CARACTERÍSTICAS GEOMETRICAS DE SUPERFICIES PLANAS

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1 CARACTERÍSTCAS GEOMETRCAS DE SUPERFCES PLANAS 1 CENTRÓDES E BARCENTROS 1.1 ntrodução Freqüentemente consideramos a força peso dos corpos como cargas concentradas atuando num único ponto, quando na realidade o que se passa é que o peso é uma força distriuída, isto é, cada pequena porção de matéria tem o seu próprio peso. Esta simplificação pode ser feita se aplicarmos a força concentrada num ponto especial denominado Baricentro. Este ponto deve ter uma distriuição de matéria omogênea em torno de si. Terá importância tamém a determinação de um ponto de uma superfície e não somente de um corpo tridimensional que terá uma distriuição omogênea de área em torno de si. A este ponto especial camaremos de Centróide (ou Centro de Gravidade ). Demonstra-se que as coordenadas deste ponto serão otidas, no caso geral, tomando-se um elemento de área da e partindo do centróide deste elemento ( el ; el ) faemos a integração em toda a área A. el el 8

2 As coordenadas deste ponto serão: A integral da el da da el da da é conecida como Momento Estático de 1 a Ordem ou Momento Estático de Área em relação ao eio. Analogamente, a integral da define o Momento Estático de 1 a Ordem ou Momento Estático de Área em relação ao eio. 1. Determinação do Centróide a Por ntegração Escola do elemento de área pode-se escoler qualquer elemento de área para o cálculo do. A resolução da maior parte dos prolemas será possível com elemento de área em forma de uma faia retangular ou um setor circular. E.: Retângulo d el 9

3 da da el el e da d 1 d d d d da da el el e da d 1 d d d d Portanto, para o retângulo temos: el d

4 / / / / A partir destes resultados, toda ve que utiliarmos um elemento de área em forma de faia retangular colocaremos: el e el Por Composição de Figuras Muitas figuras são resultantes de soma ou diferença de outras figuras conecidas e para estas á um segundo método para se determinar o. E.: 1mm 1mm 6mm 1

5 Notamos que a figura resultante pode ser otida pela soma de um retângulo com um triângulo ou pela diferença de um outro retângulo e um triângulo. Faremos a opção pela soma. Oservamos que o de cada figura (retângulo e triângulo) já são conecidos, pois foram otidos por integração. Contudo, Estas coordenadas devem ser tomadas em relação à origem do sistema dado. Como trata-se de soma de figuras conecidas, as integrais da se tornam A Figura, A e A. A A el da, el da e A Retângulo Triângulo A 16 9,85mm A 86 55,8mm A 156 A Aplicações do Cálculo do Teoremas de Pappus-Guldinus: para a aplicação dos teoremas torna-se necessário definirmos: Superfície de revolução: é uma superfície que pode ser gerada pela rotação de uma curva plana em torno de um eio dado. Curva plana (reta) Superfície de revolução casca do cone Corpo de revolução: é um corpo que pode ser gerado pela rotação de uma área plana em torno de um eio fio.

6 Área plana (triângulo) Corpo (cone) Teorema : a área de uma superfície de revolução é igual ao comprimento da curva geratri, multiplicada pela distância percorrida pelo centróide da curva durante a geração da superfície. Teorema : o volume de um corpo de revolução é igual à área geratri, multiplicada pela distância percorrida pelo centróide da área durante a geração do corpo. 1. Centróide de um Corpo Tridimensional Analogamente ao que foi feito para áreas planas, a determinação do Centróide de um Corpo Tridimensional pode ser otida pelas epressões: dv dv dv dv e dv dv Para corpos omogêneos, isto é, os que possuem peso específico constante, o Centróide coincide com o Baricentro. Relemremos que Centróide é um ponto com distriuição de volume omogênea em torno de si (do ponto de vista geométrico) e Baricentro é um ponto com distriuição omogênea de massa em torno de si (ponto onde deve situar a força peso, que soina sustitui o peso distriuído de cada porção de matéria). A integral dv é conecida como Momento Estático ou Momento de Primeira Ordem de Volume em relação ao plano. Analogamente, dv com em relação a e dv em relação a.

7 No cálculo de centróide de áreas pudemos oservar que figuras com eio de simetria possuíam o sore este eio. O mesmo se aplica para o de corpos tridimensionais. Desta forma é imediato o de esferas, elipsóides, cuos, paralelepípedos, etc. Semelante ao que foi feito para as áreas, á dois métodos para determinar o de volumes: por ntegração e Composição de Corpos.

8 Lista de Eercícios 1. Determinar, por integração direta, o das áreas aaio: a) Triângulo f() k (;) d el el ) Paráola do o grau f() k (;) d el el 5

9 . Determinar, por composição de figuras, o das áreas aaio: a) 6mm 1mm 1mm ) mm r 1mm mm c) 75mm 1,5mm 1mm 1,5mm 6

10 d) 7,5mm 5mm mm 75mm 5mm 7,5mm 7,5mm 15mm 5mm e) r 75mm r 1 5mm f) r 1mm r 1 75mm α α 5mm 7

11 g) r mm r 1 5mm 1mm. Um cone e um cilindro de mesmo raio a e altura estão unidos como ilustrado aaio. Determine a posição do centróide do corpo. a 8

12 . Momento de nércia de Figuras Planas integrais No desenvolvimento da epressão da tensão Normal no estudo da fleão, surgem as ds e ds camadas de Momento Estático de a ordem ou Momento de nércia. Estudaremos o desenvolvimento e epressões finais dessas integrais para as figuras mais comuns. Momento de nércia é uma grandea que mede a resistência que uma determinada área oferece quando solicitada ao giro em torno de um determinado eio. Normalmente representamos pelas letras e. Assim a resistência que a Figura 1 oferece ao giro em torno do eio é representada por ds e em torno do eio é representada por ds, onde ds é um elemento de área da Figura 5.1, é a distância do elemento de área ao eio e é a distância do elemento de área ao eio. S ds O Da mesma maneira que fiemos para os Momentos Estáticos de 1 a ordem (cálculos de Centro de Gravidade), desenvolveremos as integrais para as figuras comuns, retângulo, triângulo, paráola e círculo. A escola do elemento de área adequado facilita a resolução das integrais. Deve-se utiliar um elemento de área que eqüidiste do eio em torno do qual se calcula o Momento de nércia. 9

13 Retângulo d ds d ds Triângulo d ds d d ds d ( ) - d ds d ( ) - d ds d

14 ds ( ) d 1 ds d.1. Teorema dos Eios Paralelos 1 Freqüentemente necessitamos do momento de inércia de uma área em relação a um eio qualquer (este eio será qualquer para a figura em si, mas especial para a seção da qual a referida figura fa parte). para evitar o cálculo constante de integrais, desenvolveremos uma epressão para o cálculo do momento de inércia em relação a este eio qualquer a partir do valor do momento de inércia em relação a outro eio, já conecido. ds B ' d B A A AA AA ds ( ' + d) ds ' ds + d ' ds + d ds A integral ' ds já é conecida. Como o eio BB é o oriontal que contém o, esta integral é camada. Portanto: A integral ' ds é igual a ero pois refere-se ao. A integral ds resulta a área S. AA BB + d S 1

15 Sendo d a distância de eio a eio. Para eios oriontais teremos: + d S + d S Retângulo / / + d S + 1 / / + d S + 1 Tritângulo / /

16 + d S / / + d S. Momento Polar de nércia r ds No estudo da torção em peças cilíndricas terá grande importância a integral, que é camada de Momento Polar de nércia. É utiliada quando ouver solicitação em torno de um eio (na seção estudada teremos um ponto Pólo). ds r Temos que: p r ds ( + ) ds p ds + ds

17 + p A terceira figura importante para a qual precisamos dos valores dos Momentos de nércia é o Círculo. A dedução mais simples é a de. du u r p u ds π u du ds r u π u r π u p Em função da simetria, podemos concluir que para o círculo os valores de e são iguais. Como o ponto O é o encontro dos eios e, teremos: π r du du + π r + (pois ) Portanto, para o círculo teremos: π r π r p π r Ou, escrevendo em função do diâmetro:

18 π d 6 π d 6 p π d Figuras Circulares ds ( ; ) r θ + r sen θ r cos θ ds d d r cos θ dθ r ds d r sen θ r cos θ r cos θ dθ -- r sen θ cos θ dθ r sen θ cos θ dθ r -- θ senθ 8 Para descrever o círculo θ deve variar de π π r Para o semi-círculo θ deve variar de θ a π a π r π +. π +. Então π r 8 5

19 ser Para o quarto de círculo θ deve variar de a ds d. Então π r 16 π + e o elemento de área deve Resumindo teremos: π r π d 6 π r 8 π d Teorema dos Eios Paralelos π r 16 π d 56 Círculo: os valores otidos já são em relação aos eios que passam pelo Centro de Gravidade. Semi-Círculo: + d S π r 8 r + π π r 6

20 r π π, r Quarto de Círculo: + d S π r 16 r r + π π 16 9 π π r,5878 r. Produto de nércia É definido com a integral ds otida multiplicando-se cada elemento de área ds de uma área S por suas coordenadas e em relação aos eios coordenados e e integrando sore a área. Ao contrário dos Momentos de nércia e, o Produto de nércia pode ser positivo, negativo ou nulo e não tem significado físico. Será útil mais tarde para a determinação dos próprios Momentos de nércia. É indicado pela areviação. ds S Calculando para as figuras mais comuns temos: ds 7

21 8 Retângulo: d ds ds d Triângulo: Há quatro posições para os triângulos. Desenvolveremos uma delas. ds 1 ds ds d d Z + 1 d ds d

22 ( 6-8 ) Teorema dos Eios Paralelos De forma semelante ao que fiemos com os Momentos de nércia teremos: d ds S d 1 O ' + ' + d d 1 ds ( ' + d ) ( ' + d ) 1 ds 1 1 d d ds + d ' ds + d ' ds + ' ' ds + d1 d S 9

23 Aplicando para cada uma das figuras principais teremos: Retângulo: / + d1 d S / Z + Triângulo: / / 1 + d d S + 7 5

24 5 Momentos de inércia de uma área em relação a eios inclinados Muitas vees é necessário calcular os momentos e o produto de inércia, e para uma área em relação a um par de eios u e v inclinados em relação aos eios e, sendo os valores de θ,, e conecidos. Para isso utiliaremos as equações de transformação que relacionam as coordenadas, e e. da ' A ' θ θ θ ' ' ' cos( θ ) + sen( θ ) ' cos( θ ) sen( θ ) Saendo-se que : ' ' ' ' ' ' da da ' ' da Sustituindo e na epressão acima, tem-se: ' ' ' ' ( cos( θ ) sen( θ )) ( cos( θ ) + sen( θ )) da da ( cos( θ ) sen( θ ))( cos( θ ) + sen( θ )) da Epandindo cada epressão e lemrando que 51

25 otem-se ' ' ' ' da da da cos sen θ + θ + senθ cosθ sen θ cos θ + senθ cosθ senθ cosθ senθ cosθ + (cos θ sen θ ) Simplificando estas equações utiliando as identidades trigonométricas sen θ senθ cosθ cos θ cos resulta: θ sen θ ' ' ' ' sen θ + cos θ cos θ + cos θ sen θ (1) sen θ Se a primeira e a segunda equações forem somadas, pode-se mostrar que o momento polar de inércia em relação ao eio que passa pelo ponto O é independente da orientação dos eio e, ou seja: + ' + ' Momentos principais de inércia As equações (1) mostram que, e dependem do ângulo de inclinação dos eios e. Deseja-se determinar agora a orientação desses eios para os quais os momentos de inércia da área, e são etremos, isto é, máimo e mínimo. Este par de eios em particular é camado de eios principais de inércia e os correspondentes momentos de inércia em relação a eles são os camados momentos principais de inércia. Em geral eiste um par de eios para cada origem O escolida. Nos projetos estruturais e mecânicos de um elemento, a origem O é geralmente localiada no centróide da área de seção reta. 5

26 O ângulo θθp que define a orientação dos eios principais da área pode ser otido por derivação da primeira das equações (1) em relação a θ, impondo-se resultado nulo. d ' sen θ cos θ dθ Assim, em θθp tan θ p () ( ) Essa equação possui duas raíes θp1 e θp defasadas de 9 º e estaelecem a inclinação dos eios principais. De forma a sustitui-las nas equações (1) devemos inicialmente oter o seno e o cosseno de θp1 e θp o que pode ser feito pela relação () em associação com a identidade trigonométrica sen θ cos θ 1. Otem-se dessa forma: Para θ p1 p + p sen θ cos θ p1 p1 + + Para θ p sen θ cos θ p p + + Sustituindo esses dois pares de relações trigonométricas nas equações (1) e simplificando tem-se: 5

27 ma min ± + 5

28 Lista de Eercícios 1. Calcular os valores de e em relação ao sistema de eios que passa pelo da seção. a) (cm) 55

29 ) (cm) Determine o produto de inércia () para as figuras aaio. a) d - 56

30 ) d - c) d -. Determine o valor de para as figuras aaio. a) / / 57

31 ) / / c) / / 58