher um reservatório na maré cheia e esvaziá-lo na vazante, alimentando um gerador com o movimento da água. O limite teórico de eciência para esta tecnologia consiste na conversão completa da energia potencial gravitacional da água em energia elétrica. A energia potencial gravitacional armazenada em um reservatório pode ser calculada a partir da contribuição innitesimal de = dm g z = ρdv g z. (a) Utilizando integrais triplas, mostre que a energia armazenada em um reservatório retangular de lados a, b e altura h é E = ρgabh 2 /2. (b) Mostre que para qualquer reservatório com uma profundidade constante h, a energia potencial armazenada é de ρgv h/2. (c) As maiores amplitudes de marés do planeta são da ordem de 7m. Determine a área alagada necessária para suprir as necessidades energéticas de sua casa. 8. Um modelo simples para descrever a atmosfera terrestre assume que a densidade do ar decai exponencialmente com a altura. (Isto seria correto se a atmosfera fosse um gás ideal monoatômico e com temperatura constante.) (a) Determine a massa total da atmosfera, supondo que esta está distribuída a partir do raio médio terrestre (6.37 km) até o innito. A densidade na superfície é ρ =, 2 kg/m 3 e a constante de decaimento é λ = µg/k B T, onde µ é a massa das moléculas que formam o gás, g é a aceleração da gravidade, k B = J K é a constante de Boltzmann e T é a temperatura média. Considere, neste cálculo, que a atmosfera é formada apenas por Nitrogênio (µ = 2, 3 26 kg) com uma temperatura média de T = 288K. (b) Compare com uma estimativa mais precisa a partir da pressão na superfície. Multiplique a pressão pela área do planeta: este é o peso da coluna de ar acima de cada ponto na superfície. Obtemos a massa total da atmosfera dividindo este resultado pela aceleração da gravidade. 9. A força total que um campo exerce em um objeto extenso é dada pela soma das forças innitesimais de cada elemento de massa. No caso da interação gravitacional, isto signica df = dm GM s s 3, onde M é a massa e s é a distância com relação à fonte. Calcule a força total sobre um objeto esférico de raio a, com densidade constante, cujo centro está a uma distância d da fonte. [ Dicas: coloque o planeta na origem do sistema de coordenadas e a fonte sobre o eixo z, calculando primeiro a integral sobre as coordenadas angulares. ] 6