Cálculo IV EP13. Aula 23 Integral de Superfície de um Campo Vetorial

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1 Fundação Centro de Ciências e Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educação uperior a istância do Estado do Rio de Janeiro Cálculo IV EP1 Aula Integral de uperfície de um Campo Vetorial Objetivo Compreender a noção de superfície orientável, Estudar as integrais de superfície de campos vetoriais. Integral de superfície de um campo vetorial Hoje vamos integrar campos vetoriais sobre superfícies. Quando estudamos as integrais de linha de campos vetoriais, vimos que a definição dependia da orientação da curva, isto é, F d r F d r. C Aqui em integral de superfície de um campo vetorial ou fluxo de um campo vetorial, a definição também depende do conceito de superfície orientada, que passaremos a definir. izemos que é uma superfície orientável quando for possível escolher sobre um campo de vetores unitários normais a que varie continuamente sobre. Intuitivamente falando, significa que tem dois lados. Há superfícies que tem um lado só como, por exemplo, a fita de Möbius que pode ser facilmente construída. Peguem uma tira de papel retangular ABC. Pintem um lado de vermelho e o outro de azul. Fixem o lado AB e façam uma meia volta com o lado C e colem A com C e B com. C B A C B A C A fita de Möbius tem apenas um lado, pois as duas cores se encontram.

2 Cálculo IV EP1 OB.: uperfícies fechadas orientáveis terão duas orientações naturais, determinadas pela normal exterior e pela normal interior. n ou n aqui para frente só consideraremos superfícies orientáveis (com dois lados). efinição: eja uma superfície regular orientável. eja n uma orientação de. eja F um campo vetorial contínuo definido em um aberto contendo. A integral de superfície de F através de ou o fluxo φ de F através de é a integral de superfície do campo escalar F n : Φ F n d. OB.: 1) e F representa o campo de velocidades de um fluido, essa integral fornece o volume do fluido que atravessa em uma unidade de tempo, na direção de n. n ) e é parametrizada por ϕ(u,v), (u,v) então Φ F n d se n ϕ u ϕ v ϕ u ϕ v e ϕ F (ϕ(u,v)) u ϕ v ϕ u ϕ ϕ u ϕ v dudv F (ϕ(u,v)) (ϕu ϕ v ) dudv v Consórcio CEERJ

3 Cálculo IV EP1 se n ϕu ϕv ϕ u ϕ v. Φ F n d ) e é o gráfico da função z f(x,y), (x,y), então se n ( f x, f y,1) 1+(fx ) +(f y ) e se n Φ F n d (f x,f y, 1) 1+(fx ) +(f y ). Φ F n d F (ϕ(u,v)) (ϕu ϕ v ) dudv F (x,y,f(x,y)) ( fx, f y, 1) dxdy F (x,y,f(x,y)) (fx,f y, 1) dxdy 4) Queremos definir F n d, onde 1 m. 1 1 efinição 1: eja uma superfície orientada por um campo de vetores normais unitários n. izemos que o bordo de,, está orientado positivamente se ao caminhar ao longo de com a cabeça no sentido de n, tivermos à nossa esquerda. n ou n Consórcio CEERJ

4 Cálculo IV EP1 4 OB.: Uma regra prática para orientar é a conhecida regra da mão direita com polegar no sentido de n. efinição : izemos que 1 m está orientada se for possível orientar cada i de forma que nos bordos comuns a duas superfícies, as orientações resultem opostas. n n1 1 ou 1 n n1 Então: F n d F n1 d + + F nm d. 1 m Exemplo 1 Calcule o fluxo de F (x,y,z) x i + (x + y) j xy k através da superfície : ϕ(u,v) ( u,v, 1 u v ), com (u,v) : u 1 e v 1 com normal n ϕ u ϕ v ϕ u ϕ v. olução: Temos ϕ u (1,, u) e ϕ v (, 1, v) donde ϕ u ϕ v i j k 1 u 1 v (u, v, 1). Consórcio CEERJ

5 Cálculo IV EP1 5 O fluxo de F é dado por F n d [ 4u 1 F (ϕ(u,v)) ϕ u ϕ v ϕ u ϕ v ϕ u ϕ v dudv F (ϕ(u,v)) (ϕu ϕ v ) dudv (u,u + v, uv) (u, v, 1) dudv ( 4u + uv + v uv ) dudv ( 4u + v ) dudv ( 4u + v ) dudv ] 1 + uv dv ( ) 4 + v dv [ 4 v + v ] Exemplo Calcule o fluxo do campo F (x,y,z) x i + y j + z k através da parte da superfície esférica x + y + z a, com a normal exterior. olução: Lembremos que, no caso da esfera x + y + z a (ver Aula 19), temos n (x,y,z) a. Então o fluxo é dado por F n d (x,y,z) (x,y,z) x a d +y +z a a d a d a d aa() a4πa 4πa. Consórcio CEERJ

6 Cálculo IV EP1 6 Exemplo Calcule F n d, sendo F (x,y,z) x i + y j + z k e a parte do cilindro x + y 4 entre z e y + z, com a orientação normal que aponta para o eixo z. olução: O esboço de é: z n x y Lembremos que, no caso do cilindro x + y a (ver Aula 19), o vetor unitário normal interior a é n ( x, y,). Então: F n d (x,y,z) ( x, y,) (x d +y ) 4 d d d. Para calcular d, devemos parametrizar. Logo : ϕ(t,z) ( cost, sen t,z), com (t,z) : t π e z sen t. Vimos na aula 19 que ϕ t ϕ z ( cost, sen t, ). Como d ϕ t ϕ z dtdz então d dtdz. Logo: π sen t π F n d dtdz 4 dzdt 4 ( sen t) dt 4π. Exemplo 4 Calcule F n d, sendo F (x,y,z) x i +y j +z k e a parte do plano y +z, limitada pelo cilindro x + y 4, orientada com a normal n tal que n k. olução: O esboço de é dado a seguir. Consórcio CEERJ

7 Cálculo IV EP1 7 z n x y e n k então a componente z de n é maior ou igual a zero donde n aponta para cima. A superfície pode ser descrita por : z y f(x,y), com (x,y) : x + y 4. Um vetor normal a é dado por N ( f x, f y, 1) (,, 1) que aponta para cima. Logo, n (,1,1). Por outro lado, sabemos da aula 19 que d N dxdy dxdy. Portanto: F n d (x,y, y) (,1,1) dxdy Até a próxima aula. (y + y) dxdy A() π 1π. dxdy Rioco K. Barreto Coordenadora de Cálculo IV Exercício 1: Calcule F n d, sendo F (x,y,z) y i x j e a parte da esfera x +y +z a, no primeiro octante com a normal apontando para fora. Exercício : Calcule F n d, onde F (x,y,z) (x,y, z) e é a esfera x + y + z 4, com vetor normal n exterior. Consórcio CEERJ

8 Cálculo IV EP1 8 Exercício : Calcule o fluxo de F(x,y,z) z i + x j y z k através da superfície parte do cilindro x +y 16 situado no primeiro octante, entre z e z 5 e a normal n tal que n i. Exercício 4: Calcule F n d, onde F(x,y,z) x i+y j+z k e a região do plano x+y+z 6, situada no primeiro octante, com n superior a. Exercício 5: Calcule o fluxo do campo F (x,y,z) (x,y,z) através da superfície lateral do cilindro circular x + y 1, limitada inferiormente pelo plano x + y + z 1 e superiormente pelo plano x + y + z com vetor normal n exterior. Exercício 6: Calcule o fluxo do campo vetorial F (x,y,z) (y, x,z ) através da superfície : z x + y, com z 1, na direção do vetor normal n exterior. Exercício 7: Calcule F n d, onde F x i +y j +z k e é a superfície plana x+y, delimitada pelos planos coordenados e pelo plano z 4 e a normal se a afasta da origem. Exercício 8: Calcule F n d, onde F (z x, xy, z) e é a superfície do sólido limitado por z 4 y, x, x e o plano xy, com vetor n exterior. Exercício 9: Calcule F ) n d, onde F (x,y, z, e é a superfície de revolução obtida girando-se o segmento de reta AB, com A (, 1, ) e B (,, 4) em torno do eixo z, onde o vetor normal n é exterior a. Exercício 1: Calcule F n d, onde F y z i + y j + z k e é a superfície plana y + z, interior ao cilindro x + y 1, com campo de vetores normais n tal que n k <. Consórcio CEERJ

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