FICHA DE TRABALHO 2 - RESOLUÇÃO

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1 Secção de Álgebra e Análise, Departamento de Matemática, Instituto Superior Técnico Análise Matemática III A - 1 o semestre de 2003/04 FICHA DE TRABALHO 2 - RESOLUÇÃO 1) Seja U R n um aberto e f : U R um campo escalar de classe C 1. Recorde que a derivada direccional de f segundo v R n em x U, é definida e dada por f(x + tv) f(x) lim t 0 t = f(x) v, onde f = Df é o gradiente de f e designa o produto interno de vectores em R n. Seja agora v R n um vector unitário ( v = 1) e assuma que f(x) 0. a) Para que vector unitário v é que é máxima a derivada direccional de f em x? b) Para que vectores unitários v é que é nula a derivada direccional de f em x? Conclua que O vector f(x) define a direcção de crescimento máximo da função f em x. Res: a) A derivada direccional vai ser máxima quando v tiver a direcção e o sentido de f(x), de forma a maximizar o produto interno. Como v é unitário teremos v = f(x) f(x). b) A derivada direccional será nula se v fôr perpendicular a f(x), pois nesse caso f(x) v = 0. 2) Seja U R n um aberto e f : U R um campo escalar de classe C 1. Um conjunto de nível de f em U, para o valor c R, é definido por f 1 (c) = {x U : f(x) = c}. Suponha que, para um dado c, o conjunto de nível f 1 (c) contém uma curva dada pela aplicação de classe C 1, α : ( 1, 1) f 1 (c), tal que α(0) = x e com α (0) 0. Assuma ainda que f(x) 0. Qual é a relação geométrica entre os vectores f(x) e α (0)? Conclua que f é perpendicular aos conjuntos de nível de f. 1

2 Res: Seja g : ( 1, 1) R definida por g(t) = f α(t). Como a curva α(t) está contida no conjunto de nível f 1 (c), temos que g(t) = c, t ( 1, 1). Como g é de classe C 1 temos, 0 = dg dt (0) = f(α(0)) α (0) = f(x) α (0), pelo que o vector tangente à curva em x, α (0), é perpendicular a f(x). 3) Considere o conjunto C = {(x, y, z) R 3 : x = cos z, y = sin z}. a) Mostre que C é uma variedade e determine a sua dimensão. Esboce C. b) Seja p = ( 2/2, 2/2, π/4) C. Determine o espaço tangente e normal a C em p e escreva as equações da recta tangente e do plano normal a C em p. Res: a) Seja F : R 3 R 2 dada por F = (F 1, F 2 ) = (x cos z, y sin z), sendo C o conjunto de nível F 1 (0). F é de classe C 1 e [ ] 1 0 sin z DF (x, y, z) =. 0 1 cos z A característica de DF é igual a 2 em todos os pontos de C (na verdade, é sempre igual a 2, mesmo fora de C). Logo, C é uma variedade-1 em R 3. É fácil de ver que C é uma espiral vertical infinita com raio 1 (porque em C se tem, x 2 + y 2 = cos 2 z + sin 2 z = 1), que se enrola à volta do eixo dos z, tendo z o papel de um ângulo de rotação. b) Temos DF ( 2/2, 2/2, π/4) = [ 1 0 2/ /2 Logo, os vectores (1, 0, 2/2) e (0, 1, 2/2) formam uma base do espaço normal a C em p: ]. T p C = {α(1, 0, 2/2) + β(0, 1, 2/2), α, β R}. Facilmente verificamos que, por exemplo, o vector (1, 1, 2) é perpendicular a (1, 0, 2/2) e (0, 1, 2/2), sendo portanto um gerador do espaço tangente em p: T p C = {α(1, 1, 2), α R}. 2

3 Em termos de equações, o espaço normal é dado por a b 2c = 0 e o espaço tangente é dado pelas duas equações a + ( 2/2)c = 0 e b ( 2/2)c = 0. Note que T p C e T p C são espaços vectoriais de dimensão 2 = 3 dim C e 1 = dim C, respectivamente. O plano normal a C em p é um plano paralelo a T p C que passa em p. Tem equação a b 2c = 2π/4. A recta tangente a C em p é uma recta paralela a T p C que passa em p. É dada então pelas equações a + ( 2/2)c = ( 2/2)(1 + π/4) e b ( 2/2)c = ( 2/2)(1 π/4). 4) Considere a função F : R 3 R, F (x, y, z) = (x 2 + y 2 ) z 2. a) Esboce os conjuntos de nível F 1 (c) para c R. b) Determine quais os conjuntos de nível de F são variedades e determine a sua dimensão. c) Considere F 1 (1). Em que pontos é que o espaço tangente a F 1 (1) é vertical? Res: a) A equação F (x, y, z) = c = (x 2 + y 2 ) z 2 define: para c > 0 um hiperbolóide vertical de uma folha; para c = 0, um cone vertical com vértice na origem; para c < 0 um hiperbolóide de duas folhas. Para obter estes resultados basta notar que a equação descreve uma superfície com simetria cilíndrica (superfície de revolução) e que, com ρ = x 2 + y 2, basta estudar a equação ρ 2 z 2 = c que, como é sabido, descreve uma hipérbole. b) F é de classe C 1. Temos, DF (x, y, z) = [ 2x 2y 2z ]. Logo, para (x, y, z) (0, 0, 0) a característica de DF é máxima e igual a 1. O ponto (0, 0, 0) pertence ao conjunto de nível F 1 (0). Assim, c 0, temos que F 1 (c) é uma variedade-2 em R 3. O conjunto de nível F 1 (0) é um cone com o vértice na origem. Se excluirmos o vértice já obtemos uma variedade-2: F 1 (0) \ {(0, 0, 0)} é também uma variedade-2. c) Temos F (x, y, z) = 1 = (x 2 + y 2 ) z 2. O espaço tangente (de dimensão 2) será vertical quando o espaço normal (de dimensão 1) fôr horizontal. Da alínea b), obtemos que um gerador do espaço normal é (2x, 2y, 2z). Para este vector ser horizontal temos de ter z = 0 ou seja 3

4 x 2 + y 2 = 1. São portanto os pontos com z = 0 e na circunferência de raio 1, x 2 + y 2 = 1, aqueles onde o espaço tangente será vertical. Estes pontos formam o equador do hiperbolóide F 1 (1). 5) Mostre que os conjuntos seguintes são variedades e parametrize-as. (Basta apresentar uma parametrização que, possivelmente, no caso das variedades-1 não cubra um número finito de pontos, ou que no caso das variedades-2 não cubra uma linha regular.) a) A = {(x, y) R 2 : x 2 /10 + y 2 /20 = 1}. b) B = {(x, y, z) R 3 : z 3 = x 2 + y 2, z > 0}. c) C = {(x, y, z) R 3 : x = y 2 + z 2, y 2 + z 2 < 3}. d) D = {(x, y, z) R 3 : y = x 3 z 2, 0 < x < 1, 1 < z < 14}. Res: a) F (x, y) = x 2 /10 + y 2 /20 1 = 0. A matriz derivada, DF = [ x/5 y/10 ], tem característica máxima 1 excepto quando x = y = 0. Mas, como F (0, 0) 0, (0, 0) / A, concluímos que A, que é uma elipse no plano, é uma variedade-1. Uma parametrização de A é obtida facilmente recorrendo-se às coordenadas polares (afectado-as de uma mudança de escala, visto tratar-se de uma elipse e não de uma circunferência) g(θ) = ( 10 cos θ, 20 sin θ), θ ]0, 2π[. g é de classe C 1, é injectiva e a sua inversa é contínua. Temos, Dg(θ) = [ ] 10 sin θ, 20 cos θ que tem sempre característica máxima 1. Portanto, g é uma parametrização de A \ {( 10, 0)}. b) F (x, y, z) = x 2 + y 2 z 3 = 0. A matriz derivada, DF = [ 2x 2y 3z ], tem característica máxima 1 excepto quando x = y = z = 0. Mas, como z > 0 em B, (0, 0, 0) / B, concluímos que B é uma variedade-2. Uma parametrização de B é obtida facilmente recorrendo-se às coordenadas cilíndricas, observando-se que B é uma superfície de revolução: 4

5 g(ρ, θ) = (ρ cos θ, ρ sin θ, ρ 2/3 ), ρ > 0, θ ]0, 2π[. g é de classe C 1, é injectiva e a sua inversa é contínua. Temos, cos θ ρ sin θ Dg(ρ, θ) = sin θ ρ cos θ, (2/3)ρ 1/3 0 que tem sempre característica máxima 2. Portanto, g é uma parametrização de B \ {(x, 0, z) B : x 0}. c) Seja F (x, y, z) = y 2 + z 2 x. C é a porção do conjunto de nível F 1 (0) onde y 2 + z 2 < 3. Temos, DF = [ 1 2y 2z ], que tem sempre característica 1. Logo, C é uma variedade-2. C é um parabolóide de revolução em torno do eixo dos x. Podemos parametrizá-lo com coordenadas cilíndricas g(ρ, θ) = (ρ 2, ρ cos θ, ρ sin θ) com 0 < ρ < 3, θ ]0, 2π[. g é de classe C 1, é injectiva e a sua inversa é contínua. Temos, 2ρ 0 Dg(ρ, θ) = cos θ ρ sin θ, sin θ ρ cos θ que tem sempre característica máxima 2. Portanto, g é uma parametrização de C \ {(x, y, 0) B : y 0}. d) Seja F (x, y, z) = y x 3 + z 2. D é a porção do conjunto de nível F 1 (0) onde 0 < x < 1, 1 < z < 14. Temos, DF = [ 3x 2 1 2z ], que tem sempre característica 1. Logo, D é uma variedade-2. Podemos parametrizar D com coordenadas (x, z): g(x, z) = (x, x 3 z 2, z) para 0 < x < 1, 1 < z < 14. g é de classe C 1, é injectiva e a sua inversa é contínua. Temos, 1 0 Dg(x, z) = 3x 2 2z, 0 1 que tem sempre característica 2. Logo, g é uma parametrização de D. 5

6 6) Seja n N e sejam x 1,..., x n R + números reais positivos cujo produto é 1. Determine qual é o valor mínimo que pode atingir a soma n i=1 x i. Res: Seja F (x 1,..., x n ) = x 1 x n, para x 1,..., x n > 0. Queremos minimizar a função f(x 1,..., x n ) = n i=1 x i sobre o conjunto de nível F 1 (1). Temos, DF = [ x 2 x n x 1 x 3 x n x 1 x n 1 ]. Como em F 1 (1) nenhum dos x i se pode anular, DF tem sempre característica máxima 1 em F 1 (1) e este conjunto de nível é uma variedade- (n 1) em R n. Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, se f tem um mínimo em F 1 (1), então esse ponto tem de ser solução de { x 1 x n = 1 f(x 1,..., x n ) = (1,..., 1) = λ(x 2 x n, x 1 x 3 x n,, x 1 x n 1 ), para algum λ R. Como λ = 0 não é solução, temos que ter x 1 = x 2 =... = x n. Então F (x 1,..., x 1 ) = 1 = x 1 = x 2 =... = x n = 1. (Note-se que temos x j > 0 por hipótese.) O valor mínimo de f em F 1 (1) será então f(1,..., 1) = n. Note que podemos verificar que (1,..., 1) é de facto um mínimo. Podemos notar que f é ilimitada superiormente, por exemplo f(m, 1/M, 1,..., 1) = M + 1/M + n 2 pode ser tornado arbitrariamente grande tomando-se M arbitrariamente grande. Por outro lado, f é limitada inferiormente por 0 e o conjunto dos valores de f tem um ínfimo. Podemos, finalmente, observar que quando nos movemos para a fronteira do conjunto F 1 (1) algum dos x j 0 o que implica que outro(s) x i + para que F (x 1,..., x 1 ) = 1, e isto faz aumentar o valor de f arbitrariamente. Portanto, o ínfimo os valores de f é de facto atingido e temos que (1,..., 1) é um mínimo. (Este facto pode também ser verificado recorrendo-se à análise das segundas derivadas de g = f λf : a Hessiana de g em (1,..., 1) é definida positiva no espaço tangente a F 1 (1).) 7) As grandes figuras do jet-set lusitano Gigi-Tá-a-Ver e Tété-Bembom planeiam financiar as suas sétimas operações de lifting facial organizando uma venda de t-shirts de marca. Pensam adquirir x em t- shirts da casa Versacho, y da Ivo Santo-Lourenço, z da Xanele e w da Cristiano d Ouro, onde x, y, z, w vêm expressos em milhares de euros. Devido à crise que as finanças de Gigi e Tété atravessam e aos constrangimentos dos fornecedores de t-shirts, tem-se que x 2 + 2z 2 = 9 6

7 e y 2 + w 2 = 18. Habituadas aos complexos fenómenos da moda, Gigi e Tété sabem que poderão obter um lucro f(x, y, z, w) = 2x+y +4z +w. Determine que valores de (x, y, z, w) deverão Tá-a-Ver e Bembom escolher para maximizar o seu lucro. (Note, que nos dias de hoje até para andar no jet-set é preciso saber AMIII.) Res: Seja F (x, y, z, w) = (F 1, F 2 )(x, y, z, w) = (x 2 + 2z 2 9, y 2 + w 2 18). Facilmente verificamos que o conjunto de nível F 1 (0) é uma variedade-2 em R 4, pois DF tem característica 2 em todos os seus pontos. Queremos determinar em que ponto dessa variedade o valor de f é máximo. (Note-se que F 1 (0), sendo o produto cartesiano da elipse x 2 + 2z 2 = 9 e da circunferência y 2 + w 2 = 18, é compacta pelo que esse ponto de máximo existe concerteza.) Pelo método dos multiplicadores de Lagrange, temos de resolver o sistema: x 2 + 2z 2 9 = 0 y 2 + w 2 18 = 0 f = (2, 1, 4, 1) = λ 1 F 1 + λ 2 F 2 = λ 1 (2x, 0, 4z, 0) + λ 2 (0, 2y, 0, 2w). Obtemos de imediato da última equação (vectorial) que λ 1 0, λ 2 0 e x = z = 1/λ 1, y = w = 1/(2λ 2 ). Substituindo nas primeiras equações obtemos λ 1 = ±1/ 3 e λ 2 = ±1/6. O sistema fornece então quatro soluções p 1 = ( 3, 3, 3, 3), p 2 = ( 3, 3, 3, 3), p 3 = ( 3, 3, 3, 3) e p 4 = ( 3, 3, 3, 3). Comparando os valores de f em p j, j = 1, 2, 3, 4, verificamos facilmente que p 1 é o máximo e que p 4 é o mínimo. Tété e Gigi devem portanto comprar 2 3 milhares de euros em t-shirts Versacho e Xanele mais 2 3 mil euros em t-shirts Ivo Santo- Lourenço e Cristiano d Ouro. 8) Considere o conjunto S definido em R 3 pelas equações F 1 (x, y, z) = z (x 2 + y 2 ) = 0 e F 2 (x, y, z) = z 2 + (x 2 + y 2 ) 2 2z(x 2 + y 2 ) = 0. Será S uma variedade? De que dimensão? Explique. Res: À primeira vista pode parecer que temos um sistema com duas equações em R 3, pelo que poderíamos esperar que o conjunto das soluções fosse uma curva (variedade-1). No entanto, é fácil de verificar que a segunda equação é o quadrado da primeira, F 2 = F1 2 = (z (x 2 + y 2 )) 2, pelo que, na verdade, temos somente uma equação independente e devemos esperar uma variedade-2. 7

8 Isto pode verificar-se recorrendo à matriz Jacobiana. Seja F = (F 1, F 2 ). Então, [ ] 2x 2y 1 DF = 4x(z (x 2 + y 2 )) 4y(z (x 2 + y 2 )) 2(z (x 2 + y 2. )) Claramente, a característica de DF é 1 e não 2 (a segunda linha é um múltiplo da primeira). Portanto S não é uma variedade-1. Eliminando a segunda equação, que é supérflua, ficamos apenas com z = x 2 + y 2 que descreve uma variedade-2 que é um parabolóide de revolução em torno do eixo dos z. 9) Seja I = [0, 2] [0, 2] [0, 5] R 3 e f : I R uma função definida por 2, (x, y, z) ]0, 2[ ]0, 1/2[ ]0, 3[ 17, (x, y, z) ]0, 2[ ]0, 1/2[ ]3, 5[ f(x, y, z) = 4, (x, y, z) ]0, 2[ ]1/2, 1[ ]0, 3[ π, (x, y, z) ]0, 2[ ]1/2, 1[ ]3, 5[ 29, c.c. Calcule f. Se (x, y, z) estiverem escritos em m e f fôr uma densidade I de carga expressa em Coulomb/m 3, em que unidades vem o resultado? Res: Calculemos os volumes dos intervalos da partição de I que é relevante para o problema: V (]0, 2[ ]0, 1/2[ ]0, 3[) = 3; V (]0, 2[ ]0, 1/2[ ]3, 5[) = 2, V (]0, 2[ ]1/2, 1[ ]0, 3[) = 3, V (]0, 2[ ]1/2, 1[ ]3, 5[= 2. Finalmente, V (]0, 2[ ]1, 2[ ]0, 5[) = 10. Logo, f = π = π. I Note-se que o valor de f nas fronteiras dos intervalos da partição são irrelevantes para o valor de f. Se f fôr uma densidade de carga em I Coulomb/m 3 e se as coordenadas estiverem expressas em m, então f I terá unidades de carga, Coulomb. 10) Considere o conjunto, V = {(x, y, z) R 3 : z 2 x 2 + y 2, x 2 + y 2 + z 2 1, z 0}. 8

9 Esboce V e descreva detalhadamente os cortes de V perpendiculares aos eixos coordenados. Res: O conjunto V é limitado inferiormente pelo cone z 2 = x 2 + y 2 e superiormente pela superfície esférica x 2 + y 2 + z 2 = 1. Note que z 0 em V. V tem portanto a forma de um cone de gelado. Os cortes perpendiculares ao eixo dos z, ou seja os cortes com z = constante, são discos. A superfície do cone intersecta a da esfera em x 2 + y 2 = 1/2, ou seja z = 1/ 2. Para 0 z 1/ 2, os cortes com z = constante vão cortar a parte do cone e para 1/ 2 z 1 vão intersectar a parte da esfera. Assim, para 0 z 1/ 2, com z = constante, temos x 2 + y 2 = z 2 e os cortes horizontais são discos de raio z. Para 1/ 2 z 1, teremos x 2 + y 2 = 1 z 2 e os cortes são discos de raio 1 z 2. Examinemos agora os cortes com x = constante, 1/ 2 x 1/ 2. (Por simetria cilíndrica da figura os cortes com y = constante serão semelhantes.) Os planos verticais x = constante vão intersectar a figura por cima ao longo da esfera, e na parte inferior vão intersectar o cone. Esse cortes serão então dados pela região do plano vertical x = constante limitada pelas curvas z 2 y 2 = x 2 e y 2 + z 2 = 1 x 2. A primeira curva é a hipérbole obtida pela intersecção do cone com o plano vertical. Nota: pode ver os cortes horizontais e verticais de um cone e de uma esfera nos Textos de Apoio do Prof. Gabriel Pires em gpires/textos/textos.html seguindo o link para Teorema de Fubini. Cálculo de Volumes. Estes textos são um óptimo elemento de estudo para esta matéria. 9