Integrais de Linha e de Superfície (Resolução Sumária)

Transcrição

1 Integrais de Linha e de uperfície Resolução umária 9 de Maio de 29. Calcule a área da superfície curva de um cone circular recto de altura h > e raio da base a >. Resolução: Uma parametrização desta superfície é por exemplo g :], a[ ], 2[ R 3 dada por gr, θ r cos θ, r sen θ, ha r. det Gr, θ, G g r g r cos θ, sen θ, h a G 2 G 2 g r g θ cos θ, sen θ, h a + h2 a 2 ; cos θ, sen θ, h a r sen θ, r cos θ, ; θ r sen θ, r cos θ, r sen θ, r cos θ, r2. + h2 a 2 a 2 + h2 a 2 r 2 r2 + h2 a 2 rdθdr 2 a2 + h2 2 a 2 a a 2 + h Escreva a área do elipsóide de semieixos a, b, c R + como um integral iterado. Resolução: Uma parametrização desta superfície é por exemplo g :], [ ], 2[ R 3 dada por gθ, ϕ a sen θ cos ϕ, b sen θ sen ϕ, c cos θ. det Gθ, ϕ,

2 G g a cos θ cos ϕ, b cos θ sen ϕ, c sen θ a cos θ cos ϕ, b cos θ sen ϕ, c sen θ θ a 2 cos 2 θ cos 2 ϕ + b 2 cos 2 θ sen 2 ϕ + c 2 sen 2 θ; G 2 G 2 g a cos θ cos ϕ, b cos θ sen ϕ, c sen θ a sen θ sen ϕ, b sen θ cos ϕ, ϕ b 2 a 2 sen θ cos θ sen ϕ cos ϕ; ϕ g a sen θ sen ϕ, b sen θ cos ϕ, a sen θ sen ϕ, b sen θ cos ϕ, ϕ a 2 sen 2 θ sen 2 ϕ + b 2 sen 2 θ cos 2 ϕ. a 2 cos 2 θ cos 2 ϕ + b 2 cos 2 θ sen 2 ϕ + c 2 sen 2 θ b 2 a 2 sen θ cos θ sen ϕ cos ϕ b 2 a 2 sen θ cos θ sen ϕ cos ϕ a 2 sen 2 θ sen 2 ϕ + b 2 sen 2 θ cos 2 ϕ a 2 b 2 sen 2 θ cos 2 θ + a 2 c 2 sen 4 θ sen 2 ϕ + b 2 c 2 sen 4 θ cos 2 ϕ 2 sen θ a 2 b 2 cos 2 θ + a 2 c 2 sen 2 θ sen 2 ϕ + b 2 c 2 sen 2 θ cos 2 ϕdϕdθ. 3. Prove o egundo Teorema de Pappus: a área de uma superfície de revolução gerada por uma curva plana é igual a 2dL, onde L é o comprimento da curva plana e d é a distância do seu centróide ao eixo de rotação. Aproveite este resultado para calcular a área da superfície do toro T {x, y, z R 3 : x 2 + y 2 R 2 + z 2 r 2} < r < R. Resolução: e a curva é parametrizada por c :], [ R 2, ct ut, vt uma parametrização da superfície de revolução gerada pela curva é g :], [ ], 2[ R 3 dada por gt, ϕ ut cos θ, ut sen θ, vt. det Gt, θ, G g t g t u cos θ, u sen θ, v u cos θ, u sen θ, v u 2 + v 2 ; G 2 G 2 g t g θ u cos θ, u sen θ, v u sen θ, u cos θ, ; θ u sen θ, u cos θ, u sen θ, u cos θ, u2. 2

3 u 2 + v 2 u 2 u2 u 2 + v 2 2 u u 2 + v 2 dθdt 2 u u 2 + v 2 dt. Ora o elemento de comprimento correspondente à parametrização c é dc dt dc dt u 2 + v 2 e a coordenada u do seu centróide é portanto u C d L u u 2 + v 2 dt. Concluimos qu 2dL. No caso do toro, d R e L 2r, pelo que a área da superfície do toro é 4 2 rr. É também fácil ver que a superfície cónica do exercício se pode obter por rotação do segmento de recta unindo os pontos, e a, h, pelo que d a 2 e L a 2 + h 2, vindo a área do cone 2 a 2 a 2 + h 2 em conformidade com o que já havíamos obtido. 4. eja a superfície Calcule: { x, y, z R 3 : z x 2 + y 2, z }. a A área de ; Resolução: Uma parametrização desta superfície é por exemplo g :], [ ], 2[ R 3 dada por gr, θ r cos θ, r sen θ, r 2. det Gr, θ, G g r g r cos θ, sen θ, 2r cos θ, sen θ, 2r + 4r2 ; G 2 G 2 g r g cos θ, sen θ, 2r r sen θ, r cos θ, ; θ θ r sen θ, r cos θ, r sen θ, r cos θ, r2. + 4r 2 r 2 r2 + 4r 2 3

4 V 2 2 r [ + 4r 2 dθdr 2 + 4r 2 ] b O centróide de. Resolução: Por simetria o centróide situa-se no eixo dos zz, i.e., x C y C. Como 2 z r 3 + 4r 2 dθdr 2 temos [ u 6 + 4u 3 2 ] u + 4u du u 3 2 du z C z V 2 5. Calcule o trabalho realizado pela força ao longo da curva Fx, y, z y + z, x + z, x + y [ ] 6 + 4u 5 2 C {x, y, z R 3 : x cos θ, y sen θ, z 2θ, θ 2} percorrida no sentido dos valores de z decrescentes. Resolução: Uma parametrização desta curva é por exemplo g :], 2[ R 3 dada por gθ cos θ, sen θ, 2θ, que no entanto corresponde às orientação inversa da pretendida. O integral de linha de F ao longo da curva com esta orientação é y + zdx + x + zdy + x + ydz C sen θ + 2θ, cos θ + 2θ, cos θ + sen θ sen θ, cos θ, 2dθ sen 2 θ 2θ sen θ + cos 2 θ + 2θ cos θ + 2 cos θ + 2 sen θdθ cos2θdθ + [2θ cos θ + 2θ sen θ] 2 4, pelo que o trabalho realizado é então O campo de velocidades de um fluido é descrito pelo campo vectorial v x, y, 2z. 4

5 upondo que o fluido possui densidade constante igual a, calcule a massa de fluido que atravessa a superfície {x, y, z R 3 : z xy, x 2 + y 2 } por unidade de tempo no sentido dos valores de z decrescentes. Resolução: Uma parametrização de é por exemplo g :], [ ], 2[ R 3 dada por gr, θ r cos θ, r sen θ, r 2 sen θ cos θ. Uma vez que e g r g e 2 e 3 θ cos θ sen θ 2r sen θ cos θ r sen θ r cos θ r 2 cos 2 θ sen 2 θ r 2 sen θ, r 2 cos θ, r aponta para cima, concluímos que o fluxo de v no sentido dos valores de z decrescentes é v n 2 2 r cos θ, r sen θ, 2r 2 sen θ cos θ r 2 sen θ, r 2 cos θ, r dθdr 4r 3 sen θ cos θdθdr. 5