Exercícios Resolvidos Teorema da Divêrgencia. Teorema de Stokes

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1 Instituto uperior Técnico Departamento de Matemática ecção de Álgebra e Análise Exercícios Resolvidos Teorema da Divêrgencia. Teorema de tokes Exercício 1 Considere a superfície definida por e o campo vectorial = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 = 1 ; z > } F (x, y, z) = ( y, x, xz + y) Calcule o fluxo do rotacional do campo F através de segundo a normal unitária cuja terceira componente é negativa, usando a) Teorema da divergência. b) Teorema de tokes. Resolução: a) Para usar o teorema da divergência, consideremos o domínio regular D definido por D = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 + z 2 < 1 ; z > } A fronteira de D contém as superfícies e B, sendo B definida por B = {(x, y, z) R 3 : z = ; x 2 + y 2 < 1} Então, aplicando o teorema da divergência ao campo vectorial rot F e ao domínio D, obtemos div(rot F ) = rot F ν D D = rot F ν + rot F ν B em que ν é a normal unitária e exterior em e ν B é a normal unitária e exterior em B. Dado que B é uma superfície horizontal, temos ν B = (,, 1) Por outro lado, div(rot F ) = e, portanto, rot F ν = e, tendo em conta que, em B, obtemos B rot F ν B rot F = (1, z, 2) = (1,, 2) rot F ν = (1,, 2) (,, 1) B = 2 ol 2 (B) = 2π Dado que a normal ν é exterior a D em, tem terceira componente positiva e, portanto, o fluxo pretendido é o simétrico do que foi calculado através do teorema da divergência, ou seja, 2π. B 1

2 b) Para usar o teorema de tokes, notemos que a superfície é orientável por ser o gráfico da função z = 1 x 2 y 2, e a respectiva fronteira é a linha = {(x, y, z) R 3 : z = ; x 2 + y 2 = 1} z Pfrag replacements 1 ν B 1 y x Figura 1: Orientação de e de Dado que a normal unitária ν a considerar tem terceira componente negativa, a fronteira deve ser descrita no sentido negativo, tal como se ilustra na figura 1, ou seja, deve ser parametrizada por γ(t) = (cos t, sen t, ) ; < t < 2π Do teorema de tokes, obtemos, rot F ν = tal como na alínea anterior. = 2π = 2π F dγ (sen t, cos t, sen t) ( sen t, cos t, )dt 2

3 Exercício 2 Um vaso de manjerico limita um volume da forma = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 < z, 1 < z < 4}. a) Considere o campo vectorial f(x, y, z) = (xz 2, yz 2, z 3 ). Calcule o fluxo de f através da parede lateral do vaso, constituída pela superfície = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z, 1 < z < 4}, que faz parte da fronteira de, no sentido da normal unitária com componente segundo z negativa, usando o teorema da divergência. b) Calcule o fluxo de rotf através de, no sentido da normal da alínea anterior, usando o teorema de tokes. Resolução: a) Para aplicarmos o teorema da divergência temos de considerar todas as superfícies contidas na fronteira de. Dessa fronteira fazem parte a parede lateral do vaso, que é o pedaço de parabolóide, a tampa superior e a tampa inferior tal como se ilustra na figura 2. D 1 = {(x, y, z) R 3 : z = 4, x 2 + y 2 < 4} D 2 = {(x, y, z) R 3 : z = 1, x 2 + y 2 < 1} z D 1 D 1 Pfrag replacements ν D 2 D 2 y x Figura 2: Orientação de e de Então pelo teorema da divergência, divf = f ν + f ν 1 + f ν 2. D 1 D 2 3

4 endo divf = z 2 + z 2 + 3z 2 = 5z 2 e utilizando coordenadas cilíndricas, obtemos 2π 4 z divf = dθ dz 5z 2 ρ dρ = 5(44 1) π. 4 1 A normal exterior unitária em D 1 é ν 1 = (,, 1), logo f(x, y, z) ν 1 = z 3 = 4 3 em D 1. Assim, temos f ν 1 = = 4 3 Área(D 1) = 4 4 π D 1 D 1 já que D 1 é um disco de raio 2. Do mesmo modo, a normal exterior unitária em D 2 é dada por ν 2 = (,, 1), e, portanto, temos f(x, y, z) ν 2 = z 3 = 1 em D 2 Então Portanto, f ν = f ν 2 = 1 = Área(D 2) = π D 2 D 2 divf f ν 1 f ν 2 = 5((44 1) ) π. D 1 D 2 4 b) Pelo teorema de tokes, vamos ter rotf ν = f + D 1 D 2 f, onde D 1 está orientada no sentido anti-horário e D 2 está orientada no sentido horário de um observador que olha no sentido do semi-eixo positivo dos z, tal como se representa na figura 2. Para calcular os integrais de linha devemos parametrizar D 1 e D 2 Parametrização de D 1 : Parametrização de D 2 : As derivadas das parametrizações são dadas por g 1 (θ) = (2 cos(θ), 2 sen(θ), 4) ; θ ], 2π[ g 2 (θ) = (cos(θ), sen(θ), 1) ; θ ], 2π[ g 1 (θ) = ( 2 sen(θ), 2 cos(θ), ) g 2 (θ) = ( sen(θ), cos(θ), ) Então obtemos f = D 1 f = D 2 2π 2π (32 cos(θ), 32 sen(θ), 4 3 ) ( 2 sen(θ), 2 cos(θ), )dθ (cos(θ), sen(θ), 1) ( sen(θ), cos(θ), )dθ e, portanto, rotf ν = f + f =. D 1 D 2 4

5 Exercício 3 O filtro de uma máquina de lavar loiça cuja forma é aproximadamente a do conjunto D = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 3}, está imerso numa corrente de água cujo campo de velocidades é dado pela fórmula F(x, y, z) = (2yz cos(y 2 ), 2xz cos(x 2 ), 1). a) Mostre que a quantidade de água no interior do filtro se mantém constante, supondo que a densidade da água é constante igual a 1. b) Usando o teorema de tokes, calcule o fluxo de água que entra através da parede curva do filtro. Resolução: a) Pelo teorema da divergência, o fluxo total de água através das paredes do filtro é F n = F. D Como F =, o fluxo é nulo. Portanto a quantidade de água que entra no filtro é igual à que sai e a quantidade de água no interior do filtro mantém-se constante. D b) eja C a parede curva de D tal como se ilustra na figura 3. Note-se que F é um campo de divergência nula em R 3. Como R 3 é um conjunto em estrela, podemos concluir que F é um rotacional, ou seja, existe um campo L tal que L = F. Um campo L que satisfaça esta equação é um potencial vector para F. Para calcular o fluxo de F através de C, podemos começar por calcular um potencial vector L para F e depois aplicar o teorema de tokes a L. Calcular L = (L 1, L 2, L 3 ) consiste em resolver o sistema de equações L = F, ou seja, L 3 L 1 L 2 L2 = 2yz cos(y 2 ) L3 = 2xz cos(x 2 ) L1 = 1 A solução para este sistema não é única. Para encontrar uma solução particular, podemos procurar uma solução que satisfaça, por exemplo, L 1 =. Obtemos, L 3 L2 = 2yz cos(y 2 L ) 3 L2 = 2yz cos(y 2 ) L3 = 2xz cos(x 2 ) L 3 = z sen(x 2 ) + f(y, z) L 2 = 1 L 2 = x + g(y, z) Mais uma vez, a solução não é única. Impondo a condição, g =, e substituindo na primeira equação, obtemos f(y, z) = z sen(y 2 ) e, portanto, L = (, x, z sen(y 2 ) z sen(x 2 )). 5

6 z 3 C Pfrag replacements ν C y x Figura 3: Orientação de C e de C Pelo teorema de tokes, C F n = C L dα, onde n é a normal unitária que aponta para dentro do filtro e consequentemente o caminho α percorre C no sentido positivo tal como se mostra na figura 3. Assim, temos pelo que o caminho definido por C = {(x, y, z) R : x 2 + y 2 = 9, z = 3}, α(t) = (3 cos(t), 3 sen(t), 3), t [, 2π] percorre C na direcção pretendida. Portanto, L dα = C = 2π 2π L(α(t)) α (t)dt 9 cos 2 (t)dt = 9π, ou seja, a quantidade de água que entra através da parede curva do filtro é 9π. 6

7 Exercício 4 Considere as superfícies definidas por = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = 4, 2 < z < 2} D = {(x, y, z) R 3 : z = 2, x 2 + y 2 < 4} D + = {(x, y, z) R 3 : z = 2, x 2 + y 2 < 4} a) Calcule o fluxo do campo vectorial f(x, y, z) = (x cosh 2 (z), y cosh 2 (z), z 1 2 sinh(2z)) através de, segundo a normal exterior unitária ao cilindro x 2 + y 2 = 4, usando o teorema da divergência. b) Calcule o fluxo do campo h(x, y, z) = (xe z, ye z, 2e z ) através de, segundo a normal da alínea anterior, usando o teorema de tokes. Resolução: é uma parte do cilindro vertical centrado no eixo dos z e com raio 2 e tal que 2 < z < 2. D e D + são as tampas inferior e superior contidas nos planos z = 2 e z = 2, respectivamente, tal como se ilustra na figura 4. a) eja o volume limitado por, D e D +, e seja ν o campo vectorial normal exterior unitário à fronteira de. Então, pelo teorema da divergência, divf = f ν + f ν + f ν. D D + Dado que obtemos divf = 2cosh 2 (z) + 1 cosh(2z) = 2 divf = 2 ol( ) = 2 4 4π = 32π. A normal exterior unitária em D é ν = (,, 1) e, portanto, f ν = ( z + 1 D D 2 sinh(2z)) = ( sinh( 4)) Área(D ) = 4π(2 1 2 sinh(4)) Do mesmo modo, a normal exterior unitária em D + é ν = (,, 1). Logo f ν = (z 1 D + D + 2 sinh(2z)) = (2 1 2 sinh(4)) Área(D +) Assim, teremos f ν = = 4π(2 1 2 sinh(4)) divf f ν f ν = 32π 8π(2 1 D D + 2 sinh(4)). 7

8 Note-se que teria sido um pouco mais complicado calcular directamente o fluxo de f através de devido à dificuldade na integração em z. b) Usando a definição de rotacional podemos verificar que se tem h(x, y, z) = rot l(x, y, z) com De facto, temos l(x, y, z) = (ye z, xe z, ). l 3 l 2 l 1 l 3 l 2 l 1 = h 1 = h 2 = h 3 z D + 2 Pfrag replacements 2 y x ν D 2 Figura 4: Orientação de e de A solução deste sistema não é única e, para encontrar uma solução, devemos impôr condições, como por exemplo l 3 =, consistentes com as equações mas que as simplifiquem de modo a podermos resolvê-las. Fazendo l 3 =, obtemos l 2 l 1 l 2 l 1 = xe z = ye z = 2e z e, portanto, da primeira equação, obtemos l 2 (x, y, z) = xe z + p(x, y) e da segunda l 1 (x, y, z) = ye z + q(x, y) 8

9 Fazendo p = ; q =, obtemos, l(x, y, z) = (ye z, xe z, ). Pelo teorema de tokes, teremos h ν = l dg + D l dg +, D + onde D está orientada no sentido horário e D + está orientada no sentido anti-horário de um observador que olha no sentido do semi-eixo positivo z, tal como se ilustra na figura 4. Para calcular os integrais de linha, consideremos as seguintes parametrizações para D e D + : Parametrização para D : Parametrização para D + : e as respectivas derivadas g (θ) = (2 cos(θ), 2 sen(θ), 2) ; θ ], 2π[ g + (θ) = (2 cos(θ), 2 sen(θ), 2) ; θ ], 2π[ g (θ) = ( 2 sen(θ), 2 cos(θ), ) g + (θ) = ( 2 sen(θ), 2 cos(θ), ) Portanto temos, l dg = D l dg + = D + 2π 2π l(g (θ)) g (θ)dθ = 8πe 2 l(g + (θ)) g +(θ)dθ = 8πe 2 ou seja h ν = l dg + l dg + = 8π(e 2 e 2 ). D D + 9

10 Exercício 5 Considere as superfícies definidas por = {(x, y, z) R 3 : z = 2 + x 2 + y 2, < z < 1} D 1 = {(x, y, z) R 3 : z = 1, (x 2 + y 2 ) < 9} D = {(x, y, z) R 3 : z =, (x 2 + y 2 ) < 4} a) Calcule o fluxo do campo vectorial f(x, y, z) = (x, y, z) através de, segundo a normal unitária cuja componente segundo z é negativa, usando o teorema da divergência. b) Calcule o fluxo do campo h(x, y, z) = (2x sinh(z), 2y sinh(z), 4 cosh(z)), através de, segundo a normal da alínea anterior, usando o teorema de tokes. Resolução: é a superfície do tronco de cone vertical definido pela equação z = 2 + x 2 + y 2 e limitado pelos planos z = 1 e z =. D é a tampa inferior definida por z = e D 1 é a tampa superior de definida por z = 1. a) eja o volume limitado por, D, D 1. Pelo teorema da divergência temos que divf = f ν + f ν + f ν, D D 1 onde ν é o campo vectorial das normais exteriores unitárias à fronteira de. Note-se que em a componente de ν, segundo z, é negativa. endo utilizando coordenadas cilindricas, obtemos divf = 3 ol( ) = 3 divf(x, y, z) = 3 2π 1 z+2 ρdρdzdθ = 19π. A normal exterior unitária a D é dada por ν = (,, 1) e, então, f ν = ( z) = D D porque z = em D. A normal exterior unitária a D 1 é dada por ν = (,, 1). Logo f ν = (z) = 1 Área(D 1) = 9π D 1 D 1 Portanto, f ν = divf f ν f ν = 19π 9π = 1π. D D 1 b) Para usar o teorema de tokes, teremos de determinar um campo l(x, y, z) que verifique a equação h(x, y, z) = rotl(x, y, z) 1

11 ou seja, o campo l deverá ser solução do sistema l 3 l 2 l 1 l 3 l 2 l 1 = h 1 = h 2 = h 3 Este sistema não tem solução única e, portanto, fazendo l 3 (x, y, z) =, obtemos da primeira equação l 2 (x, y, z) = 2x cosh(z) + p(x, y) e da segunda equação l 1 (x, y, z) = 2y cosh(z) + q(x, y) em que as funções p e q são arbitrárias. Fazendo p = ; q =, obtemos o campo l(x, y, z) = (2y cosh(z), 2x cosh(z), ) Pelo teorema de tokes, h ν = rot l ν = l + D D 1 l, onde D é percorrido no sentido horário e D 1 no sentido anti-horário de um observador que olha no sentido do semi-eixo positivo de z. Com θ ], 2π[, as parametrizações de D e D 1, respectivamente, são dadas por g (θ) = (2 cos(θ), 2 sen(θ), ) g 1 (θ) = (3 cos(θ), 3 sen(θ), 1) e as correspondentes derivadas, ou seja, os correspondentes vectores tangentes, são dadas por g (θ) = ( 2 sen(θ), 2 cos(θ), ) g 1 (θ) = ( 3 sen(θ), 3 cos(θ), ) Dado que cosh() = 1 e sinh() = temos então h ν = l + D = 2π D 1 l [ cosh(1)] dθ = [ cosh(1)] π 11

12 Exercício 6 Considere um filtro de ar cuja forma é aproximadamente a do conjunto D = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 z 4}, imerso numa corrente de ar cujo campo de velocidades é dado pela fórmula F(x, y, z) = (2yze y2, 2xze x2, 2 + xy). a) Mostre que a quantidade de ar no interior do filtro se mantém constante, supondo que a densidade do ar é constante igual a 1. b) Usando o teorema de tokes, calcule o fluxo de ar que sai através da parede curva do filtro. Resolução: a) Pelo teorema da divergência, o fluxo total de ar através das paredes do filtro é F n = F. D Como F =, o fluxo é zero. Portanto a quantidade de ar que entra no filtro é igual à que sai. D b) eja C a parede curva de D. Note-se que F é um campo de divergência nula em R 3. Como R 3 é um conjunto em estrela, podemos concluir que F é um rotacional, ou seja, existe um campo L tal que L = F. Um campo L que satisfaça esta equação é um potencial vector para F. Para calcular o fluxo de F através de C, podemos começar por calcular um potencial vector L para F e depois aplicar o teorema de tokes a L. Calcular L = (L 1, L 2, L 3 ) consiste em resolver o seguinte sistema de equações L 3 L 1 L 2 L2 = 2yze y2 L3 = 2xze x2 L1 = 2 + xy A solução para este sistema não é única. Para encontrar uma solução particular, podemos procurar uma solução que satisfaça, por exemplo, L 1 =, e obtemos, L 3 L2 = 2yze y2 L3 = 2xze x2 L 2 = 2 + xy L 3 L2 = 2yze y2 L 3 = ze x2 + f(y, z) L 2 = 2x x2 y + g(y, z) Mais uma vez, a solução não é única. Impondo g = e substituindo na primeira equação, vem f(y, z) = ze y2, logo L = (, 2x + 12 ) x2 y, ze y2 ze x2. 12

13 eja C a parede curva de D. Pelo teorema de tokes, F n = L n = C C onde n é a normal unitária que aponta para fora do filtro e consequentemente C é percorrido no sentido negativo quando visto no sentido positivo do eixo z. Uma parametrização para na direcção indicada é dada por e a respectiva derivada por C C = {(x, y, z) R : x 2 + y 2 = 4, z = 4}, g(t) = (2 cos(t), 2 sen(t), 4) ; t [, 2π] g (t) = ( 2 sen(t), 2 cos(t), ) L Assim, L = C = L dg C 2π 8 cos 2 (t) + 8 cos 3 (t) sen(t)dt = 8π portanto a quantidade de ar que sai através da parede curva do filtro é 8π. 13

14 Exercício 7 Considere a superfície, constituída pela parte superior de um toro, definida por M = {(x, y, z) R 3 : z 2 + ( x 2 + y 2 2) 2 = 1, z > }. eja n a normal unitária a M cuja componente segundo z é positiva. a) Calcule o fluxo do campo vectorial através de M segundo n. f(x, y, z) = (x + arcatn(y 2 + z 3 ), exp(z x 3 ), z 2 z + 1) b) Utilizando o teorema de tokes, calcule o fluxo do campo h(x, y, z) = (,, 2) através de M no sentido de n. Resolução: a) eja o volume limitado por M e pelo plano z =, i.e. = {(x, y, z) R 3 : z 2 + ( x 2 + y 2 2) 2 < 1, z > }. A fronteira de é formada pela superfície toroidal M e pela coroa circular D contida no plano xy entre as circunferências de raios 1 e 3 centradas na origem, i.e. D = {(x, y, z) R 3 : ( x 2 + y 2 2) 2 < 1, z = }. A normal n a M é exterior a. A normal unitária a D que é exterior a é simplesmente ν = (,, 1) porque D é o plano z =. Assim, o teorema da divergência estabelece que div(f) dxdydz = Ora, div(f) = f1 + f2 + f3 div(f) dxdydz = M f n + f ν. D = 2z e, portanto, em coordenadas cilíndricas, temos 2π = 2π = 2π 3 ( ( 3 ) ) 1 (ρ 2) 2 2zdz ρdρ dθ 1 1 [ 1 (ρ 2) 2 ] ρdρ ( 4 4 ) 3 Por outro lado para calcular o fluxo de f através de D, note-se que f ν = z 2 + z 1 = 1 porque z = em D. Assim, D f ν = Área(D) = π( ) = 8π 14

15 e, portanto, M f n = ( 16 8 ) π. 3 Note-se que teria sido substancialmente mais difícil fazer o mesmo cálculo directamente a partir da definição de fluxo de um campo. b) O teorema de tokes relaciona o fluxo do rotacional de um campo através de uma superfície com o trabalho desse campo na fronteira, ou bordo, da superfície. Assim o primeiro passo é exprimir o campo h(x, y, z) como um rotacional de outro campo vectorial. Procuramos então determinar um campo vectorial g(x, y, z) tal que ou seja rot (g) = h 2 g 3 3 g 2 = h 1 = 3 g 1 1 g 3 = h 2 = 1 g 2 2 g 1 = h 3 = 2 Diz-se que g é um potencial vectorial para h. Há muitas soluções para estas equações. Podemos, por exemplo, tentar encontrar uma solução com g 2 =. Da terceira equação obtemos g 1 = 2y + l(x, z) Fazendo l(x, z) = vemos que é possível satisfazer as equações restantes com g 3 =. Logo, podemos tomar g(x, y, z) = ( 2y,, ) A fronteira, ou bordo, de M é constituída por duas circunferências no plano xy e centradas na origem: A de raio 1 e B de raio 3, como se ilustra na figura 5. Quem está de pé, sobre o y 1 A B 3 x Pfrag replacements Figura 5: Orientação de A e de B plano xy, do lado em que z >, a orientação destas fronteiras que é consistente com a normal n, é para A no sentido horário e para B no sentido anti-horário. Deste modo, percorrendo 15

16 A ou B do lado em que z >, ou seja do lado para que aponta a normal n, tem a superfície M do seu lado esquerdo. Então, pelo teorema de tokes, temos h n = M M rot (g) n = A g + g. B Temos de calcular o trabalho de g ao longo de A e o trabalho de g ao longo de B. Podemos parametrizar A através de α(θ) = (cos(θ), sen(θ), ) e B através de fazendo < θ < 2π. Então A g = = = 2π 2π β(θ) = (3 cos(θ), 3 sen(θ), ) 2π = 2π g(α(θ) α (θ)dθ (2 sen(θ),, ) ( sen(θ), cos(θ), )dθ 2 sen(θ) 2 dθ De modo semelhante temos g = B = 2π 2π g(β(θ) β (θ)dθ 18 sen 2 (θ)dθ Portanto M = 18π h n = 18π 2π = 16π Note-se que teria sido substancialmente mais difícil fazer o mesmo cálculo directamente a partir da definição. 16

17 Exercício 8 Considere a superfície = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 = z 2 + 1, 1 < z < 3} e o campo vectorial F (x, y, z) = (x, y, 2z) Calcule o fluxo de F através de no sentido da normal que aponta para fora (isto é no sentido contrário àquele em que fica o eixo dos zz), 1. pela definição de fluxo. 2. usando o teorema da divergência. 3. usando o teorema de tokes. Resolução: 1. Em coordenadas cilíndricas (r, θ, z), é definida por r 2 = z r = z com 1 < z < 3 logo trata-se de uma hipérbole rodada em torno do eixo dos zz, ou seja de um hiperbolóide. Uma parametrização para é dada por g(z, θ) = ( z cos θ, z sin θ, z), < θ < 2π, 1 < z < 3. Temos g g θ = i j k z z2 +1 cos θ z sin θ z z2 +1 sin θ 1 z2 + 1 cos θ = ( z cos θ, z sin θ, z). Quando z é positivo, a terceira componente de g θ é positiva portanto este vector tem o contrário ao da normal dada à superfície. Conclui-se que F nd = = = = 2π 3 1 2π 3 1 2π 3 1 g F ( z cos θ, z sin θ, z) ( z cos θ, z sin θ, z)dzdθ ( z cos θ, z sin θ, 2z) ( z cos θ, z sin θ, z)dzdθ (z 2 + 1) 2z 2 dzdθ = 2π( 4 28) = 64π. 2. F é um campo vectorial de classe C 1 em R 3 logo podemos aplicar o teorema da divergência à região D = {(x, y, z) R 3 : x 2 + y 2 < z 2 + 1, 1 < z < 3}. A fronteira de D, é formada por e pelos dois discos 1 = {(x, y, 3) R 3 : x 2 + y 2 1} e 2 = {(x, y, 1) R 3 : x 2 + y 2 2}. 17

18 Uma vez que a normal a dada, n, é a normal exterior a D, o teorema da divergência diz que F dxdydz = F n + F (,, 1)d + F (,, 1)d. D 1 2 Como conclui-se que F nd = F = = 1 F (,, 1)d = 2zd 2zd 1 2 = 6d 2d F (,, 1)d = 6área( 1 ) + 2área( 2 ) = 6π1 + 2π2 = 64π. 3. Uma vez que F é solenoidal (isto é F = ) e o domínio de F é R 3 que é um conjunto em estrela, concluimos que F é um rotacional. Para achar um potencial vector A temos de resolver o sistema i j k A = F = (x, y, 2z) A 1 A 2 A 3 A 3 A2 = x A 1 A3 = y = 2z A 2 A1 Fazendo, por exemplo, A 3 = obtemos, A2 = x A 1 = y = 2z A 2 A1 ubstituindo na última equação obtemos A 2 (x, y, z) = xz + C 1 (x, y) A 1 (x, y, z) = yz + C 2 (x, y) A 2 A1 = 2z z + C 1 (x, y) z C 2 (x, y) = 2z pelo que podemos fazer C 1 (x, y) = C 2 (x, y) =. Conclui-se que um potencial vector para F é dado por A(x, y, z) = (yz, xz, ). Pelo teorema de tokes, F nd = ( A) nd = A d r. 18

19 O bordo de é constituído por duas curvas: e α 1 = {(x, y, 3) R 3 : x 2 + y 2 = 1} α 2 = {(x, y, 1) R 3 : x 2 + y 2 = 2}. De acordo com a regra da mão direita, quando vistas de muito acima do plano xy, α 1 deve ser percorrida no sentido dos ponteiros do relógio e α 2 no sentido directo. Uma parametrização de α 1 é g 1 (t) = ( 1 cos t, 1 sin t, 3) < t < 2π que no entanto percorre a curva no sentido directo, enquanto que uma parametrização para α 2 é g 2 (t) = ( 2 cos t, 2 sin t, 1) < t < 2π que percorre a curva α 2 no sentido desejado. Assim, F n = A dg 1 + A dg 2 α 1 α 2 = = + 2π 2π 2π (3 1 sin t, 3 1 cos t, ) ( 1 sin t, 1 cos t, )dt ( 2 sin t, 2 cos t, ) ( 2 sin t, 2 cos t, )dt 3dt + 2π 2dt = 64π. 19