3 a Ficha de Exercícios de AMIII

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1 3 a Ficha de Exercícios de MIII Resolução Sumária. Escreva fdv como um integral iterado nas duas ordens de integração possíveis, onde o conjunto é: O triângulo de vértices,,, e, ; região entre os gráficos x e x, com ; c região do o quadrante limitada pela recta x + e pela circunferência unitária centrada na origem. c fdv fdv fdv fx, d dx x fx, dx d x fx, d dx + x x fx, d dx x x fx, dx d; fx, d dx; fx, dx d.. Escreva fdv 3 como um integral iterado numa ordem de integração à sua escolha, onde o conjunto é: região dada pelas condições x,, z, x + + z e x + + z ; região limitada pelos planos x,, z, x + z e + z ; fdv 3 x x fx,, zdz d dx + x x x dz d dx; x

2 fdv 3 z z z + x x x fx,, zdx dz d fx,, zdx d dz fx,, zdz d dx fx,, zdz d dx 3. Inverta a ordem de integração nos seguintes integrais iterados: [ π ] sen x fx, d dx; x sen x [ ] +x fx, d dx; π arcsen π fx, dx d + fx, dx d arcsen arcsen fx, dx d+ 5 q fx, dx d+ q fx, dx d. Prove que o conjunto dos pontos de descontinuidade de uma função monótona em sentido lato f : R R tem medida nula. Prove que o centróide da união de dois subconjuntos de R n disjuntos e mensuráveis à Jordan pertence ao segmento de recta unindo os centróides desses conjuntos. Seja D o conjunto dos pontos de descontinuidade de f. Vamos mostrar que D é numerável e portanto tem medida nula. Basta mostrar que o conjunto D n x [ n, n] f é descontinua em x} é numerável, para todo n N, pois D n D n. Podemos também supor que f é crescente, pois, se f for descrescente, f é crescente e tem os mesmos pontos de descontinuidade. Suponhamos então que f : [ n, n] R é crescente. Para cada m N, considere-se o conjunto } Dn m fn f n x [ n, n] lim ft lim ft. t x + t x m Como #D m n m e D n m Dm n, concluímos que D n é numerável.

3 Sejam, B R n subconjuntos disjuntos e mensuráveis à Jordan com centróides p e q, respectivamente. O conjunto B é mensurável à Jordan pois χ B χ + χ B e χ, χ B são integráveis à Riemann. i-ésima coordenada seu centróide, r, é dada por r i Vol B x i dv n Vol B x i dv n + x i dv n B B Vol x i dv n + VolB x i dv n Vol B Vol Vol Vol B pi + VolB Vol B qi. Vol B VolB Concluímos que r Vol Vol B p + VolB Vol B q, o que implica que r pertence ao segmento de recta unindo p e q, pois Vol Vol B + VolB Vol B e Vol Vol B, B VolB Vol B. 5. Considere o sólido x,, z R 3 x + z } x Escreva o volume de como um integral iterado nas ordens de integração dzddx e dxddz. Calcule o volume da. Vol x x dz d dx x + z z dx d dz + Vol π π π ρ ρdz dρ dθ ρ ρ ρ ρ 3 dρ z z dx d dz. 6. Considere a seguinte região contida em R 3 V x,, z R 3 } x + z, x,, z. 3

4 Escreva uma expressão para o volume de V em termos de integrais iterados da forma dxddz. Seja fx,, z x. Calcule V fdv 3. Os cortes com z constante formam quartos de coroas circulares no plano xo, com x,, raio exterior dado por + z e raio interior dado por z. Logo temos, z + z + z + z VolV dx d + dx d dz. z z Em coordenadas ciĺındricas temos x ρ cos θ, logo, π/ xdv 3 ρ cos θdz ρd dθ V ρ ρ ρ dρ 8/5. 7. Seja C um cone recto, homogéneo, de altura h, diâmetro d e massa M. Calcule o centro de massa de C e o seu momento de inércia em relação ao eixo de simetria. Seja σ a densidade de massa de C que é constante, pois C é homogéneo. O cone tem a seguinte forma } C x,, z R 3 h d x + z h, pelo que a sua massa é M C σdv 3 π h d h z σρdρ dz dθ σd h π, e σ M VolC M d h π M πd h. O centro de massa tem coordenadas x,, z, com x σxdv 3 σdv 3 C C z σzdv 3 π h d h z σzρdρ dz dθ 3 C M h. O momento de inércia de C em relação ao eixo de simetria L é π h d I L σd h z LdV 3 σρ 3 dρ dz dθ πσ h 3Md. d h z dz

5 8. Use uma mudança de coordenadas apropriada para calcular o momento de inércia em relação ao eixo O de uma placa fina com a seguinte forma x, R x, x x, x, > }, supondo que a densidade de massa é igual a. Considere-se a função de classe C, g : R + R definida por gx, x, x. Esta transformação é uma mudança de variáveis pois tem inversa de classe C, g u, v u v, uv. Como gr + podemos aplicar a fórmula de mudança de variáveis para obter I onde usámos u,v x, x dv x x g u v v dv x v. 9. Para cada a >, seja B n o seguinte conjunto B n x,..., x n R n x + + x n a }, u v dv du 9 8, e seja V n o volume n-dimensional de B n, i.e., V n B n dx dx n. Mostre que V n a n V n ; V n V n c V n n a n. n! x n dx n V n ; Usando a transformação de coordenadas gx ax, vem V n dv n det Dg dv n Note-se que B n g B n B n x R n x + + x n x n } B n a n dv n a n V n. x R n x,..., x n B n x n, x n [, ] }, logo, aplicando o Teorema de Fubini e a aĺınea anterior, obtemos V n dv n dx n V n x n dx n B n x n x n n V n dx n V n [ ] x n V n V n n n x n dx 5

6 c De e, vem V n a n V n a n n n n a n. n!. O construtor de aviões e helicópteros militares United Fighter Objects tenciona testar proximamente o seu primeiro protótipo UFO-. fuselagem do UFO- tem a forma aproximada de um cilindro sólido homogéneo de raio r, altura h e massa M. s suas asas podem ser consideradas como uma placa rectangular homogénea de comprimento l, largura w e massa m, colocada a meio da fuselagem passando pelo eixo de simetria desta. Calcule o momento de inércia do UFO- em relação ao seu eixo de simetria. fuselagem e as asas do UFO- têm, respectivamente, a forma dos subconjuntos de R 3, F x,, z R 3 x + r, z h } e x,, z R 3 x, r l, z w }, onde se removeu a intersecção entre a placa e o cilindro. ssim, designando, respectivamente, por σ f e σ a a densidade de massa da fuselagem e das asas, as contribuições de F e para o momento de inércia são π r h I z F x + σ f dv 3 ρ 3 σ f dρ dρ dθ e I z F [ ρ πσ f h ] r πσ f h r. l w σ a dv σ a dz d l 3 r w 3 wσ a 8 r3. h Substituindo σ f M Vol 3 F M πr h, σ a m Vol m wl r nas expressões acima e adicionando, obtemos I z UFO- Mr + m l + lr + r. 6